Прежде чем переходить к построению инварианта, траекторно классифицирующего потоки Морса-Смейла произвольного вида на двумерных поверхностнх, обсудим другой подход.
3.1. Конструкция Пейксото

Пейксото [19] обобщает понятие различающего графа на случай потоков Морса-Смейла следующим образом. В качестве вершин первого и третьего уровней добавляются соответственно отталкивающие и притягивающие предельные циклы. Кроме сепаратрис, появляются некоторые новые ребра (соединяющие вершины первого и третьего уровней), которые можно описать следующим образом. Выбросим из многообразия все предельные циклы потока и рассмотрим те из получившихся связных компонент, которые не содержат седловых точек. Каждая такая компонента состоит из траекторий, имеющих одно и то же $\alpha$ предельное и одно и то же $\omega$-предельное множества. Для каждой такой компоненты соединим ребром пару вершин (первого и третьего уровней), соответствующих этим предельным множествам.

Отметим, что для потока Морса, имеющего седловые точки, описанное правило построения различающего графа дает в точности граф из сепаратрис. Только в случае простейшего потока Морса (см. замечание 3) мы получим граф, состоящий из двух вершин (первого и третьего уровней), соединенных одним ребром. Для потоков Морса-Смейла с периодическими траекториями такие ребра уже являются типичными.

Далее, аналогично тому, как это делалось для потоков Морса, Пейксото описывает типы выделенных подграфов и формулирует условия, которым должны удовлетворять выделенные подграфы различающего графа потока. Всего получается 45 типов подграфов ( 36 с вершинами второго уровня и еще 9 без них)

Мм не будем описынать все тины подграфов и усаовия (тем более, что они четырехугоаников, возникавших в сауче вотоков Морса) в соответствии с выв одноаначиости этоด ревлизвнин. не можем восстановить его однозвачав. только от способа скаенки. Поэтому, алже есаи мы занем, каким образом наяо предеаниом викае.

других критических элементов поток не имеет. Как легко понять, потоки, изображенные на рис. 14 (b) и рис. $14(\mathrm{c})$, топологически траекторно не эквивалентны. Действительно, если бы существовал гомеоморфизм, переводящий траектории одного потока в траектории другого, то при этом гомеоморфизме предельные циклы одного потока отображались бы в предельные циклы другого потока, причем с сохранением ориентации на этих циклах, индуцированной потоком. Но это невозможно, потому что для одного потока эти циклы представляют один и тот же элемент в группе целочисленных гомологий кольца $H_{1}(K ; \mathbb{Z})=\mathbb{Z}$, а для другого – противоположные. Для каждого из двух рассмотренных потоков на кольце можно построить аналогичный поток на торе, склеив два экземпляра кольца с одинаковыми потоками по границе. В результате получим два топологически траекторно не эквивалентных потока Морса-Смейла на двумерном торе, каждому из которых соответствует различающий граф Пейксото, изображенный на рис. $14(\mathrm{a})$.
Рис. 13

ЗАмЕчАние 9. Аналогичная ошибка содержится в работе [23]. При классификации потоков Морса-Смейла с предельными циклами Вонг тоже действует так, как описано выше: разрезаем поверхность по предельным циклам; для каждого получившегося куска рассматриваем \”раскрашенный двойственный граф» (см. описание инварианта Вонга в §2); описываем спаривание циклов «раскрашенных двойственных графов». Информация о спаривании циклов позволяет однозначно склеить поверхность, поскольку Вонг рассматривает только ориентируемые многообразия, но не определяет поток в окрестности склеек. Иными словами, инвариант Вонга, как и инвариант Пейксото, не меняется, если изменить поток лишь в маленькой окрестности какого-нибудь предельного цикла так, чтобы на этом цикле направление потока изменилось на противоположное.

ЗАМЕчАНиЕ 10. В работе [18] сформулирована теорема о биекции между классами сопряженности $\xi$-функций (аналог $a$-функций для потоков Морса-Смейла) и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса-Смейла. Более точно, для потоков Морса-Смейла на многообразиях произвольной размерности доказано, что из топологической траекторной эквивалентности потоков следует сопряженность $\xi$-функций (если значения этих $\xi$-функций одинаковы на соответствующих критических элементах потоков). Кроме того, утверждается, что для двумерных многообразий верно и обратное, т.е. сопряженность $\xi$-функций влечет топологическую траекторную эквивалентность соответствующих потоков. Эти утверждения можно переформулировать следующим образом: для потока Морса-Смейла на многообразии произвольной размерности $\xi$-функция является топологическим траекторным инвариантом, а в двумерном случае этот инвариант явлнется полным. Однако утверждение о том, что в двумерном случае инвариант является полным, неверно. При его доказательстве Мейер ссылается на работу [21], откуда возникает та же ошибка, что и в работах Пейксото и Вонга.

