4.3.1. Трехосный эллипсоид

Геодезический поток метрики стандартного эллипсоида (как двумерного, так и многомерного) изучался многими авторами. См., например, [225], [316], $[322],[343],[139],[238],[385]$.
Рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}$ обычный эллипсоид, задаваемый следующим уравнением в декартовых координатах:
\[
\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}=1
\]

где $a<b<c$. Рассмотрим риманову метрику, индуцированную на эллипсоиде объемлющей евклидовой метрикой. Соот-
Рис. 4.11 ветствующий ей геодезический поток оказывается интегрируемым. Этот факт впервые был обнаружен Якоби $[225],[316]$.

Чтобы показать это, удобно воспользоваться эллиптическими координатами в $\mathbb{R}^{3}$. Напомним их определение.

Эллиптические координаты точки $P=(x, y, z)$ в $\mathbb{R}^{3}$ определяются как три вещественных корня $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\lambda_{3}$ кубического уравнения
\[
\frac{x^{2}}{a+\lambda}+\frac{y^{2}}{b+\lambda}+\frac{z^{2}}{c+\lambda}=1 .
\]

Если точка $P$ не лежит на координатных плоскостях в $\mathbb{R}^{3}$, то указанное уравнение имеет три действительных корня $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\lambda_{3}$, причем корень $\lambda_{1}$ лежит в интервале $(-a, \infty)$, корень $\lambda_{2}$ лежит в интервале $(-b,-a)$, а корень $\lambda_{3}-$ в интервале $(-c,-b)$. Отвечающие этим трем случаям координатные 2 -поверхности $\lambda_{i}=$ const в $\mathbb{R}^{3}$ выглядят так. Это — эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды соответственно. См. рис.4.11. Исходный эллипсоид задается тогда уравнением $\lambda_{1}=0$, а две оставшиеся координаты $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ можно рассмотреть как локальные регулярные координаты на этом эллипсоиде. Линии уровня этих координат показаны на рис.4.12. (Отметим, кстати, что это — линии кривизны эллипсоида).

Полезно указать явные формулы, выражающие декартовы координаты через эллиптические:
\[
\begin{aligned}
x^{2} & =\frac{\left(a+\lambda_{1}\right)\left(a+\lambda_{2}\right)\left(a+\lambda_{3}\right)}{(a-b)(a-c)}, \\
y^{2} & =\frac{\left(b+\lambda_{1}\right)\left(b+\lambda_{2}\right)\left(b+\lambda_{3}\right)}{(b-a)(b-c)}, \\
z^{2} & =\frac{\left(c+\lambda_{1}\right)\left(c+\lambda_{2}\right)\left(c+\lambda_{3}\right)}{(c-a)(c-b)} .
\end{aligned}
\]

Евклидова метрика $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$ записывается в эллиптических координатах следующим образом:
\[
\begin{aligned}
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a+\lambda_{1}\right)\left(b+\lambda_{1}\right)\left(c+\lambda_{1}\right)} d \lambda_{1}^{2}\right. & +\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a+\lambda_{2}\right)\left(b+\lambda_{2}\right)\left(c+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}^{2}+ \\
& \left.+\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a+\lambda_{3}\right)\left(b+\lambda_{3}\right)\left(c+\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Ограничивая эту метрику на исходный эллипсоид, т.е. полагая $\lambda_{1}=0$, получаем формулу для метрики на эллипсоиде в эллиптических координатах:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)\left(\frac{\lambda_{2}}{\left(a+\lambda_{2}\right)\left(b+\lambda_{2}\right)\left(c+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}^{2}-\frac{\lambda_{3}}{\left(a+\lambda_{3}\right)\left(b+\lambda_{3}\right)\left(c+\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}^{2}\right) .
\]

Обозначая полином $(a+\lambda)(b+\lambda)(c+\lambda)$ через $P(\lambda)$, можно теперь записать метрику на эллипсоиде (в эллиптических координатах) так:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)\left(\frac{\lambda_{2}}{P\left(\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}^{2}-\frac{\lambda_{3}}{P\left(\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}^{2}\right) .
\]

Этот вид метрики практически является лиувиллевым (такой вид метрики мы назвали выше почти лиувиллевым), поскольку заменой
\[
\sqrt{\frac{\lambda_{2}}{P\left(\lambda_{2}\right)}}=d u, \quad \sqrt{\frac{-\lambda_{3}}{P\left(\lambda_{3}\right)}}=d v
\]

