Как показано в параграфе 1, различные обобщения классической задачи о движении твердого тела описываются уравнениями Эйлера для алгебры Ли $е(3)$. Аналогичные уравнения можно рассматривать и для других алгебр Ли. Здесь мы исследуем один интегрируемый случай уравнений Эйлера для алгебры Ли so(4).

Алгебра Ли $s o(4)$ реализуется в виде кососимметрических матриц $X$ с обычным коммутатором
\[
[X, Y]=X Y-Y X .
\]

Пусть матрица $X$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{cccc}
0 & -M_{3} & M_{2} & p_{1} \\
M_{3} & 0 & -M_{1} & p_{2} \\
-M_{2} & M_{1} & 0 & p_{3} \\
-p_{1} & -p_{2} & -p_{3} & 0
\end{array}\right) .
\]

Тогда скобка Пуассона-Ли на коалгебре $s o(4)^{*}$, соответствующая коммутатору (10.1), имеет вид
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, p_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} p_{k},\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k} .
\]

Гамильтонова система для алгебры Ли so(4) записывается в виде уравнений Эйлера
\[
\dot{M}_{i}=\left\{M_{i}, H\right\}, \dot{p}_{i}=\left\{p_{i}, H\right\},
\]

где функция $H(M, p)$ – это гамильтониан.
Скобка (10.2) в $\mathbb{R}^{6}(M, p)$ вырождена. Инварианты алгебры Ли $s o(4)$ имеют вид:
\[
f_{1}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}+p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}, f_{2}=M_{1} p_{1}+M_{2} p_{2}+M_{3} p_{3}
\]

и коммутируют со всеми функциями $f(M, p)$. Совместные поверхности уровня функций $f_{1}$ и $f_{2}$ – это орбиты коприсоединенного представления группы Ли $S O(4)$. А именно,
\[
O\left(d_{1}, d_{2}\right)=\left\{f_{1}=d_{1}, f_{2}=d_{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(M, p) .
\]

Ограничение скобки (10.2) на эти орбиты невырождено, т.е. задает на орбитах симплектическую структуру. Орбиты будут неособыми при $d_{1}>2\left|d_{2}\right|$. Они гомеоморфны $S^{2} \times S^{2}$. При $d_{1}=2\left|d_{2}\right|$ получаются сингулярные орбиты, гомеоморфные сфере $S^{2}$. Если $d_{1}<2\left|d_{2}\right|$, то $O\left(d_{1}, d_{2}\right)=\varnothing$. Система (10.3) определяет на орбитах общего положения гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Ее полная интегрируемость по Лиувиллю равносильна существованию одного дополнительного интеграла $K$, функционально независимого с гамильтонианом $H$ на орбитах.
Рассмотрим гамильтониан вида
\[
H=a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}+c_{1} p_{1}^{2}+c_{2} p_{2}^{2}+c_{3} p_{3}^{3} .
\]

Хорошо известно, что, если параметры этого гамильтониана связаны соотношением
\[
a_{1} c_{1}\left(a_{2}+c_{2}-a_{3}-c_{3}\right)+a_{2} c_{2}\left(a_{3}+c_{3}-a_{1}-c_{1}\right)+a_{3} c_{3}\left(a_{1}+c_{1}-a_{2}-c_{2}\right)=0,
\]

то отвечающая ему гамильтонова система вполне интегрируема по Лиувиллю (А.С.Мищенко, Л. А. Дикий, С.В.Манаков). Гамильтониан (10.6) при выполнении условия (10.7) оказывается гамильтонианом так называемой нормальной серии для алгебры Ли $s o(4)$. Систему уравнений (10.3) с гамильтонианом (10.6), (10.7) иногда называют уравнениями движения четырехмерного твердого тела. Это четырехмерный аналог обычного трехмерного случая Эйлера. Подробнее о системах такого типа и теорему о полной интегрируемости по Лиувиллю их многомерных аналогов, т. е. уравнений Эйлера динамики многомерного твердого тела на всех полупростых группах Ли см. в работах А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко. См., в частности, [133]. Обзор см. в [207].