Таким образом, траекторная классификация потоков Морса-Смейла и послойная классификация $\xi$-функций являются разными задачами (хотя эти задачи эквивалентны в случае потоков Морса – см. теорему 1.4).
Замечание 11. Отметим, что в работах [5, 6] введено понятие «схемы потока» для потоков на двумерной сфере. Для потоков Морса-Смейла эта «схема потока» аналогична различающему графу Пейксото. В общем случае описание «схемы потока» достаточно громоздко, поскольку она определяется для потоков более общего вида, чем потоки Морса-Смейла. Тем не менее, «схема потока» является полным топологическим траекторным инвариантом для потоков рассматриваемого вида, в частности, потокам из примера 6 соответствуют разные схемы.
3.2. Описание $v$-атомов

Как уже говорилось, для построения инварианта потока Морса-Смейла мы будем использовать идею молекулы [4].
ЗамЕчание 12. Ниже мы будем говорить о потоке Морса-Смейла на двумерном многообразии $N$ с границей, предполагая, что поток трансверсален границе в каждой его точке. Отметим, что в данной ситуации всегда можно считать, что $N$ вложено в некоторое многообразие $M$ (без границы) так, что рассматриваемый поток есть ограничение некоторого потока Морса-Смейла, заданного на $M$. Топологическая траекторная эквивалентность таких потоков определяется очевидным образом.

Определение 1.12. Пусть $N$ – связное компактное двумерное многообразие с границей, на котором задан поток Морса-Смейла $v$, трансверсальный границе в каждой ее точке. Назовем $N$ элементарной областью, если выполнено одно из следующих условий:
1) $N$ содержит единственный критический элемент поля $v$, который есть либо источник, либо сток, либо предельный цикл;
2) все критические элементы поля $v$ в $N$ являются седловыми точками, причем имеется хотя бы одна седловая точка.
В последнем случае будем называть элементарную область седловой элементарной областью.

Определение 1.13. Будем говорить, что две элементарные области эквивалентны, если потоки, заданные на них, топологически траекторно эквивалентны. Классы эквивалентности элементарных областей назовем $v$-атомами. В частности, классы эквивалентности седловых элементарных областей – седловыми $v$-атомами. Назовем сложностью седлового $v$-атома количество седловых особых точек в соответствующей ему элементарной области.

Легко привести список всех не седловых $v$-атомов. Они отличаются только типом самого критического элемента и топологией его окрестности. То, что других отличий нет, следует, по существу, из результатов работы [1] (см. также $[20,21]$ ). Сформулируем соответствующее утверждение в следующем виде.
Лемма 1.4. Существует ровно 6 не седловых v-атомов. Соответствующие им элементарные области $N$ можно описать следуюшим образом:
1) $N$ есть диск, содержащий единственный критический элемент поля $v$, который есть источник (сток);
2) $N$ есть кольцо, содержащее единственный критический элемент поля $v$, который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл;
3) $N$ есть лист Мебиуса, содержаций единственный критический элемент поля $v$, который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл.
Оба $v$-атома из п. (1) леммы 1.4 (диск с источником и диск со стоком) будем обозначать буквой $A$. Остальные четыре $v$-атома (кольцо или лист Мёбиуса с отталкивающим или притягивающим циклом) обозначим буквой $S$. Элементарные области, соответствующие $v$-атомам $A$ ( $v$-атомам $S$ ), будем называть элементарными областями типа $A$ (типа $S$ ).

Опишем теперь процедуру разбиения замкнутой поверхности с потоком Морса-Смейла на элементарные области.
Определение 1.14. Для поверхности $M$ с заданным на ней потоком Морса-Смейла $v$ назовем набор гладко вложенных в нее окружностей разрезающим, если эти окружности попарно не пересекаются и разбивают $M$ на элементарные области, так, что для каждой окружности хотя бы одна из прилегающих к ней элементарных областей не является седловой.
Лемма 1.5. Пусть $v$ – поток Морса-Смейла на поверхности М. Тогда
1) в поверхности $M$ существует разрезающий набор окружностей;
2) для любых двух разрезающих наборов окружностей существует гомеоморфизм $h: M \rightarrow M$, переводящий один набор в другой и отображающий каждую траекторию потока в себя с сохранением направления.

Доказательство.
Рассмотрим достаточно маленькие окрестности всех источников, стоков и предельных циклов, граничные окружности которых трансверсальны потоку $v$. Очевидно, этот набор граничных окружностей разбивает $M$ на элементарные области и, возможно, некоторое количество колец, на которых поток не имеет критических элементов, а все траектории идут с одной граничной окружности кольца на другую (здесь используется то, что $v$ является потоком Морса-Смейла свойство (3) из определения 1.3). Выбрасывая для каждого такого кольца одну из граничных окружностей (например, ту, в точках которой поток направлен внутрь кольца), получим разрезающий набор. Первое утверждение леммы доказано. Обозначим окружности построенного разрезающего набора $R_{1}, \ldots, R_{l}$.

Докажем второе утверждение леммы. Пусть дан произвольный разрезающий набор окружностей $P_{1}, \ldots, P_{l^{\prime}}$. Уменьшая окрестности, которые мы выбирали при построении набора $R_{1}, \ldots, R_{l}$, можно считать, что окружности $P_{1}, \ldots, P_{l^{\prime}}$ не пересекаются ни с одной из этих окрестностей.

