Гамильтониан случая Эйлера (1.12) является частным случаем гамильтониана Жуковского (1.16) при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$. Гамильтониан Жуковского имеет вид:
\[
H=\frac{\left(S_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\left(S_{2}+\lambda_{2}\right)^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\left(S_{3}+\lambda_{3}\right)^{2}}{2 A_{3}} .
\]

Дополнительный интеграл имеет здесь вид такой же, как и в случае Эйлера:
\[
K=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} .
\]

Бифуркационные диаграммы отображения момента $K \times H: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, где
\[
T S^{2}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(S, R),
\]

построены в М. П. Харламовым в [219]. Бифуркационная диаграмма задается следующей формулой. Обозначим
\[
a_{1}=A_{1}^{-1}, a_{2}=A_{2}^{-1}, a_{3}=A_{3}^{-1} .
\]

Будем считать, что $a_{1}>a_{2}>a_{3}>0$. Тогда на плоскости переменных $h, k$ бифуркационная диаграмма задается в виде параметризованной кривой $h=h(t)$, $k=k(t)$, где функции $h$ и $k$ таковы:
\[
\begin{array}{l}
h=\frac{t^{2}}{2}\left(\frac{a_{1} \lambda_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2} \lambda_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3} \lambda_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}}\right), \\
k=\frac{a_{1}^{2} \lambda_{1}^{2}}{\left(a_{1}-t\right)^{2}}+\frac{a_{2}^{2} \lambda_{2}^{2}}{\left(a_{2}-t\right)^{2}}+\frac{a_{3}^{2} \lambda_{3}^{2}}{\left(a_{3}-t\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Эта кривая состоит из трех связных компонент, соответствующих трем областям изменения параметра $t$. Области таковы: $\left(a_{3}, a_{2}\right),\left(a_{2}, a_{1}\right),\left(a_{1},+\infty\right) \cup$ $\cup\left(-\infty, a_{3}\right)$. Связные компоненты кривой, отвечающие первым двум интервалам изменения $t$, имеют по одной точке возврата. Третья же компонента связности является гладкой кривой.

При этом следует рассмотреть не всю указанную выше кривую, а лишь ту ее часть, которая попала в область, задаваемую неравенством $g^{2} \leqslant k$. Кроме того, в бифуркационную диаграмму также входит вертикальный отрезок, задаваемый условием $g^{2}=k$, и концами которого являются две точки пересечения отрезка с двумя крайними кривыми диаграммы. См. рис.5.37.

При $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ отличных от нуля, эти диаграммы $\Sigma$ имеют вид, показанный на рис.5.37. При $g=0$ они показаны на рис.5.37a, а при $g
eq 0$ показаны на рис. $5.37(\mathrm{~b}-\mathrm{e})$. При изменении значения $g$, определяющего 4 -многообразие $T S^{2}$, на котором задана система, бифуркационная диаграмма изменяется следующим образом. Отрезок прямой $k=g^{2}$ сдвигается направо и постепенно отсекает куски бифуркационной кривой, на которых расположены точки возврата. При этом куски могут отсекаться в различном порндке. Это зависит от параметров гамильтониана $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$. Позтому при возрастании $g$ мы получим либо последовательность диаграмм (a)-(b)-(c)-(e), либо (a)-(b)-(d)-(e). См. рис. 5.37. Для тех областей на плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$, прообраз которых при отображении $K \times H$ не пуст, цифрами на рис. 5.37 указано количество торов Лиувилля в прообразе каждой точки из соответствующей области. Бифуркационная кривая касается при $g=0$ прямой $k=0$ в точке
\[
h_{0}=\frac{\lambda_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\lambda_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\lambda_{3}^{2}}{2 A_{3}}
\]

Рис. 5.37
и при $g^{2}<\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}$ касается прямой $h=0$ в точке $k_{0}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}$. Шесть ветвей кривой на бесконечности имеют асимптотику
\[
h \approx \frac{k}{2 A_{i}} \pm \frac{\lambda_{i} \sqrt{k}}{A_{i}} .
\]

Рис. 5.38
Если точка, двигаясь по плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$, пересекает бифуркационную диаграмму, то торы Лиувилля, лежащие в прообразе этой точки, некоторым образом перестраиваются. Вид перестроек торов для случая Жуковского определен в [219]. Их можно описать следующим образом. Рассмотрим прямую $h=c$, где $c$ достаточно велико. Тогда, поскольку выполняется (7.1), эта прямая пересекает ветви кривой в определенном порядке. Занумеруем их в этом порядке: $x_{1}, x_{2}$, $x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ (см. рис. 5.38a).

