Рассмотрим на двумерном торе $T^{2}$ риманову метрику $d s^{2}$ с линейно или квадратично интегрируемым геодезическим потоком. Прежде всего, мы хотим выяснить, при каких условиях особенности соответствующего лиувиллева слоения являются невырожденными, или, что то же самое, когда интеграл геодезического потока является функцией Ботта на изоэнергетической поверхности.

Для простоты мы рассмотрим случай глобально лиувиллевой метрики, т.е. обладающей глобальными периодическими координатами $(x, y)$ (с периодами 1 и $L$ соответственно), в которых метрика имеет вид
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(x)$ и $g(y)$ – гладкие строго положительные периодические функции с периодами соответственно 1 и $L$.
Гамильтониан геодезического потока, отвечающего метрике $d s^{2}$, имеет вид
\[
H=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)},
\]

где $\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$ – стандартные координаты на кокасательном расслоении $T^{*} T^{2}$,

а квадратичный интеграл задается формулой
\[
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{g(y) p_{x}^{2}-f(x) p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\]

Если одна из функций $f$ или $g$ является константой, то геодезический поток обладает линейным интегралом $F=p_{x}$ или $F=p_{y}$ соответственно.
Предложение 3.1. Интеграл $F$ является боттовским на изоэнергетической поверхности $\{H=$ const $\}$ в том и только в том случае, когда каждая из функций $f(x)$ и $g(y)$ является либо функцией Морса, либо константой.
Доказательство.
Пусть сначала функции $f$ и $g$ не являются константами. Если мы фиксируем уровень энергии $H=h$, то получим изоэнергетическое 3 -многообразие $Q_{h}^{3}$, диффеоморфное трехмерному тору $T^{3}$, на котором в качестве локальных координат можно выбрать либо $\left(x, y, p_{x}\right)$, либо $\left(x, y, p_{y}\right)$. Ограничивая интеграл $F$ на изоэнергетическую 3 -поверхность $Q=\{H=1\}$, получаем либо функцию
\[
\left.F\right|_{Q}=p_{x}^{2}-f(x)
\]

в координатах $\left(x, y, p_{x}\right)$, либо функцию
\[
\left.F\right|_{Q}=-p_{y}^{2}+g(y)
\]

в координатах $\left(x, y, p_{y}\right)$.
Следовательно, критические точки функции $\left.F\right|_{Q}$ – это в точности точки вида:
( $x$ – критическая точка функции $f(x), y$ произвольно, $p_{x}=0$ ), либо
( $x$ произвольно, $y$ – критическая точка функции $g(y), p_{y}=0$ ).
Отсюда ясно, что особенность интеграла $F$ на $Q$ является боттовской тогда и только тогда, когда особенности функций $f$ и $g$ соответственно являются морсовскими.

Рассмотрим теперь случай, когда одна из функций, например, $f(x)$ является константой. Без ограничения общности мы будем считать, что $f(x) \equiv 0$. В этом случае линейный интеграл $F$ имеет вид $p_{x}$. При ограничении на изоэнергетическую поверхность $Q^{3}=\{H=1\}$ получаем
\[
\left.F\right|_{Q}=p_{x} \text { в системе координат }\left(x, y, p_{x}\right),
\]

либо
\[
\left.F\right|_{Q}= \pm \sqrt{g(y)-p_{y}^{2}} \text { в системе координат }\left(x, y, p_{y}\right. \text { ). }
\]

Дело в том, что $p_{x}^{2}+p_{y}^{2}=g(y)$ на 3 -поверхности $Q^{3}$.
Критическими точками линейного интеграла $F$ в этом случае, очевидно, будут точки вида:
( $x$ произвольно, $y$ – критическая точка функции $g(y), p_{y}=0$ ).

Точка такого вида является невырожденной для интеграла $F$ на $Q$ тогда и только тогда, когда критическая точка $y$ является невырожденной для функции $g(y)$.

Наконец, в исключительном случае, когда обе функции $f$ и $g$ равны константе, мы получаем плоскую метрику. Легко видеть, что любой ее линейный интеграл имеет в качестве множества критических точек на $Q^{3}$ несвязное объединение двух невырожденных двумерных торов, которые перестают быть критическими при замене линейного интеграла. В итоге слоение Лиувилля представляет собой тривиальное расслоение, без особенностей, над окружностью со слоем тop.
Утверждение доказано.

ЗАмЕчАниЕ. Если из функций $f$ и $g$ только одна является константой, то мы получаем линейно интегрируемый геодезический поток. Если же обе функции $f$ и $g$ – константы, то метрика $d^{2}$ является плоской (ее геодезический поток, очевидно, тоже линейно интегрируем). Легко проверить, что в этом случае линейный интеграл в качестве невырожденных критических подмногообразий имеет два двумерных тора.