Рассмотрим окружность $P_{i}$, пусть $\phi(\bmod 2 \pi)$ – угловая координата на ней. В силу определения 1.14 , по крайней мере одна из двух элементарных областей, прилегающих к окружности $P_{i}$, не является седловой. Пусть, для определенности, эта элементарная область содержит сток или притягивающий цикл (случай источника или отталкивающего цикла рассматривается аналогично). Тогда этот критический элемент есть $\omega$-предельное множество для всех траекторий потока, пересекающих окружность $P_{i}$. Отсюда следует, что каждая точка $\phi$ окружности $P_{i}$ при сдвиге вдоль соответствующей траектории потока $v$ на некоторое положительное время $\tau(\phi)$ попадает на некоторую окружность $R_{i}$ (одну и ту же для всех $\phi$ ). При этом функция $\tau(\phi)$ будет непрерывной (и даже гладкой), т. к. окружности $P_{i}$ и $R_{i}$ трансверсальны потоку. Таким образом, окружности $P_{i}$ и $R_{i}$ ограничивают в многообразии $M$ кольцо, на котором траектории потока $v$ идут с граничной окружности $P_{i}$ на граничную окружность $R_{i}$.

Из приведенного рассуждения ясно, что окружности $R_{1}, \ldots, R_{l}$ взаимнооднозначно соответствуют окружностям $P_{1}, \ldots, P_{l^{\prime}}$ (в частности, $l=l^{\prime}$ ), и для каждого $i=1, \ldots, l$ существует гомеоморфизм $h_{i}: M \rightarrow M$, который является тождественным вне некоторой окрестности кольца, ограниченного окружностями $P_{i}$ и $R_{i}$, отображает окружность $P_{i}$ в окружность $R_{i}$ и переводит каждую траекторию потока $v$ в себя с сохранением направления. Их композиция $h_{1} \circ \cdots$ o $h_{l}$ переводит набор $P_{1}, \ldots, P_{l}$ в набор $R_{1}, \ldots, R_{l}$.

Для двух произвольных разрезающих наборов достаточно рассмотреть аналогичные гомеоморфизмы, переводящие каждый из этих наборов в подходящий набор $R_{1}, \ldots, R_{l}$, а затем взнть их композицию. Лемма доказана.

Утверждение (2) леммы 1.5 означает, в частности, что элементарные области, на которые разбивается поверхность $M$, с точностью до эквивалентности не зависят от выбора разрезающего набора. Таким образом, каждому потоку Морса-Смейла однозначно ставится в соответствие некоторый набор $v$-атомов.
Следствие 1. Указанная операция сопоставления произвольному потоку МорсаСмейла набора v-атомов является топологическим траекторным инвариантом. Доказательство.

Пусть $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$ – гомеоморфизм, устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков $v_{1}$ и $v_{2}$. Он переводит некоторый разрезающий набор для потока $v_{1}$ в набор окружностей на поверхности $M_{2}$. Этот набор окружностей не обязан быть разрезающим для потока $v_{2}$ по той причине, что образы окружностей при гомеоморфизме $h$ могут быть не трансверсальными траекториям потока $v_{2}$ (и вообще не гладкими). Однако они, очевидно, пересекают каждую траекторию ровно в одной точке. Сгладив образы окружностей так, чтобы они стали трансверсальны потоку $v_{2}$, получим разрезающий набор для потока $v_{2}$. Применяя теперь утверждение (2) леммы 1.5 к построенному и исходному разрезающим наборам потока $v_{2}$, получаем требуемый результат.

ЗАмЕчАниЕ 13. Очевидно, набор $v$-атомов, определяемый произвольным разрезающим набором окружностей, не является в общем случае полным топологическим траекторным инвариантом (например, обеим потокам, описанным в примере 6, соответствуют одни и те же два $v$-атома типа $S$ ). Кроме того, поскольку $v$-атом определяется как класс эквивалентности элементарных областей, пока не ясно, насколько интересен такой инвариант. Например, сам класс эквивалентности потока Морса-Смейла является его топологическим траекторным инвариантом (и, очевидно, полным), но такой инвариант никак не помогает эффективно решить задачу классификации.

На самом деле, как показано ниже, используя результаты параграфов 1 и 2 , легко получить «эффективную» классификацию седловых $v$-атомов (классификация не седловых $v$-атомов уже описана в лемме 1.4). Оказывается, что для потоков Морса набор $v$-атомов, определяемый произвольным разрезающим набором окружностей, является полным топологическим траекторным инвариантом. Поскольку в этом случае нет ни одного $v$-атома типа $S$, классификация седловых $v$-атомов эквивалентна траекторной классификации потоков Морса на связных поверхностях. Это можно сформулировать в следующем виде.
Лемма 1.6. Пусть $v$ – поток Морса на связной поверхности $M$, отличный от простейшего и имеющий $k$ источников и стоков. Тогда
1) набор $v$-атомов, сопоставляемый потоку $v$, состоит ровно из одного седлового v-атома $Z(v)$ и ктук v-атомов типа $A$;
2) поток $v$ однозначно (с точностью до топологической траекторной эквивалентности) восстанавливается по $v$-атому $Z(v)$.

Доказательство.
Первое утверждение леммы очевидно, т. к. вырезание маленьких дисков, содержащих стоки и источники, из поверхности $M$ не нарушает ее связности.

