2.3.1. Поверхности вращения

Рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}$ двумерную поверхность вращения $M^{2}$, задающуюся уравнением $r=r(z)$ в стандартных цилиндрических координатах $r, \varphi, z$. В качестве локальных координат на $M^{2}$ выберем $z$ и $\varphi$. Тогда риманова метрика, индуцированная на $M^{2}$ объемлющей евклидовой метрикой, имеет вид
\[
d s^{2}=\left(1+\left(r^{\prime}\right)^{2}\right) d z^{2}+r^{2}(z) d \varphi^{2} .
\]

Пусть $z=z(t), \varphi=\varphi(t)$ — параметрическое уравнение геодезической на $M^{2}$, а $\psi$ — угол между вектором скорости геодезической и параллелью на поверхности вращения.

Теорема 2.4 (Клеро).
1) Геодезический поток поверхности вращения в $\mathbb{R}^{3}$ вполне интегрируем по Лиувиллю. Функция $r \cos \psi$ постоянна вдоль каждой геодезической, т.е. является его первым интегралом.
2) Уравнение геодезических на поверхности вращения имеет вид
\[
\frac{d \varphi}{d z}=c \frac{\sqrt{1+r^{\prime 2}}}{\sqrt{r\left(r^{2}-c^{2}\right)}},
\]

где $c$ — произвольная постоянная, а сами геодезические (без учета их параметризации) задаются следующей явной формулой:
\[
\varphi(z)=\int \frac{d \varphi}{d z} d z=\int c \frac{\sqrt{1+r^{\prime 2}}}{\sqrt{r\left(r^{2}-c^{2}\right)}} d z .
\]

Доказательство.
Запишем гамильтониан геодезического потока в естественных координа$\operatorname{тax}\left(z, \varphi, p_{z}, p_{\varphi}\right)$ на кокасательном расслоении. Он имеет вид
\[
H\left(z, \varphi, p_{z}, p_{\varphi}\right)=\frac{p_{z}^{2}}{1+r^{\prime 2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}} .
\]

Поскольку $r=r(z)$, то $H$ не зависит от координаты $\varphi$, и функция $p_{\varphi}$ является первым интегралом системы. Чтобы выяснить геометрический смысл этого интеграла, перейдем к координатам касательного расслоения. Напомним (см. предложение 2.1), что импульс и скорость связаны между собой следующими соотношениями:
\[
p_{z}=\left(1+{r^{\prime}}^{2}\right) \dot{z}, \quad p_{\varphi}=r^{2} \dot{\varphi} .
\]

Пусть $e_{\varphi}=(0,1)$ — касательный вектор к параллели на поверхности вращения $M^{2}$. Вычисляя угол $\psi$ между этим вектором и вектором скорости $\dot{\gamma}=(\dot{z}, \dot{\varphi})$ геодезической $\gamma$ (см. рис. 2.2), получаем:
\[
\cos \psi=\frac{\left\langle\dot{\gamma}, e_{\varphi}\right\rangle}{\sqrt{\langle\dot{\gamma}, \dot{\gamma}\rangle\left\langle e_{\varphi}, e_{\varphi}\right\rangle}}=\frac{r^{2} \dot{\varphi}}{r \sqrt{E}}=\frac{p_{\varphi}}{r \sqrt{E}} .
\]

Рис. 2.2
Отсюда $p_{\varphi}=r \cos \psi \sqrt{E}$, где $\sqrt{E}$ совпадает с длиной вектора скорости и, следовательно, постоянна вдоль любой геодезической. Поэтому функция $r \cos \psi$ является первым интегралом геодезического потока на поверхности вращения. Этот интеграл обычно называется интегралом Клеро.

Напишем теперь в явном виде уравнения геодезических на поверхности вращения. Используя условие $r \cos \psi=c=$ const, получаем:
\[
r \cos \psi=c=\frac{r^{2} \dot{\varphi}}{\sqrt{\left(1+r^{2}\right) \dot{z}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}}} .
\]

В этом уравнении параметр $t$ вдоль кривой можно уже предполагать произвольным, т.е. не обязательно натуральным. Если в качестве $t$ можно взять координату $z$, то уравнение легко перепишется в нужном нам виде. Интегрируя затем его правую часть, получаем явные формулы для геодезических на поверхности вращения.
Теорема доказана.
2.3.2. Метрики Лиувилля

