Классический случай Лагранжа – это система с гамильтонианом (1.13). Заменой координат в $\mathbb{R}^{6}(S, R)$ этот гамильтониан можно привести к виду
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+R_{3} .
\]

Известны различные обобщения случая Лагранжа. Например, можно рассматривать гамильтониан с квадратичным потенциалом
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+R_{3}^{2}
\]

или добавить гиростатический момент
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+\lambda S_{3}+R_{3} .
\]

Мы будем рассматривать гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+V\left(R_{3}\right),
\]

где $V(x)$ – некоторая гладкая функция на отрезке $[-1,1]$. Для гамильтониана (4.1) дополнительный интеграл, как и для обычного случая Лагранжа, имеет вид $K=S_{3}$.

Рассмотрим отображение момента $\mathcal{F}=H \times K: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(h, k)$, где $H$ гамильтониан (4.1). Найдем критические точки этого отображения. Фиксируем значение $S_{3}=k$ и будем искать критические точки функции $H_{g, k}=\left.H\right|_{P^{3}}$, где $P^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, K=k\right\}$. Поверхность $P^{3}$ будет неособой при $k
eq \pm g$. Мы исключим пока из рассмотрения случай $k= \pm g$. Критические точки функции $H_{g, k}$ находятся из условия:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{grad} H & =\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2}+\lambda_{3} \operatorname{grad} K, \\
f_{1} & =1, \quad f_{2}=g, \quad K=k .
\end{aligned}
\]

Обозначив $R_{3}$ через $x$, выразим все неизвестные системы (4.2). Получим:
\[
\begin{array}{lll}
R_{1}=\sqrt{1-x^{2}} \cos t, & R_{2}=\sqrt{1-x^{2}} \sin t, & R_{3}=x, \\
S_{1}=\frac{g-k x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cos t, & S_{2}=\frac{g-k x}{\sqrt{1-x^{2}}} \sin t, & S_{3}=k, \\
\lambda_{1}=-\frac{(g-k x)^{2}}{2\left(1-x^{2}\right)^{2}}, & \lambda_{2}=\frac{g-k x}{1-x^{2}}, & \lambda_{3}=\frac{k}{\beta}-x \frac{g-k x}{1-x^{2}},
\end{array}
\]

где $t$ – некоторый параметр, а $x$ удовлетворяет условию
\[
V^{\prime}(x)+\frac{(g-k x)(g x-k)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=0, \quad|x|<1 .
\]

Здесь через $V^{\prime}(x)$ обозначена производная функции $V(x)$ в точке $x$.
При каждом фиксированном $x$, удовлетворяющем (4.4), условия (4.3) определяют ровно одну критическую окружность функции $H_{g, k}=\left.H\right|_{P^{3}}$. Значение функции $H_{g}, k$ в точках этой окружности равно
\[
W_{g, k}(x)=\frac{(g-k x)^{2}}{2\left(1-x^{2}\right)}+\frac{k^{2}}{2 \beta}+V(x),
\]

а условие (4.4) можно переписать в виде
\[
W^{\prime}(x)=0, \quad|x|<1 .
\]

Таким образом, критические окружности функции $H_{g, k}$ параметризованы критическими точками функции $W_{g, k}(x)$. Функция $W_{g, k}$ является аналогом приведенного потенциала. См. [178]. Проекции торов Лиувилля на сферу Пуассона определяются в данном случае условием $W_{g, k}\left(R_{3}\right) \leqslant h$.