Рис. 5.39
Рассмотрим функцию $\tilde{K}=\left.K\right|_{Q_{c}}$, где $Q_{c}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=c\right\}$. Критическими значениями функции $\widetilde{K}$ будут $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6}$. Молекула $W$, показывающая, как перестраиваются торы Лиувилля вдоль прямой $h=c$, изображена на рис. $5.38 \mathrm{~b}$. Атомы $A$ отвечают окружностям минимума или максимума функции, в атомы $B$ – седловым окружностям функции $\widetilde{K}$. Таким образом, для всех точек кривой перестройки торов Лиувилля описываются явным образом. В прообразе точек из отрезка $k=g^{2}$ лежат только минимальные окружности функции $\tilde{K}$.
Рис. 5.40
Чтобы описать теперь все возможные виды молекул $W$, нужно определить, каким образом прямая $h=c$ пересекает бифуркационную диаграмму при различных $c$. Рассмотрим сначала случай $g=0$. Пусть точка возврата, разделяющая ветви $x_{4}$ и $x_{5}$, имеет на плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$ координаты $\left(k_{1}, h_{1}\right)$, а точка возврата между ветвями $x_{2}$ и $x_{3}$ – координаты $\left(k_{2}, h_{2}\right.$ ). Легко видеть, что при $c=\min \left(h_{1}, h_{2}\right)$ и при $c=\max \left(h_{1}, h_{2}\right)$ происходит бифуркация лиувиллева слоения. См. рис. 5.39. При $c=h_{0}$ изменяется топологический тип изоэнергетической 3 -поверхности $Q$. При этом молекула $W$ сохраняется, а метки на ней меняются, то есть меняется меченая молекула $W^{*}$.

Аналогично разбирается случай $g
eq 0$. Дело в том, что координаты $\left(k_{1}, h_{1}\right)$ и $\left(k_{2}, h_{2}\right.$ ) точек возврата не меняются при изменении $g$. Поэтому и в случае $g
eq 0$ бифуркационные значения $c=\min \left(h_{1}, h_{2}\right)$ и $c=\max \left(h_{1}, h_{2}\right)$ остаются теми же самыми. Однако они исчезают в том случае, когда при изменении параметров системы, точка возврата вообще выходит за образ отображения момента. В итоге получаем, что к кривым, разделяющим области с различным топологическим типом изоэнергетических 3 -поверхностей $Q$ (рис.5.16), надо добавить два горизонтальных отрезка с концами в точках возврата. Тогда топологический тип $Q$ и меченая молекула $W^{*}$ будут совпадать для всех точек из одной области. Различные варианты расположения этих отрезков на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ определяются расположением точек $h_{1}, h_{2}, h_{0}$ на оси $h$. См. также рис. $5.40(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e})$.
Рис. 5.41

Будем изображать кривые, разделяющие области с различным топологическим типом $Q$, сплошными линиями, а кривые, разделяющие области с различными молекулами $W^{*}$, – пунктиром. В каждой из областей будем указывать пару: топологический тип многообразия $Q$ и молекулу $W_{i}^{*}$ для данного $Q$.
Теорема 5.9 (А. А. Ошемков, П. И. Топалов). Для системы с гамильтонианом (1.16), где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}
eq 0$, т. е. в случае Жуковского, разделяющие кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ при различных значениях параметров гамильтониана имеют вид, показанный на рис. $5.41(a-f)$. Для каждой области на рис. 5.41 указаны топологический тип изоэнергетической 3-поверхности $Q$ и молекула $W_{i}^{*}$. Полный список, при различных параметрах гамильтониана, состоит из следующих 13 пар. Сл. таблииу 5.6 и рис. $5.40(a, b, c, d, e)$.
$\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{1}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{2}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{3}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{4}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{5}^{*}\right)$, $\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{Z}_{6}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{Z}_{7}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{Z}_{8}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{Z}_{9}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{Z}_{10}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{Z}_{11}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{Z}_{12}^{*}\right)$, $\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{Z}_{13}^{*}\right)$.

Номера на рис. 5.40 отвечают нумерации в таблице 5.6. На рис. 5.40 уровни $H=\mathrm{const}$, указанные пунктиром, изображены для удобства гладкими кривыми линиями. На самом деле эти линии являются прямыми, но мы нарисовали их искривленными, чтобы изобразить все различные случаи на одном и том же рисунке бифуркационной диаграммы. Иначе прицлось бы рисовать много похожих бифуркационных диаграмм для разных случаев взаимного расположения двух точек возврата $\left(k_{1}, h_{1}\right)$ и $\left(k_{2}, h_{2}\right)$ и точки касания оси $H$ с бифуркационной диаграммой.

Дополнительный интеграл Эйлера-Жуковского является боттовским на тех и только тех изоэнергетических 3-поверхностях $Q^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$, для которых точка $(g, h)$ не принадлежит разделяющим кривым, показанным на рис. 5.41 .
Рис. 5.42
Напомним, что можно рассмотреть гамильтониан (1.12), получающийся из гамильтониана (1.16) при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$, т.е. случай Эйлера. Бифуркационная диаграмма отображения момента $K \times H$ для случая Эйлера получается, как видно, предельным переходом из случая Жуковского при $\lambda \rightarrow 0$. При этом ветви кривой, изображенной на рис. 5.37 , попарно сливаются: $x_{1}$ и $x_{2}, x_{3}$ и $x_{4}, x_{5}$ и $x_{6}$. В результате получаем бифуркационную диаграмму на рис. 5.42. Она состоит из трех лучей
\[
\left\{h=\frac{k}{2 A_{i}}, k \geqslant g^{2}\right\} \quad \text { и отрезка } \quad\left\{k=g^{2}, \frac{g^{2}}{2 A_{3}} \leqslant h \leqslant \frac{g^{2}}{2 A_{1}}\right\} .
\]

При слиянии ветвей бифуркационной диаграммы для случая Жуковского критические окружности переходят на один уровень. В результате возникают молекулы $\mathcal{E}_{2}^{*}, \mathcal{E}_{3}^{*}$, которых в случае Жуковского не было. Полная лиувиллева классификация систем Эйлера дана в таблице 5.7.