Рассмотрим соотношение (10.7). Легко показать, что оно равносильно выполнению одного из следующих двух условий:
\[
a_{1}+c_{1}=a_{2}+c_{2}=a_{3}+c_{3}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
a_{1} c_{1}=q+r\left(a_{1}+c_{1}\right), \\
a_{2} c_{2}=q+r\left(a_{2}+c_{2}\right), \\
a_{3} c_{3}=q+r\left(a_{3}+c_{3}\right),
\end{array}
\]

где $q, r$ – некоторые постоянные. Если выполнено первое условие (10.8), то гамильтониан (10.6) примет вид:
\[
H_{0}=b_{1} M_{1}^{2}+b_{2} M_{2}^{2}+b_{3} M_{3}^{2}-b_{1} p_{1}^{2}-b_{2} p_{2}^{2}-b_{3} p_{3}^{2} .
\]

Второе условие (10.9) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(r-a_{1}\right)\left(r-c_{1}\right)=r^{2}+q, \\
\left(r-a_{2}\right)\left(r-c_{2}\right)=r^{2}+q, \\
\left(r-a_{3}\right)\left(r-c_{3}\right)=r^{2}+q .
\end{array}
\]

Если $r^{2}+q=0$, то по крайней мере три из коэффициентов $a_{i}, c_{i}(i=1,2,3)$ равны нулю. Тогда линейной заменой координат в $\mathbb{R}^{6}(M, p)$, сохраняющей скобку (10.2), гамильтониан (10.6) приводится к одному из следующих гамильтонианов:
\[
\begin{array}{c}
H_{1}=b_{1} M_{1}^{2}+b_{2} M_{2}^{2}+b_{3} M_{3}^{2}, \\
H_{2}=b_{1} p_{1}^{2}+b_{2} p_{2}^{2}+b_{3} p_{3}^{3} .
\end{array}
\]

Пусть $r^{2}+q
eq 0$. Тогда из (10.11) легко следует, что гамильтониан (10.6) можно записать в виде
\[
H=A H_{3}+r f_{1},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
H_{3}=b_{1} M_{1}^{2}+b_{2} M_{2}^{2}+b_{3} M_{3}^{2}+b_{2} b_{3} p_{1}^{2}+b_{3} b_{1} p_{2}^{2}+b_{1} b_{2} p_{3}^{2} \\
b_{1}=\frac{\left(c_{2}-r\right)\left(c_{3}-r\right)}{r^{2}+q}, b_{2}=\frac{\left(c_{3}-r\right)\left(c_{1}-r\right)}{r^{2}+q}, b_{3}=\frac{\left(c_{1}-r\right)\left(c_{2}-r\right)}{r^{2}+q} \\
A=\frac{\left(a_{1}-r\right)\left(a_{2}-r\right)\left(a_{3}-r\right)}{r^{2}+q} .
\end{array}
\]

Поскольку прибавление инварианта $f_{1}$ к гамильтониану не изменяет систему (10.3), мы получаем, что любой гамильтониан вида (10.6), (10.7) эквивалентен одному из гамильтонианов $H_{0}, H_{1}, H_{2}, H_{3}$, каждый из которых зависит лишь от трех параметров $b_{1}, b_{2}, b_{3}$.

Рассмотрим гамильтониан $H_{1}$. Интеграл для него имеет вид $K_{1}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}$. Очевидно, что гамильтонова система (10.3) с гамиль-
Рис. 5.49 тонианом $H_{1}(10.12$ ) определяет в точности тот же фазовый поток в $\mathbb{R}^{6}$, что и в обычном случае Эйлера. Это видно при замене $S=M, R=p$. Бифуркационная диаграмма отображения
\[
K_{1} \times H_{1}: S^{2} \times S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(k_{1}, h_{1}\right)
\]

изображена на рис. 5.49. Она состоит из пяти отрезков, лежащих на прямых $h_{1}=$ $=b_{i} k_{1}(i=1,2,3), 2 k_{1}=d_{1} \pm\left(d_{1}^{2}-4 d_{2}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$, где $d_{1}$ и $d_{2}$ определяют орбиту (10.5).
Бифуркационная диаграмма отображения
\[
f_{2} \times H_{1}: S^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(d_{2}, h_{1}\right),
\]

где $S^{5}=\left\{f_{1}=d_{1}\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(M, p)$, изображена на рис. 5.50. Она состоит из трех эллипсов и двух вертикальных отрезков $\left\{2 d_{2}= \pm d_{1}, b_{1} d_{1}<2 h<b_{3} d_{1}\right\}$, касающихся всех трех эллипсов. Мы считаем, что $0<b_{1}<b_{2}<b_{3}$. Это – полный набор разделяющих кривых для данного случая. На рис. 5.50 указаны топологический тип $Q$ изоэнергетических 3 -поверхностей и молекула $W$ для каждой области на плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(d_{2}, h_{1}\right)$. А именно, числа, стоящие внутри областей на рис.5.50, указывают номера молекул $W$ из таблицы 5.10, соответствующих данным областям.

