В этом параграфе мы покажем, что система, имеющая только боттовские и вырожденные окружности общего вида, топологически устойчива на всем симплектическом многообразии.

Пусть $M^{4}$ – симплектическое многообразие, $H$ – гладкий гамильтониан, $F$ – дополнительный интеграл системы $v=\operatorname{sgrad} H$. Пусть $a, b, a<b-$ регулярные значения $H$. Рассмотрим следующие условия на систему:
(i) Для любого $h \in[a, b], h$ – регулярное зачение $H$;
(ii) $H^{-1}([a, b])$ – компактно;
(iii) На множестве $H^{-1}([a, b])$ имеются только боттовские окружности, регулярные торы и вырожденные окружности общего вида, и на $H^{-1}(a) \cup H^{-1}(b)$ нет вырожденных окружностей;
(iv) На каждой связной компоненте множества $\mathcal{F}^{-1}(p)$ имеется не более одной критической окружности;
(v) Для любого $h \in[a, b]$ на многообразии $H^{-1}(h)$ имеется не более одной вырожденной окружности.

Теорема 2.10. Пусть на симплектическом многообразии $M^{4}$ имеется гладкое семейство интегрируемых гамильтоновых систем с гамильтонианом $H_{\varepsilon}$ и дополнительным интегралом, гладко зависящими от параметра є. Допустим, что для некоторых $a$, система $v=\operatorname{sgrad} H_{0}$ и интеграл $F_{0}$ удовлетворяют набору условий (i)-(v). Тогда при достаточно малом $|\varepsilon|$ системы $v=\operatorname{sgrad} H_{0} u u=\operatorname{sgrad} H_{\varepsilon}$ лиувиллево эквивалентны на множествах $H_{0}^{-1}([a, b])$ и $H_{\varepsilon}^{-1}([a, b])$, причем лиувиллеву эквивалентность можно выбрать как переводящую один уровень энергии в другой.
Доказательство.
В силу компактности множества $H_{0}^{-1}([a, b])$ и изолированности вырожденных окружностей, их будет конечное число. Обозначим все вырожденные окружности, содержащиеся в этом множестве, через $\gamma_{r}, 0<r \leqslant N$. Положим $h_{r}=H\left(\gamma_{r}\right)$. Можно считать, что
\[
a<h_{1}<h_{2}<\ldots<h_{N}<b
\]
(см. рис. 4). В силу теоремы о неустранимости вырожденных окружностей общего вида, при достаточно малом $|\varepsilon|$ окружности $\gamma_{r}$ сохранятся, лишь немного продеформировавшись. Обозначим их $\gamma_{r}^{\varepsilon}, h_{r}^{\varepsilon}=H_{\varepsilon}\left(\gamma_{r}^{\varepsilon}\right)$. Подберем гладкую монотонно возрастающую функцию $l(x)$, такую, что
1) $l(a)=a, l(b)=b$;
2) $h_{r}=l\left(h_{r}^{\varepsilon}\right), 0<r \leqslant N$.

При $h eq h_{r}$ системы на $H_{0}^{-1}(h)$ и $H_{\varepsilon}^{-1}(h)$ лиувиллево эквивалентны в силу теоремы о топологической устойчивости боттовских систем. При $h=h_{r}$ системы на $H_{0}^{-1}(h)$ и $H_{\varepsilon}^{-1}(h)$ лиувиллевы эквивалентны в силу сохранения типа вырожденной окружности общего вида. Ясно, что гомеоморфизмы, осуществляющие лиувиллеву эквивалентность, можно сшить в единый гомеоморфизм. Это и завершает доказательство теоремы.
ЗАМЕчАниЕ 2. При отсутствии условия (v) можно доказать Рис. 4 аналогичную теорему. Однако она не будет гарантировать существование лиувиллевой эквивалентности, переводнщей изоэнергетическое подмногообразие в изоэнергетическое подмногообразие.