Априори, гладкие интегрируемые гамильтоновы системы могут иметь очень сложную топологическую стуктуру. Цель данного параграфа – показать, что если система имеет «не очень сложную» топологическую структуру, то малым возмущением в слабой метрике эту систему можно сделать боттовской на заданном уровне гамильтониана.
Теорема 2.2. Пусть $U \subset M^{4}$ – область, в которой существует периодический интеграл $F$ системы $v=\operatorname{sgrad} H$. Пусть $h$ – регулярный уровень гамильтониана. Тогда для любой области $U_{1}$, такой, что ее замыкание лежит в $U$, можно мало возмутить $H$ так, что:
1) $\widetilde{H}=H$ вне $U$,

2) система $v=\operatorname{sgrad} \tilde{H}$ на уровне гамильтониана $\{\tilde{H}=h\}$ в области его пересечения с $U_{1}$ имеет только невырожденные окружности относительно $F$.
Таким образом, локально при условии существования периодического интеграла можно избавиться от вырожденных особенностей.
Доказательство.
Очевидно, что достаточно доказать утверждение теоремы для окрестности одной из замкнутых траекторий векторного поля $\operatorname{sgrad} F$. Идея доказательствавозмущать гамильтониан так, чтобы он оставался инвариантным относительно потока поля $\operatorname{sgrad} F$. Это, как и в доказательстве теоремы 2.1, будет обеспечивать интегрируемость возмущенной системы. Основная сложность, которая здесь может возникнуть, заключается в том, что среди траекторий поля $\operatorname{sgrad} F$ могут найтись особые, на которые наматываются остальные. Окрестность такой траектории не расслаивается поэтому на окружности.
Рассмотрим диффеоморфизм $\sigma: R^{3} \rightarrow R^{3}$, удовлетворяющий трем условиям:
1) Существует натуральное $N$ такое, что $\sigma^{N}=$ id;
2) $\sigma_{*} z=z$, где $z$ – одна из координатных функций;
3) Точка $s$ с координатами $x(s)=y(s)=0$ неподвижна.

Теорема 2.3. Пусть $\sigma-$ диффеоморфизм $c$ указанными свойствами, $u$ пусть $L=\{x=y=0\}$. Тогда можно ввести гладкие цилиндрические координаты на $R^{3} \backslash L(\rho, \phi, z)$ такие, что в этих координатах диффеоморфизм $\sigma$ станет поворотом на угол $\frac{2 \pi p}{q}$.
Доказательство.
На каждой плоскости $z=z_{0}$ у $\sigma$ имеется неподвижная точка $s$ с координатами $\left(0,0, z_{0}\right)$. Рассмотрим $A\left(z_{0}\right)=d\left(\left.\sigma\right|_{z=z_{0}}\right)$ в точке $s$. Так как $\sigma^{N}=\mathrm{id}$, то $A\left(z_{0}\right)^{N}=E$. Следовательно, собственные числа оператора $A\left(z_{0}\right)$ являются корнями из единицы степени $n \leqslant N$ и не зависят от $z_{0}$. Можно считать, сделав в каждой плоскости $z=z_{0}$ линейное преобразование, что
\[
A\left(z_{0}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \psi & \sin \psi \\
-\sin \psi & \cos \psi
\end{array}\right) .
\]

Тогда диффеоморфизм $\sigma$ – это поворот на угол $\psi$ с точностью до $O\left(x^{2}+y^{2}\right)$.
Рассмотрим функцию
\[
\rho^{2}=f+\sigma_{*} f+\sigma_{*}^{2} f+\ldots+\sigma_{*}^{(N-1)} f,
\]

где $f=\left(x^{2}+y^{2}\right)$. Ясно, что $\left.\rho^{2}\right|_{z=z_{0}}$ – морсовская функция, инвариантная относительно $\sigma$. Осталось построить функцию $\phi$. Сначала докажем лемму.
Лемма 2.2. Если $\rho(w)^{2}
eq 0$ достаточно мало, то $n-$ минимальный период точки $w$.