Следуя описанному выше алгоритму, можно определить индексы критических окружностей (4.3) функции $H_{g}, k$. Для этого, в соответствии со схемой вычислений, изложенной в параграфе 1 , мы выпишем матрицу $G=G_{H}-\lambda_{1} G_{1}$ – $\lambda_{2} G_{2}-\lambda_{3} G_{K}$, где $G_{H}, G_{1}, G_{2}, G_{K}$ – гессианы функций $H, f_{1}, f_{2}, K$, а затем ограничим форму, определяемую этой матрицей, на подпространство, ортогональное векторам $\operatorname{grad} f_{1}, \operatorname{grad} f_{2}, \operatorname{grad} K$. См. лемму 5.1. Матрица $G$ имеет в данном случае вид:
\[
\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & -\lambda_{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -\lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \beta_{1}^{-1} & 0 & 0 & -\lambda_{2} \\
-\lambda_{2} & 0 & 0 & -2 \lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & -\lambda_{2} & 0 & 0 & -2 \lambda_{1} & 0 \\
0 & 0 & -\lambda_{2} & 0 & 0 & V^{\prime \prime}(x)-2 \lambda_{1}
\end{array}\right),
\]

где $\lambda_{1}=-\frac{(g-k x)^{2}}{2\left(1-x^{2}\right)^{2}}, \lambda_{2}=\frac{g-k x}{1-x^{2}}$, а $V^{\prime \prime}(x)$ – это вторая производная функции $V(x)$ в точке $x$. Градиенты функций $f_{1}, f_{2}, K$ в критических точках (4.3) равны
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad} f_{1}=\left(0,0,0,2 \sqrt{1-x^{2}} \cos t, 2 \sqrt{1-x^{2}} \sin t, 2 x\right), \\
\operatorname{grad} f_{2}=\left(\sqrt{1-x^{2}} \cos t, \sqrt{1-x^{2}} \sin t, x, \frac{g-k x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cos t, \frac{g-k x}{\sqrt{1-x^{2}}} \sin t, k\right), \\
\operatorname{grad} K=(0,0,1,0,0,0) .
\end{array}
\]

Базис в подпространстве, ортогональном градиентам (4.6), можно задать, например, в виде
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=(\sin t,-\cos t, 0,0,0,0), \\
e_{2}=(0,0,0, \sin t,-\cos t, 0), \\
e_{3}=\left(\frac{k-g x}{1-x^{2}} \cos t, \frac{k-g x}{1-x^{2}} \sin t, 0, x \cos t, x \sin t,-\sqrt{1-x^{2}}\right) .
\end{array}
\]

Вычисляя значения $G\left(e_{i}, e_{j}\right)$, получаем следующую матрицу:
\[
\widetilde{G}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & \frac{k x-g}{1-x^{2}} & 0 \\
\frac{k x-g}{1-x^{2}} & \frac{(k x-g)^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} & 0 \\
0 & 0 & \left(1-x^{2}\right) W_{g, k}^{\prime \prime}(x)
\end{array}\right) .
\]

Ее собственные значения равны:
\[
\mu_{1}=0, \quad \mu_{2}=1+\frac{(g-k x)^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}, \quad \mu_{3}=\left(1-x^{2}\right) W_{g, k}^{\prime \prime}(x) .
\]

Нулевое собственное значение $\mu_{1}$ соответствует вырождению гессиана функции $H_{g, k}$ вдоль направления, касательного к критической окружности. Собственное значение $\mu_{2}$ всегда положительно, а знак собственного значения $\mu_{3}$ совпадает со знаком производной $W_{g, k}^{\prime \prime}(x)$, так как $|x|<1$. Таким образом, критические окружности функции $H_{g}, k$ могут быть либо седловыми, либо минимальными. Так как критическая окружность определяется условием (4.5), то отсюда следует, что седловым окружностям соответствуют локальные максимумы, а минимальным окружностям – локальные минимумы функции $W_{g, k}(x)$ на интервале $(-1,1)$. Это позволяет описать бифуркационные диаграммы для произвольного гамильтониана вида (4.1). Мы ограничимся здесь лишь описанием тех гамильтонианов, для которых молекула $W$ имеет наиболее простой вид.
Предложение 5.3. Пусть $H$ – гамильтониан вида (4.1), то есть обобщенный случай Лагранжа, где $V(x)$ – некоторая гладкая функция на отрезке $[-1,1]$. Предположим, что для любых значений $x \in(-1,1)$ верно неравенство
\[
V^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 .
\]

