Здесь изложено доказательство теоремы, в разных ситуациях доказанной Веем, Рюссманом, Эллиасоном, Ито (см. главу 1 тома I настоящей книги). Ссылки даются на отдельный список литературы, помещенный в конце приложения.

В общих словах смысл указанной теоремы сводится к тому, что лиувиллево слоение пуассонова действия в окрестности невырожденной точки зависит от того, к какому виду приводится линейная часть действия.

Кроме невырожденных точек, мы рассмотрим невырожденные орбиты пуассонова действия. Мы покажем, что задача изучения топологии лиувиллева слоения в окрестности точки на невырожденной орбите редуцируется к случаю невырожденной точки.
$M^{2 m}, \omega$ — вещественно аналитическое многообразие, и $H=G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{m}$ набор попарно коммутирующих относительно скобки Пуассона $\{\cdot, \cdot\}$ независимых аналитических функций. Мы будем исследовать структуру соответствующей интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности неподвижной точки $x_{0} \in M^{2 m}$, в которой $d G_{k}=0$ при всех $k$. В силу теоремы Дарбу можно считать, что рассматриваемое многообразие — это $\mathbb{R}^{2 m}$, снабженное стандартной симплектической структурой $\omega=\sum_{i=1}^{m} d x_{i} \wedge d y_{i}$. Кроме того, мы будем считать, что исследуемая неподвижная точка находится в начале координат.
В силу аналитичности,
\[
G_{k}=\sum_{n=0}^{\infty} G_{k}^{(n)}
\]

где $G_{k}^{(n)}$ — однородный многочлен степени $n$. В силу того, что скобка Пуассона сохраняет однородность многочленов, квадратичные формы образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Кроме того,
\[
\left\{G_{i}^{(2)}, G_{k}^{(2)}\right\}=0
\]

при всех $i, k$. Таким образом, квадратичные части функций $G_{i}$ порождают коммутативную подалгебру в алгебре квадратичных форм.

Определение 3.1. Точка $x_{0}$ называется невырожденной особой точкой, если указанная коммутативная подалгебра является подалгеброй Картана.
Теорема 3.1 (Williamson). Если $x_{0}$ — невырожденная особая точка, то найдутся такие линейные симплектические координты $x_{1}, x_{2} \ldots x_{m}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}$ и такая невырожденная матрица $a_{i j}$, что $F_{k}=\sum_{j} a_{k j} G_{j}^{(2)}$ имеют один из видов:
1) Эллиптический
\[
F_{k}=\frac{1}{2}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)
\]
2) Гиперболический
\[
F_{k}=x_{k} y_{k}
\]
3) Фокус-фокус
\[
\begin{array}{c}
F_{k}=x_{k} y_{k+1}-x_{k+1} y_{k}, \\
F_{k+1}=x_{k} y_{k}+x_{k+1} y_{k+1} .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы будем считать, что мы уже сделали линейную замену координат и функций $G_{k}$, как указано в предыдущей теореме. Кроме того, мы будем считать, что нумерация такова, что при $1 \leqslant k \leqslant k_{1}$ формы $G_{k}^{(2)}$ эллиптичны, при $k_{1}<k \leqslant k_{2}$ — гиперболичны, при $k_{2}<k \leqslant m$ — типа фокус-фокус.
Нашей целью будет доказать следующую теорему.

Теорема 3.2. Пусть $x_{0}$ является невырожденной особой точкой для аналитической интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом $H=G_{1}$ идополнительными интегралами $G_{2}, \ldots, G_{m}$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ можно выбрать такие симплектические координаты $x_{1}, \ldots x_{m}, y_{1}, \ldots, y_{m}$, что для любого $k$ функция $G_{k}$ является функцией от $F_{j}, j=1, \ldots, m$, указанных в предыдущей теореме.