ЗАмЕчАниЕ. Утверждение справедливо для произвольных линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков. Напомним, что они отличаются от простейшего случая, рассматриваемого нами, только тем, что базис решетки $\Gamma$, отвечающей тору $T^{2}$, перекошен относительно лиувиллевой системы координат ( $x, y$ ).

Опишем формальное построение молекулы $W$ для интегрируемых геодезических потоков на торе. Рассмотрим сначала случай глобально лиувиллевой метрики, предполагая, что функции $f$ и $g$ являются функциями Морса.

Ясно, что топология лиувиллева слоения полностью определяется этими функциями. Мы начнем с того, что сопоставим каждой из них некоторое модельное слоение на двумерные торы, из которых затем будет склеено глобальное расслоение на торы изоэнергетической поверхности в целом.

Рассмотрим изоэнергетическую поверхность $Q^{3}=\{H=1\}$, которая с топологической точки зрения представляет собой тривиальное $S^{1}$-расслоение над тором $T^{2}$. Слой представляет собой окружность, лежащую в кокасательной плоскости, поэтому в качестве локальной координаты на нем можно взять либо $p_{x}$, либо $p_{y}$. В результате в качестве локальных координат на изоэнергетической поверхности можно взять либо тройку $\left(x, y, p_{x}\right)$, либо тройку $\left(x, y, p_{y}\right)$. Легко проверяется, что интеграл $F$, записанный в этих координатах, приобретает один из следующих двух видов:
\[
\begin{array}{ll}
\left.F\right|_{Q}=p_{x}^{2}-f(x) & \text { (в координатах } \left.\left(x, y, p_{x}\right)\right), \\
\left.F\right|_{Q}=-p_{y}^{2}+g(y) & \text { (в координатах } \left.\left(x, y, p_{y}\right)\right) .
\end{array}
\]

Возьмем для определенности второй случай: $F=-p_{y}^{2}+g(y)$. Рассмотрим эту функцию как функцию на плоском кольце, где в качестве угловой координаты взята переменная $y$, а в качестве радиальной координаты взята координата $p_{y}$. См. рис.3.1. Будем считать, что срединная окружность кольца отвечает значению $p_{y}=0$. В результате график функции $-p_{y}^{2}+g(y)$ можно интерпретировать как горный рельеф на кольце, критические точки которого – это в точности критические точки интеграла $F$. См. рис.3.2а. Его можно описать еще и так. Нужно взять график функции $g(y)$ на отрезке $[0, L]$ и превратить его в линейный горный рельеф, как условно показано на рис. 3.2b. После этого нужно свернуть отрезок в окружность, в результате чего линейный горный рельеф свернется в кольцевой горный рельеф, т. е. заданный на кольце. См. рис. 3.2а.
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Отметим, что нас интересует только область, соответствующая положительным значениям функции $F$, т.е. находящаяся выше уровня моря. Другими словами, мы рассматриваем кольцо переменной толщины $P=\left\{g(y)-p_{y}^{2} \geqslant 0\right\}$.
Линии уровня горного рельефа (т.е. функции $\left.F=-p_{y}^{2}+g(y)\right)$ задают на кольце $P$ слоение с морсовскими особенностями, описываемое некоторой молекулой $W(g)$ с двумя свободными концами, отвечающими краям кольца. Рассмотрим теперь прямое произведение этого одномерного слоения на окружность. В результате мы получим некоторое слоения Лиувилля на трехмерном многообразии $P \times S^{1}$, которое естественно называть слоением типа прямого произведения. Соответствующая ему молекула, очевидно, совпадает с молекулой $W(g)$, отвечающей функции Морса двух переменРис. 3.3 ных $F=-p_{y}^{2}+g(y)$.
Пусть все критические окружности этого слоения Лиувилля имеют одинаковую ориентацию, тогда соответствующие метки $r$ и $\varepsilon$ на ребрах молекулы легко описываются: все $\varepsilon$-метки равны единице, все $r$-метки на ребрах между двумя седловыми атомами равны бесконечности, а между седловыми атомами и атомами типа $A$ равны нулю. Итак, по функции $g$ мы построили некоторое лиувиллево слоение типа прямого произведения и полностью описали соответствующую молекулу с метками.

Совершенно аналогично мы поступим и с функцией $f(x)$. В результате получим некоторую, вообще говоря, другую молекулу $W(f)$, но также с двумя свободными концами.