Тогда на всех неособых изоэнергетических 3-поверхностях $Q=\left\{f_{1}=1\right.$, $\left.f_{2}=g, H=h\right\}$ дополнительный интеграл Лагранжа $K=S_{3}$ является боттовским. Причем в этом случае интеграл $K$ на всех критических окружностях в $Q$ будет достигать либо локального минимума, либо локального максимума, т.е. не будет седловых окружностей.
КоммЕНТАРий. Впрочем, условие $V^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ не следует рассматривать как необходимое для боттовости интеграла $K$. Дело в том, что в случае, когда $V^{\prime \prime}(x)<0$, ничего плохого на самом деле не происходит. Просто в этом случае могут появиться седловые критические окружности интеграла $K$ на $Q$. При этом интеграл $K$ все равно будет боттовским на почти всех 3 -поверхностях $Q_{h}$.
Доказательство.
Нам нужно доказать, что для всех неособых изоэнергетических 3 -поверхностей $Q=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$ критическими поверхностями уровня функции $\left.K\right|_{Q}$ могут быть лишь невырожденные окружности, на которых реализуется либо минимум, либо максимум интеграла $K$. Легко понять, что эти же окружности являются критическими окружностями для рассмотренных выше функций $H_{g, k}$ при некоторых $g$ и $k$, т.е. для ограничений функции $H$ на 3 -поверхности $\{K=$ const $\}$. Легко видеть, что одну и ту же окружность можно рассматривать как критическую для ограничения $H$ на 3 -поверхность $\{K=$ const $\}$ и в то же время, как критическую для ограничения функции $K$ на 3 -поверхность $\{H=$ const $\}$. При этом свойство критической окружности быть невырожденной и иметь тот или иной индекс, является инвариантным, т. е. тип критической окружности не зависит от того, какую функцию мы рассматриваем. Другими словами, функцию $H$ на $\{K=$ const $\}$ или же функцию $K$ на $\{H=$ const $\}$. Дело в том, что при вычислении индексов этих окружностей мы в обоих случанх ограничиваем на одно и то же трехмерное подпространство соответствующие формы, отличающиеся лишь на ненулевой множитель. Поэтому вместо функции $K$ можно рассмотреть функцию $H_{g, k}$, т. е. $H$, ограниченную на $\{K=$ const $=k\}$. Но для этой функции все вычисления уже проведены выше. Были найдены собственные значения гессиана:
\[
\mu_{1}=0, \quad \mu_{2}=1+\frac{(g-k x)^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}, \quad \mu_{3}=\left(1-x^{2}\right) W_{g, k}^{\prime \prime}(x) .
\]

Отсюда видно, что $\mu_{2}$ всегда положительно, а знак собственного значения $\mu_{3}$ полностью определяется знаком $W_{g, k}^{\prime \prime}(x)$. Вычислим знак выражения $W_{g, k}^{\prime \prime}(x)$.
Для этого введем следующие обозначения: $p=\frac{g+k}{2}, q=\frac{g-k}{2}$. Тогда
\[
W_{g, k}=\frac{p^{2}}{1+x}+\frac{q^{2}}{1-x}+V(x)+\frac{k^{2}(1-\beta)}{2 \beta} .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
W_{g, k}^{\prime}(x)=-\frac{p^{2}}{(1+x)^{2}}+\frac{q^{2}}{(1-x)^{2}}+V^{\prime}(x), \\
W_{g, k}^{\prime \prime}(x)=\frac{2 p^{2}}{(1+x)^{3}}+\frac{2 q^{2}}{(1-x)^{3}}+V^{\prime \prime}(x) .
\end{array}
\]

