3.2.1. Случай квадратичного интеграла

Напомним, что метрика на бутылке Клейна называется глобально лиувиллевой, если при ее поднятии на накрывающий тор получается глобально лиувиллева метрика на торе.

Напомним описание полного набора метрик на бутылке Клейна, обладающих квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Рассмотрим две положительные функции $f(x)$ и $g(y)$, удовлетворяющие следующим свойствам:
1) $f(x)$ периодична с периодом $\frac{1}{2}$ и отлична от постоянной,
2) $g(y)$ – четная периодическая функция с периодом $L$ и тоже отлична от постоянной.

Рассмотрим на накрывающей плоскости $R^{2}$ лиувиллеву метрику $(f(x)+$ $+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Представим тор $T^{2}$ в виде фактора $R^{2} / \Gamma$, где решетка $\Gamma$ порождена векторами
\[
f_{1}=(1,0) \quad \text { и } \quad f_{2}=(0, L) .
\]

Рассмотрим на торе инволюцию $\xi$, задаваемую в координатах $x, y$ следующими формулами:
\[
\xi(x, y)=\left(x+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Инволюция $\xi$ не имеет неподвижных точек на торе и меняет ориентацию. Несложно проверить, что бутылку Клейна можно тогда представить в виде $K^{2}=T^{2} / \xi$. В силу выбора функций $f$ и $g$, инволюция $\xi$ сохраняет метрику тора. Поэтому эту метрику можно спустить вниз с тора на бутылку Клейна, факторизуя по действию $\xi$. Получится метрика на $K^{2}$. Такие метрики задаются тремя параметрами $L, f, g$ и поэтому были названы выше $(L, f, g)$-метриками.

Рассмотрим двулистное накрытие $\pi: T^{2} \rightarrow K^{2}$, отвечающее описанной инволюции. Оно индуцирует двулистное накрытие (которое мы для простоты обозначим той же буквой) $\pi: Q_{T}^{3} \rightarrow Q_{K}^{3}$ соответствующих изоэнергетических 3 -поверхностей, отвечающих тору и бутылке Клейна. Ясно, что $\pi$ является послойным отображением лиувиллевых слоений на $Q_{T}^{3}$ и $Q_{K}^{3}$. В частности, отсюда сразу следует, что молекула $W_{T}$ (описывающая слоение на $Q_{T}^{3}$ ) двулистно накрывает молекулу $W_{K}$ (описывающую слоение на $Q_{K}^{3}$ ). Инволюция $\xi$ с тора $T^{2}$ естественно определяет инволюцию на изоэнергетической поверхности $Q_{T}^{3}$. Отображение $\pi: Q_{T}^{3} \rightarrow Q_{K}^{3}$ является в действительности факторизацией $Q_{T}^{3}$ по действию этой инволюции. Отсюда следует, что и молекула $W_{K}$ получается из $W_{T}$ естественной факторизацией по действию $\xi$.

Легко видеть, что инволюция $\xi$, действующая на многообразии $Q_{T}^{3}$, диффеоморфном 3-тору $T^{3}$, сохраняет его ориентацию. Поэтому фактор-многообразие $Q_{K}^{3}=Q_{T}^{3} / \xi$ снова диффеоморфно 3-тору $T^{3}$.

Опишем теперь действие этой инволюции на слоении 3 -многообразия $Q_{T}$ более подробно. Структура этого слоения была описана нами в предыдущем разделе, и соответствующая молекула была изображена на рис.3.6а. Условная схема этого слоения показана также на рис.3.11. Как мы подробно объясняли выше, многообразие $Q_{T}$ разбивается на четыре связные компоненты $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$. Слоения Лиувилля на кусках $Q_{I}$ и $Q_{I I}$ изоморфны между собой и имеют тип прямого произведения $P^{2} \times S^{1}$, где $P^{2}$ является Рис. 3.15 кольцом с координатами ( $y, p_{y}$ ), причем $y$ – периодическая координата. На этом кольце задана функция $-p_{y}^{2}+g(y)$, задающая слоение на $P^{2} \times S^{1}$. Инволюция $\xi$ действует на $P^{2} \times S^{1}$ по формуле:
\[
\xi:\left(y, p_{y}, x\right) \rightarrow\left(-y,-p_{y}, x+\frac{1}{2}\right) .
\]