Структуру молекул $W(f)$ и $W(g)$ можно описать более подробно. Опишем, например, построение графа $W(f)$. Возьмем график периодической функции $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ и рассмотрим область, лежащую под графиком функции и ограниченную снизу осью $O x$. Расслоим ее на отрезки горизонтальными линия-
Рис. 3.4

ми, то есть линиями $f=$ const. См. рис.3.3. Каждому такому отрезку соответствует связная компонента линии уровня функции $p_{x}^{2}-f(x)$, заданной на кольце. Единственным исключением является семейство отрезков, расположенных ниже глобального минимума функции $f(x)$ на отрезке $[0,1]$. Подчеркнем, что такие отрезки обязательно есть, поскольку функции $f$ и $g$ положительны, а потому их глобальные минимумы строго больше нуля. Каждому такому отрезкууровню $f=c$ соответствуют две связные компоненты линия уровня функции $p_{x}^{2}-f(x)=-c$, заданной на кольце.

Теперь каждый из построенных выше отрезков сожмем в точку. А каждому из отрезков, расположенных ниже глобального уровня функции $f(x)$, сопоставим не одну точку, а две. Ясно, что в результате область (расположенная между графиком функции $f(x)$ и горизонтальной осью) превратится в граф, являющийся деревом (см. рис. 3.3) и совпадающий с графом Риба функции $p_{x}^{2}-f(x)$, заданной на кольце.

Внутренние вершины графа отвечают локальным минимумам (одному или сразу нескольким) функции $f(x)$, заданной на окружности, а его концевые вершины – локальным максимумам этой функции. ТеРис. 3.5 перь поместим в каждую вершину этого графа некоторый атом. Концевые вершины графа заменим атомами $A$. Внутренние вершины графа, кроме вершины, отвечающей глобальному минимуму функции $f$, соответствуют атомам вида $V_{k}$. Здесь $V_{k}$ – плоский атом, показанный на рис.3.4. Здесь $k$ обозначает число его вершин, совпадающее с числом локальных максимумов, которых касается соответствующий горизонтальный отрезок на графике функции $f$. Плоский атом $P_{m}$, отвечающий глобальному минимуму функции $f$ (на соответствующем отрезке-уровне может лежать несколько точек глобального минимума), имеет вид, показанный на рис.3.5. Здесь $m$ – число точек глобального минимума функции $f$. В качестве примера на рис. 3.3 показана молекула $W(f)$ для функции $f$, график которой изображен на том же рисунке. Отметим, что каждый из графов $W(f)$ и $W(g)$ является деревом.

Теперь мы построим некоторую новую молекулу $W$, взяв по два экземпляра молекул $W(f)$ и $W(g)$ и склеив их свободные концы крест накрест, как показано на рис. $3.6 \mathrm{a}$.

В простейшем случае, когда функции $f$ и $g$ имеют ровно по одному минимуму и максимуму, полная молекула $W$ имеет вид, показанный на рис.3.7. Здесь атом $P_{1}$ совпадает с атомом $B$.

Теоремы 3.1 и 3.2 тем самым дают полную лиувиллеву классификацию всех квадратично и линейно интегрируемых геодезических потоков на двумерном торе.
Доказательство теоремы 3.1.
Начнем со случая квадратично интегрируемого геодезического потока. Рассмотрим 3-многообразие $Q=\{H=1\}$. Оно диффеоморфно трехмерному тору и имеет естественную структуру тривиального $S^{1}$-расслоения над тором $T^{2}$. Рассмотрим поверхность уровня $F=0$

Рис. 3.8 на $Q$. Легко проверяется, что все критические точки функции $F$ лежат вне 2 -поверхности $\{F=0\}$. Следовательно, уровень $\{F=0\}$ – неособый, а потому состоит из некоторого числа регулярных торов Лиувилля. Их четыре, и они задаются следующими явными формулами:
\[
\begin{array}{l}
T_{a}^{2}=\left\{p_{x}=+\sqrt{f(x)}, p_{y}=+\sqrt{g(y)}\right\}, \\
T_{b}^{2}=\left\{p_{x}=+\sqrt{f(x)}, p_{y}=-\sqrt{g(y)}\right\}, \\
T_{c}^{2}=\left\{p_{x}=-\sqrt{f(x)}, p_{y}=+\sqrt{g(y)}\right\}, \\
T_{d}^{2}=\left\{p_{x}=-\sqrt{f(x)}, p_{y}=-\sqrt{g(y)}\right\} .
\end{array}
\]

