Здесь мы опишем способ, позволяющий вычислять матрицу склейки на ребре молекулы, если нам известна функция вращения на этом ребре. Идея состоит в следующем. Пусть из каких-то соображений нам удалось найти функцию вращения $\rho(t)$ на ребре относительно какого-то базиса $(\lambda, \mu)$. Как мы знаем, функция вращения меняется вполне определенным образом при замене базиса. С другой стороны, функция вращения $\rho$, записанная в допустимой системе координат, на каком-то из концов ребра обладает вполне определенными свойствами. Поэтому мы получаем возможность найти матрицу перехода к допустимой системе координат. Теперь изложим эту идею более точно.
Предположим сначала, что мы зна-
Рис. 1.17 ем функцию вращения $\rho(t)$ на ребре, соединяющем два седловых атома $V^{-}$ и $V^{+}$. Рассмотрим допустимые системы координат $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$и $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$на концах ребра, соответствующие атомам $V^{-}$и $V^{+}$.
Предложение 1.5 (Критерий допустимости базиса ( $\left.\lambda^{*}, \mu^{*}\right)$ ).
Рассмотрим базис $\left(\lambda^{*}, \mu^{*}\right)$ без учета ориентации на его циклах. Базис $\left(\lambda^{*}, \mu^{*}\right)$ является допустимым, в смысле седлового атома $V$, тогда $и$ только тогда, когда функция вращения $\rho(t)$, записанная в этом базисе, стремится к бесконечности при приближении тора Лиувилля к атому $V$.
Доказательство.
Необходимость сразу вытекает из следствия из леммы 8.5 главы 8 тома I. Достаточность вытекает из формулы преобразования функции вращения при замене базиса:
\[
\rho=\left(a \rho^{*}+c\right)\left(b \rho^{*}+d\right)^{-1} .
\]

Будем считать, что здесь $\rho$ записано относительно какого-то базиса $(\lambda, \mu)$, причем предел $\rho$ равен бесконечности при стремлении тора Лиувилля к атому $V$. Но поскольку $\rho^{*}$ уже записано в допустимом базисе, следовательно, и предел $\rho^{*}$ тоже равен бесконечности при стремлении тора к атому $V$. В таком случае из формулы преобразования $\rho$ видно, что одновременное стремление $\rho$ и $\rho^{*}$ к бесконечности возможно в том и только в том случае, когда $b=0$. Следовательно, матрица перехода, связывающая базисы $\left(\lambda^{*}, \mu^{*}\right)$ и $(\lambda, \mu)$, имеет вид
\[
\left(\begin{array}{cc}
\pm 1 & 0 \\
c & \pm 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

А такой переход, очевидно, является допустимым. Позтому базис $(\lambda, \mu)$ тоже является допустимым, как полученный из допустимого базиса $\left(\lambda^{*}, \mu^{*}\right)$ при помощи допустимой замены координат. Предложение доказано.

Используя это утверждение, мы теперь можем построить допустимую систему координат, зная функцию вращения в некотором базисе $(\lambda, \mu)$. Здесь мы для определенности будем считать, что базис ( $\lambda, \mu$ ) имеет положительную ориентацию в смысле атома $V^{-}$. Пусть $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$- искомая допустимая система координат на атоме $V^{-}$. Пусть далее
\[
\left(\begin{array}{l}
\lambda^{-} \\
\mu^{-}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
c_{1} & c_{2} \\
c_{3} & c_{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\lambda \\
\mu
\end{array}\right)
\]
— искомая замена координат. Тогда для функции вращения имеем:
\[
\rho=\left(c_{1} \rho^{-}+c_{3}\right)\left(c_{2} \rho^{-}+c_{4}\right) .
\]

Переходя к пределу, когда тор Лиувилля стремится к атому $V^{-}$, мы видим, что $\lim \rho=\frac{c_{1}}{c_{2}}$. Поскольку функция вращения $\rho$ нам известна, мы находим первую строку ( $c_{1}, c_{2}$ ) матрицы замены с точностью до знака, в силу унимодулярности матрицы. При этом вторая строка $\left(c_{3}, c_{4}\right.$ ) может быть выбрана совершенно произвольной, лишь бы определитель матрицы равнялся 1.

