Выше было рассказано о теории классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы с точностью до гомео- и диффеоморфизмов, сохраняющих траектории. Вкратце полученные результаты можно сформулировать следующим образом. Пусть даны две интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы с двумя степенями свободы $v_{1}$ и $v_{2}$, ограниченные на свои неособые компактные изоэнергетические подмногообразия $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Предполагается, что эти системы удовлетворяют некоторым естественным ограничениям. Мы не будем здесь приводить полный список таких ограничений, отсылая читателя к точным формулировкам в томе 1 и ограничившись замечанием, что подавляющее большинство известных сегодня интегрируемых гамильтоновых систем этим ограничениям удовлетворяет. В работах [24], [33] были описаны полные наборы инвариантов, позволяющие сравнивать динамические системы ( $v_{1}, Q_{1}$ ) и $\left(v_{2}, Q_{2}\right)$ с точки зрения их траекторной эквивалентности, т. е. давать ответ на вопрос, существует ли гомеоморфизм (диффеоморфизм) $\xi: Q_{1} \rightarrow Q_{2}$, переводящий траектории первой системы в траектории второй с сохранением их естественной ориентации.

После построения общей теории классификации возник естественный вопрос: насколько эффективно траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем могут быть вычислены в конкретных задачах. Будет ли общая теория реально работать, если мы действительно захотим сравнить две конкретные системы и выяснить, эквивалентны ли они? В этой главе мы хотели бы на конкретном примере продемонстрировать, что ответ на этот вопрос является положительным. Мы изложим результаты, полученные в [43], [37], [38]. Вычисления траекторных инвариантов для некоторых конкретных интегрируемых систем см. также в [174], [147], [150].

Отметим, что существуют и другие методы, позволяющие находить изоморфизмы между различными интегрируемыми системами. См., например, [230], $[229],[385],[321],[81],[21],[27]$. Кроме того, в предыдущей главе мы тоже обсуждали некоторые приемы построения траекторно эквивалентных интегрируемых систем на базе принципа Мопертюи и его обобщений. Однако в настоящей главе мы подойдем к поиску траекторных изоморфизмов совсем по-другому, а именно, опираясь на описанную выше теорию инвариантов интегрируемых систем.

Мы рассмотрим здесь две знаменитые интегрируемые гамильтоновы системы: задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде [225] и интегрируемый случай Эйлера в динамике твердого дела [282], [224]. В настоящей главе мы докажем существование траекторного гомеоморфизма между этими двумя системами.

Затем, используя гладкие траекторные инварианты, мы покажем, что с гладкой точки зрения случай Эйлера и задача Якоби траекторно различны [43]. Оказывается, имеется гладкий инвариант, который для рассматриваемых систем различен.

Прежде чем переходить к точным формулировкам, мы напомним вкратце природу траекторных инвариантов на примере этих двух классических задач.