Здесь $x=x(\bmod 1)-$ координата на окружности $S^{1}$. Поскольку функция $g(y)$ – четная, то инволюция $\xi$ сохраняет линии уровня функции $-p_{y}^{2}+g(y)$ на кольце, а следовательно, сохраняет слоение в $Q_{I}$. Действие инволюции $\xi$ на кольце $P^{2}$ показано на рис.3.15. Кольцо поворачивается вокруг вертикальной оси на угол $\pi$. Линии уровня переходят в себя, слоение на $Q_{I}$ также переходит в себя. Следовательно, возникает некоторое слоение на многообразии $Q_{I} / \xi$, получающемся из $Q_{I}$ факторизацией по действию $\xi$. Молекулу, отвечающую этому слоению, обозначим через $\widetilde{W}(g)$. Аналогичные события происходят и на 3 -многообразии $Q_{I I}$. И здесь получается слоение, описываемое той же молекулой $\widetilde{W}(g)$.

Опишем структуру молекулы $\widetilde{W}(g)$. Для этого рассмотрим взаимодействие инволюции $\xi$ с атомами исходной молекулы $W(g)$. Напомним, что атомы здесь бывают только двух типов: $V_{k}$ и $P_{m}$. Рассмотрим кольцо на рис. 3.15 , расслоенное на линии уровня функции $-p_{y}^{2}+g(y)$, и переберем все возможные случаи действия инволюции. Отметим, что неподвижная точка инволюции всегда является критической точкой функции $-p_{y}^{2}+g(y)$, а следовательно, является вершиной какого-то атома в слоении Лиувилля.

Случай (а). Ось инволюции проходит мимо атома $V_{2 k}$, который переходит в себя под действием $\xi$. См. рис. 3.16a. Ясно, что здесь атом $V_{2 k}$ факторизуется и превращается в новый атом $V_{k}$. Число его вершин уменьшится ровно вдвое.
Случай (b). Ось инволюции протыкает атом $V_{2 k+1}$ ровно в одной его вершине.

При этом атом переходит в себя под действием $\xi$. См. рис. $3.16 \mathrm{~b}$. Ясно, что в этом случае атом $V_{2 k+1}$ факторизуется и превращается в новый атом $V_{k}^{*}$, где звездочка указывает, что у этого атома появилась одна выделенная вершина, которую мы обозначаем звездочкой. Это – именно та вершина, которая была единственной неподвижной точкой инволюции $\xi$.

Случай (с). Ось инволюции проходит мимо атома $P_{2 k}$. См. рис. 3.16 с. При этом атом $P_{2 k}$ переходит в себя под действием $\xi$. В этом случае атом $P_{2 k}$ факторизуется и превращается в новый атом $V_{k}$.

Случай (d). Ось инволюции протыкает атом $P_{2 k+1}$ ровно в одной его вершине. См. рис. $3.16 \mathrm{~d}$. Тогда атом $P_{2 k+1}$ факторизуется и превращается в новый атом $V_{k}^{*}$, где звездочка означает, что у этого атома появилась ровно одна вершина-звездочка.

Случай (е). Ось инволюции протыкает атом $P_{2 k}$ ровно в двух его вершинах. См. рис. $3.16 \mathrm{e}$. Тогда атом $P_{2 k}$ факторизуется и превращается в новый атом $V_{k-1}^{* *}$, у которого есть ровно две вершины-звездочки.

Случай (f). Инволюция переставляет местами два изоморфных седловых атома вида $V_{k}$. См. рис. $3.16 \mathrm{f}$. В результате эти два атома превращаются в один атом $V_{k}$.

Случай (g). Инволюция отображает в себя атом $A$. См. рис. $3.16 \mathrm{~g}$. В результате атом $A$ превращается при факторизации снова в атом $A$.

Случай (h). Инволюция переставляет местами два изоморфных атома $A$. См. рис. $3.16 \mathrm{~h}$. В результате два атома $A$ склеиваются при факторизации в один атом $A$.