Совершенно аналогично находим матрицу перехода от базиса $(\lambda, \mu)$ к базису $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$. В результате появляется вторая матрица $B$, а именно:
\[
\left(\begin{array}{l}
\lambda^{+} \\
\mu^{+}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
b_{1} & b_{2} \\
b_{3} & b_{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\lambda \\
\mu
\end{array}\right) .
\]

Отметим, что здесь вторую строку $\left(b_{3}, b_{4}\right)$ нужно выбрать так, что $\operatorname{det} B=-1$. Это потребуется сейчас для того, чтобы матрица перехода, склейки от базиса $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$к базису $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$имела определитель, равный -1 .

Теперь можем найти матрицу склейки, то есть матрицу перехода от базиса $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$к базису $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right)$. Она, очевидно, равняется произведению матриц:
\[
\left(\begin{array}{ll}
b_{1} & b_{2} \\
b_{3} & b_{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
c_{1} & c_{2} \\
c_{3} & c_{4}
\end{array}\right)^{-1} .
\]

Важно отметить, что указанная неоднозначность в определении вторых строк $\left(b_{3}, b_{4}\right)$ и $\left(c_{3}, c_{4}\right)$ матриц перехода не влияет на инварианты получающейся матрицы склейки, то есть на инварианты $r$ и $\varepsilon$. Далее, обратим внимание на то, что допустимые базисы $\left(\lambda^{-}, \mu^{-}\right)$и $\left(\lambda^{+}, \mu^{+}\right.$), построенные описанным способом, определены с точностью до одновременной замены ориентации на их циклах. Поэтому получившаяся матрица склейки этих базисов тоже определена с точностью до умножения на -1. Заметим, что выбор этого знака влияет на метку $\varepsilon$. Итак, осталось избавиться от этой неоднозначности. Снова обратимся к функции вращения $\rho$. Пока мы использовали лишь ту информацию, что ее пределы при приближении к седловых атомам равны бесконечности, при правильном выборе базиса. Теперь воспользуемся тем, что мы знаем ее глобальное поведение вдоль всего ребра, то есть от атома до атома.
Выделим два случая: случай конечного и бесконечного ребра.
В терминах функции вращения $\rho$ критерий бесконечности ребра, то есть условия $r=\infty$, таков. Ребро бесконечно в том и только в том случае, когда пределы функции вращения на концах ребра одинаковы. В самом деле, векторное поле $v(t)$ при приближении к седловому атому стремится к направлению первого цикла допустимой системы координат. То есть стремится к $\lambda^{-}$на атоме $V^{-}$и к $\lambda^{+}$на атоме $V^{+}$. Совпадение пределов функции вращения означает, что эти два цикла попросту параллельны, что эквивалентно условию $r=\infty$.

