Пусть $R_{k}, 1 \leqslant k \leqslant m$ обозначает одну из квадратичных форм, указанных в теореме 3.1.
Определение 3.2. Будем говорить, что набор чисел $\left\{\lambda_{k}\right\}_{k=1}^{m}$ нерезонансен относительно $\left\{R_{k}\right\}_{k=1}^{m}$, если набор чисел
\[
i \lambda_{1}, i \lambda_{2}, \ldots, i \lambda_{k_{1}}, \lambda_{k_{1}+1}, \ldots, \lambda_{k_{2}}, i \lambda_{k_{2}+1}, \lambda_{k_{2}+2}, i \lambda_{k_{2}+3}, \lambda_{k_{2}+4}, \ldots, i \lambda_{m-1}, \lambda_{m}
\]

нерезонансен в обычном смысле, то есть линейная комбинация этих чисел с целыми коэффициентами равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.
Лемма 3.1. Пусть $\left\{\lambda_{k}\right\}$ – нерезонансный относительно $\left\{R_{k}\right\}$ набор чисел. Положим
\[
R=\sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} R_{k} .
\]

Тогда если $\{R, P\}=0$ для однородного многочлена $P$, то $P$ является многочленом om $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{m}$.
Доказательство.
Обозначим $V_{n}$ – линейное пространство однородных многочленов степени $n$. Ясно, что $V_{n}=\operatorname{Simm}\left(V_{1}^{\otimes n}\right)$. Тогда $\left\{R_{k}, \cdot\right\}$ является линейным оператором из $V_{n}$ в $V_{n}$. Ниже перечислены собственные векторы операторов ${ }^{1}\left\{R_{k}, \cdot\right\}$, действующих в $V_{1}$.
1) $1 \leqslant k \leqslant k_{1} \cdot \xi_{k}=x_{k}+i y_{k}, \bar{\xi}_{k}=x_{k}-i y_{k}$;
2) $k_{1}<k \leqslant k_{2} . \xi_{k}=x_{k}, \bar{\xi}_{k}=y_{k}$;
3) $k_{2}<k, k-$ нечетно. $\xi_{k}=x_{k+1}+i x_{k}, \bar{\xi}_{k}=y_{k+1}-i y_{k}$;
4) $k_{2}<k, k$ – четно. $\xi_{k}=y_{k+1}+i y_{k}, \bar{\xi}_{k}=x_{k+1}-i x_{k}$.
Черта здесь обозначает не комплексное сопряжение, а то, что векторы $\bar{\xi}_{k}$ и $\xi_{k}$ имеют собственные числа, разные по знаку. Обозначим $\lambda(\xi)$ – собственное число, соответствующее собственному вектору $\xi$ оператора $R$. Тогда
1) $1 \leqslant k \leqslant k_{1} \cdot \lambda\left(\xi_{k}\right)=i \lambda_{k}, \lambda\left(\bar{\xi}_{k}\right)=-i \lambda_{k}$;
2) $k_{1}<k \leqslant k_{2} \cdot \lambda\left(\xi_{k}\right)=\lambda_{k}, \lambda\left(\bar{\xi}_{k}\right)=-\lambda_{k}$;
3) $k_{2}<k, k-$ нечетно. $\lambda\left(\xi_{k}\right)=i \lambda_{k}-\lambda_{k+1}, \lambda\left(\bar{\xi}_{k}\right)=-i \lambda_{k}+\lambda_{k+1}$;
4) $k_{2}<k, k$ – четно. $\lambda\left(\xi_{k}\right)=i \lambda_{k}+\lambda_{k+1}, \lambda\left(\bar{\xi}_{k}\right)=-i \lambda_{k}-\lambda_{k+1}$.
Очевидно, что собственными векторами оператора $\{R, \cdot\}$ в пространстве $V_{n}$ будут всевозможные произведения
\[
\xi_{i_{1}} \xi_{i_{2}} \ldots \xi_{i_{n}} .
\]

Соответствующее собственное число будет равно
\[
\lambda\left(\xi_{i_{1}}\right)+\lambda\left(\xi_{i_{2}}\right)+\ldots+\lambda\left(\xi_{i_{n}}\right) .
\]

Из условия того, что набор $\left\{\lambda_{k}\right\}$ нерезонансный относительно $\left\{R_{k}\right\}$, следует, что указанное собственное число равно нулю тогда и только тогда, когда в произведении (1) любой вектор $\xi_{k}$ входит столько же раз, сколько и $\bar{\xi}_{k}$. Следовательно, если $\{R, P\}=0$, то $P$ является линейной комбинацией векторов с нулевым собственным значением, то есть является многочленом от $\xi_{k} \bar{\xi}_{k}$. Лемма доказана.

Отметим одно важное обстоятельство. В пространствах $V_{n}$ задан базис из собственных векторов оператора $\{R, \cdot\}$. Некоторые вектора имеют собственное значение, равное нулю. Следовательно, в силу теоремы о единственности разложения вектора по базису, получаем, что определен оператор $P_{N}: V_{n} \rightarrow V_{n}$, который обнуляет координаты вектора, соответствующие собственным векторам с ненулевыми собственными значениями.
${ }^{1}$ Как легко заметить, все операторы $\left\{R_{k}, \cdot\right\}$ и $\{R, \cdot\}$ одновременно приводятся к диагональному виду.

Лемма 3.2. Пусть $\left\{R_{k}, P\right\}=0$ для всех $k$, тогда $P$ является многочленом от $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{m}$.
Доказательство.
Следует из леммы 3.1.
Таким образом, доказана следующая теорема

Теорема 3.3. Пусть $P$ – аналитическая функция. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) $Р$ является аналитической функцией от $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{m}$;
2) $\left\{R_{k}, P\right\}=0$ для всех $k$;
3) $\{R, P\}=0$.
Эта теорема не верна для гладких функций.

ПРимеР 1. Рассмотрим функцию $W(x, y)=e^{(x y)^{2}}$. Положим $Q(x, y)=W(x, y)$ при $x, y>0$ и $Q(x, y)=0$ в остальных случаях. Очевидно, $Q(x, y)$ – гладкая функция, и $\left\{R_{k}, Q\right\}=0$.

Следовательно, для того, чтобы доказать основную теорему, нам достаточно показать, что $\left\{R, G_{k}\right\}=0$ или $\left\{R, G_{k}^{(s)}\right\}=0$ при всех $k$ и $s$.