Рассмотрим разложение гамильтониана $H$ :
\[
H=\sum_{n=0}^{\infty} H^{(n)} .
\]

В нашем случае $H^{(1)}=0$.
Определение 3.3. Мы будем говорить, что $H$ приведена к нормальной форме с точностью до членов степени $n$, если $\left\{H^{(2)}, H^{(k)}\right\}=0$ при $k \leqslant n$.

Будем считать, что $H=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} G_{j}$, где $\left\{\lambda_{j}\right\}$ – нерезонансный относительно $\left\{G_{j}^{(2)}\right\}$ набор чисел.

Условие того, что $\left\{H^{(2)}, H^{(k)}\right\}=0$ эквивалентно $P_{N} H^{(k)}=H^{(k)}$, поэтому последнее можно считать вторым определением нормальной формы. Это определение линейно инвариантно, то есть при линейной замене координат свойство нормальности сохраняется. Поэтому при приведении к нормальной форме можно не заботиться о том, к какому виду приведена квадратичная часть.

Гамильтониан всегда можно привести к нормальной форме с точностью до членов конечного порядка. Обычно это делается с помощью последовательности симплектических отображений
\[
\phi=\phi_{n} \circ \phi_{n-1} \circ \ldots \circ \phi_{3},
\]

где $\phi_{k}$ нвляется сдвигом вдоль траекторий гамильтонового векторного поля $\operatorname{sgrad} W_{k}$, соответствующему некоторому полиномиальному гамильтониану $W_{k}$. Процесс нормализации можно провести до любого конечного порядка $n$, для любого гладкого гамильтониана.

В случае, когда исходная система допускает дополнительный интеграл, возникает интересное обстоятельство, заключающееся в том, что гамильтониан и дополнительный интеграл приводятся к нормальной форме одновременно.
Теорема 3.4. Пусть гамильтониан $Н$ приведен к нормальной форме с точностью до членов порядка п. Допустим, что оператор $\left\{H^{(2)}, \cdot\right\}$ полупрост. Тогда, если $\{H, F\}=0,\left\{H^{(2)}, F^{(k)}\right\}=0$ при $k \leqslant n$.
Доказательство.
Будем доказывать эту теорему по индукции по $k$. При $k=2$ утверждение очевидно, так как
\[
0=\{H, F\}^{(2)}=\left\{H^{(2)}, F^{(2)}\right\} .
\]

Предположим, что утверждение теоремы верно для всех $k_{0}<k$. Рассмотрим
\[
0=\{H, F\}^{(k)}=\left\{H^{(2)}, F^{(k)}\right\}+\sum_{j=3}^{k}\left\{H^{(j)}, F^{(k-j+2)}\right\} .
\]

Заметим, что в силу предположения индукции,
\[
\left\{H^{(2)},\left\{H^{(j)}, F^{(k-j+2)}\right\}\right\}=0,
\]

следовательно, $\left\{H^{(2)},\left\{H^{(2)}, F^{(k)}\right\}\right\}=0$. В силу полупростоты оператора $\left\{H^{(2)}, \cdot\right\}$, последнее равенство влечет $\left\{H^{(2)}, F^{(k)}\right\}=0$. Теорема доказана.

В рассматриваемом нами случае $H=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} G_{j}$, где $\left\{\lambda_{j}\right\}$ – нерезонансный относительно $\left\{G_{j}^{(2)}\right\}$ набор чисел. Если $H$ приведена к нормальной форме с точностью до членов порядка $n$, то $\left\{R, G_{k}^{(s)}\right\}=0$ (где $R=H^{(2)}$ ), и, следовательно, $\left\{G_{j}^{(2)}, G_{k}^{(s)}\right\}=0$ при $s \leqslant n$ и любых $j, k$. В дальнейшем мы переобозначим $G_{1}$, положив его равным $H$.

Таким образом, для того, чтобы доказать основную теорему, достаточно показать, что гамильтониан $H$ можно привести к нормальной форме целиком. При попытке нормализовать весь гамильтониан возникает проблема со сходимостью последовательности преобразований. Система с нормальным гамильтонианом вполне интегрируема, поэтому если система была изначально неинтегрируемой, то нормализующая последовательность замен заведомо не сходится, см. $[1]$.