Доказательство второго утверждения сводится к следующему. Поверхность $M$ с потоком $v$ получается в результате «приклеивания» элементарных областей типа $A$ по всем граничным окружностям элементарной области, соответствующей $v$-атому $Z(v)$. Надо показать, что это «приклеивание» определено однозначно с точностью до топологической эквивалентности. Более точно, надо показать, что любой гомеоморфизм $f$ границы элементарной области типа $A$ на себя продолжается до такого гомеоморфизма всей этой элементарной области на себя, который переводит траектории в траектории с сохранением направления. Ясно, что такое продолжение всегда существует. Например, можно продолжать $f$ внутрь диска так, чтобы сохранялся параметр на траекториях. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что для классификации седловых $v$-атомов можно использовать любой из инвариантов, рассмотренных в 1 и $\S 2$. Мы будем считать, что каждому седловому $v$-атому $V$ сопоставлен трехцветный граф $T(V)$.
3.3. Построение $v$-молекулы

Рассмотрим теперь произвольный поток Морса-Смейла $v$ на поверхности $M$. Согласно следствию 1 , ему соответствует однозначно определенный набор $v$-атомов. Чтобы восстановить поверхность $M$ с потоком $v$, нужно склеить элементарные области, соответствующие $v$-атомам этого набора, по граничным окружностям. Каждая склейка двух областей по двум граничным компонентам (окружностям) $S_{1}$ и $S_{2}$ однозначно определяется гомеоморфизмом $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$, причем гомотопные гомеоморфизмы дают одинаковый в смысле топологической эквивалентности результат (см., например, [21]). Поскольку с точностью до гомотопии существует ровно два различных гомеоморфизма окружности в окружность, то с точностью до топологической эквивалентности для каждой склейки существует не более двух возможностей.
ЗАМЕчАниЕ 14. Говоря о склейке элементарных областей (т. е. многообразий с границей, на которых задан поток), мы, естественно, подразумеваем, что после склейки получается гладкое многообразие с гладким потоком. Несложно показать, что для произвольного гомеоморфизма граничных компонент этого можно достичь, либо изменяя гладкую структуру, либо заменян потоки на траекторно эквивалентные в некоторых маленьких окрестностях этих граничных компонент.

Если на граничных компонентах склеиваемых областей фиксирована некоторая ориентация, то выбор одной из двух возможных склеек можно задавать меткой $\pm 1$ для каждой пары отождествляемых при склейке окружностей: (+1) означает, что ориентации при отождествлении согласованы, а (-1) – что не согласованы.

Таким образом, для однозначного описания всех склеек необходимо задать ориентации на граничных окружностях элементарных областей. Можно считать, что на границе элементарной области типа $S$ (кольцо или лист Мебиуса) ориентация индуцирована потоком на содержащемся в этой области предельном цикле. На границе элементарной области типа $A$ (диск) ориентацию можно задать произвольно, т.к. для этой области существует гомеоморфизм, переводящий траектории в траектории и обращающий ориентацию на границе диска. Осталось задать ориентации на граничных окружностях седловых элементарных областей.

Каждая седловая элементарная область определяет $v$-атом, которому соответствует некоторый трехцветный граф. Мы предполагаем, что задача классификации седловых $v$-атомов (или, что то же самое, потоков Морса) уже решена, т.е. имеется список всех связных трехцветных графов (с количеством вершин, не превосходящим некоторого числа $K$ ). Поэтому можно считать, что в этом списке трехцветные графы перечислены с указанием некоторой ориентации на всех st-циклах и $t u$-циклах.
ЗАмЕчАНИЕ 15 . В дальнейшем, говоря о некотором седловом $v$-атоме $V$, мы всегда будем подразумевать, что это $v$-атом из известного списка $V_{1}, V_{2}, \ldots$, в котором седловые $v$ атомы представлены в виде трехцветных графов $T\left(V_{i}\right)$, т. е. $V_{i}$ – это некоторая буква, обозначающая седловой $v$-атом, а $T\left(V_{i}\right)$ – это соответствующий ему связный трехцветный граф, у которого ориентации на всех st-циклах и $t u$-циклах были выбраны каким-то образом (после чего он был занесен в список) и больше не меняются. При этом будем предполагать, что для трехцветных графов, не имеющих циклов нечетной длины (т. е. соответствующих ориентируемым поверхностям – см. теорему 1.3), ориентации $s t$-циклов и $t u$-циклов выбраны согласованно в смысле определения 1.5.

Конечно, перечислить седловые $v$-атомы (связные трехцветные графы) можно множеством способов. Мы лишь предполагаем, что список составлен и фиксирован.