Каждый из этих 2-торов диффеоморфно проектируется на базу $T^{2}$, поскольку для произвольной точки $(x, y) \in T^{2}$ по указанным формулам однозначно восстанавливаются значения $p_{x}$ и $p_{y}$.
Рис. 3.9
Рис. 3.10
Рис. 3.11
Удобно изобразить линии уровня функции $F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$ в каждой касательной 2 -плоскости к тору (рис. 3.9). Из явной формулы для $F$ сразу видно, что нулевая линия уровня – это пара пересекающихся прямых, а каждая ненулевая – это две ветви гиперболы. При этом четыре тора, образующие поверхность нулевого уровня функции $F$, изображаются на рис. 3.9 четырьмя точками на окружности $\{H=1\}$ в касательной 2 -плоскости к тору. Они обозначены соответственно $a, b, c, d$. Эти же обозначения мы сохраним и для соответствующих ребер молекулы, на которых лежат эти торы.

Четыре тора $T_{a}^{2}, T_{b}^{2}, T_{c}^{2}, T_{d}^{2}$ нулевого уровня разбивают $Q$ на четыре связных куска $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$ (рис. 3.10), соответствующих четырем дугам, на которые точки $a, b, c, d$ разбивают окружности $\{H=1\}$ в касательной плоскости. Каждый из этих 3 -кусков устроен очень просто. Это – прямое произведение 2-тора на отрезок. Граница каждого из 3-кусков – это два тора. Их попарные склейки также изображены на рис. 3.11. Правило склейки однозначно извлекается из рис. 3.10.

Каждый из кусков $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$ расслоен на торы Лиувилля. Сразу отметим, что слоения Лиувилля на $Q_{I}$ и $Q_{I I}$ устроены одинаково. В самом деле, для проверки достаточно рассмотреть диффеоморфизм
\[
\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right) \rightarrow\left(x, y,-p_{x},-p_{y}\right),
\]

который переводит слоение в слоение. Этот диффеоморфизм просто меняет направление каждой геодезической на противоположное. Аналогичное утверждение справедливо и для кусков $Q_{I I I}$ и $Q_{I V}$. Посмотрим теперь, как устроено слоение Лиувилля на каждом из этих кусков. Возьмем, к примеру, $Q_{I}$. Из рис. 3.10 видно, что в качестве глобальных координат на этом 3 -многообразии с краем можно взять $\left(x, y, p_{y}\right)$. Тогда интеграл $F$ запишется на $Q_{I}$ в виде $F=-p_{y}^{2}+g(y)$. Поскольку координата $x$ не участвует в явной записи функции $F$, то слоение на торы Лиувилля, возникающее на $Q_{I}$, имеет тип прямого произведения и задается молекулой $W(g)$, описанной выше.

Рассуждая аналогично, получаем, что 3 -куску $Q_{I I}$ отвечает та же молекула $W(g)$. А нижним кускам $Q_{I I I}$ и $Q_{I V}$ отвечают изоморфные между собой молекулы $W(f)$. Таким образом, мы доказали, что молекула $W$ склеена из двух экземпляров $W(f)$ и $W(g)$, как показано на рис. 3.6. Следовательно, молекула $W$ (пока еще без меток) имеет требуемый вид.

Найдем теперь метки. Начнем с 3 -кусков $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$, т.е. с молекул $W(f), W(g)$. Утверждение о $r$-метках, стоящих на внутренних ребрах этих кусков, сразу следует из того, что слоение Лиувилля имеет здесь тип прямого произведения. Условие $\varepsilon=1$ эквивалентно тому, что все критические окружности в рассматриваемых слоениях имеют одинаковую ориентацию. Чтобы в этом убедиться, в случае $Q_{I}$ достаточно проверить, что производная угловой координаты $x$ вдоль потока $\operatorname{sgrad} H$ имеет один и тот же знак. Эта производная легко вычисляется:
\[
\frac{d x(t)}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{x}}=\frac{2 p_{x}}{f(x)+g(y)} .
\]

Остается заметить, что в рассматриваемом куске $Q_{I}$ значение $p_{x}$ всюду положительно.