метрика приводится к лиувиллеву виду:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\lambda_{2}(u)-\lambda_{3}(v)\right)\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Опираясь на предыдущие результаты, можно сразу найти молекулу $W^{*}$ для геодезического потока эллипсоида. Достаточно убедиться, что функции $\lambda_{2}(u)$ и $\lambda_{3}(v)$ являются одногорбыми, то есть имеют ровно один максимум на интервале изменения переменной $u$. Границы интервала изменения для $u$ полностью определяются границами интервала изменения корня $\lambda_{2}$. А этот корень изменяется от $-b$ до $-a$. Наличие ровно одного максимума для функции $\lambda_{2}(u)$ следует из того, что, согласно формулам замены (определяющим переменную $u$ ), мы имеем:
\[
\frac{d \lambda_{2}}{d u}=\sqrt{\frac{\lambda_{2}}{P\left(\lambda_{2}\right)}},
\]
т.е. производная $\frac{d \lambda_{2}}{d u}$ не меняет знака в каждом октанте в $\mathbb{R}^{3}$. Она либо положительна (во всем октанте), либо отрицательна. Следовательно, на объединении двух октантов производная $\frac{d \lambda_{2}}{d u}$ обращается в ноль ровно один раз в середине интервала. Следовательно, у функции $\lambda_{2}(u)$ максимум ровно один.

Таким образом, мы попадаем в ситуацию общей теоремы классификации интегрируемых геодезических потоков на сфере, задаваемых лиувиллевой метрикой
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\lambda_{2}(u)-\lambda_{3}(v)\right)\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Поскольку, как мы доказали, функция $\lambda_{2}(u)$ имеет ровно один максимум (аналогичное утверждение верно и для функции $\lambda_{3}(v)$ ), то молекула $W^{*}$ геодезического потока эллипсоида имеет вид, показанный на рис. 3.35 а в главе 3 .
Найдем теперь функцию вращения на четырех ребрах этой молекулы. Для этого нужно воспользоваться предложением 4.6 настоящей главы. Отметим, что в предложении 4.6 вычисление функции вращения проведено в лиувиллевых координатах $u, v$. Рис. 4.13 Можно сразу выполнить все вычисления в исходных эллиптических координатах $\lambda_{2}, \lambda_{3}$. Для этого сначала нужно описать торы Лиувилля и ввести на них параметризацию. Рассмотрим на эллипсоиде кольцо, задаваемое уравнением $-c \leqslant \lambda_{3} \leqslant-t$. См. рис. 4.13. Можно считать, что это кольцо задается параметром $t$. Оно является проекцией тора Лиувилля. Известно, что геодезические эллипсоида, лежащие на этом торе, ведут себя как показано на рис. 4.13, то есть движутся синусоидальным образом, попеременно касаясь границ кольца (являющееся проекцией именно этого тора). На самом деле этому кольцу отвечают два тора Лиувилля. Различаются они направлением движения геодезических. Один тор получается из другого путем обращения ориентации на геодезических.

Аналогичным образом описываются и два других семейства торов Лиувилля. Они отвечают геодезическим, движущимся по кольцам вида $-t \leqslant \lambda_{2} \leqslant-a$. Таким образом, параметр $t$ на торах Лиувилля меняется от значения $a$ до значения $c$. При этом, изменяясь от $a$ до $b$, параметр $t$ описывает все торы Лиувилля на двух нижних ребрах молекулы $W^{*}$, показанной на рис. 3.35 а в главе 3 . А при изменении $t$ от значения $b$ до значения $c$, мы получаем торы Лиувилля на двух верхних ребрах молекулы. Значение $t=b$ является, следовательно, бифуркационным. В этот момент одно семейство торов перестраивается в другое семейство торов. Эта бифуркация и отвечает атому $C_{2}$ (расположенному в центре молекулы).

Теперь мы можем найти функцию вращения для тора Лиувилля, отвечающему параметру $t$.
Гамильтониан $H$ геодезического потока эллипсоида имеет вид:
\[
H=\frac{2}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}}\right) .
\]

Без ограничения общности можно считать, что на рассматриваемом торе Лиувилля $H=1$. Тогда легко видеть, что тор Лиувилля, отвечающий параметру $t$, задается двумя уравнениями вида:
\[
\frac{2 P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}}-\lambda_{2}=t, \quad \frac{2 P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}}-\lambda_{3}=t .
\]

