Пусть $\left(M^{4}, \omega\right)$ – симплектическое четырехмерное многообразие, a $\operatorname{sgrad} H$ гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану $H$. Предположим, что система $v=\operatorname{sgrad} H$ имеет независимый дополнительный первый интеграл $F$. Обозначим $Q_{h}=\left\{x \in M^{4} \mid H(x)=h\right\}=\{H=h\}$, где $h-$ peгулярное значение $H$. Система $v=\operatorname{sgrad} H$ может быть ограничена на $Q_{h}$, ибо гамильтониан сохраняется потоком системы $v=\operatorname{sgrad} H$. Будем считать, что $M^{4}$ компактно, хотя в большинстве случаев нам будет достаточно, чтобы все слои лиувиллева слоения были компактны. Все объекты, если это не оговорено особо, будем считать класса гладкости $C^{\infty}$.
Определение 2.1. Будем называть интеграл $F$ системы $v=\operatorname{sgrad} H$ невырожденным (боттовским) на $Q_{h}$, если критическое множество функции $\left.F\right|_{Q_{h}}$ на $Q_{h}$ – объединение невырожденных многообразий, то есть гессиан функции $\left.F\right|_{Q_{h}}$ невырожден на трансверсальных к этим многообразиям плоскостях. Будем говорить, что система $v=\operatorname{sgrad} H$ боттовская на $Q_{h}$, если существует дополнительный интеграл, боттовский на $Q_{h}$.

Здесь уместно заметить, что вообе одна и та же система допускает много дополнительных интегралов. Например, если задан один такой интеграл $F_{1}$, то можно изготовить еще один, $F_{2}$, взяв его равным $F_{2}=G\left(H, F_{1}\right)$ для какой-нибудь функции $G$. Более того, даже если $F_{1}$ был невырожденным на $Q_{h}$, может получиться так, что интеграл $F_{2}$ уже не является боттовским. Это обстоятельство оправдывает определение боттовской системы на $Q_{h}$.

Невырожденные одномерные критические многообразия делятся на два класса. Первый класс – минимальные или максимальные, когда собственные числа гессиана одного знака. Второй класс – седловые, когда собственные числа – разного знака.

Напомним, что с интегрируемой системой $v=\operatorname{sgrad} H$ и ее первым интегралом $F$ связаны два объекта – отображение момента и бифуркационная диаграмма.
Определение 2.2. Отображением момента $\mathcal{F}: M^{4} \rightarrow R^{2}$ называется отображение $\mathcal{F}(x)=(H(x), F(x)) \in R^{2}$.
Определение 2.3. Бифуркационной диагрммой называется множество $\Sigma \subset R^{2}$, определяемое условием
\[
\Sigma=\mathcal{F}(K)
\]

где $K \subset M^{4}$ – критическое множество
\[
K=\left\{x \in M^{4} \mid \operatorname{rank} d \mathcal{F}(x)<2\right\} .
\]

Для того, чтобы изучать свойства общего положения интегрируемых систем, необходимо ввести понятие пространства интегрируемых систем и ввести в нем метрику. Это можно сделать по-разному.

Пусть $\mathbf{H}$ – множество гамильтонианов на $M^{4}$, допускающих дополнительный независимый интеграл. Поскольку $\mathbf{H} \subset C^{n}\left(M^{4}, R\right)$, то на Н задана естественная $C^{n}$-метрика. Таким образом, две системы в этом пространстве близки, если соответствующие гамильтонианы близки в $C^{n}$-метрике. При этом близость дополнительных интегралов не предусматривается. Будем называть эту метрику слабой.

Пусть НF – множество пар функций на $M^{4}$, коммутирующих относительно скобки Пуассона. HF $\subset C^{n}\left(M^{4}, R^{2}\right)$, поэтому на HF задана естественная $C^{n}$-метрика. В этой метрике две системы близки, если близки гамильтонианы и дополнительные интегралы. Данную метрику будем называть сильной.

Как оказалось, возмущения систем в этих двух метриках существенно отличаются. При возмущениях в слабой метрике тологическая структура интегрируемой гамильтоновой системы не является устойчивой. В сильной же метрике невырожденные системы составляют открытое множество. Для систем, удовлетворяющих дополнительным условиям, удается доказать, что они могут быть приближены невырожденными.