Теперь мы можем полностью описать построение молекулы $\widetilde{W}(g)$ по молекуле $W(g)$. Нужно взять молекулу $W(g)$ и рассмотреть на ней инволюцию $\xi$. Затем, в соответствии с приведенным выше списком правил $(a), \ldots,(h)$, нужно проследить за результатом действия инволюции на всех атомах, составляющих молекулу $W(g)$. Факторизуя молекулу $W(g)$ по действию $\xi$, получаем молекулу $\widetilde{W}(g)$.

Проиллюстрируем этот алгоритм, приведя примеры простейших получающихся таким образом молекул $\widetilde{W}(g)$. Перечислим все случаи, когда число критических точек функции $-p_{y}^{2}+g(y)$ не более четырех.
ПримеР 1. Пусть исходная молекула $W(g)$ включала в себя фрагмент, показанный на рис. $3.17(1)$. В результате атом $B$ превратится в атом $A^{*}$, и указанный фрагмент молекулы превратится в граф, показанный на том же рисунке.
Пример 2. Атом $C_{2}$ с двумя верхними концами $A$ превращается после факторизации в атом $A^{* *}$ с одним верхним концом $A$. См. рис. $3.17(2)$.
Пример 3. Атом $C_{2}$ с двумя верхними концами $A$ превращается после факторизации в атом $B$ с двумя верхними концами $A$. См. рис. 3.17(3).
ПримЕР 4. Пара атомов $B$ после факторизации превращается в пару атомов $A^{*}$. См. рис. 3.17(4).

Неподвижные точки инволюции $\xi$ на этих рисунках обозначены звездочками.

Мы изучили лиувиллевы слоения на 3 -кусках $Q_{I}, Q_{I I}$. Перейдем теперь к двум оставшимся кускам $Q_{I I I}, Q_{I V}$.

Слоения Лиувилля на кусках $Q_{I I I}$ и $Q_{I V}$ изоморфны между собой и имеют тип прямого произведения $P^{2} \times S^{1}$, где $P^{2}$ является кольцом с координатами ( $x, p_{x}$ ), причем $x$ – периодическая координата. На этом кольце задана функция $p_{x}^{2}-f(x)$, задающая слоение на $P^{2} \times S^{1}$. Инволюция $\xi$ действует на $P^{2} \times S^{1}$ по формуле:
\[
\xi:\left(y, p_{x}, x\right) \rightarrow\left(-y, p_{x}, x+\frac{1}{2}\right) .
\]

