В гамильтониан случая Клебша (1.20)
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}+\frac{\varepsilon}{2}\left(A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right)
\]

входят четыре параметра: $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \varepsilon$. Полагая $A_{i}^{\prime}=\sqrt{|\varepsilon|} A_{i}$ и поделив гамильтониан на $\sqrt{|\varepsilon|}$, мы получаем гамильтониан (1.20) случая Клебша с параметрами $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, A_{3}^{\prime}$ и $\varepsilon= \pm 1$. Таким образом, можно исследовать лишь гамильтонианы с $\varepsilon= \pm 1$, для которых в параграфе 2 уже построены кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$, разделяющие области с различным топологическим типом $Q^{3}$. См. рис. 5.18 и рис. 5.19.
Интеграл Клебша имеет следующий вид:
\[
K=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)-\frac{\varepsilon}{2}\left(A_{2} A_{3} R_{1}^{2}+A_{3} A_{1} R_{2}^{2}+A_{1} A_{2} R_{3}^{2}\right) .
\]

Как уже отмечалось, зная, как устроена бифуркационная диаграмма отображения момента $H \times K: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(h, k)$, можно легко получить бифуркационную диаграмму для системы с гамильтонианом $H^{\prime}=\alpha H+\beta K$, где $\alpha$ и $\beta$ – некоторые постоянные. Она получается из исходной диаграммы при некотором линейном невырожденном линейном преобразовании плоскости $\mathbb{R}^{2}(h, k)$. Нас интересует лишь то, как перестраиваются торы Лиувилля при движении точки вдоль прямой $h=$ const в прообразе этой точки. Поэтому молекулу $W$ для гамильтониана $H^{\prime}$ можно описать, определив, как прямая $\alpha h+\beta k=$ const пересекает бифуркационную диаграмму отображения $H \times K$.

Отметим следующее важное обстоятельство. Оказывается, все гамильтонианы случая Клебша можно получить, например, в виде линейной комбинации $\alpha H_{0}+\beta K_{0}$ коммутирующих функций
\[
\begin{array}{l}
H_{0}=\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)+\left(c_{1} R_{1}^{2}+c_{2} R_{2}^{2}+c_{3} R_{3}^{2}\right), \\
K_{0}=\left(c_{1} S_{1}^{2}+c_{2} S_{2}^{2}+c_{3} S_{3}^{2}\right)-\left(c_{1}^{2} R_{1}^{2}+c_{2}^{2} R_{2}^{2}+c_{3}^{2} R_{3}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$. Следовательно, общий четырехпараметрический гамильтониан случая Клебша получается линейной комбинацией простейших функций $H_{0}$ и $K_{0}$, которые зависят лишь от двух параметров. Таким образом, рассматривая линейные комбинации описанного выше типа, мы фактически можем понижать число параметров случая Клебша.

На рис. 5.43 показано, какой из гамильтонианов случая Клебша получается при различных значениях $\alpha, \beta$. Если прямая $\alpha h+\beta k=0$ лежит в области $\mathrm{I}$, то линейная комбинация $\alpha H_{0}+\beta K_{0}$ есть гамильтониан (1.20) с $\varepsilon=1$, а если в области II, то $\alpha H_{0}+\beta K_{0}$ – это гамильтониан (1.20) с $\varepsilon=-1$. Для прямых, лежащих в заштрихованной области, среди поверхностей $Q^{3}$ будут некомпактные. Такие линейные комбинации мы пока не рассматриваем.

Рис. 5.43
Рис. 5.44

Бифуркационные диаграммы для случая Клебша были построены и исследованы Т.И.Погосяном в [163], [164], [165]. Для отображения $H_{0} \times K_{0}$ : $T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(h, k)$ они приведены на рис. 5.44. Возможны три качественно различных случая:
(a) $g^{2}>p_{2}$,
(b) $p_{1}<g^{2}<p_{2}$,
(c) $g^{2}<p_{1}$.

Здесь $p_{1}$ и $p_{2}$ – некоторые постоянные, зависящие от параметров $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ гамильтониана $H$. При $f_{2}=g$ и $f_{2}=-g$ диаграммы полностью совпадают.

Уравнение бифуркационной кривой удобно записать в параметрической форме, где $h$ и $k$ зависят от двух параметров $x$ и $y$, которые, в свою очередь, связаны соотношением. А именно:
\[
\begin{array}{c}
h=-2 x-\frac{g}{y}\left(c_{1} c_{2}+c_{2} c_{3}+c_{3} c_{1}+3 x^{2}\right), \\
k=c_{1} c_{2}+c_{2} c_{3}+c_{3} c_{1}-x^{2}-\frac{g}{y}\left(x^{3}-x\left(c_{1} c_{2}+c_{2} c_{3}+c_{3} c_{1}\right)+2 c_{1} c_{2} c_{3}\right), \\
\text { где } y^{2}=\left(x-c_{1}\right)\left(x-c_{2}\right)\left(x-c_{3}\right) .
\end{array}
\]

При этом бифуркационной кривой является не вся эта кривая, а лишь ее часть, показанная на рис. 5.44.

Асимптотами бифуркационной кривой являются три прямые: $k=c_{1} h+c_{2} c_{3}$, $k=c_{2} h+c_{3} c_{1}, k=c_{3} h+c_{1} c_{2}$. Три жирные точки на рис. 5.44 – это образы точек, в которых $\operatorname{grad} H_{0}$ и $\operatorname{grad} K_{0}$ равны нулю на $T S^{2}$. Они имеют координаты: ( $\left.g^{2}+c_{i}, c_{i}\left(g^{2}-c_{i}\right)\right) \in \mathbb{R}^{2}(h, k)$. Перестройки торов Лиувилля указаны на

рис.5.44. Отметим, что здесь при подходящих значениях параметров появляются невырожденные особенности всех возможных типов, а именно: центр-центр, центр-седло, седло-седло, фокус-фокус. См. рис.5.44.