Поскольку $x \in(-1,1)$, то при условии, что $V^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$, сразу получаем, что и $W_{g, k}^{\prime \prime}(x)>0$. Тем самым, собственные значения $\mu_{2}$ и $\mu_{3}$ оба положительны. Следовательно, интеграл $K$ действительно является боттовским, причем его критические окружности невырождены и интеграл достигает на них либо минимума, либо максимума. Предложение доказано.
Гамильтониан обычного, т.е. классического случая Лагранжа является частным случаем гамильтониана (4.1), когда $V(x)$ – линейная функция. Тогда $V^{\prime \prime}(x)=0$, т. е. условие (4.7) выполнено. Поэтому справедливо утверждение предложения 5.3. Отсюда вытекает, что изменение топологии лиувиллева слоения на $Q_{h}$ может произойти только в тот момент, когда само изоэнергетическое 3 -многообразие $Q_{h}$ меняется свой топологический тип при изменении $h$. Таким образом, внутри каждой зоны (области) из пока-
Рис. 5.29 занных на рис. 5.4 молекула $W$ одна и та же, т. е. лиувиллево слоение имеет один и тот же топологический тип.
На рис. 5.29 приведено несколько возможных – при различных значениях $g$ и $\beta$ – бифуркационных диаграмм отображения $H \times K$ для гамильтониана классического случая Лагранжа
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+R_{3} .
\]

Жирными точками на рис. 5.29 обозначены образы двух точек $(0,0, \pm g, 0$, $0, \pm 1)$. Это – те точки, где гамильтониан $H$ и интеграл $K$ одновременно имеют особенность. Таких точек ровно две.

Отметим важное и полезное свойство бифуркационных диаграмм классического случая Лагранжа. Напомним, что на самом деле здесь важно лишь выполнение условия $V^{\prime \prime} \geqslant 0$. Оказывается, каждая такая диаграмма однозначно проектируется на ось $k$ за исключением, конечно, изолированной точки бифуркационной диаграммы. В самом деле, формулы (4.3) показывают, что бифуркационная диаграмма задается следующим уравнением: $h=W_{g, k}(x)$, где $x$ – это решение уравнения $W_{g, k}^{\prime}(x)=0$. Поскольку $W_{g, k}^{\prime \prime}(x)>0$, то функция $W_{g, k}^{\prime}(x)$ является монотонно возрастающей. См. об этом выше. Кроме того, функция $W_{g, k}^{\prime}(x)$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, что следует из ее явного вида. См. выше. Поэтому решение $x$ всегда существует и находится из уравнения однозначно.
Теорема 5.3. В классическом случае Лагранжа молекула $W$ имеет вид $A-A$ для любой связной компоненты $Q_{h}^{3}$. Изоэнергетические 3-поверхности $Q$ имеют здесь следующие типы: сфера $S^{3}$, проективное пространство $\mathbb{R} P^{3}$ и прямое произведение $S^{1} \times S^{2}$. Метка $r$ на ребре молекулы $W^{*}$ зависит от топологического типа $Q$. Меченая молекула имеет вид:
a) $A-A$, где $r=0$ для $S^{3}$, обозначим эту молекулу $\mathcal{L}_{1}^{*}$,
б) $A-A$, где $r=1 / 2$ для $\mathbb{R} P^{3}$, обозначим эту молекулу $\mathcal{L}_{2}^{*}$,
в) $A \longrightarrow A$, где $r=\infty$ для $S^{1} \times S^{2}$, обозначим эту молекулу $\mathcal{L}_{3}^{*}$.
$B$ случае $S^{3}$ и $\mathbb{R} P^{3}$ метка $\varepsilon$ зависит выбора ориентации $Q$, поэтому без ограничения общности можно считать, что здесь $\varepsilon=+1$. В случае $S^{1} \times S^{2}$ метка $\varepsilon$ равна -1. Отметим, что метки п здесь нет. Тем самым, получена полная лиувиллева классификация интегрируемых систем классического случая Лагранжа. С.м. таблииу 5.1.