Вычислим сначала переменные действия $I_{\lambda}, I_{\mu}$ на данном торе Лиувилля, отвечающие циклам $\lambda$ и $\mu$, где $\lambda=\left\{\lambda_{2}=\right.$ const $\}, \mu=\left\{\lambda_{3}=\right.$ const $\}$. Будем считать для определенности, что параметр $t$ меняется от $a$ до $b$. Имеем:
\[
I_{\lambda}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\lambda}\left(p_{2} d \lambda_{2}+p_{3} d \lambda_{3}\right),
\]

где интеграл берется по циклу $\lambda=\left\{\lambda_{2}=\right.$ const $\}$. Учитывая это, получаем:
\[
I_{\lambda}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\lambda} p_{3} d \lambda_{3} .
\]

Подставляя сюда выражение $p_{3}$ через $\lambda_{3}$ и учитывая, что цикл $\lambda$ на торе получается при четырехкратном пробегании параметром $\lambda_{3}$ отрезка $[-c,-b]$, получаем:
\[
I_{\lambda}=\frac{2}{\pi} \int_{-c}^{-b} \sqrt{\frac{\left(t+\lambda_{3}\right) \lambda_{3}}{2 P\left(\lambda_{3}\right)}} d \lambda_{3} .
\]

Аналогичным образом подсчитывается переменная действия $I_{\mu}$ :
\[
I_{\mu}=\frac{2}{\pi} \int_{-t}^{-a} \sqrt{\frac{\left(t+\lambda_{2}\right) \lambda_{2}}{2 P\left(\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2} .
\]

Теперь можно вычислить функцию вращения на нижних ребрах молекулы $W$, пользуясь обычной формулой для $\rho$ :
\[
\rho(t)=-\frac{\frac{\partial I_{\mu}}{\partial t}}{\frac{\partial I_{\lambda}}{\partial t}}=\frac{\int_{-t}^{-a} \Phi(u, t) d u}{\int_{-c}^{-b} \Phi(u, t) d u},
\]

где $\Phi(u, t)=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{(u+a)(u+b)(u+c)(u+t)}} \cdot$ Здесь $t$ меняется от $a$ до $b$.
Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах молекулы $W$ :
\[
\rho(t)=\frac{\int_{-b}^{-a} \Phi(u, t) d u}{\int_{-c}^{-t} \Phi(u, t) d u}
\]

Здесь $t$ меняется от $b$ до $c$.
Тем самым, мы полностью вычислили молекулу $W^{*}$ и функцию вращения для геодезического потока эллипсоида, т.е. для задачи Якоби.

Отметим, что мы несколько раз пользовались соглашением, что полуоси эллипсоида попарно различны. Если некоторые из них совпадают, то эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а геодезический поток становится линейно интегрируемым.
4.3.2. Стандартная сфера

Интегрирование геодезического потока метрики стандартной сферы никаких затруднений, конечно, не вызывает. Однако для нас особый интерес представляет явный вид метрики сферы, записанной в лиувиллевом виде. Это будет нужно, например, для построения богатого семейства гладких метрик с замкнутыми геодезическими.

Сейчас нам потребуются специальные координаты в $\mathbb{R}^{3}$ — так называемые сферо-конические. Они получаются предельным переходом из эллиптических координат. Для начала нужно рассмотреть поведение эллиптических координат на бесконечности, точнее, когда координата $\lambda_{1}$ устремляется к бесконечности. Это означает, что эллипсоиды (задаваемые как поверхности уровня именно этой координаты: $\lambda_{1}=$ const) начинают раздуваться и превращаться в увеличивающиеся сферы. Поверхности второго и третьего семейств, а именно, однополостные и двуполостные гиперболоиды, на бесконечности превращаются в два семейства эллиптических конусов. Подвергая затем эту асимптотическую картину эллиптических координат сжимающей гомотетии, можно перенести ее в конечные области пространства $\mathbb{R}^{3}$. В результате получатся сферо-конические координаты в $\mathbb{R}^{3}$. Координатные поверхности первого семейства — это концентрические сферы, а координатные поверхности двух других семейств — это эллиптические конусы.