Рассматривая различные прямые $\alpha h+\beta k=c$, можно определить молекулы $W$ для гамильтонианов $\alpha H_{0}+\beta K_{0}$ при различных значениях $c$. Молекула $W$ может меняться либо в том случае, когда $c$ – критическое значение функции $\alpha H_{0}+\beta K_{0}$, либо когда прямая $\alpha h+\beta k=c$ проходит через точку возврата кривой. Построив разделяющую кривую, соответствующую точкам возврата бифуркационной диаграммы, мы получаем описание всех молекул $W$ для случая Клебша.

Опишем разделяющие кривые, то есть кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$, точкам которых отвечают перестройки молекул. Другими словами, эти кривые разбивают плоскость на области, каждая из которых характеризуется тем, что внутри нее молекула не меняется. Двум различным точкам, лежащим в одной области, отвечают эквивалентные лиувиллевы слоения, т. е. лиувиллево эквивалентные.
В число разделяющих кривых входят три параболы с уравнениями:
\[
h=\frac{g^{2}}{2 A_{i}}+\varepsilon \frac{A_{i}}{2}, \quad \text { где } \quad i=1,2,3, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

При пересечении каждой из этих парабол меняется топологический тип $Q$.
Рис. 5.45

К этим трем параболам нужно добавить еще алгебраическую кривую $(g(t), h(t))$, изображенную пунктиром на рис. 5.45. При пересечении этой пунктирной кривой топологический тип $Q$ уже не меняется, но зато меняется молекула $W$. Эта алгебраическая кривая задается в параметрическом виде следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
g(t)=\frac{4 P(t)^{3} t \sigma_{3}}{Q(t)}, \\
h(t)=\frac{\sigma_{3}\left(-10 t^{6}+15 \sigma_{1} t^{5}-4\left(\sigma_{1}^{2}+2 \sigma_{2}\right) t^{4}+\left(4 \sigma_{1} \sigma_{2}+\sigma_{3}\right) t^{3}+2 \sigma_{1} \sigma_{3} t^{2}-4 \sigma_{2} \sigma_{3} t+3 \sigma_{3}^{2}\right)}{2 t^{2} Q(t)},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
P(t)=\sqrt{\frac{\left(A_{1}-t\right)\left(A_{2}-t\right)\left(A_{3}-t\right)}{t}}, \\
Q(t)=2 t^{6}-3 \sigma_{1} t^{5}+3 \sigma_{3} t^{3}-2 \sigma_{1} \sigma_{3} t^{2}+\sigma_{3}^{2}, \\
\sigma_{1}=A_{1}+A_{2}+A_{3}, \sigma_{2}=A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+A_{1} A_{3}, \sigma_{3}=A_{1} A_{2} A_{3} .
\end{array}
\]

На рис. $5.45 \mathrm{a}$ для $\varepsilon=+1$ и на рис. $5.45 \mathrm{~b}$ для $\varepsilon=-1$, показан один из вариантов взаимного расположения трех парабол и описанной выше пунктирной кривой. Вся эта картина зависит от параметров $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ гамильтониана $H$. При их изменении иногда взаимное расположение парабол и пунктирной кривой может меняться. В частности, нижний клюв пунктирной кривой на рис. $5.45 \mathrm{~b}$ может подняться вверх и оказаться выше средней параболы. Аналогичные изменения могут происходить и на рис. 5.45a.
Теорема 5.10 (А.А.Ошемков). Разделяющие кривые для гамильтонианов (1.20), т.е. для общего случая Клебша, задаются указанными выше формулами. Дополнительный интеграл Клебша является боттовским на всех изоэнергетических 3-поверхностях $Q=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$, для которых точ$\kappa a(g, h)$ не принадлежит указанным разделяющим кривым. Список всех пар $(Q, W)=$ (изоэнергетическая поверхность $Q$, грубая молекула $W$ ) для случая Клебша состоит из 10 пар, перечисленных в таблице 5.8:
\[
\left(S^{3}, \mathcal{C}_{1}\right),\left(S^{3}, \mathcal{C}_{2}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{C}_{3}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{C}_{4}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{C}_{5}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{C}_{6}\right),
\]
$\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{C}_{7}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{C}_{8}\right),\left(N^{3}, \mathcal{C}_{9}\right),\left(N^{3}, \mathcal{C}_{10}\right)$.
здесь $N^{3}=\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right)$.
При этом различных грубых молекул $W$ в случае Клебша имеется ровно 4. Числа, стоящие внутри областей на рис.5.45(a,b), указывают номера пар $(Q, W)$ из таблицы 5.8, соответствующих данным областям.

Подведем итог. Как найти молекулу для каких-либо конкретных значений параметров $A_{1}, A_{2}, A_{3}, g, h$ ? Для этого нужно сначала подставить параметры $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ в уравнения алгебраической кривой $(g(t), h(t))$ и трех парабол. Получится картина, изображенная на рис. 5.45. После этого нужно взять пару чисел $(g, h)$ и посмотреть, в какую именно из получившихся областей попадает точка с координатами $(g, h)$. Поскольку на рис. 5.45 уже указаны типы молекул $W$ для каждой из областей, мы и находим искомый ответ.