Как будет видно из дальнейшего, гамильтониан $H_{1}$ отличается от всех остальных гамильтонианов вида (10.6), (10.7). Исследуем теперь оставшиеся гамильтонианы $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}$.

Рассмотрим гамильтониан $H_{0}$. В качестве интеграла $K_{0}$, функционально независимого с $H_{0}$ на орбитах (10.5), можно взять
\[
\begin{array}{c}
K_{0}=\left(b_{1}+b_{2}\right)\left(b_{1}+b_{3}\right) p_{1}^{2}+\left(b_{2}+\right. \\
\left.+b_{3}\right)\left(b_{2}+b_{1}\right) p_{2}^{2}+\left(b_{3}+b_{1}\right)\left(b_{3}+b_{2}\right) p_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Легко проверить, что все гамильтонианы (10.6), (10.7), кроме гамильтониана $H_{1}$, представляются в виде линейной комбинации
\[
H=\alpha H_{0}+\beta K_{0}+\gamma f_{1},
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ – некоторые коэффициенты. ПоэтоРис. 5.50

му бифуркационные диаграммы для произвольного гамильтониана (10.6), (10.7) получаются из бифуркационных диаграмм отображения
\[
H_{0} \times K_{0}: S^{2} \times S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)
\]

при невырожденном линейном преобразовании плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$. См. параграфы 6,9 .

Бифуркационные диаграммы отображения $H_{0} \times K_{0}$ были найдены А. А. Ошемковым в [154]. Опишем их построение. Будем считать, что коэффициенты гамильтониана $H_{0}$ удовлетворяют условию
\[
0<b_{1}<b_{2}<b_{3} .
\]

Случаи, когда среди $b_{i}$ есть отрицательные числа, сводятся к (10.18) линейной заменой переменных в $\mathbb{R}^{6}(M, p)$, сохраняющей скобку (10.2).

Орбита (10.5) определяется двумя параметрами $d_{1}$ и $d_{2}$. При $2\left|d_{2}\right|<d_{1}$ она гомеоморфна $S^{2} \times S^{2}$. Критические точки функции $\widetilde{H}_{0}=\left.H_{0}\right|_{S^{2} \times S^{2}}$ находятся из условия:
\[
\operatorname{grad} H_{0}=\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2}, f_{1}(M, p)=d_{1}, f_{2}(M, p)=d_{3} .
\]

Решениями системы (10.19) являются 12 критических точек:
\[
\begin{array}{l}
( \pm A, 0,0, \pm B, 0,0),( \pm B, 0,0, \pm A, 0,0),(0, \pm A, 0,0, \pm B, 0), \\
(0, \pm B, 0,0, \pm A, 0),(0,0, \pm A, 0,0, \pm B),(0,0, \pm B, 0,0, \pm A),
\end{array}
\]

где $2 A=\sqrt{d_{1}+2 d_{2}}+\sqrt{d_{1}-2 d_{2}}, 2 B=\sqrt{d_{1}+2 d_{2}}-\sqrt{d_{1}-2 d_{2}}$.

Найдем теперь критические точки функции $\widetilde{K}_{0}=\left.K_{0}\right|_{Q_{c}^{3}}$, где $Q_{c}^{3}=\left\{f_{1}=d_{1}\right.$, $\left.f_{2}=d_{2}, H_{0}=c\right\}$ и $c$ – не критическое значение для $\widetilde{H}_{0}$. Аналогично случаю Стеклова, описанному в параграфе 9 , записываем условие
\[
\operatorname{grad} K_{0}=\mu_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\mu_{2} \operatorname{grad} f_{2}+\mu \operatorname{grad} H_{0}
\]

в виде
\[
G_{\mu}\left(\begin{array}{c}
M \\
p
\end{array}\right)=0, \quad f_{1}(M, p)=d_{1}, \quad f_{2}(M, p)=d_{2},
\]