Здесь $y=y(\bmod L)$ – координата на окружности $S^{1}$. Поскольку функция $f(x)$ имеет период $\frac{1}{2}$, то инволюция $\xi$ сохраняет слоение, переставляя между собой два куска $Q_{I I I}$ и $Q_{I V}$. При этом $\xi$ диффеоморфно переводит слоение на $Q_{I I I}$ в слоение на $Q_{I V}$. А поэтому две ветви молекулы $W$, изоморфные $W(f)$, при факторизации отождествляются (склеиваются) и дают всего лишь одну ветвь, изоморфную $W(f)$. Следует отметить, что возникающие здесь молекулы $W(f)$ не произвольны, а обладают внутренними симметриями, поскольку функция $f$ имеет период $\frac{1}{2}$, а не 1 . Поэтому, если рассматривать функцию $p_{x}^{2}-f(x)$ на кольце $P^{2}$, то она должна выдерживать поворот кольца на угол $\pi$. Это приводит к тому, что молекула $W(f)$ выдерживает некоторую дополнительную инволюцию и является $\mathbb{Z}_{2}$-симметричной.
Рис. 3.19
Объединяя теперь полученную нами информацию о действии $\xi$ на всех четырех кусках $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V}$, получаем, что после факторизации по $\xi$ исходная молекула $W$ превращается в молекулу $\widetilde{W}$, показанную на рис. 3.18. Действие инволюции $\xi$ на исходной молекуле $W$ очень наглядно видно из рис.3.18. Нужно повернуть молекулу $W$ относительно пунктирной оси, показанной на рисунке. При этом два графа $W(f)$ отождествятся, а каждый из графов $W(g)$ останется на своем месте, но подвергнется факторизации, в результате чего здесь появятся два графа $\widetilde{W}(g)$.
Итак, мы описали построение молекулы $\widetilde{W}$, отвечающей заданной квадратично интегрируемому геодезическому потоку на бутылке Клейна (где обе функции $f$ и $g$ не постоянны).
Теорема 3.3 (В. С. Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана ( $L, f, g)$-метрика $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где функции $f$ и не постоянны. Изоэнергетическая 3-поверхность $Q$ диффеоморфна здесь трехмерному тору $T^{3}$. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока на изоэнергетической поверхности $Q=T^{3}$ задается молекулой $\widetilde{W}$, построение которой описано выше. См. рис.3.18. При этом метки на графе нужно поставить следующим образом.
a) На внутренних ребрах графа $W(f)$ нужно поставить те же метки, что и в случае тора. А именно, на ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. На ребрах между седловыми атомами и атомами вида $A$ г-метки равны нулю. На двух ребрах, соединяющих гра $W(f)$ с двумя экземплярами графа $\widetilde{W}(g)$, г-метки равны нулю.
б) В графе $\widetilde{W}(g)$ метки таковы. На ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. Между седловыми атомами и атомами типа $A$ метки г равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом $А$ отвечает неподвижной точке инволюции $\xi$. См. рис.3.16g. В этом случае $r$-метка равна $\frac{1}{2}$.
в) Все метки типа в в молекуле $\widetilde{W}$ равны +1 .
г) В молекуле $\widetilde{W}$ имеется ровно три семьи. Одна – это граф $W(f)$, две другие – это графы $\widetilde{W}(g)$. На семъе $W(f)$ метка $п$ равна нулю. А на каждой из семей $\widetilde{W}(g)$ метка $п$ равна -1 .

Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис.3.19.

Доказательство теоремы получается из тех соображений, что слоение Лиувилля для случая бутылки Клейна получается факторизацией по действию инволюции $\xi$ лиувиллева слоения для случая тора. Мы явно описали выше структуру этого накрытия. Для нахождения меток нужно вновь рассмотреть допустимые системы координат и вычислить матрицы склейки по алгоритму, который уже демонстрировался выше. Мы опустим технические детали.
3.2.2. Случай линейного интеграла

В этом случае метрика на бутылке Клейна имеет описанный выше вид, однако функция $f(x)$ здесь постоянна. Тогда метрика допускает линейный интеграл вида $p_{x}$. Как и в предыдущем случае, лиувиллево слоение изоэнергетической поверхности $Q_{K}$ для бутылки Клейна получается факторизацией лиувиллева слоения 3 -поверхности $Q_{T}$ для тора по действию инволюции $\xi$.

В этом случае лиувиллево слоение для тора имеет вид, показанный на рис.3.20. Изображена соответствующая молекула. Действие инволюции $\xi$ сводится здесь к повороту молекулы вокруг вертикальной оси. Затем нужно профакторизовать молекулу $W$ по действию такой инволюции. Таким образом, алгоритм изготовления молекулы $\widetilde{W}$ из молекулы $W$ точно такой же, как и в квадратичном случае. В результате получается молекула, показанная на рис.3.20.
Теорема 3.4 (В.С.Матвеев). Пусть
Рис. 3.20
на бутылке Клейна задана $(L, g)$-метрика $g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где функция $g$ не постоянна. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока на изоэнергетической поверхности $Q$ задается молекулой $\widetilde{W}$, построение которой описано выше. См. рис.3.20. При этом метки на графе нужно поставить следующим образом. На ребре, соединяющем два экземпляра графа $\widetilde{W}(g), r$-метка равна бесконечности. Метка є на этом ребре равна $\varepsilon=-1$. Внутри графов $\widetilde{W}(g)$ метки типа $r$ такие же, как и в теореме 3.3. Далее, здесь имеется ровно одна семья и отвечающая ей метка п равна -2.
Рис. 3.21
Тем самым, получена полная лиувиллева классификация линейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис. 3.21.
3.2.3. Случай квазилинейного интеграла