Доказательство леммы.
Орбита точки $w$ лежит на окружности $\{\rho=\rho(w)\}$. Пусть $\phi_{1}=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-$ многозначная функция. Ясно, что $\sigma$ с точностью до $O\left(x^{2}+y^{2}\right)$ – это преобразование $\rho^{\prime}=\rho, \phi_{1}^{\prime}=\phi_{1}+2 \pi\left(\frac{k}{n}\right)$, где $k$ и $n$ взаимно просты. Поэтому орбита точки состоит уже по крайней мере из $n$ точек. Осталось показать, что их ровно $n$. Пусть $\sigma^{n}(w)
eq w$. Для всех точек, достаточно близких к неподвижной точке, однозначно определена функция отклонения $\xi(w)=\phi_{1}\left(\sigma^{n}(w)\right)=\phi_{1}(w)$.
1. Предположим, что существует такая точка $w^{\prime}$, что $\rho\left(w^{\prime}\right)>0$ и $\xi\left(w^{\prime}\right)=0$, но $\xi$ не равно нулю на всей окружности (иначе все доказано). Пусть $O=\{\rho=$ $\left.=\rho\left(w^{\prime}\right)\right\}$, и $O_{+}=\{w \in O \mid \xi(w)>0\}$ – не пусто (иначе рассмотрим $O_{-}$). Подмножество $O_{+} \subset O$ открыто и не совпадает со всем $O$. Можно считать, что точка $w^{\prime}$ лежит на границе $O_{+}$, причем так, что связная компонента $O_{+}$лежит «справа» от $w^{\prime}$. То есть функция $\phi_{1}\left(O_{+}\right)>\phi_{1}\left(w^{\prime}\right)$. Вблизи точки $w^{\prime}$, на множестве $O_{+}$, функция $\xi$ мала, но положительна. Тогда можно найти точку $w \in O_{+}$со сколь угодно большим периодом. Это противоречит условию $\sigma^{N}=\mathrm{id}$.
2. Предположим, что для всех точек $\xi
eq 0$. Поскольку $\xi(z)=O(\rho)$, то снова можно найти точку со сколь угодно большим периодом.
Следовательно, $\xi(w)=0$ для достаточно малых $\rho(w)>0$. Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Положим
\[
\Phi=\phi_{1}+\sigma_{*} \phi_{1}+\ldots+\sigma_{*}^{n-1} \phi .
\]

Функция $\Phi$ имеет приращение $2 \pi n$ при обходе вокруг нуля. Кроме того, $\sigma_{*} \Phi-\Phi=$ $=2 \pi k$. Положим $\phi=\frac{\Phi}{n}$. Теорема 2.3 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 2.2. Пусть П – трехмерная трансверсаль к критической окружности $O$. Рассмотрим для системы $\operatorname{sgrad} F$ отображение последования $\sigma$ на П. Отметим, что $F$ и $H$, ограниченные на П регулярны. Пусть $(x, y, H)$ – координаты на П, построенные по теореме 2.3 для отображения последования $\sigma$. Чтобы функция $w$, определенная на П, продолжалась до функции, коммутирующей с $F$, необходимо и достаточно потребовать инвариантности $w$ относительно поворотов на угол $\frac{2 \pi k}{n}$ для некоторых $k, n$ в плоскости $H=h$. Будем возмущать $H$ в классе инвариантных функций. Ясно, что можно так инвариантно возмутить $H$, чтобы ограничение $F$ на поверхность $\widetilde{H}=\mathrm{const}$ имело бы только морсовские особенности. Теорема 2.2 доказана.

Приведем без доказательства теорему, которая показывает, что «геометрическая простота» системы влечет за собой условие существования периодического интеграла, см. [7].
Теорема 2.4. Пусть для системы $\operatorname{sgrad} H$ с интегралом $F$ выполняются условия:
(i) Для всех $h, \alpha<h<\beta$ на $Q_{h}$ все критические множества $F$ являются двумерными торами, бутылками Клейна и окружностями. К окружностям могут приклеиваться кольца.

(ii) Бифуркационная диаграмма состоит из объединения непрерывных кривых $f=w_{i}(h)$.
Тогда для любого $h, \alpha<h<\beta, \varepsilon>0$, найдется $h_{0},\left|h-h_{0}\right|<\varepsilon$, что в некоторой окрестности критического множества интеграла на $Q_{h_{0}}$ существует периодический интеграл системы $v=\operatorname{sgrad} H$.