Начнем со случая конечного ребра. Здесь циклы $\lambda^{-}$и $\lambda^{+}$независимы, и мы можем записать функцию $\rho$ относительно этой пары циклов и подсчитать индекс функции вращения $\rho$ при движении от атома $V^{-}$к атому $V^{+}$. Cм. определение индекса в томе I, главе 8, в параграфе 6.1. Если мы с самого начала выбрали направление ориентации на циклах $\lambda^{-}$и $\lambda^{+}$правильно, то индекс получится равным $1 \bmod 4$. Если же ориентации были выбраны неправильно, то индекс получится равным $3 \bmod 4$. Чтобы исправить положение, нужно умножить матрицу склейки на -1 . Оформим это рассуждение в виде леммы.
Лемма 1.1. Пусть ребро седло-седло молекулы конечно. Тогда, если матрица склейки, получившаяся описанной процедурой, совпадает с искомой, то есть с правильной матрицей, то индекс функции вращения $\rho$ относительно пары циклов $\lambda^{-}, \lambda^{+}$равен $1 \bmod 4$. Если же получившаяся матрица отличается от искомой знаком, то индекс функции вращеРис. 1.18 ния равен $3 \bmod 4$.
Доказательство.
В случае конечного ребра можно считать, что пара циклов $\lambda^{-}, \lambda^{+}$задает базис в касательной плоскости к тору Лиувилля. Исходное векторное поле $v$ можно записать в этом базисе, причем на каждом конкретном торе Лиувилля его координаты постоянны относительно базиса ( $\lambda^{-}, \lambda^{+}$). Нарисуем на плоскости ( $\lambda^{-}, \lambda^{+}$) кривую, изображающую конец вектора $v(t)$, когда $t$ пробегает все ребро, от атома $V^{-}$к атому $V^{+}$. Качественная картина показана на рис. 1.18. Случай (a) отвечает правильному выбору ориентаций базисных циклов, а случай (b) — неправильному. Здесь мы пользуемся тем обстоятельством, что при правильном выборе ориентации начальная точка кривой $v(t)$ лежит на луче, порождаемом первым вектором $\lambda^{-}$, а конечная точка кривой $v(t)$ должна оказаться на луче, порожденном вектором $\lambda^{+}$. Подчеркнем, что здесь идет речь именно о луче, а не о прямой, то есть важно направление вектора $v(t)$. Из рис. 1.18 видно, что в этом и только в этом случае индекс функции вращения $\rho$ действительно равен $1 \bmod 4$. Напомним, что индекс – это просто количество координатных «четвертей», с учетом кратности, заметаемых вектором $v(t)$ при изменении параметра $t$ вдоль ребра. Индекс – это всегда целое нечетное число, поскольку мы стартуем с первой координатной оси, а кончаем движение на второй координатной оси. Лемма доказана.

Отметим, что индекс равен $1 \bmod 4$ на самом деле в двух случаях. А именно, когда обе ориентации, т.е. на обоих циклах, выбраны правильно, и когда обе выбраны неправильно. Но второй случай означает лишь, что матрицу склейки нужно два раза умножить на -1 , то есть в результате она не изменится.

Рассмотрим теперь второй случай, то есть – бесконечного ребра. Здесь все проще. Нужно рассмотреть функцию вращения $\rho^{-}$, записанную относительно базиса ( $\lambda^{-}, \mu^{-}$), и подсчитать ее индекс.
Лемма 1.2. Если индекс равен $0 \bmod 4$, то метка $\varepsilon$ равна 1. Если индекс равен $2 \bmod 4, \operatorname{mo} \varepsilon=-1$.
Доказательство.
Из рис. 1.19 видно, что траектория конца вектора $v(t)$ в обоих случаях заканчивается на прямой, порожденной вектором $\lambda^{-}$. С другой стороны, траектория $v(t)$ кончается всегда на луче вектора $\lambda^{+}$. Из рис. 1.19 видно, что пара векторов $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$направлена в одну сторону, Рис. 1.19 если и только если индекс функции $\rho$ равен $0 \bmod 4$. И векторы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$направлены в разные стороны, если и только если индекс функции $\rho$ равен $2 \bmod 4$. Но в первом случае очевидно, что $\varepsilon=+1$, поскольку $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$направлены в одну сторону. Во втором случае $\varepsilon$ равно -1 , так как эти векторы направлены в противоположные стороны. Лемма доказана.

Таким образом, окончательно мы видим, что, зная функцию вращения $\rho$, можно вычислить инварианты $r$ и $\varepsilon$ на данном ребре, соединяющем два седловых атома.

В случае, когда один из атомов на конце ребра имеет тип $A$ или когда оба атома имеют тип $A$, можно применять аналогичную конструкцию. Однако здесь необходимы дополнительные соображения о допустимой системе координат на атоме $A$. Дело в том, что здесь предел функции вращения на атоме $A$ может быть произволен. Правда, в конкретных примерах часто удается найти допустимую систему координат на атоме $A$ без особого труда, поскольку обычно довольно легко находится исчезающий цикл.