где $G_{\mu}=G_{K_{0}}-\mu G_{H_{0}}-\mu_{1} G_{1}-\mu_{2} G_{2}$ – матрица, являющаяся линейной комбинацией гессианов функций $f_{1}, f_{2}, H_{0}, K_{0}$. Из явного вида $G_{\mu}$ легко определить, что ранг матрицы $G_{\mu}$ может быть равен 3 или 5 . В случае, когда ранг равен 5 , решениями системы (10.2) будут лишь точки (10.20). Рассмотрим случай, когда ранг матрицы $G_{\mu}$ равен 3 . Пусть $d_{2}
eq 0$. Случай $d_{2}=0$ будет разобран отдельно. Тогда система (10.21) преобразуется к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
\mu_{1} & =-\mu^{2}-\mu\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right), \\
\mu_{2}^{2} & =4 \mu\left(\mu+b_{1}+b_{2}\right)\left(\mu+b_{2}+b_{3}\right)\left(\mu+b_{3}+b_{1}\right), \\
\mu_{2} p_{1} & =2 \mu\left(\mu+b_{2}+b_{3}\right) M_{1}, \\
\mu_{2} p_{2} & =2 \mu\left(\mu+b_{3}+b_{1}\right) M_{2}, \\
\mu_{2} p_{3} & =2 \mu\left(\mu+b_{1}+b_{2}\right) M_{3} \\
M_{1}^{2}+M_{2}^{2} & +M_{3}^{2}+p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=d_{1} \\
M_{1} p_{1} & +M_{2} p_{2}+M_{3} p_{3}=d_{2} .
\end{aligned}
\]

При решении системы (10.22) возникают три качественно различных случая:
(a) $\varphi_{1}<D<1$,
(b) $\varphi_{2}<D<\varphi_{1}$,
(c) $0<D<\varphi_{2}$,

где $D=2 \frac{\left|d_{2}\right|}{d_{1}}$, а $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – некоторые постоннные, зависящие только от параметров гамильтониана $b_{1}, b_{2}, b_{3}$. Второе уравнение в системе (10.22) определяет на плоскости ( $\mu, \mu_{2}$ ) кривую, изображенную на рис. 5.51. Система уравнений (10.22) будет иметь решения тогда и только тогда, когда точка $\left(\mu, \mu_{2}\right.$ ) лежит на отрезках кривой, выделенных на рис. 5.51 жирными линиями. Случаи (a), (b), (c) на рис. 5.51 соответствуют различным интервалам изменения величины $D$, указанным выше.

Если точка $\left(\mu, \mu_{2}\right.$ ) лежит на выделенных отрезках кривой и не совпадает ни с одной из жирных точек, отмеченных на рис. 5.51 цифрами, то решение системы (10.22) – это ровно две окружности в $\mathbb{R}^{6}(M, p)$. При отображении $H_{0} \times K_{0}$

Рис. 5.51
обе эти окружности отображаются в точку $\left(h_{0}(\mu), k_{0}(\mu)\right) \in \mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$, где
\[
\begin{array}{l}
h_{0}(\mu)=d_{1}\left(2 \mu+b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)-d_{2} \frac{d \mu_{2}}{d \mu}, \\
k_{0}(\mu)=d_{1} \mu^{2}+d_{2}\left(\mu_{2}-\mu \frac{d \mu_{2}}{d \mu}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $\mu_{2}(\mu)$ – функция, определяемая вторым уравнением из (10.22). Таким образом, мы получаем отображение (10.23) выделенных отрезков кривой в плоскость $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$. Образ этого отображения и есть бифуркационная диаграмма отображения $H_{0} \times K_{0}: S^{2} \times S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$.

Бифуркационные диаграммы приведены на рис. 5.52. Случаи (a), (b), (c) соответствуют случаям (a), (b), (c) на рис. 5.51. Тот факт, что они имеют вид, изображенный на рис. 5.52, доказывается следующим образом. Точки, отмеченные на рис. 5.51 цифрами, при отображении (10.23) переходят в точки, отмеченные теми же цифрами на рис.5.52. Эти точки являются образами точек (10.20) при отображении $H_{0} \times K_{0}$. Их координаты на плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$ равны
\[
\begin{array}{c}
\left( \pm b_{i} \sqrt{d_{1}^{2}-4 d_{2}^{2}},\left(b_{i}+b_{j}\right)\left(b_{i}+b_{k}\right) \frac{d_{1} \mp \sqrt{d_{1}^{2}-4 d_{2}^{2}}}{2}\right), \\
\{i, j, k\}=\{1,2,3\} .
\end{array}
\]

Таким образом, бифуркационная диаграмма склеивается из отрезков кривой, выделенных на рис. 5.51. Для функций $h_{0}(\mu)$ и $k_{0}(\mu)$, задающих отображение (10.23), выполнено соотношение $\frac{d k_{0}}{d \mu}=\mu \frac{d h_{0}}{d \mu}$. См. лемму 5.2. Отсюда легко определяется выпуклость каждого отрезка бифуркационной диаграммы. Осталось определить, когда бифуркационная кривая имеет точки возврата. Существование у бифуркационной кривой точки возврата при некотором $\mu=\varepsilon$ равносильно выполнению условия $\frac{d h_{0}}{d \mu}(\varepsilon)=0$. Используя явное выражение (10.23) для функции $h_{0}(\mu)$, можно показать, что точки возврата появляются только в случае (с) и расположены так, как изображено на рис.5.52c.

