Рассмотрим эллипсоид $X$ в трехмерном евклидовом пространстве, задаваемый уравнением
$$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1,$$

где $a<b<c$.
Геодезический поток на эллипсоиде — это гамильтонова система на кокасательном расслоении $T^{\ast }X$ со стандартной симплектической структурой, задаваемая гамильтонианом
$$H(q,p)=\frac{1}{2}\sum g^{ij}(q)p_i{p}_j=\frac{1}{2}|p{|}^2,$$

где $g_{ij}(q)$ — индуцированная риманова метрика на $X,(q,p)\in T^{\ast }X,q\in X$, $p\in T_q^{\ast }X$. Изоэнергетическая поверхность $Q^3=\{2H=|p{|}^2=1\}$ в этом случае является $S^1$-расслоением над $X$ (расслоением единичных ковекторов). Геодезический поток на эллипсоиде допускает дополнительный первый интеграл
$$f_J=abc(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2})(\frac{{\dot{x}}^2}{a}+\frac{{\dot{y}}^2}{b}+\frac{{\dot{z}}^2}{c}).$$

Здесь ( $\dot{x},\dot{y},\dot{z})$ — касательный вектор к геодезической (мы отождествляем естественным способом касательные и кокасательные векторы).

Вторая система (случай Эйлера) задается стандартными уравнениями Эйлера-Пуассона и описывает движение твердого тела, закрепленного в центре масс
$$\begin{array}{rl}\frac{dK}{dt}& =[K,\mathrm{\Omega }]\\ \frac{d\gamma }{dt}& =[\gamma ,\mathrm{\Omega }].\end{array}$$

Здесь $K=(s_1,s_2,s_3)$ — вектор кинетического момента тела, $\mathrm{\Omega }=$ $=(A{s}_1,B{s}_2,C{s}_3)$ — вектор его угловой скорости, $\gamma =(r_1,r_2,r_3)-$ единичный вертикальный вектор (координаты этих векторов записаны в ортонормированном базисе, жестко связанном с телом, оси которого совпадают с главными осями инерции тела). Параметрами задачи служат обратные величины главных моментов инерции твердого тела $A,B,C$, мы полагаем, что все они различны, и $A<B<C$.

Хорошо известно, что эта система дифференциальных уравнений является гамильтоновой в шестимерном пространстве ${\mathbb{R}}^6(s_1,s_2,s_3,r_1,r_2,r_3)$, рассматриваемом как двойственное пространство алгебры Ли $e(3)=so(3)+{\mathbb{R}}^3,s_1\in so(3)$, $r_i\in {\mathbb{R}}^3$. Напомним, что пуассонова структура задается при этом следующими формулами:
$$\{s_i,s_j\}={\epsilon }_{ijk}{s}_k,\{s_i,r_j\}={\epsilon }_{ijk}{r}_k,\{r_i,r_j\}=0.$$

Гамильтониан системы имеет вид
$$H=\frac{1}{2}(A{s}_1^2+B{s}_2^2+C{s}_3^2).$$

Напомним, что эта система уравнений Эйлера-Пуассона всегда имеет два дополнительных интеграла (функции Казимира пуассоновой структуры):
$$\begin{array}{rl}{f}_0& =|\gamma {|}^2=r_1^2+r_2^2+r_3^2,\\ g& =(K,\gamma )=s_1{r}_1+s_2{r}_2+s_3{r}_3.\end{array}$$

Рассмотрим четырехмерное инвариантное подмногообразие $M^4=\{f_0=1,g=0\}$ и ограничим на него рассматриваемую систему. Скобка Пуассона индуцирует на $M^4$ некоторую симплектическую структуру $\omega$. Несложно показать, что получившееся симплектическое многообразие $(M^4,\omega )$ симплектоморфно кокасательному расслоению к двумерной сфере.

Таким образом, при сделанных выше ограничениях рассматриваемые уравнения являются гамильтоновой системой с двумя степенями свободы на $T^{\ast }{S}^2$. Эта система интегрируема по Лиувиллю при помощи дополнительного интеграла
$$f_E=s_1^2+s_2^2+s_3^2.$$

Изоэнергетическая поверхность $Q^3=\{2H=1\}$ в случае Эйлера топологически устроена точно так же, как и в задаче Якоби — это расслоение единичных (ко)векторов над сферой.

В итоге обе системы (задачу Якоби и случай Эйлера) мы можем рассматривать как гамильтоновы системы на кокасательном расслоении к сфере. Более того, случай Эйлера при сделанных выше ограничениях можно рассматривать как геодезический поток некоторой специальной метрики на сфере. См. предыдущую главу 6. Сфера с этой метрикой обычно называется сферой Пуассона. Сфера Пуассона и эллипсоид не изометричны.

Через $v_J(a,b,c)$ и $v_E(A,B,C)$ мы обозначим ограничения рассматриваемых систем Якоби и Эйлера на их изоэнергетические поверхности $Q_J=\{2H_J=1\}$ и $Q_E=\{2H_E=1\}$ соответственно, где $H_J$ и $H_E$ — гамильтонианы задачи Якоби и случая Эйлера, указанные выше.
ЗАмЕчАниЕ. Отметим, что в силу однородности гамильтонианов траекторное строение систем не зависит от выбора уровня энергии. Другими словами, при изменении уровня энергии каждая из систем остается траекторно эквивалентной исходной.

Итак, мы имеем две динамические системы $v_J(a,b,c)$ и $v_E(A,B,C)$, определенные на диффеоморфных изоэнергетических трехмерных многообразиях. Мы хотим теперь выяснить вопрос: насколько рассматриваемые системы похожи, являются ли они траекторно эквивалентными? Если да, то топологически или гладко?