Перейдем теперь к ребрам $a, b, c, d$ молекулы $W$. Чтобы вычислить отвечающие им метки, следует выписать матрицы склейки относительно некоторых допустимых систем координат на торах $T_{a}^{2}, T_{b}^{2}, T_{c}^{2}, T_{d}^{2}$. Опишем эти допустимые системы координат. Рассмотрим, например, кусок $Q_{I}$. Он имеет тип прямого произведения $P_{I} \times S^{1}$. Здесь $S^{1}$-слои задаются соотношениями ( $p_{y}=$ const, $y=$ const, $x=t$ ), а $P_{I}$ представляет собой кольцо, которое можно реализовать как глобальное сечение $P_{I} \subset Q_{I}$, задаваемое уравнением $x=0$. В качестве первого базисного цикла на граничных торах $T_{a}^{2}$ и $T_{b}^{2}$ куска $Q_{I}$ мы, согласно определению, должны взять $S^{1}$-слой, а в качестве второго цикла – границу сечения $P_{I}$ (с учетом ориентации). Легко видеть, что эти циклы являются поднятиями стандартных базисных циклов $\lambda=\{y=$ const, $x=t\}$ и $\mu=\{x=$ const, $y=t\}$ с тора $T^{2}$ (напомним, что $T_{a}^{2}$ и $T_{b}^{2}$ диффеоморфно проектируются на тор $T^{2}$ ). Таким образом, на торах $T_{a}^{2}$ и $T_{b}^{2}$ допустимыми системами координат являются пары циклов $(\lambda, \mu)$ и $(\lambda,-\mu)$ соответственно. Замена знака у второго базисного цикла диктуется стандартным правилом ориентации границы сечения $P_{I}$. Аналогичным образом легко построить допустимые системы координат на граничных торах оставшихся кусков и убедиться в том, что матрицы склейки, стоящие на ребрах $a, b, c, d$, имеют вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) \text {. }
\]

Отсюда видно, что все $r$-метки, стоящие на этих ребрах, равны нулю, а $\varepsilon$-метки равны единице.

Легко видеть, что молекула $W$ имеет четыре семьи, отвечающие в точности кускам $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$ (говоря точнее, для того, чтобы получить семьи, из этих кусков нужно вырезать полнотория, являющиеся окрестностями устойчивых замкнутых геодезических, т. е. все атомы типа $A$ ). Метки $n$, соответствующие этим семьям, равны нулю. Чтобы в этом убедиться, достаточно, например, выписать матрицы склеек на всех остальных ребрах молекулы. Это легко сделать, рассмотрев на каждом ребре допустимые системы координат, связанные с глобальными сечениями $P_{I}, P_{I I}, P_{I I I}, P_{I V}$, аналогично тому, как мы это сделали на ребрах $a, b, c, d$. В результате все матрицы склейки между седловыми атомами будут иметь вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),
\]

а на ребрах, соединяющих седловые атомы с атомами $A$ –
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Остается применить формулу из определения $n$-метки. На самом деле можно обойтись без всяких вычислений, если учитывать топологический смысл метки $n$ как препятствия к продолжению сечения. Условие $n=0$ для семьи $Q_{I}$, например, фактически означает, что на циклы $\mu$ и $-\mu$, лежащие на граничных торах $T_{a}$ и $T_{b}$ куска $Q_{I}$, можно натянуть глобальное сечение тривиального $S^{1}$-расслоения. Но это очевидно: таким сечением является кольцо $P_{I}$.
Первая часть теоремы доказана.
Перейдем к случаю линейного интеграла. Начнем с лиувиллевых метрик на торе. Такие метрики имеют вид
\[
d s^{2}=g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $x$ и $y$ – стандартные угловые координаты на торе. При этом $x \in[0,1]$, $y \in[0, L]$. Здесь тор получается факторизацией плоскости $\mathbb{R}^{2}(x, y)$ по целочисленной решетке, порожденной векторами $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$. Напомним, что функция $g(y)$ является здесь $L$-периодической функцией.
При этом гамильтониан $H$ и интеграл $F$ принимают вид
Рис. 3.12
\[
H=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{g(y)}, \quad F=p_{x} .
\]

Главное отличие от квадратичного случая состоит в том, что нулевая линия уровня интеграла $F=0$ превращается здесь в одну прямую в каждой кокасательной плоскости $\left(p_{x}, p_{y}\right.$ ) (вместо двух пересекающихся прямых в квадратичном случае). Другими словами, две дуги окружности (из четырех) стягиваются здесь в точку. В результате рис. 3.9 превращается в рис.3.12. Следовательно, в многообразии $Q$ два нижних блока $Q_{I I I}$ и $Q_{I V}$ исчезают (превращаются в один тор Лиувилля). См. рис. 3.13. Из молекулы $W$ исчезают в результате подграфы $W(f)$.
Теперь 3 -куски $Q_{I}$ и $Q_{I I}$ выделяются в $Q$ условиями:
\[
Q_{I}=\left(p_{x} \geqslant 0\right), \quad Q_{I I}=\left(p_{x} \leqslant 0\right) .
\]

См. рис.3.12. Эти два 3-блока граничат по двум торам Лиувилля, которые мы обозначим через $T_{a}, T_{b}$. А именно,
\[
T_{a}^{2}=\left\{p_{x}=0, p_{y}=+\sqrt{g(y)}\right\}, T_{b}^{2}=\left\{p_{x}=0, p_{y}=-\sqrt{g(y)}\right\} .
\]

Рис. 3.13
Далее, структура слоения Лиувилля на двух кусках $Q_{I}$ и $Q_{I I}$ такая же, как и в случае квадратичного интеграла. Рассуждения здесь абсолютно те же, что и выше.