Аналогично тому, как это делалось для случая Стеклова, описанному в параграфе 9 , определяются индексы критических окружностей и перестройки торов Лиувилля.

Рис. 5.52
Теорема 5.12 (А. А. Ошемков). Для гамильтоновой системы (10.3), т.е. для уравнений движения четырехмерного твердого тела с гамильтонианом (10.6), (10.7), бифуркационные диаграммы отображения момента
\[
H \times K: S^{2} \times S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad \text { прu } \quad d_{2}
eq 0
\]

получаются из диаграмм, изображенных на рис. 5.52, при невырожденном линейном преобразовании плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$. Дополнительный интеграл является боттовским на всех неособых изоэнергетических 3-поверхностях $Q_{h}^{3}=\left\{f_{1}=1\right.$, $\left.f_{2}=d_{2}, H=h\right\}$, кроме тех, для которых прямая $\alpha h_{0}+\beta k_{0}=h-\gamma d_{1}$ проходит через точку возврата бифуркационной кривой. Здесь $\alpha, \beta, \gamma$ – это коэффициенты из (10.17). Перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения $H \times K$ указаны на рис.5.52.

При построении бифуркационной диаграммы отображения $H_{0} \times K_{0}$ мы предполагали, что $d_{2}
eq 0$. Разберем теперь случай $d_{2}=0$. Для отображения $H_{0} \times K_{0}:\left\{f_{1}=d_{1}, f_{2}=0\right\} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$ бифуркационная диаграмма сильно упрощается. Она состоит из 4 отрезков и части параболы, касающейся этих отрезков. См. рис.5.53. Уравнения прямых, на которых лежат отрезки, таковы:
\[
k_{0}=\left(b_{i}+b_{j}\right)\left(b_{k} d_{1}-h_{0}\right), \quad\{i, j, k\}=\{1,2,3\} .
\]

Рис. 5.53
Рис. 5.54

Уравнение параболы выглядит так: $4 d_{1} k_{0}=\left(h_{0}-d_{1}\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)\right)^{2}$. Когда $d_{2}$ стремится к нулю, отрезок бифуркационной кривой между точками возврата приближается к отрезку кривой с концами 1,6 и при $d_{2}=0$ сливается с ним. См. рис. 5.52c.

Построенные бифуркационные диаграммы отображения $H_{0} \times K_{0}-$ см. рис. 5.52 – позволяют классифицировать изоэнергетические 3 -поверхности любого гамильтониана (10.6), (10.7). Классификация будет проведена в том же виде, что и в параграфах $3-9$. А именно, на плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(d_{2}, h\right)$ строятся разделяющие кривые и в каждой области указывается, какова возникающая здесь молекула $W$, т. е. инвариант лиувиллевой эквивалентности. Все гамильтонианы (10.6), (10.7), как было отмечено выше, являются линейными комбинациями функций $H_{0}$ и $K_{0}$, за исключением случая (10.12), который уже разобран. Однако для различных линейных комбинаций разделяющие кривые могут качественно отличаться друг от друга. Исследуем, какие типы гамильтонианов получаются для различных линейных комбинаций функций $H_{0}$ и $K_{0}$.