В этом случае риманова метрика имеет такой вид, как и в разделе 2.1 , но только функция $g(y)$ здесь равна нулю. Таким образом, получается метрика на бутылке Клейна, имеющая вид $f(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где $f(x)$ – положительная гладкая функция на отрезке $[0,1]$ с периодом $\frac{1}{2}$. Интеграл здесь имеет вид $p_{y}^{2}$, то есть является квадратичным на бутылке Клейна. Дело в том, что на бутылке Клейна из него нельзя извлечь квадратный корень, поскольку функция $p_{y}$ не определена однозначно на всей бутылке Клейна. Объяснение этому простое: наверху, то есть на накрывающем торе, функция $p_{y}$ не выдерживает инволюции $\xi$, поскольку под действием $\xi$ функция $p_{y}$ меняет знак. Но, поднимая эту метрику с бутылки Клейна на накрывающий тор, мы получаем на торе уже линейно интегрируемый геодезический поток. Поэтому внизу, т.е. на бутылке Клейна, геодезический поток этой метрики является квадратично интегрируемым, а его прообраз наверху, т.е. на торе, уже линейно интегрируем.
Поступая далее как и выше, приходим к следующей классификации квазилинейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. Схема факторизации молекулы $W$ изображена на рис. 3.22 . Инволюция $\xi$ оставляет неподвижными два тора Лиувилля, являющиеся средними точками двух вертикальных ребер молекулы. Эти торы отвеРис. 3.22 чают в точности уровням $p_{y}=0$, то есть нулевому значению квадратичного интеграла $p_{y}^{2}$. Оказывается, в результате факторизации по инволюции $\xi$ эти торы превращаются в бутылки Клейна. Это следует из того, что при естественной проекции каждый из этих торов Лиувилля отображается диффеоморфно на базу кокасательного расслоения (т. е. на тор). При этом инволюция на верхнем торе получена поднятием инволюции с базы. На базе факторизация по инволюции давала бутылку Клейна. Следовательно, и наверху происходит то же самое. В результате молекула, изображенная на рис. 3.22 , превращается в молекулу $W(f)$ с двумя концами, заканчивающимися бутылками Клейна $K$. Структура получившейся молекулы $W(f)$ точно такая же, как и в теореме 3.3.
Теорема 3.5 (В. С. Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана $(L, f, 0)$-метрика $f(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где функция $f$ не постоянна. Тогда слоение Лиувилля ее геодезического потока на изоэнергетической поверхности $Q$ задается молекулой $\widetilde{W}$, построение которой описано выше. См. рис.3.22. При этом метки на графе $\widetilde{W}$ нужно поставить так.
a) Метки на графе $W(f)$ такие же, как и в теореме 3.3. А именно, на ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. На ребрах между седловыми атомами и атомами вида А г-метки равны нулю.
Рис. 3.23
б) На двух ребрах, соединяющих граф $W(f)$ с двумя экземплярами атома $K$, $r$-метки равны нулю.
в) Все метки типа в в молекуле $\widetilde{W}$ равны +1 .
г) В молекуле $\widetilde{W}$ имеется ровно три семьи. Одна – это граф $W(f)$, две другие – это атомы $K$. На семье $W(f)$ метка $n$ равна нулю. На каждой из семей $К$ метка $n$ тоже равна 0.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квазилинейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис.3.23.

Доказательство теоремы получается путем рассмотрения двулистного накрытия над молекулой $\widetilde{W}$. Детали мы опускаем.
3.2.4. Случай квазиквадратичного интеграла

Напомним вид метрик на бутылке Клейна, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи интеграла степени 4 (степень которого не может быть понижена, но который может быть сделан квадратичным при переходе к накрытию).

