Следуя общей схеме теории траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем, если мы хотим выяснить, эквивалентны ли две заданные системы, то исследование нужно начинать с изучения и сравнения их лиувиллевых слоений.

Каждая интегрируемая гамильтонова система определяет на симплектическом многообразии (и на изоэнергетической поверхности) структуру слоения с особенностями. Если $H$ – гамильтониан системы, а $f$ – первый интеграл, независимый с $H$ почти всюду, то в качестве слоя слоения Лиувилля мы рассматриваем связные компоненты совместных поверхностей уровня функций $f$ и $H$. В общем случае слоение Лиувилля может зависеть от выбора дополнительного интеграла. Однако для нерезонансных систем при выполнении некоторых дополнительных условий типа невырожденности особенностей от выбора дополнительного интеграла на самом деле ничего не зависит, поскольку почти все слои могут быть охарактеризованы как замыкания траекторий. Кроме того, слоение Лиувилля можно определить и независимым от дополнительного интеграла образом. Например, так: скажем, что точки $x, y \in M$ эквивалентны, если $f(x)=f(y)$ для любого гладкого дополнительного интеграла $f$ гамильтоновой системы. Ясно, что это действительно отношение эквивалентности. Тогда по определению мы можем в качестве слоения Лиувилля на $M$ взять его разбиения на классы эквивалентности (слой – это класс эквивалентности).
Теорема 7.1. Слоения Лиувилля, задаваемые системами $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ на изоэнергетических поверхностях, диффеоморфны. Другими словами, задача Якоби и случай Эйлера (с нулевой константой площадей) лиувиллево эквивалентны.
Доказательство.
Для доказательства можно просто подсчитать меченые молекулы систем Эйлера и Якоби. Это было сделано выше. В том и в другом случае молекулы одинаковы и имеют вид, показанный на рис.3.35a. Другой способ доказательства состоит в построении явной деформации одной системы в другую, не меняющей топологию слоения. Эта деформация уже была построена выше в главе 6 , параграфе 4 , пункте 4.3 .

Мы ограничимся тем, что явно опишем структуру слоения Лиувилля, построив довольно простую его модель. Рассмотрим двумерную сферу $S^{2}=$ $=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ и расслоение единичных ковекторов над ней $Q^{3} \xrightarrow{S^{1}} S^{2}$. Рассмотрим на сфере гладкую функцию $h(x, y, z)=\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}(\alpha<\beta<\gamma)$ и поднимем эту функцию естественным образом на $Q^{3}$, считая ее постоянной на каждом слое. Функция $h$ расслаивает $Q^{3}$ на свои поверхности уровня. Обозначим это слоение через $\mathcal{L}_{h}$. Отметим, что топология этого слоения, очевидно, не зависит от выбора метрики на сфере и от выбора $\alpha, \beta, \gamma$.

Легко видеть, что слоение состоит из четырех однопараметрических семейств торов Лиувилля, четырех окружностей (на которые стягиваются торы из семейств) и одного особого слоя вида $K \times S^{\mathbf{1}}$, где $K-$ граф, состоящий из двух окружностей, пересекающихся трансверсально по двум точкам.

Мы утверждаем, что слоения Лиувилля систем $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ изоморфны слоению $\mathcal{L}_{h}$. Покажем это.

Рассмотрим сначала случай Эйлера. Здесь слоение задается функцией (дополнительным интегралом)
\[
f_{E}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}
\]

на совместной поверхности уровня трех функций
\[
\begin{array}{c}
f_{0}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=1, \\
g=s_{1} r_{1}+s_{2} r_{2}+s_{3} r_{3}=0, \\
2 H=A s_{1}^{2}+B s_{2}^{2}+C s_{3}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Первые две функции задают многообразие, диффеоморфное (ко)касательному расслоению к сфере, а третья (гамильтониан) выделяет в кокасательном расслоении множество (ко)векторов единичной длины. Здесь $\gamma=\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ – точка на сфере, $К=\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}\right)$ – (ко)касательный вектор в этой точке.

Сделаем теперь следующие простые замены. Идея состоит в том, чтобы поменять «координаты» и «импульсы» местами. Положим
\[
\begin{aligned}
x & =\sqrt{A} s_{1}, \quad y=\sqrt{B} s_{2}, \quad z=\sqrt{C} s_{3}, \\
p_{x} & =\frac{r_{1}}{\sqrt{A}}, \quad p_{y}=\frac{r_{2}}{\sqrt{B}}, \quad p_{z}=\frac{r_{3}}{\sqrt{C}} .
\end{aligned}
\]

После такой замены функции перепишутся следующим образом.
\[
\begin{array}{c}
2 H=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\
g=x p_{x}+y p_{y}+z p_{z}=0, \\
f_{0}=A p_{x}^{2}+B p_{y}^{2}+C p_{z}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Таким образом, мы можем интерпретировать в данном случае ту же самую изоэнергетическую поверхность иначе, рассматривая ее как расслоение единичных ковекторов над сферой $\left\{H=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ (а не над сферой $\left\{f_{0}=1\right\}$ как прежде). Дополнительный интеграл в результате может быть записан как функция на базе
\[
f_{E}=\frac{x^{2}}{A}+\frac{y^{2}}{B}+\frac{z^{2}}{C},
\]

что сразу приводит нас к описанной выше модели.

Аналогичную конструкцию можно провести и для задачи Якоби, но мы поступим несколько другим образом. Как мы уже отмечали выше, обе рассматриваемые системы можно интерпретировать как геодезические потоки на сфере для некоторых подходящих метрик. Мы показали в главе 6, что эти метрики допускают очень простую деформацию друг в друга в классе интегрируемых метрик. При этом слоение Лиувилля для каждой метрики из семейства будет некоторым образом деформироваться без бифуркаций. В результате мы получаем гладкую деформацию одного лиувиллева слоения в другое.

Итак, мы показали, что рассматриваемые системы имеют одинаковые слоения Лиувилля и описали это слоение с помощью модельного примера. Ясно, что это условие является необходимым для траекторной эквивалентности систем. Однако мы пока ничего не можем сказать о том, как ведут себя траектории на торах Лиувилля (т.е. слоях лиувиллева слоения). Следующий шаг – это исследование собственно траекторных инвариантов рассматриваемых систем.