Доказательство.
Поскольку, согласно предложению 5.3, седловых критических окружностей нет, то молекула $W$ для каждой связной компоненты изоэнергетической 3 -поверхности имеет вид $A-A$. Метка $r$ вычисляется при помощи предложения 4.3 главы 4 тома 1 . Осталось подсчитать метку $\varepsilon$ для случая, когда $Q$ диффеоморфно $S^{1} \times S^{2}$. Здесь $Q$ склеено из двух полноторий, осями которых являются две критические окружности минимума или максимума интеграла. Отметим, что они естественным образом включаются в семейство окружностей, расслаивающих $S^{1} \times S^{2}$, причем все эти окружности лежат на торах Лиувилля. Более того, эти расслаивающие окружности можно считать орбитами гамильтонова действия поля $\operatorname{sgrad} K$ на $Q$. Чтобы подсчитать $\varepsilon$, нужно, следовательно, сравнить поля $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} K$ на двух критических окружностях, т.е. на осях полноторий. Утверждается, что $\varepsilon=-1$. В самом деле, на критических окружностях можно записать соотношение $\operatorname{sgrad} K=\lambda_{i} \operatorname{sgrad} H$, где $i=1,2$ – номер окружности. Оказывается, числа $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ имеют разные знаки. Это и означает, что $\varepsilon=-1$. Здесь нужно использовать описанное выше свойство бифуркационной диаграммы случая Лагранжа. А именно, что она однозначно проектируется на ось $k$, то есть является графиком некоторой непрерывной функции $h=h(k)$. На рис. 5.30 ясно видно, что, если мы проведем отрезок $h=$ const, то в точках его пересечения с бифуркационной диаграммой касательные векторы к ней направлены в разные стороны, точнее, один направлен вверх, т. е. вдоль оси $k$, а второй направлен вниз. Заметим далее, что числа $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ допускают следующую интерпретацию: они являются тангенсами угла наклона этих касательных векторов к оси $h$. См. рис. 5.30. Следовательно, у них разные знаки, что и требовалось доказать. Теорема полностью доказана.
Рис. 5.30
Можно рассмотреть также гамильтонианы обобщенного случая Лагранжа вида
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+\lambda S_{3}+V\left(R_{3}\right) .
\]

Следствие. Утверждение теоремы 5.3 справедливо и для гамильтонианов (4.8).
Доказательство.
Заметим, что гамильтониан (4.8) является линейной комбинацией гамильтониана (4.1)
и интеграла $K=S_{3}$. Поэтому отображение момента $H \times K$ для гамильтониана (4.8) есть композиция отображения момента $H \times K$ для гамильтониана (4.1) и линейного отображения плоскости $\mathbb{R}^{2}(h, k)$ в себя с матрицей
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Поскольку невырожденное линейное преобразование не меняет индексов критических окружностей, то все молекулы $W^{*}$ будут иметь тот же вид, что и в теореме 5.3. Метка $r$ вычисляется здесь совершенно так же, как в теореме 5.3. Рассуждения при вычислении метки $\varepsilon$ также остаются справедливыми, поскольку сохраняется основное свойство бифуркационной диаграммы, которое мы использовали, а именно, однозначная проектируемость на ось $k$. Следствие доказано.

Теорема 5.4. Изолированная точка бифуркационной диаграммы для случая Лагранжа (в тех случаях, когда она имеется, т.е. при $g^{2}<4$ ) отвечает единственной особенности типа фокус-фокус в $M_{1, g}^{4}$. В 4-многообразии $M_{1, g}^{4}$ эта единственная особая точка имеет координаты $(0,0, g, 0,0,1)$. Ее инвариант, то есть круговая молекула $W^{*}$, является окружностью, снабженной матрицей монодромии
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Доказательство.
В доказательстве нуждается лишь факт невырожденности особенности, отвечающей такой изолированной точке. В невырожденном случае такая особенность обязательно имеет тип фокус-фокус. Кроме того, нужно вычислить число таких критических точек на особом слое отображения момента. Окажется, что точка одна. В самом деле, две особые точки вида $(0,0, \pm g, 0,0, \pm 1$ ) лежат на разных уровнях интеграла $K=S_{3}$, поскольку в них $K=S_{3}= \pm g$. Следовательно, на уровне $K=S_{3}=g$ лежит ровно одна особая точка, что и требовалось доказать. Докажем теперь, что эта точка действительно имеет тип фокус-фокус.