Пусть $a$ и $b$ – натуральные взаимно простые числа и $f$ – положительная периодическая функция одной переменной с периодом 1 и отличная от постоянной. Рассмотрим на плоскости стандартные декартовы координаты $x, y$ и зададим метрику по формуле:
\[
d s^{2}=\left(f(x)+f\left(y+\frac{b}{2}\right)\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Пусть $\Gamma$ – ортогональная решетка на плоскости, порожденная векторами $f_{1}=(a,-a), f_{2}=(b, b)$ (рис. 3.24). Она получается из стандартной решетки путем поворота на $\frac{\pi}{4}$. Под стандартной решеткой здесь мы понимаем решетку с базисными векторами, направленными по осям $x$ и $y$. Легко видеть, что указанная метрика инвариантна по отношению к сдвигам на элементы решетки $\Gamma$. Следовательно, эта метрика корректно определяет некоторую метрику на торе. Кстати, она является конечнолистно лиувиллевой, так как решетка $Г$ не является стандартной.
Рис. 3.24
Зададим теперь на торе инволюцию $\xi:(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow\left(y+\frac{b}{2}, x+\frac{b}{2}\right)$. Факторизуя тор по действию инволюции $\xi$, получаем бутылку Клейна. Легко видеть, что метрика на торе инвариантна относительно инволюции $\xi$, а потому определяет некоторую метрику на бутылке Клейна $K^{2}$. Обозначим эту метрику через $d s_{a, b, f}^{2}$.
Следуя уже изложенной выше схеме, отмечаем, что инволюция $\xi$ порождает послойную инволюцию слоения Лиувилля на $Q_{T}$. Поэтому, факторизуя 3 -многообразие $Q_{T}$ по действию инволюции $\xi$, мы получаем, что молекула $W$ также факторизуется. Этот процесс изображен на рис.3.25. Молекула $W$ перегибается пополам, в результате чего два экземпляра $W(f)$ отождествляются с другими двумя экземплярами $W(f)$, а в середине двух вертикальных ребер (на месте их перегиба) появляются два новых атома $K$, отвечающих появившимся здесь критическим бутылкам Клейна. В результате возникает новая молекула $\widetilde{W}$ (рис. 3.26 ).
Рис. 3.25
Рис. 3.26
Введем новое целое число $k=k(a, b)$ по следующему правилу. Число $k(a, b)$ лежит в интервале $(0,2 a b)$. Далее, $2 a$ делит $k-1$, и $2 b$ делит $k+1$. Легко проверяется, что такое число $k$ существует и единственно.
Теорема 3.6 (В.С.Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана описанная выше метрика $d s_{a, b, f}^{2}$, где положительная и периодическая функция $f$ не постоянна. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока на изоэнергетической поверхности $Q$ задается молекулой $\widetilde{W}$, построение которой описано выше. См. рис.3.25. При этом, метки на графе $\widetilde{W}$ нужно поставить так.

а) Метки на графе $W(f)$ такие же, как и в теореме 3.3. А именно, на ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. На ребрах между седловыми атомами и атомами вида $A$ г-метки равны нулю.
б) На ребре, соединяющем два экземпляра графа $W(f)$, метка $r$ равна $-\frac{k}{(2 a b)} \bmod 1$.
в) На двух ребрах, соединяющих графы $W(f)$ с двумя экземплярами атома $К$ метки $r$ равны $\left(-\frac{a}{b}\right) \bmod 1$.
а) Все метки типа в в молекуле $\widetilde{W}$ равны +1 .
д) В молекуле $\widetilde{W}$ имеется ровно четыре семьи. Две из них – это графы $W(f)$, две другие – это атомы $K$. На каждой из семей $W(f)$ метка $n$ равна нулю. На каждой из семей $К$ метка $n$ равна $\left[-\frac{a}{b}\right]$.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квазиквадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис. 3.26.
ЗАМЕчАНИЕ. Отметим, что здесь вновь понвились довольно причудливые рациональные $r$-метки, а именно, $r=-\frac{k}{(2 a b)}$. Объясняется это тем, что метрика, поднятая с бутылки Клейна на тор, оказывается конечнолистно лиувиллевой. А меченые молекулы таких метрик (как мы уже видели) несут на себе $r$-метки произвольного вида $\frac{k}{p}$.

Доказательство теоремы тоже получается путем перехода к двулистному накрытию над бутылкой Клейна. Детали мы опускаем.