Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим эллипсоид $X$ в трехмерном евклидовом пространстве, задаваемый уравнением где $a<b<c$. где $g_{i j}(q)$ – индуцированная риманова метрика на $X,(q, p) \in T^{*} X, q \in X$, $p \in T_{q}^{*} X$. Изоэнергетическая поверхность $Q^{3}=\left\{2 H=|p|^{2}=1\right\}$ в этом случае является $S^{1}$-расслоением над $X$ (расслоением единичных ковекторов). Геодезический поток на эллипсоиде допускает дополнительный первый интеграл Здесь ( $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})$ – касательный вектор к геодезической (мы отождествляем естественным способом касательные и кокасательные векторы). Вторая система (случай Эйлера) задается стандартными уравнениями Эйлера-Пуассона и описывает движение твердого тела, закрепленного в центре масс Здесь $K=\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}\right)$ – вектор кинетического момента тела, $\Omega=$ $=\left(A s_{1}, B s_{2}, C s_{3}\right)$ – вектор его угловой скорости, $\gamma=\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)-$ единичный вертикальный вектор (координаты этих векторов записаны в ортонормированном базисе, жестко связанном с телом, оси которого совпадают с главными осями инерции тела). Параметрами задачи служат обратные величины главных моментов инерции твердого тела $A, B, C$, мы полагаем, что все они различны, и $A<B<C$. Хорошо известно, что эта система дифференциальных уравнений является гамильтоновой в шестимерном пространстве $\mathbb{R}^{6}\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$, рассматриваемом как двойственное пространство алгебры Ли $e(3)=s o(3)+\mathbb{R}^{3}, s_{1} \in s o(3)$, $r_{i} \in \mathbb{R}^{3}$. Напомним, что пуассонова структура задается при этом следующими формулами: Гамильтониан системы имеет вид Напомним, что эта система уравнений Эйлера-Пуассона всегда имеет два дополнительных интеграла (функции Казимира пуассоновой структуры): Рассмотрим четырехмерное инвариантное подмногообразие $M^{4}=\left\{f_{0}=1, g=0\right\}$ и ограничим на него рассматриваемую систему. Скобка Пуассона индуцирует на $M^{4}$ некоторую симплектическую структуру $\omega$. Несложно показать, что получившееся симплектическое многообразие $\left(M^{4}, \omega\right)$ симплектоморфно кокасательному расслоению к двумерной сфере. Таким образом, при сделанных выше ограничениях рассматриваемые уравнения являются гамильтоновой системой с двумя степенями свободы на $T^{*} S^{2}$. Эта система интегрируема по Лиувиллю при помощи дополнительного интеграла Изоэнергетическая поверхность $Q^{3}=\{2 H=1\}$ в случае Эйлера топологически устроена точно так же, как и в задаче Якоби – это расслоение единичных (ко)векторов над сферой. В итоге обе системы (задачу Якоби и случай Эйлера) мы можем рассматривать как гамильтоновы системы на кокасательном расслоении к сфере. Более того, случай Эйлера при сделанных выше ограничениях можно рассматривать как геодезический поток некоторой специальной метрики на сфере. См. предыдущую главу 6. Сфера с этой метрикой обычно называется сферой Пуассона. Сфера Пуассона и эллипсоид не изометричны. Через $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ мы обозначим ограничения рассматриваемых систем Якоби и Эйлера на их изоэнергетические поверхности $Q_{J}=\left\{2 H_{J}=1\right\}$ и $Q_{E}=\left\{2 H_{E}=1\right\}$ соответственно, где $H_{J}$ и $H_{E}$ – гамильтонианы задачи Якоби и случая Эйлера, указанные выше. Итак, мы имеем две динамические системы $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$, определенные на диффеоморфных изоэнергетических трехмерных многообразиях. Мы хотим теперь выяснить вопрос: насколько рассматриваемые системы похожи, являются ли они траекторно эквивалентными? Если да, то топологически или гладко?
|
1 |
Оглавление
|