Определение 2.1. Риманова метрика на двумерной поверхности $M^{2}$ называется лиувиллевой, если в подходящих локальных координатах $x$ и $y$ она записывается в виде
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(x)$ и $g(y)$ — произвольные гладкие положительные функции.
Теорема 2.5.
1) Геодезический поток лиувиллевой метрики на двумерной поверхности вполне интегрируем по Лиувиллю (локально).
2) Уравнение геодезических лиувиллевой метрики может быть записано в виде
\[
\frac{d x}{d y}= \pm \frac{\sqrt{f(x)+a}}{\sqrt{g(y)-a}}
\]

а сами геодезические задаются соотношением
\[
\int \frac{d x}{\sqrt{f(x)+a}} \pm \int \frac{d y}{\sqrt{g(y)-a}}=c,
\]

где а и с — некоторые константы.
Доказательство.
Записывая гамильтониан геодезического потока на кокасательном расслоении в стандартных координатах $\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right.$ ), получаем:
\[
H=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{f+g} .
\]

Легко проверяется, что функция
\[
F=p_{x}^{2}-f H
\]

является первым интегралом этого потока.

Поскольку функция $H$ сохраняется вдоль геодезического потока, то функция вида $\frac{F}{H}=\left(\frac{p_{x}^{2}}{H}\right)-f$ тоже является интегралом. Перейдем теперь к координатам на касательном расслоении к поверхности, используя для этого стандартную замену
\[
p_{x}=(f+g) \dot{x}, \quad p_{y}=(f+g) \dot{y} .
\]

Переписывая в этих координатах интеграл $\frac{F}{H}$, получаем
\[
\frac{(f+g)^{2} \dot{x}^{2}}{(f+g)\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)}-f=a .
\]

Или
\[
\frac{g \dot{x}^{2}-f \dot{y}^{2}}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}=a=\text { const. }
\]

В этом уравнении параметризация кривой уже не важна в силу однородности выражения относительно производных. Преобразуя это соотношение, получаем уравнение для геодезических в полных дифференциалах
\[
\frac{d x}{\sqrt{f(x)+a}} \pm \frac{d y}{\sqrt{g(y)-a}}=0
\]

которое легко интегрируется. Теорема доказана.
ЗАмечАниЕ. Интеграл $\frac{g \dot{x}^{2}-f \dot{y}^{2}}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}$ можно переписать в следующем виде, позволяющем увидеть его геометрический смысл:
\[
g \frac{\dot{x}^{2}}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}-f \frac{\dot{y}^{2}}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}=g \cos ^{2} \psi-f \sin ^{2} \psi,
\]

где $\psi$ — угол между вектором скорости геодезической и линиями уровня координаты $x$ на поверхности. Это выражение напоминает аналогичную формулу из теоремы Клеро для поверхностей вращения. Это не случайно и объясняется тем, что метрики на поверхностях вращения являются частным случаем лиувиллевых метрик. Чтобы убедиться в этом, нужно сделать замену $z=z(y), \varphi=x$, приводнщую метрику на поверхности вращения к конформному виду. Этот вид будет лиувиллевым. Достаточно положить $g=r^{2}, f=0$. Интеграл лиувиллевой метрики превращается тогда в квадрат интеграла Клеро.
ЗАмЕчАниЕ. Иногда в литературе под лиувиллевым видом метрики понимают ее задание в виде
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(\alpha(x) d x^{2}+\beta(y) d y^{2}\right),
\]

где $f, g, \alpha, \beta$ — гладкие функции. Мы будем называть такие метрики почти лиувиллевыми. Конечно, не составляет труда привести эту метрику к лиувиллеву виду (в смысле, употреблнвшемся выше). Для этого достаточно сделать очевидную замену:
\[
x^{\prime}=\int \sqrt{\alpha(x)} d x, \quad y^{\prime}=\int \sqrt{\beta(y)} d y .
\]

Однако и без такого приведения можно сразу выписать формулы для геодезических почти лиувиллевой метрики. Формулы таковы:
\[
\int \frac{\sqrt{\alpha(x)} d x}{\sqrt{f(x)+a}} \pm \int \frac{\sqrt{\beta(y)} d y}{\sqrt{g(y)-a}}=c,
\]

где $a$ и $c$ — некоторые константы.
Обратим внимание, что в разобранных нами двух примерах римановых метрик интегралы их геодезических потоков являются либо линейными, либо квадратичными по импульсам. Оказывается (см. следующий параграф), что эти два типа метрик по существу исчерпывают собою все те случаи, когда геодезический поток (на двумерной поверхности) допускает линейный или квадратичный интеграл.