Итак, мы описали молекулу $W$ для случая линейного интеграла. Она показана на рис. 3.6b. Перейдем теперь к подсчету меток.

На подграфе $W(g)$ все метки остаются точно такими же, как и в квадратичном случае, и допустимые системы координат на торах Лиувилля в 3 -блоках $Q_{I}$ и $Q_{I I}$ строятся точно так же. См. рис. 3.13. Единственное отличие возникает для матриц склеек на ребрах $a$ и $b$. Теперь они принимают вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, метка $r$ на ребрах $a$ и $b$ равна $\infty$, а метка $\varepsilon$ на обеих этих ребрах равна -1 . Поскольку ребра $a$ и $b$ несут на себе бесконечную $r$-метку, то в данном случае будет только одна семья. Это – вся молекула $W$, за исключением атомов $A$. Метка $n$ легко вычисляется из явно описанного выше оснащения, т.е. матриц склеек на ребрах молекулы. Она равна нулю.

Однако следует рассмотреть случай перекошенных решеток, порожденных векторами вида $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(t, L)$, где $t$ – вещественное число, $t \in[0,1]$. Такие метрики выше мы называли ( $g, t, L$ )-метриками. При $t=0$ получится уже разобранный случай.

В случае перекошенных решеток все предыдущие рассуждения проходят без изменений. Дело в том, что зависимость ( $g, t, L$ )-метрики от вещественного параметра $t$ является непрерывной. В то же время ни гамильтониан $H$, ни линейный интеграл $F$ в этом случае от параметра $t$ вообще не зависят. С другой стороны, меченая молекула $W^{*}$ является дискретным объектом. Следовательно, при непрерывном изменении параметра $t$ молекула $W^{*}$ меняться не может. Отсюда следует, что меченая молекула линейно интегрируемого геодезического потока на торе, отвечающего $(g, t, L)$-метрике с перекошенной решеткой, совпадает с меченой молекулой $(g, 0, L)$-метрики, получающейся из $(g, t, L)$-метрики при $t$, стремящемся к нулю.
Теорема 3.1 полностью доказана.

Доказательство теоремы 3.2.
Пусть $d s^{2}$ – конечнолистно лиувиллева метрика на торе $T^{2}$. Как мы уже знаем, эта метрика допускает следующее описание. Рассмотрим на плоскости $\mathbb{R}^{2}(x, y)$ метрику
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(x)$ и $g(y)$ – гладкие периодические функции с периодами соответственно 1 и $L$. В качестве тора $T^{2}$ возьмем фактор-пространство $\mathbb{R}^{2} / \Gamma$ по решетке $\Gamma$, порожденной векторами $e_{1}=(m, 0), e_{2}=(k, L)$, где $m$ и $k-$ взаимно простые натуральные числа.

Поскольку метрика инвариантна относительно сдвигов на элементы этой решетки, то она индуцирует метрику $d s^{2}$ на торе $T^{2}$ (такая метрика была названа выше $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$-метрикой).

Для описания топологии соответствующего лиувиллева слоения нам удобно будет воспользоваться теоремой 2.12 тома 2 (см. выше), согласно которой существует каноническое накрытие $\rho:\left(T^{2}, d s^{2}\right) \rightarrow\left(\widetilde{T}^{2}, d \tilde{s}^{2}\right)$ такое, что $d s^{2}=\rho^{*}\left(d \widetilde{s}^{2}\right)$, а метрика $d \widetilde{s}^{2}$ на торе $\widetilde{T}^{2}$ является глобально лиувиллевой. В рассматриваемом нами случае в качестве тора $\widetilde{T}^{2}$ следует взять фактор-пространство той же самой плоскости $\mathbb{R}^{2}(x, y)$ по решетке $\widetilde{\Gamma}$, порожденной векторами $\tilde{e}_{1}=(1,0), \tilde{e}_{2}=(0, L)$. Метрика $d \widetilde{s}^{2}$ на торе $\widetilde{T}^{2}$ индуцируется естественным образом периодической метрикой на плоскости.