Опишем теперь, как мы будем задавать ориентацию на граничных окружностях седловых элементарных областей. Трехцветный граф, соответствующий седловой элементарной области, определен однозначно (по существу, это есть утверждение (1) леммы 1.1). Рассуждая точно так же, как при доказательстве первой части теоремы 1.2, можно считать, что трехцветный граф вложен в седловую элементарную область как граф, двойственный графу, составленному из сепаратрис потока и $t$-траекторий. При этом вложении $s t$-циклы будут соответствовать граничным окружностям элементарной области, в точках которых поток направлен внутрь области, а $t u$-циклы – граничным окружностям, в точках которых поток направлен наружу (см. рис. 3). Ясно, что задание ориентации на каком-либо $s t$-цикле или $t u$-цикле вложенного трехцветного графа однозначно определяет ориентацию на соответствующей этому циклу граничной окружности (и наоборот).
Определение 1.15. Пусть $\tilde{T}$ — трехцветный граф, вложенный указанным выше образом в седловую элементарную область $N$, который изоморфен трехцветному графу $T$ из списка. Произвольный изоморфизм $f: \widetilde{T} \rightarrow T$ назовем параметризацией седловой элементарной области $N$. Ясно, что любая параметризация определяет ориентации всех st-циклов и $t u$-циклов графа $\widetilde{T}$, поскольку на соответствующих циклах графа $T$ ориентация задана. После этого однозначно определяются ориентации всех граничных окружностей элементарной области $N$. Будем говорить, что ориентации на граничных окружностях, полученные в результате описанной процедуры, индуцированы параметризацией $f$. Кроме того, параметризация, естественно, определяет биекцию множества граничных окружностей области $N$ на множество $s t$-циклов и $t u$-циклов графа $T$.

ЗАмЕчАниЕ 16. Ясно, что различные параметризации седловой элементарной области определяют, вообще говоря, различные ориентации ее граничных окружностей. Можно сказать, что группа $G(T)$ автоморфизмов трехцветного графа $T$ действует на множестве ориентаций граничных окружностей, индуцированных некоторой параметризацией: каждый автоморфизм $g \in G(T)$ переводит ориентации, индуцированные параметризацией $f$, в ориентации, индуцированные параметризацией $g \circ f$. Это действие транзитивное, и ядро его есть подгруппа $G_{0}(T)$ группы $G(T)$, состонщая из автоморфизмов, сохраняющих ориентации всех $s t$-циклов и $t u$-циклов графа $T$. Таким образом, имеется естественная биекция между множеством всех ориентаций граничных окружностей, индуцированных некоторой параметризацией, и множеством смежных классов $G(T) / G_{0}(T)$. В частности, количество различных возможностей при таком способе ориентирования граничных окружностей равно индексу подгруппы $G_{0}(T)$ в группе $G(T)$.

ЗАМЕчАниЕ 17. Если при траекторной классификации потоков Морса-Смейла ограничиться рассмотрением ориентированных многообразий и гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, то для произвольной (ориентированной) седловой элементарной области можно канонически ориентировать все ее граничные окружности. Например, можно выбирать на окружностях ориентацию таким образом, чтобы ориентация репеpa (w, $\mathbf{v}$ ), где w – касательный вектор к окружности, задающий ориентацию на ней, a v – внутренняя нормаль, совпадала с ориентацией касательной плоскости в данной точке. При такой ориентации граничных окружностей ориентируемой седловой элементарной области мы получим либо ориентацию, соответствующую определению 1.15 , либо противоположную (одновременно на всех окружностях), поскольку у трехцветного графа (из списка), соответствующего ориентируемой элементарной области, st-циклы и $t u$-циклы ориентированы согласованно (см. замечание 15). Легко показать, что в ориентируемом случае подгруппа $G_{0}(T)$ либо совпадает со всей группой $G(T)$, либо явлнется подгруппой индекса 2.

Теперь мы можем дать описание инварианта, классифицирующего потоки Морса-Смейла.
Определение 1.16. Назовем $v$-молекулой граф $W$, у которого все ребра ориентированы, а каждой вершине поставлен в соответствие либо $v$-атом $A$, либо $v$-атом $S$, либо некоторый седловой $v$-атом из имеющегося списка $V_{1}, V_{2}, \ldots$ (будем называть вершины графа $W$ соответственно $A$-вершинами, $S$-вершинами и седловыми вершинами), причем выполнены следующие условия:
1) каждая $A$-вершина графа $W$ имеет степень 1 ;
2) каждая $S$-вершина графа $W$ имеет степень 1 или 2 , причем, если степень равна 2 , то оба ребра одновременно либо входят в эту вершину, либо выходят из нее;
3) для каждой седловой вершины графа $W$, которой соответствует некоторый $v$-атом $V_{i}$, фиксирована произвольная биекция множества ребер, инцидентных этой вершине, на множество $s t$-циклов и $t u$-циклов трехцветного графа $T\left(V_{i}\right)$ из списка, причем ребра, соответствующие st-циклам, входят в вершину, а ребра, соответствующие $t u$-циклам, выходнт из нее (назовем эту биекцию параметризацией данной седловой вершины);
4) ни одно ребро графа $W$ не соединяет две седловые вершины;
5) если ребро графа $W$ соединяет две вершины, ни одна из которых не является $A$-вершиной, то на этом ребре стоит метка $\pm 1$.