Сферо-конические координаты $
u_{2},
u_{3}$ получаются тогда как корни уравнения второго порядка
\[
\frac{x^{2}}{a+
u}+\frac{y^{2}}{b+
u}+\frac{z^{2}}{c+
u}=0 .
\]

Его можно трактовать как предел кубического уравнения
\[
\frac{x^{2}}{a+\lambda}+\frac{y^{2}}{b+\lambda}+\frac{z^{2}}{c+\lambda}=1,
\]

когда точка с координатами $(x, y, z)$ стремится в бесконечности. А первая сфероконическая координата $
u_{1}$ — это просто сумма квадратов:
\[

u_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2} .
\]

Итак, рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}$ сферо-конические координаты ( $\left.
u_{1},
u_{2},
u_{3}\right)$. Явные формулы, выражающие декартовы координаты $x, y, z$ через сферо-конические $
u_{1},
u_{2},
u_{3}$, таковы:
\[
\begin{aligned}
x^{2} & =\frac{
u_{1}\left(a+
u_{2}\right)\left(a+
u_{3}\right)}{(a-b)(a-c)}, \\
y^{2} & =\frac{
u_{1}\left(b+
u_{2}\right)\left(b+
u_{3}\right)}{(b-a)(b-c)}, \\
z^{2} & =\frac{
u_{1}\left(c+
u_{2}\right)\left(c+
u_{3}\right)}{(c-a)(c-b)} .
\end{aligned}
\]

Евклидова метрика $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$ записывается в сфероконических координатах следующим образом:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{
u_{1}} d
u_{1}^{2}-\frac{
u_{1}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)}{\left(a+
u_{2}\right)\left(b+
u_{2}\right)\left(c+
u_{2}\right)} d
u_{2}^{2}-\frac{
u_{1}\left(
u_{3}-
u_{2}\right)}{\left(a+
u_{3}\right)\left(b+
u_{3}\right)\left(c+
u_{3}\right)} d
u_{3}^{2}\right) .
\]

Ограничим эту метрику на стандартную сферу, которая задается в сфероконических координатах простым уравнением: $
u_{1}=1$. Получим следующий вид стандартной метрики двумерной сферы в сферо-конических координатах:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{1}{\left(a+
u_{2}\right)\left(b+
u_{2}\right)\left(c+
u_{2}\right)} d
u_{2}^{2}+\frac{1}{\left(a+
u_{3}\right)\left(b+
u_{3}\right)\left(c+
u_{3}\right)} d
u_{3}^{2}\right) .
\]

Или же, используя предыдущие обозначения, получаем:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{P\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{P\left(
u_{3}\right)}\right)
\]

где $P(
u)=(a+
u)(b+
u)(c+
u)$.
Тем самым, стандартная метрика сферы записалась почти в лиувиллевом виде. Чтобы получить в точности лиувиллев вид, осталось снова сделать замену
\[
\frac{d
u_{2}}{\sqrt{-P\left(
u_{2}\right)}}=d u, \quad \frac{d
u_{3}}{\sqrt{P\left(
u_{3}\right)}}=d v
\]

В результате метрика сферы примет лиувиллев вид:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}(u)-
u_{3}(v)\right)\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Как видно из построения, лиувиллевы координаты на стандартной 2-сфере определены неоднозначно. Например, можно по-разному выбирать значения параметров $a, b, c$.

Отметим далее, что если у нас появилось лиувиллево представление для метрики, то сразу возникает квадратичный интеграл соответствующего геодезического потока. Этот интеграл задает лиувиллево слоение, поэтому можно выделить однопараметрические семейства торов Лиувилля, изучить их бифуркации и в итоге построить меченую молекулу с функцией вращения. В данном случае (т.е. для метрики стандартной сферы) молекула $W^{*}$ будет такой же, как и для эллипсоида. Все рассуждения можно провести здесь по аналогии со случаем эллипсоида. Торы Лиувилля будут снова проектироваться на аналогичные кольца на сфере. Кольца первого семейства задаются уравнением $-c \leqslant
u_{3} \leqslant-t$. Кольца второго семейства задаются уравнением $-t \leqslant
u_{2} \leqslant-a$.

В заключение интересно явно выписать функцию вращения для стандартной метрики сферы и убедиться, что она постоянна и равна 1. Для случая метрики стандартной сферы это заранее известно и очевидно в силу замкнутости всех геодезических. Дословно повторяя предыдущие рассуждения при вычислении функции вращения для трехосного эллипсоида, получаем для стандартной сферы следующий ответ:
\[
\rho(t)=\frac{\int_{-t}^{-a} N(u, t) d u}{\int_{-c}^{-b} N(u, t) d u}
\]

где $N(u, t)=\frac{1}{\sqrt{-(u+a)(u+b)(u+c)(u+t)}} \cdot$ Здесь $t$ меняется от $a$ до $b$.

Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах молекулы $W^{*}$ :
\[
\rho(t)=\frac{\int_{-b}^{-a} N(u, t) d u}{\int_{-c}^{-t} N(u, t) d u}
\]

Здесь $t$ меняется от $b$ до $c$.
Отметим, что $N(u, t)$ можно переписать в виде
\[
N(u, t)=\frac{1}{\sqrt{-P(u)(u+t)}},
\]

где $P(u)=(u+a)(u+b)(u+c)$.
Оба этих выражения для $\rho(t)$ тождественно равны единице, что легко следует из хорошо известных формул теории эллиптических интегралов.
4.3.3. Сфера Пуассона

Сферой Пуассона называется двумерная сфера, снабженная следующей римановой метрикой
\[
d s^{2}=\frac{a d x^{2}+b d y^{2}+c d z^{2}}{\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}},
\]

где $x, y, z$ — декартовы координаты в $\mathbb{R}^{3}$, а числа $a<b<c$ — произвольные положительные. Здесь предполагается, что написанная метрика в $\mathbb{R}^{3}(x, y, z)$ должна быть ограничена на стандартно вложенную сферу $S^{2}=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ в $\mathbb{R}^{3}(x, y, z)$. Напомним, что эту же метрику на сфере Пуассона можно определить по-другому. Нужно рассмотреть группу вращений $S O(3)$, снабженную левоинвариантной римановой метрикой, определяемой диагональной матрицей $\operatorname{diag}(a, b, c)$. Эта матрица задает скалярное произведение на алгебре Ли этой группы. Разнося это скалярное произведение левыми сдвигами по группе, мы и получаем некоторую левоинвариантную метрику. Затем нужно рассмотреть левое действие окружности $S^{2}$ на группе $S O(3)$ и перейти к фактор-пространству группы по этому действию. Получится двумерная сфера. При этом исходная левоинвариантная метрика на группе индуцирует некоторую метрику на базе, т.е. на сфере. Это и есть метрика на сфере Пуассона.

Запишем эту метрику в сферо-конических координатах $
u_{2},
u_{3}$ на 2-сфере, вложенной в $\mathbb{R}^{3}$. Декартовы координаты $x, y, z$ на сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ следу-

ющим образом выражаются через сферо-конические координаты $
u_{2},
u_{3}$ :
\[
\begin{aligned}
x^{2} & =\frac{\left(a+
u_{2}\right)\left(a+
u_{3}\right)}{(a-b)(a-c)} \\
y^{2} & =\frac{\left(b+
u_{2}\right)\left(b+
u_{3}\right)}{(b-a)(b-c)} \\
z^{2} & =\frac{\left(c+
u_{2}\right)\left(c+
u_{3}\right)}{(c-a)(c-b)}
\end{aligned}
\]

Подставляя эти выражения в формулу для метрики Пуассона, записанную выше, получаем:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4} a b c\left(\frac{1}{
u_{3}}-\frac{1}{
u_{2}}\right)\left(\frac{
u_{2} d
u_{2}^{2}}{P\left(
u_{2}\right)}-\frac{
u_{3} d
u_{3}^{2}}{P\left(
u_{3}\right)}\right),
\]

где $P(
u)=(a+
u)(b+
u)(c+
u)$.
В заключение отметим следующее. Из предыдущего получаем, что выражение в числителе (метрики Пуассона) $a d x^{2}+b d y^{2}+c d z^{2}$ задает нам метрику эллипсоида. А конформный множитель
\[
\frac{1}{\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}}
\]
(в метрике Пуассона) вычисляется теперь в сферо-конических координатах по простой формуле:
\[
\frac{a b c}{
u_{2}
u_{3}} \text {. }
\]

В результате получаем, что метрика на сфере Пуассона связана с метрикой эллипсоида так:
\[
d s_{\text {ефера Пуассона }}^{2}=\frac{d s_{\text {эллипсоид }}^{2} a b c}{
u_{2}
u_{3}} .
\]

Легко проверяется, что меченая молекула $W^{*}$ для метрики на сфере Пуассона имеет тот же вид, что и в случае эллипсоида. См. рис. 3.35 в главе 3.

Осталось написать функцию вращения для сферы Пуассона. Вычисления здесь совершенно аналогичны проведенным выше. В результате получаются следующие формулы:
\[
\rho(t)=\frac{\int_{-t}^{-a} S(u, t) d u}{\int_{-c}^{-b} S(u, t) d u}
\]

где $S(u, t)=\frac{-u}{\sqrt{-(u+a)(u+b)(u+c)(u+t)}} \cdot$ Здесь $t$ меняется от $a$ до $b$.

Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах молекулы $W^{*}$ :
\[
\rho(t)=\frac{\int_{-b}^{-a} S(u, t) d u}{\int_{-c}^{-t} S(u, t) d u} .
\]

Здесь $t$ меняется от $b$ до $c$.