Вслед за накрытием $\rho$ для торов $T^{2} \rightarrow \widetilde{T}^{2}$ возникает естественное накрытие изоэнергетических 3 -поверхностей $Q \rightarrow \widetilde{Q}$, являющееся, очевидно, послойным, т.е. переводящим слои слоения Лиувилля в слои. Это накрытие устроено очень просто. Изоэнергетические 3 -поверхности $Q$ и $\widetilde{Q}$ имеют соответственно вид
\[
Q=T^{2} \times S^{1}, \quad \widetilde{Q}=\widetilde{T}^{2} \times S^{1},
\]

а накрытие $\rho: Q \rightarrow \widetilde{Q}$ сохраняет это разложение. Другими словами, на первом сомножителе оно совпадает с исходным накрытием, а на втором (т.е. на окружности) является тождественным отображением.

Исследуем подробнее структуру накрытия $\rho: Q \rightarrow \widetilde{Q}$.
Напомним, что структура лиувиллева слоения на 3 -многообразии $\widetilde{Q}$ полностью описывается теоремой 3.1. Многообразие $\widetilde{Q}$ разбивается на четыре связные компоненты $\widetilde{Q}_{I}, \widetilde{Q}_{I I}, \widetilde{Q}_{I I I}, \widetilde{Q}_{I V}$. Легко видеть, что наверуу, т.е. внутри $Q$, получается аналогичная картина. Это означает, что $Q$ разбивается уровнем $F=0$ на четыре связные 3 -компоненты $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$. В частности, каждый 3 -кусок вида $\widetilde{Q}_{I}, \widetilde{Q}_{I I}, \widetilde{Q}_{I I I}, \widetilde{Q}_{I V}$ накрывается соответствующим 3 -куском $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$.

Рассмотрим накрытие $\rho: Q_{I} \rightarrow \widetilde{Q}_{I}$. При доказательстве теоремы 3.1 мы показали, что $\widetilde{Q}_{I}=\widetilde{P}_{I}^{2} \times S^{1}$, то есть имеет структуру прямого произведения. Нетрудно видеть, что аналогичную структуру имеет и кусок $Q_{I}$, т. е. $Q_{I}=P_{I}^{2} \times S^{1}$. Однако в этом случае сечение $P_{I}^{2}$ удобно задать уравнением $x-k y=0$.

Легко проверяется, что при таком подходе накрытие $\rho: Q_{I} \rightarrow \widetilde{Q}_{I}$ будет согласовано со структурой прямого произведения. А именно, на первом сомножителе – это диффеоморфизм
\[
\rho: P_{I}^{2} \rightarrow \widetilde{P}_{I}^{2},
\]

а на втором сомножителе (т.е. на окружности) – отображение $m$-кратной намотки $S^{1}$ на $S^{1}$.

Отсюда сразу следует, что структура слоений Лиувилля на $Q_{I}^{3}$ и $\widetilde{Q}_{I}^{3}$ – одна и та же, и задается уже знакомой нам молекулой $W(g)$.

Аналогичные рассуждения справедливы, конечно, и для остальных 3-кусков $Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$. Таким образом, слоение Лиувилля на изоэнергетической поверхности $Q$ склеивается из четырех кусков, на каждом из которых оно устроено точно так же, как и в случае глобально лиувиллевой метрики $\widetilde{s}^{2}$. Поэтому полная молекула $W$ без учета меток имеет требуемый в теореме вид. Более того, все метки, отвечающие внутренним ребрам подграфов $W(f)$ и $W(g)$, точно такие же, как и в случае теоремы 3.1 (т. е. как и в случае глобально лиувиллевых метрик). Отличия появятся лишь для $r$-меток и $\varepsilon$-меток на четырех ребрах $a, b, c, d$, а также для меток вида $n$.

Чтобы определить оставшиеся метки, нам нужны допустимые системы координат на торах $T_{a}^{2}, T_{b}^{2}, T_{c}^{2}, T_{d}^{2}$, а также соответствующие им матрицы склейки. Возьмем кусок $Q_{I}^{3}$ и два его граничных тора $T_{a}^{2}, T_{b}^{2}$. Точно так же, как и при доказательстве теоремы 3.1 , в качестве базисных циклов на этих торах мы должны взять слой тривиального $S^{1}$-расслоения на $Q_{I}^{3}$ и границу глобального сечения $P_{I}^{2}$. Легко видеть, что в рассматриваемом случае этими циклами снова являются поднятия с тора $T^{2}$ циклов, отвечающих базисным элементам $e_{1}, e_{2}$ решетки $\Gamma$. Будем считать, что $\lambda$ – это поднятие цикла $e_{1}$, а $\mu$ – поднятие цикла $e_{2}$. Тогда из нашей конструкции следует, что допустимыми системами координат являются следующие пары: на торе $T_{a}^{2}-$ это $(\lambda, \mu)$, а на торе $T_{b}^{2}-$ это $(\lambda,-\mu)$. Смену знака у цикла $\mu$ мы уже комментировали выше при доказательстве теоремы 3.1.