Определение 1.17. Пусть $v$ – поток Морса-Смейла на многообразии $M$. Будем говорить, что $v$-молекула есть $v$-молекула потока $v$ (и обозначать ее $W(v)$ ), если она построена в результате описанной ниже процедуры.
1) Рассматривая некоторый разрезающий набор для потока $v$ на многообразии $M$, получаем разбиение $M$ на элементарные области – эти области будут соответствовать вершинам графа $W(v)$, которые мы обозначим соответствующими буквами $A, S$ или $V_{1}, V_{2}, \ldots$ из имеющегося списка седловых $v$-атомов.
2) Для каждой окружности из данного разрезающего набора проведем ребро, соединяющее те две вершины, для которых соответствующие им элементарные области граничат по этой окружности, после чего ориентируем это ребро в соответствии с направлением потока $v$ в точках рассматриваемой окружности (в точках окружности поток трансверсален ей, т.е. направлен из одной элементарной области в другую). В результате получим граф $W(v)$.
3) В соответствии с предыдущим пунктом, для каждой седловой вершины $V_{i}$ построенного графа имеется биекция между ребрами, инцидентными этой вершине, и граничными окружностями соответствующей ей седловой элементарной области. Фиксируя (произвольную) параметризацию этой элементарной области, получаем параметризацию вершины $V_{i}$.
4) Граничные окружности всех элементарных областей, кроме областей типа $A$, ориентированы: для седловых элементарных областей ориентации индуцированы выбранными на предыдущем шаге параметризациями, а на границах областей типа $S$ ориентации заданы направлением потока на их предельных циклах. Это определяет две ориентации на каждой окружности рассматриваемого разрезающего набора, разделяющей области, отличные от областей типа $A$. Если эти ориентации совпадают, то поставим на соответствующем ребре построенного графа $W(v)$ метку (+1), а если не совпадают, то (-1).

Для того, чтобы учесть неоднозначность, присутствующую в п. (3) изложенного правила построения $v$-молекулы $W(v)$, введем следующим образом отношение эквивалентности на множестве $v$-молекул.
Определение 1.18. Пусть $V_{i}$ – седловая вершина $v$-молекулы $W$ (в частности, для вершины $V_{i}$ задана некоторая параметризация $\phi_{i}$ – см. п. (3) определения 1.16). Рассмотрим произвольный автоморфизм $g$ трехцветного графа $T\left(V_{i}\right)$ (вообще говоря, не сохраняющий имеющиеся ориентации его $s t$-циклов и $t u$-циклов – см. замечание 16). Пусть $\lambda$ и $\mu$ – такие два $s t$-цикла или два $t u$-цикла графа $T\left(V_{i}\right)$, что автоморфизм $g$ переводит цикл $\lambda$ в цикл $\mu$ (без учета их ориентаций). Тогда скажем, что ориентация цикла $\lambda$ (не) сохраняется при автоморфизме $g$, если ориентации циклов $g(\lambda)$ и $\mu$ (не) согласованы. Назовем перепараметризацией вершины $V_{i}$ операцию следующего вида: заменяем параметризацию $\phi_{i}$ вершины $V_{i}$ на параметризацию $g \circ \phi_{i}$ и изменяем метки на противоположные на тех ребрах $e_{1}, \ldots, e_{l}$, инцидентных вершине $V_{i}$, для которых ориентации циклов $\phi_{i}\left(e_{1}\right), \ldots, \phi_{i}\left(e_{l}\right)$ не сохраняются при автоморфизме $g$. При этом, если какое-то из этих ребер $e_{j}$ было без метки, то оно и остается без метки.
Определение 1.19. Две $v$-молекулы $W$ и $W^{\prime}$ назовем изоморфными, если после некоторых перепараметризаций их седловых вершин они будут изоморфны как графы с сохранением обозначений вершин, ориентаций ребер, меток и параметризаций седловых вершин (сохранение параметризации седловых вершин при изоморфизме графов означает следующее: если изоморфизм $h: W \rightarrow W^{\prime}$ переводит вершину $V$ с параметризацией $\phi$ в вершину $V^{\prime}$ с параметризацией $\phi^{\prime}$, то $\left.\phi=\phi^{\prime} \circ h\right)$.
3.4. Теорема классификации и реализация инвариантов

Следующие утверждения показывают, что задача траекторной классификации потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях эквивалентна классификации $v$-молекул с точностью до изоморфизма.
Теорема 1.5. Два потока Морса-Смейла $v$ и $v^{\prime}$ на двумерных поверхностях $M$ и $M^{\prime}$ топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им $v$-молекулы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$ изоморфны.
Доказательство.
Сначала докажем, что $v$-молекулы топологически траекторно эквивалентных потоков изоморфны. Пусть $h: M \rightarrow M^{\prime}$ – гомеоморфизм, устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков $v$ и $v^{\prime}$. Поскольку на любом многообразии все разрезающие наборы эквивалентны (утверждение (2) леммы 1.5), можно считать, что разрезающие наборы, используемые при построении $v$-молекул $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$, переводятся друг в друга гомеоморфизмом $h$. Действуя в соответствии с п. (1) и п. (2) из определения 1.17 , построим графы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$ с ориентированными ребрами. Гомеоморфизм $h$ очевидным образом определяет отображение $\widetilde{h}: W(v) \rightarrow W\left(v^{\prime}\right)$, являющееся изоморфизмом графов с сохранением ориентации на ребрах. Выбирая теперь произвольные параметризации седловых элементарных областей, построим полностью $v$-молекулы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$.