Возникает естественный вопрос о том, сходится ли нормализующая последовательность в случае, когда система вполне интегрируема?
Теорема 3.5. Пусть $G_{1}, \ldots, G_{m}$ – полный набор независимых попарно коммутирующих относительно скобки Пуассона вещественно аналитических функций, и $x_{0}$ – невырожденная особая точка. Сделав необходимую линейную замену координат и $G_{j}$, как указано в теореме 3.1, мы считаем, что квадратичные части $G_{j}$ имеют канонический вид. Положим $H=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} G_{j}$, где $\left\{\lambda_{j}\right\}$ – нерезонансный относительно $\left\{G_{j}\right\}$ набор вещественных чисел. Тогда существует силплектическая вещественно-аналитическая замена координат, нормализуюцая $H$, то есть в которой
\[
\left\{H^{(2)}, H\right\}=0 .
\]

Доказательство.
Рассмотрим нормализующую последовательность Х.Ито. Эта последовательность определяется следующим образом. Пусть функция $H=G_{1}$ нормализована с до членов степени $2+d-1$. Мы пишем
\[
G_{1}=G_{1}^{(2)}+G_{1}^{(3)}+\ldots+G_{1}^{(2+d-1)}+\ldots,
\]

где при $j \leqslant 2+d-1, P_{N} G_{1}^{(j)}=G_{1}^{(j)}$. Следующим шагом мы нормализуем $H=G_{1}$ до членов степени $2+2 d-1$ с помощью преобразования
\[
\phi=\exp \left(\operatorname{sgrad}\left(W^{d+2}+W^{d+3}+\ldots+W^{2 d+1}\right)\right),
\]

где $W^{s}$ – однородный многочлен степени s. $W^{s}$ должен удовлетворять двум условиям:
1) Соответствующая последовательность нормализует гамильтониан;
2) $P_{N} W^{s}=0$.
Из первого условия следует, что $W^{s}$ удовлетворяет следующему уравнению:
\[
\left\{G_{1}^{(2)}, W^{l+2}\right\}=-\left(1-P_{N}\right) G_{1}^{l}-\sum_{
u=1}^{l-d}\left\{G_{1}^{
u}, W^{l+2-
u}\right) .
\]

В [3] Х. Ито доказал (см. теорему 3.6 [3]), что указанная последовательность отображений сходится в некоторой окрестности начала координат.

Доказательство сходимости X. Ито использует метод Мозера и занимает около 20-ти страниц. Мы не будем здесь его приводить.

Покажем, что последовательность Х. Ито, определяемая уравнением (2.1) вещественна в случае, когда все функции вещественны.

Обозначим $A^{l}$ – правая часть уравнения (2.1). В силу условия 2 ), а также того, что $H$ нормализована до членов степени $2+d-1$, получаем, что $P_{N} A^{l}=0$. Таким образом, уравнение (2.1) можно рассматривать как линейное уравнение на пространстве $\operatorname{Ker} P_{N}$. Но на этом пространстве оператор $\left\{G_{1}^{(2)}, \cdot\right\}$ обратим по определению оператора $P_{N}$. Следовательно, решение существует и единственно. Но если $H=G_{1}$ изначально было вещественным, то и полученное уравнение и его решение будут вещественными. Следовательно, нормализующая последовательность Х.Ито в вещественном случае вещественна. В силу ее сходимости существование нормализующей замены переменных доказано.

Следовательно, в силу теоремы 3.4 , в полученных координатах $\left\{R, G_{j}\right\}=0$, и, следовательно, функции $H, G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{m}$ являются функциями от $F_{j}$, указанных в теореме 3.1. Как легко заметить, квадратичные формы $F_{j}$ аналитически зависят от $H, G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{m}$.

Следуя Х.Ито, сформулируем теорему единственности:
Теорема 3.6. Пусть $\phi_{1}, \phi_{2}$ – два аналитических симплектоморфизма, приводящие систему к нормальному виду. Тогда отображение $\phi_{1}^{-1} \circ \phi_{2}$ является сдвигом вдоль траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом $K=K\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{m}\right)$.