Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.3.1. Поверхности вращения Рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}$ двумерную поверхность вращения $M^{2}$, задающуюся уравнением $r=r(z)$ в стандартных цилиндрических координатах $r, \varphi, z$. В качестве локальных координат на $M^{2}$ выберем $z$ и $\varphi$. Тогда риманова метрика, индуцированная на $M^{2}$ объемлющей евклидовой метрикой, имеет вид Пусть $z=z(t), \varphi=\varphi(t)$ – параметрическое уравнение геодезической на $M^{2}$, а $\psi$ – угол между вектором скорости геодезической и параллелью на поверхности вращения. Теорема 2.4 (Клеро). где $c$ – произвольная постоянная, а сами геодезические (без учета их параметризации) задаются следующей явной формулой: Доказательство. Поскольку $r=r(z)$, то $H$ не зависит от координаты $\varphi$, и функция $p_{\varphi}$ является первым интегралом системы. Чтобы выяснить геометрический смысл этого интеграла, перейдем к координатам касательного расслоения. Напомним (см. предложение 2.1), что импульс и скорость связаны между собой следующими соотношениями: Пусть $e_{\varphi}=(0,1)$ – касательный вектор к параллели на поверхности вращения $M^{2}$. Вычисляя угол $\psi$ между этим вектором и вектором скорости $\dot{\gamma}=(\dot{z}, \dot{\varphi})$ геодезической $\gamma$ (см. рис. 2.2), получаем: Рис. 2.2 Напишем теперь в явном виде уравнения геодезических на поверхности вращения. Используя условие $r \cos \psi=c=$ const, получаем: В этом уравнении параметр $t$ вдоль кривой можно уже предполагать произвольным, т.е. не обязательно натуральным. Если в качестве $t$ можно взять координату $z$, то уравнение легко перепишется в нужном нам виде. Интегрируя затем его правую часть, получаем явные формулы для геодезических на поверхности вращения. Определение 2.1. Риманова метрика на двумерной поверхности $M^{2}$ называется лиувиллевой, если в подходящих локальных координатах $x$ и $y$ она записывается в виде где $f(x)$ и $g(y)$ – произвольные гладкие положительные функции. а сами геодезические задаются соотношением где а и с – некоторые константы. Легко проверяется, что функция является первым интегралом этого потока. Поскольку функция $H$ сохраняется вдоль геодезического потока, то функция вида $\frac{F}{H}=\left(\frac{p_{x}^{2}}{H}\right)-f$ тоже является интегралом. Перейдем теперь к координатам на касательном расслоении к поверхности, используя для этого стандартную замену Переписывая в этих координатах интеграл $\frac{F}{H}$, получаем Или В этом уравнении параметризация кривой уже не важна в силу однородности выражения относительно производных. Преобразуя это соотношение, получаем уравнение для геодезических в полных дифференциалах которое легко интегрируется. Теорема доказана. где $\psi$ – угол между вектором скорости геодезической и линиями уровня координаты $x$ на поверхности. Это выражение напоминает аналогичную формулу из теоремы Клеро для поверхностей вращения. Это не случайно и объясняется тем, что метрики на поверхностях вращения являются частным случаем лиувиллевых метрик. Чтобы убедиться в этом, нужно сделать замену $z=z(y), \varphi=x$, приводнщую метрику на поверхности вращения к конформному виду. Этот вид будет лиувиллевым. Достаточно положить $g=r^{2}, f=0$. Интеграл лиувиллевой метрики превращается тогда в квадрат интеграла Клеро. где $f, g, \alpha, \beta$ – гладкие функции. Мы будем называть такие метрики почти лиувиллевыми. Конечно, не составляет труда привести эту метрику к лиувиллеву виду (в смысле, употреблнвшемся выше). Для этого достаточно сделать очевидную замену: Однако и без такого приведения можно сразу выписать формулы для геодезических почти лиувиллевой метрики. Формулы таковы: где $a$ и $c$ – некоторые константы.
|
1 |
Оглавление
|