Пусть $f_{i}$ и $f_{i}^{\prime}$ – параметризации седловых элементарных областей, соответствующих некоторой вершине $V_{i}$ графа $W(v)$ и вершине $V_{i}^{\prime}=\widetilde{h}\left(V_{i}\right)$ графа $W\left(v^{\prime}\right)$. Здесь также можно считать, что трехцветные графы, вложенные в эти седловые элементарные области, переводятся друг в друга гомеоморфизмом $h$. Тогда $g_{i}=f_{i}^{\prime} \circ h \circ f_{i}^{-1}$ есть автоморфизм трехцветного графа $T_{i}=T\left(V_{i}\right)=T\left(V_{i}^{\prime}\right)$, где $T_{i}$ – граф из списка. Сделаем перепараметризацию вершины $V_{i}$ с помощью автоморфизма $g_{i}$ графа $T_{i}$. Легко понять, что после аналогичных перепараметризаций всех седловых вершин $v$-молекулы $W(v)$ отображение $\widetilde{h}: W(v) \rightarrow W\left(v^{\prime}\right)$ будет изоморфизмом, сохраняющим обозначения вершин, ориентации ребер, метки и параметризации седловых вершин, т. е. $v$-молекулы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$ изоморфны.

Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть $v$ и $v^{\prime}$ – два таких потока Морса-Смейла на многообразиях $M$ и $M^{\prime}$ соответственно, что $v$-молекулы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$ изоморфны. Очевидно, что любую перепараметризацию некоторой вершины $v$-молекулы $W(v)$, определяемую автоморфизмом $g$ соответствующего трехцветного графа, можно рассматривать как результат замены параметризации $f$ соответствующей ей седловой элементарной области на параметризацию $g \circ f$. Поскольку каждая параметризация $f$ произвольно выбирается при построении $v$-молекулы $W(v)$, будем считать, что $v$-молекулы $W(v)$ и $W\left(v^{\prime}\right)$ были построены таким образом, что существует отображение $\widetilde{h}: W(v) \rightarrow W\left(v^{\prime}\right)$, являющееся изоморфизмом графов, сохраняющим обозначения вершин, ориентации ребер, метки и параметризации седловых вершин. Необходимо доказать, что в этом случае существует гомеоморфизм $h: M \rightarrow M^{\prime}$, переводящий траектории потока $v$ в траектории потока $v^{\prime}$.

Поскольку $\widetilde{h}$ сохраняет обозначения седловых вершин и их параметризации, для седловой элементарной области $N_{i}$, соответствующей вершине $V_{i}$ графа $W(v)$, и седловой элементарной области $N_{i}^{\prime}$, соответствующей вершине $\widetilde{h}\left(V_{i}\right)$ графа $W\left(v^{\prime}\right)$, существует гомеоморфизм $h_{i}: N_{i} \rightarrow N_{i}^{\prime}$, переводящий траектории потока $v$ в траектории потока $v^{\prime}$ и «совпадающий» с отображением $\widetilde{h}$ на множестве граничных окружностей (т. е. для любого ребра $e$, инцидентного вершине $V_{i}$, граничная окружность области $N_{i}$, соответствующая этому ребру, переходит при гомеоморфизме $h_{i}$ в граничную окружность области $N_{i}^{\prime}$, соответствующую ребру $\widetilde{h}(e))$. Поскольку в $v$-молекуле не бывает ребер, соединяющих седловые вершины, можно считать, что требуемый гомеоморфизм $h: M \rightarrow M^{\prime}$ уже определен на седловых элементарных областях формулой $\left.h\right|_{N_{i}}=h_{i}$, в частности, он определен на окружностях разрезающего набора, являющихся граничными для какой-либо седловой области.

Определим гомеоморфизм $h$ на всех остальных окружностнх разрезающего набора многообразия $M$ так, чтобы они переходили в соответствующие (при отображении $\widetilde{h}$ ) окружности разрезающего набора многообразия $M^{\prime}$ с согласованием ориентаций, индуцированных на них предельными циклами в примыкающих элементарных областях типа $S$. Это возможно, так как изоморфизм $\widetilde{h}: W(v) \rightarrow W\left(v^{\prime}\right)$ сохраняет метки на ребрах. Для окружности разрезающего набора, разделяющей две области типа $A$ (такая ситуация возникает лишь для простейшего потока, описанного в замечании 3), определим гомеоморфизм $h$ на этой окружности произвольно.

Теперь гомеоморфизм $h$ определен на всех окружностях разрезающего набора и на всех седловых элементарных областях. Чтобы полностью построить гомеоморфизм $h$, необходимо для каждой элементарной области типа $A$ или типа $S$ продолжить его с границы на всю область. При этом для элементарных областей типа $S$ гомеоморфизм, заданный на граничных окружностях, согласован с их ориентациями, индуцированными ориентациями предельных циклов. В этой ситуации существование требуемого продолжения доказано в [21]. Теорема доказана.

Теорема 1.6. Для любой v-молекулы $W$ существует такой поток Морса-Смейла v на двумерной поверхности $M$, что $W$ изоморфна $W(v)$.
Доказательство.
Требуемый поток Морса-Смейла $v$ легко построить, используя структуру $v$-молекулы $W$. Действительно, чтобы получить поверхность $M$ с потоком, необходимо лишь склеить элементарные области, соответствующие вершинам $v$-молекулы $W$, по граничным окружностям. Ориентации на граничных окружностях заданы параметризацией седловых вершин и направлением потока на предельных циклах, а правила склейки определяются метками $\pm 1$ на ребрах $v$-молекулы $W$. Теорема доказана.