Нужно доказать невырожденность особой точки. Для этого достаточно показать, что собственные значения линеаризованной системы в этой особой точке являются комплексными числами вида
\[
a+i b, a-i b,-a+i b, \quad-a-i b,
\]

причем $a$ и $b$ отличны от нуля. В частности, это означает, что все четыре собственных числа различны.

Рассмотрим систему Эйлера-Пуассона для случая Лагранжа с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+R_{3} .
\]

Она имеет вид:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{S}_{1}=S_{2} S_{3}\left(1-\beta^{-1}\right)-R_{2}, & \dot{R}_{1}=S_{2} R_{3}-S_{3} R_{2} \beta^{-1}, \\
\dot{S}_{2}=-S_{1} S_{3}\left(1-\beta^{-1}\right)+R_{1}, & \dot{R}_{2}=-S_{1} R_{3}+S_{3} R_{1} \beta^{-1}, \\
\dot{S}_{3}=0, & \dot{R}_{3}=S_{1} R_{2}-S_{2} R_{1} .
\end{array}
\]

Рассмотрим линеаризацию этой системы в точке $(0,0, g, 0,0,1)$. Прежде чем записывать матрицу линеаризованной системы, выберем в окрестности указанной точки на орбите, то есть на $M_{1, g}^{4}$, в качестве локальных координат переменные $S_{1}, S_{2}, R_{1}, R_{2}$. Тогда матрица системы будет, оказывается, иметь вид $4 \times 4$ :
\[
\left(\begin{array}{cccc}
0 & g-\frac{g}{\beta} & 0 & -1 \\
-g+\frac{g}{\beta} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{g}{\beta} \\
-1 & 0 & \frac{g}{\beta} & 0
\end{array}\right) .
\]

Собственные значения этой матрицы имеют следующий вид:
\[
a+i b, a-i b,-a+i b, \quad-a-i b,
\]

где $a=\frac{\sqrt{4-g^{2}}}{2}, b=g\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\beta}\right)$, см. [149]. При условии, сформулированном в теореме, т.е. при $g^{2}<4$, числа $a$ и $b$ вещественны. В том случае, когда $a$ и $b$ отличны от нуля, все четыре собственные числа действительно различны, а следовательно, особенность невырождена и имеет тип фокус-фокус.

Конечно, при некоторых значениях $g$ и $\beta$ собственные числа становятся кратными. Так будет при $g=0, \pm 2$ или при $\beta=2$. При $g= \pm 2$ изолированная точка бифуркационной диаграммы оказывается на границе образа отображения момента. См. рис. $5.29 \mathrm{~d}$. В момент попадания на эту границу точка становится вырожденной, а затем, по мере роста $g$, т. е. как только $|g|$ становится больше 2 , точка меняет свой тип с фокус-фокус на центр-центр. См. рис. 5.29c.

При $g=0$ и при $\beta=2$ происходит следующее. Гамильтониан $H$, конечно, меняется, но с точки зрения лиувиллева слоения ничего существенного, оказывается, не происходит. А именно, тип особенности сохраняется. Это вытекает из того, что в нашем рассуждении мы можем заменить гамильтониан $H$ на линейную комбинацию вида $H+\lambda K$. Для такого нового гамильтониана все собственные числа вновь станут различными, и мы возвращаемся в предыдущую ситуацию общего положения.

Осталось найти матрицу монодромии. Как следует из теоремы 9.11 (том 1), она действительно имеет вид, указанный в теореме, поскольку на особом слое лиувиллева слоения в $M_{1, g}^{4}$ лежит ровно одна особая точка типа фокус-фокус. Теорема доказана.