Перенесем прямые, содержащие отрезки бифуркационной диаграммы для $d_{2}=0$ (рис. 5.53), в начало координат. См. рис.5.54. Они разбивают плоскость $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$ на области. Оказывается, тип гамильтониана $(10.6),(10.7)$, представленного в виде линейной комбинации (10.17) функций $H_{0}, K_{0}, f_{1}$, определяется тем, в какую из областей на рис. 5.54 попадает прямая $\alpha h_{0}+\beta k_{0}=0$, где коэффициенты $\alpha, \beta$ берутся из линейной комбинации (10.17). С точностью до знака, каждой из областей на рис. 5.54 соответствует один из следующих гамильтонианов:
\[
\begin{array}{l}
H_{4}=\frac{M_{1}^{2}}{A_{1}}+\frac{M_{2}^{2}}{A_{2}}+\frac{M_{3}^{2}}{A_{3}}+A_{1} p_{1}^{2}+A_{2} p_{2}^{2}+A_{3} p_{3}^{2}, \\
H_{5}=\frac{M_{1}^{2}}{A_{1}}+\frac{M_{2}^{2}}{A_{2}}+\frac{M_{3}^{2}}{A_{3}}-A_{1} p_{1}^{2}-A_{2} p_{2}^{2}-A_{3} p_{3}^{2}, \\
H_{6}=\frac{M_{1}^{2}}{A_{1}}+\frac{M_{2}^{2}}{A_{2}}-\frac{M_{3}^{2}}{A_{3}}+A_{1} p_{1}^{2}+A_{2} p_{2}^{2}-A_{3} p_{3}^{2},
\end{array}
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{3}>0$.

Действительно, если гамильтониан $H$ представлен в виде (10.17), то его можно записать следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
H=\alpha^{2} \beta^{-1}\left(y_{1} M_{1}^{2}+y_{2} M_{2}^{2}+y_{3} M_{3}^{2}+y_{2} y_{3} p_{1}^{2}+y_{3} y_{1} p_{2}^{2}+y_{1} y_{2} p_{3}^{2}\right)+ \\
+\left(\alpha\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)-\alpha^{2} \beta^{-1}+\gamma\right) f_{1}
\end{array}
\]

где $y_{1}=1-\frac{\beta}{\alpha}\left(b_{2}+b_{3}\right), y_{2}=1-\frac{\beta}{\alpha}\left(b_{3}+b_{1}\right), y_{3}=1-\frac{\beta}{\alpha}\left(b_{1}+b_{2}\right)$, а $b_{1}, b_{2}, b_{3}-$ коэффициенты, входящие в $H_{0}$ и $K_{0}$. Таким образом, если $\alpha$ и $\beta$ отличны от нуля, то гамильтониан $H=\alpha H_{0}+\beta K_{0}+\gamma f_{1}$ эквивалентен гамильтониану вида $H_{3}$. См. (10.15). Пусть $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ не равны нулю. Положим
\[
A_{1}=\sqrt{\left|y_{2} y_{3} y_{1}^{-1}\right|}, A_{2}=\sqrt{\left|y_{3} y_{1} y_{2}^{-1}\right|}, A_{3}=\sqrt{\left|y_{1} y_{2} y_{3}^{-1}\right|} .
\]

Подставив выражения (10.28) в (10.27) и разделив на постоянное число, получаем, что гамильтониан (10.27) эквивалентен следующему:
\[
H=\varepsilon_{1} \frac{M_{1}^{2}}{A_{1}}+\varepsilon_{2} \frac{M_{2}^{2}}{A_{2}}+\varepsilon_{3} \frac{M_{3}^{2}}{A_{3}}+\varepsilon_{2} \varepsilon_{3} A_{1} p_{1}^{2}+\varepsilon_{3} \varepsilon_{1} A_{2} p_{2}^{2}+\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} A_{3} p_{3}^{2},
\]

где $\varepsilon_{i}=\operatorname{sgn} y_{i}(i=1,2,3)$. Гамильтониан (10.29) можно привести к виду (10.26), делая замены координат типа
\[
\left(M_{1}^{\prime}, M_{2}^{\prime}, M_{3}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}\right)=\left(M_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{1}, M_{2}, M_{3}\right), A_{2}^{\prime}=A_{2}^{-1}, A_{3}^{\prime}=A_{3}^{-1},
\]

которые сохраняют скобку (10.2).
Сравнивая выражения (10.27) для $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ с уравнениями прямых (10.25), а также учитывая, что $0<b_{1}<b_{2}<b_{3}$, получаем области, соответствующие гамильтонианам $H_{4}, H_{5}, H_{6}$, изображенные на рис. 5.54. Если в формуле (10.17) $\beta=0$, то гамильтониан $H$ эквивалентен гамильтониану $H_{0}$. На рис. 5.54 ему соответствует вертикальная прямая $h_{0}=0$. Если $\alpha=0$ или в выражении (10.27) один из $y_{i}$ равен нулю, то гамильтониан $H$ эквивалентен гамильтониану $H_{2}$. См. (10.13). Этим гамильтонианам соответствуют 4 прямые, разделяющие области на рис. 5.54.