Теорема 1.6 утверждает, что любая $v$-молекула является допустимой. Приведем еще один результат, описывающий множество $v$-молекул, являющихся допустимыми для многообразия данного топологического типа.
Теорема 1.7. Пусть $W(v)$ – v-молекула потока Морса-Смейла $v$, заданного на поверхности $M$. Тогда
1) эйлерова характеристика поверхности $M$ равна
\[
\chi(M)=(\text { количество } v \text {-атомов } A)-\sum_{i} c\left(V_{i}\right),
\]

где через $c(V)$ обозначена сложность $v$-атома $V$, а суммирование происходит по всем седловым вериинам $v$-молекулы $W(v)$;
2) поверхность $M$ ориентируема тогда и только тогда, когда все v-атомы, соответствуюшие вериинам $v$-молекулы $W(v)$, ориентируемы, и для каждого цикла в графе $W(v)$ (без учета ориентаций ребер) произведение всех меток, стоящих на ребрах этого цикла, равно $(-1)^{k}$, где $k$ – количество седловых вериин на этом цикле (каждая вериина считается столько раз, сколько раз иикл проходит через нее).

Доказательство.
Первое утверждение есть просто формула для суммы индексов особых точек поля $v$.

Докажем второе утверждение. Пусть $C$ – некоторый цикл в графе $W(v)$. Этот цикл разбивается седловыми вершинами на отрезки, каждому из которых в поверхности $M$ соответствует кольцо, склеенное из нескольких элементарных областей типа $S$. Рассмотрим одно из таких колец $K$. Его граница есть пара окружностей, являющихся граничными окружностями некоторых седловых элементарных областей. Поэтому на границе кольца $K$ фиксирована ориентация, индуцированная параметризациями этих элементарных областей (выбранными при построении $v$-молекулы $W(v)$ ). Легко понять, что произведение меток $( \pm 1)$, стоящих на ребрах рассматриваемого отрезка цикла $C$, равно $(+1)$, если ориентации граничных окружностей кольца $K$ одинаковы (т.е.эти окружности изотопны в кольце $K$ с сохранением ориентации), и равно (-1), если они противоположны.

Рис. 18
Напомним, что для ориентируемых седловых элементарных областей мы всегда выбираем на границе ориентацию, индуцированную ориентацией самой области (см. замечание 17). Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 1.7. Пусть $P_{1}, \ldots, P_{m}$ – двумерные ориентированные поверхности $c$ краем, причем на граничных окружностях задана индуцированная ориентация. Рассмотрим поверхноть $M$, склеенную из этих поверхностей по некоторым диффеоморфизмам их граничных окружностей. Изобразим эту склейку в виде графа Г с вериинами $p_{1}, \ldots, p_{m}$, где вершина $p_{i}$ соответствует поверхости $P_{i}$, а каждой склейке $P_{i}$ с $P_{j}$ соответствует ребро, соединяющее $p_{i}$ с $p_{j}$, на котором стоит метка (+1), если эта склейка сохраняет ориентации склеиваемых окружностей, или (-1), если не сохраняет.

Поверхность $М$ ориентируема тогда и только тогда, когда для любого цикла $C$ графа $\Gamma$ произведение меток на ребрах иикла $C$ равно $(-1)^{l(C)}$, где $l(C)-$ длина цикла $C$.
Доказательство.
Поверхность $M$ ориентируема тогда и только тогда, когда ориентации на склеиваемых поверхностях $P_{1}, \ldots, P_{m}$ можно изменить так, чтобы они стали согласованы после склейки. Согласованность ориентаций означает, что все метки на ребрах графа $\Gamma$ равны ( -1 ). Изменению ориентации поверхности $P_{i}$ соответствует изменение меток на противоположные на всех ребрах графа $\Gamma$, инцидентных вершине $p_{i}$. При выполнении такой операции произведение меток на ребрах произвольного цикла графа $\Gamma$ не меняется. Поэтому, если поверхность $M$ ориентируема, то требуемое условие выполнено.

Для доказательства утверждения в обратную сторону рассмотрим следующую одномерную коцепь $\alpha$ на графе $\Gamma$ с коэффициентами в $\mathbb{Z}_{2}$ :
\[
\alpha(e)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если метка на ребре } е \text { равна (-1), } \\
1, & \text { если метка на ребре } е \text { равна (+1). }
\end{array}\right.
\]

Очевидно, что условие
\[
\text { (произведение меток на ребрах цикла } C \text { ) }=(-1)^{l(C)}
\]

равносильно условию $\alpha(C)=0$. Так как это условие выполнено для любого цикла $C$, то коцепь $\alpha$ точна: $\alpha=\delta(\beta)$. При изменении ориентаций всех поверхностей $P_{i}$, для которых $\beta\left(p_{i}\right)=1$, все метки на ребрах графа $\Gamma$ станут равны $(-1)$. Лемма доказана.