Совершенно аналогично на двух торах $T_{c}^{2}, T_{d}^{2}$, являющихся граничными торами 3 -куска $Q_{I I}^{3}$, допустимыми системами координат будут соответетвенно $(-\lambda, \mu)$ и $(-\lambda,-\mu)$.
Рассуждения для двух оставшихся кусков $Q_{I I I}^{3}$ и $Q_{I V}^{3}$ аналогичны, однако здесь вместо базиса решетки $\left(e_{1}, e_{2}\right)$ нужно рассмотреть базис $\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right)$, где
\[
e_{1}^{\prime}=m \tilde{e}_{2}, \quad e_{2}^{\prime}=\widetilde{e}_{1}+k^{\prime} \widetilde{e}_{2},
\]

где $k^{\prime}$ – это целое число, однозначно определяемое из условия $k^{\prime} k=1(\bmod m)$, и $0<k^{\prime}<m$. Тогда на торах $T_{a}^{2}$ и $T_{c}^{2}$, как на граничных торах куска $Q_{I I I}^{3}$, в качестве допустимых систем координат можно взять $\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ и ( $\left.\lambda^{\prime},-\mu^{\prime}\right)$, по аналогии с предыдущим. На торах $T_{b}^{2}$ и $T_{d}^{2}$, как на граничных торах куска $Q_{I V}^{3}$, в качестве допустимых систем координат можно взять $\left(-\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ и $\left(-\lambda^{\prime},-\mu^{\prime}\right)$ соответственно. См. рис.3.14. Все циклы $\lambda, \mu, \lambda^{\prime}, \mu^{\prime}$ явно выражаются через базис $\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}$ :
\[
\lambda=m \widetilde{e}_{1}, \mu=\widetilde{e}_{2}+k \widetilde{e}_{1} \quad \text { и } \quad \lambda^{\prime}=m \widetilde{e}_{2}, \mu^{\prime}=\widetilde{e}_{1}+k^{\prime} \widetilde{e}_{2} .
\]

Теперь можно вычислить матрицы склейки для лиувиллева слоения в $Q^{3}$. Они легко пишутся при помощи указанных формул для циклов. В результате получается следующее. На торах $T_{a}^{2}, T_{d}^{2}$ матрицы склейки такова:
\[
\left(\begin{array}{cc}
-k & m \\
p & k^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

На торах $T_{b}^{2}, T_{c}^{2}$ матрицы склейки таковы:
\[
\left(\begin{array}{cc}
k & m \\
p & -k^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Рис. 3.14
Отсюда следует, что $r$-метки и $\varepsilon$-метки на ребрах $a, b, c, d$ такие, как показано на рис. 3.8.

Осталось найти метки $n$. В данном случае имеются ровно четыре семьи, отвечающих двум подграфам $W(f)$ и двум подграфам $W(g)$ или, что то же самое, четырем кускам $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$. Рассмотрим, например, кусок $Q_{I}$. На всех входящих в него ребрах, кроме ребер а и $b$, матрицы склейки очень простые. На внутреннем ребре молекулы, соединнющем пару седловых атомов, матрица имеет вид:
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),
\]

а на внешнем ребре молекулы, соединяющем седловой атом и атом типа $A$, матрица склейки такова:
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Видно, что такие матрицы склейки никакого вклада в $n$-метку не дают (см. определение $n$-метки). Вклад дают только матрицы склейки на ребрах $a$ и $b$, указанные выше. Следовательно, метка $n$ вычисляется по формуле (см. определение выше):
\[
n=\left[\frac{k}{m}\right]+\left[-\frac{k}{m}\right]=-1
\]

Аналогичные рассуждения проходят и для остальных трех семей. В результате получаем, что на всех четырех семьях метка $n$ равна – 1 . Теорема 3.2 доказана.

КоммЕНТАРий. Мы столкнулись здесь с весьма интересным классом интегрируемых систем, топологические инварианты которых могут, оказывается, иметь $r$-метки произвольного вида $\frac{k}{m}$. Подчеркнем, что обычно в интегрируемых системах встречаются только очень простые $r$-метки $0, \frac{1}{2}, \infty$.