Опишем теперь кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(d_{2}, h\right)$, разделяющие области с различным топологическим типом $Q$ и с различными молекулами $W$, т.е. с различными инвариантами лиувиллевой эквивалентности. Здесь $Q_{h}^{3}=\left\{f_{1}=d_{1}\right.$, $\left.f_{2}=d_{2}, H=h\right\}$, где $H$ – один из гамильтонианов вида $H_{0}, H_{2}, H_{4}, H_{5}, H_{6}$.

Кривые, разделяющие области с различным топологическим типом изоэнергетических 3 -поверхностей, — это бифуркационная диаграмма отображения
\[
f_{2} \times H: S^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\left(d_{2}, h\right)
\]

где $S^{5}=\left\{f_{1}=d_{1}\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(M, p)$. Отсюда получаем, что для любого из исследуемых гамильтонианов критические точки отображения (10.30) заполняют две двумерные сферы
\[
\left\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=d_{1} / 2, M_{1}= \pm p_{1}, M_{2}= \pm p_{2}, M_{3}= \pm p_{3}\right\} \subset S^{5}
\]

и три окружности
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{2}=M_{3}=p_{2}=p_{3}=0, M_{1}^{2}+p_{1}^{2}=d_{1}\right\}, \\
\left\{M_{3}=M_{1}=p_{3}=p_{1}=0, M_{2}^{2}+p_{2}^{2}=d_{1}\right\}, \\
\left\{M_{1}=M_{2}=p_{1}=p_{2}=0, M_{3}^{2}+p_{3}^{2}=d_{1}\right\} \subset S^{5} \subset \mathbb{R}^{6}(M, p) .
\end{array}
\]

Кроме того, для гамильтонианов $H_{4}$ и $H_{6}$ получаем еще две двумерные сферы
\[
\begin{array}{c}
\left\{\left(1+A_{1}^{2}\right) p_{1}^{2}+\left(1+A_{2}^{2}\right) p_{2}^{2}+\left(1+A_{3}^{2}\right) p_{3}^{2}=d_{1}, M_{1}= \pm A_{1} p_{1}\right. \\
\left.M_{2}= \pm A_{2} p_{2}, M_{3}= \pm \sigma A_{3} p_{3}\right\} \subset S^{5} \subset \mathbb{R}^{6}(M, p)
\end{array}
\]

где $\sigma=1$ для гамильтониана $H_{4}$ и $\sigma=-1$ для гамильтониана $H_{6}$.
Критические точки (10.32) переходят при отображении (10.30) в три эллипса, для которых прямая $d_{2}=0$ является осью симметрии, а прямые $2 d_{2}= \pm d_{1}$ – общими касательными. Двумерные сферы (10.31), являющиеся, напомним, орбитами коприсоединенного представления, отображаются в два отрезка, лежащие на прямых $2 d_{2}= \pm d_{1}$. Сферы (10.33) отображаются в другие два отрезка, лежащие на прямых $h= \pm 2 d_{2}$, которые также являются общими касательными к эллипсам. В результате получаем разделяющие кривые, изображенные на рис. 5.55. Пунктирная кривая разделяет области с различными типами молекул $W$. Ее можно построить, определив координаты точек возврата для бифуркационной диаграммы, изображенной на рис. 5.52. Как и в случае Клебша, пунктирная кривая может пересекать различное число областей. Цифрами в скобках на рис. 5.55 указан тип молекул $W$.
Теорема 5.13 (А. А.Ошемков). Любой гамильтониан (10.6), (10.7) типа четырехмерного твердого тела эквивалентен одному из гамильтонианов вида $H_{0}, H_{1}, H_{2}, H_{4}, H_{5}, H_{6}$. См. формулы (10.10), (10.12), (10.13), (10.26). Разделяющие кривые и молекулы $W$, т.е. топологические инварианты системы, приведены:
на рис. 5.50 для гамильтониана $H_{1}$,
на рис.5.55а для гамильтониана $H_{4}$,
на рис. 5.55 для гамильтониана $H_{6}$,
на рис.5.55с для гамильтониана $H_{5}$,
на рис.5.55д для гамильтониана $H_{2}$, где $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ одного знака,
на рис.5.55е для гамильтониана $H_{2}$, где $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ разных знаков,
на рис. $5.55 f$ для гамильтониана $H_{0}$.
При этом вершины, т.е. точки возврата, пунктирной кривой на приведенных рисунках могут при изменении параметров задачи перемещаться из области в область.

Дополнительный интеграл является боттовским на всех изоэнергетических 3-поверхностях $Q_{h}^{3}=\left(f_{1}=d_{1}, f_{2}=d_{2}, H=h\right\}$, для которых точка $\left(d_{2}, h\right)$ не лежит на разделяющей кривой. Список всех молекул для всех гамильтонианов вида (10.6), (10.7) состоит из 9 молекул $W$, показанных в таблице 5.10. Числа, стоящие внутри областей на приведенных рисунках, указывают номера молекул $W$ из таблицы 5.10, соответствующих данным областям.

Рис. 5.55
Рассмотрим, в заключение, связь между случаем Клебша и только что исследованной системой четырехмерного твердого тела. Известно, что алгебру Ли $s o(4)$ можно продеформировать к алгебре Ли $e(3)$, причем при такой деформации гамильтонова система четырехмерного твердого тела переходит в случай Клебша. См., например, [136], [137]. Эту деформацию можно описать следующим образом. Рассмотрим другую скобку $\{,\}^{\prime}$ в $\mathbb{R}^{6}(M, p)$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}^{\prime}=\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, p_{j}\right\}^{\prime}=\varepsilon_{i j k} p_{k},\left\{p_{i}, p_{j}\right\}^{\prime}=\varepsilon_{i j k} M_{k} N^{-2} .
\]

Скобка (10.34) получается из скобки (10.2) при умножении всех $p_{i}$ на некоторую постоянную $N$, что эквивалентно замене базиса в алгебре $s o(4)$. Учитывая это, получаем, что ядро скобки (10.34) порождается функциями
\[
\begin{array}{c}
f_{1}(N)=N^{-2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)+p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}, \\
f_{2}=M_{1} p_{1}+M_{2} p_{2}+M_{3} p_{3} .
\end{array}
\]

Из (10.7) получаем условие интегрируемости гамильтониана (10.6) относительно скобки (10.34):
\[
\begin{array}{c}
a_{1} c_{1}\left(a_{2}-a_{3}\right)+a_{2} c_{2}\left(a_{3}-a_{1}\right)+a_{3} c_{3}\left(a_{1}-a_{2}\right)+ \\
+N^{-2}\left(a_{1} c_{1}\left(c_{2}-c_{3}\right)+a_{2} c_{2}\left(c_{3}-c_{1}\right)+a_{3} c_{3}\left(c_{1}-c_{2}\right)\right)=0 .
\end{array}
\]

Очевидно, что в пределе, при $N \rightarrow \infty$, скобка (10.34) переходит в скобку (1.6) на коалгебре $e(3)^{*}$, а функции (10.35) переходят в инварианты алгебры Ли $e(3)$. Соотношение (10.36) при $N \rightarrow \infty$ переходит в условие Клебша интегрируемости гамильтониана
\[
H=a_{1} S_{1}^{2}+a_{2} S_{2}^{2}+a_{3} S_{3}^{2}+c_{1} R_{1}^{2}+c_{2} R_{2}^{2}+c_{3} R_{3}^{2}
\]

на коалгебре $e(3)^{*}$.
Заметим, что гамильтонианы $H_{2}, H_{4}, H_{5}, H_{6}$ удовлетворяют соотношению (10.36) для любого $N$. Поэтому бифуркационные диаграммы для любого значения $N$ получаются из бифуркационных диаграмм, изображенных на рис. 5.52 , при некотором линейном невырожденном преобразовании плоскости $\mathbb{R}^{2}\left(h_{0}, k_{0}\right)$. Это линейное преобразование зависит от $N$. При $N \rightarrow \infty$ происходит следующее. Точки, отмеченные на рис. 5.52 цифрами $4,5,6$, уходят в бесконечность, и в пределе мы получаем бифуркационные диаграммы для случая Клебша, изображенные на рис. 5.44.

Аналогичная ситуация наблюдается и для разделяющих кривых. Для скобки (10.34) разделяющие кривые имеют вид, изображенный на рис. 5.55. Но вертикальные отрезки, касающиеся эллипсоидов, лежат на прямых $2 d_{2}= \pm d_{1} N$. Поэтому при $N \rightarrow \infty$ эти отрезки также уходнт в бесконечность. И в пределе получаются разделяющие кривые для случая Клебша. См. рис. 5.45. Случаям (a), (c) на рис. 5.55 соответствуют случаи (a), (b) на рис. 5.45. Для рис. 5.55b нет аналога в случае Клебша, так как при деформации алгебры Ли некоторые из изоэнергетических 3 -поверхностей этого случая становятся некомпактными.