Классификации линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных замкнутых поверхностях была посвящена довольно большая серия работ нескольких авторов. Примеры таких потоков были, разумеется, хорошо известны, начиная с работ Якоби и Лиувилля. Однако первые результаты по их полному описанию были получены сравнительно недавно В. Н. Колокольцовым. Затем эти результаты были развиты и дополнены в работах К. Киохары, И. К. Бабенко, Н.Н.Нехорошева, В.С.Матвеева. В нашей книге мы будем придерживаться терминологии, предложенной В. С. Матвеевым, поскольку она наиболее удобна для их дальнейшего изучения в рамках общей теории лиувиллевой и траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем.

2.5.1. Случай тора

Рассмотрим стандартный двумерный тор $T^{2}$, каждая точка которого задается парой $(x, y)$, где $x \in \mathbb{R} \bmod T_{x}, y \in \mathbb{R} \bmod T_{y}$. Другими словами, мы представляем тор как фактор-пространство $\mathbb{R}^{2} / \Gamma$, где $\Gamma$ – решетка, порожденная векторами $e_{1}=\left(T_{x}, 0\right), e_{2}=\left(0, T_{y}\right)$. Пару вещественных чисел $(x, y)$, определенных по модулю $T_{x}$ и $T_{y}$ соответственно, мы будем называть глобальными периодическими координатами на торе, а числа $T_{x}$ и $T_{y}$ – их периодами. Отметим, что на одном и том же торе существует много различных глобальных периодических координат.
Теорема 2.9.
1) Пусть пs $^{2}$ – риманова метрика на торе $T^{2}$, геодезический поток которой обладает линейным интегралом. Тогда на торе существуют глобальные периодические координаты $(x, y), x=x(\bmod 2 \pi), y=y(\bmod 2 \pi)$, в которых метрика имеет вид
\[
d s^{2}=h(y)\left(a d x^{2}+c d x d y+b d y^{2}\right),
\]

где $h(y)$ – некоторая положительная $2 \pi$-периодическая гладкая функция, а $a, b, c$ – вещественные числа, такие что форма $a d x^{2}+c d x d y+b d y^{2}$ положительно определена.
2) $И$ наоборот, любая метрика такого вида на торе $T^{2}$ обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком.
Эта теорема может быть переформулирована еще и таким образом.
Напомним, что в силу теоремы униформизации на торе $T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \Gamma$ с метрикой $d s^{2}$ всегда существуют глобальные изотермические координаты. Более точно это означает, что на накрывающей плоскости $\mathbb{R}^{2}$ существуют глобальные координаты $(x, y)$, в которых метрика имеет вид $d s^{2}=\lambda(x, y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где функция $\lambda$ – двоякопериодическая функция (т.е. инвариантная относительно сдвигов на элементы решетки). Здесь, разумеется, мы имеем в виду, что действие решетки $\Gamma$ в координатах $(x, y)$ является стандартным линейным действием: любой элемент $g \in \Gamma$ представляет собой целочисленную линейную комбинацию $m f_{1}+n f_{2}$, где $f_{1}, f_{2} \in \mathbb{R}^{2}$ – базис решетки, а его действие на точку $X=(x, y)$ имеет вид $g(X)=X+g$. Отметим, что с точки зрения глобальных изотермических координат $(x, y)$ решетка $\Gamma$ может быть перекошенной, т. е. ее базис может быть, вообе говоря, произвольным. В частности, координатные линии $\{x=$ const $\}$ и $\{y=$ const $\}$ могут оказаться незамкнутыми на торе, в отличие от случая глобальных периодических координат.

Отметим, что глобальные изотермические координаты на торе определены однозначно с точностью до замен вида $w=a z+b$ или $w=a \bar{z}+b$. Этот факт будет неоднократно использован нами в дальнейшем.

Следующая теорема указывает вид конформного множителя для рассматриваемой метрики на торе в глобальных изотермических координатах.

Теорема 2.10. Пусть $d s^{2}$ – риманова метрика на торе $T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \Gamma$, геодезический поток которой обладает линейным интегралом, $u(x, y)$ – глобальные изотермические координаты. Тогда
\[
d s^{2}=f(-\delta x+\gamma y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $(\gamma, \delta)$ – координаты одного из векторов решетки $Г$.
Доказательство теоремы 2.9.
Пусть $(u, v)$ – произвольные глобально изотермические координаты на Tope $T^{2}$.

Рассмотрим линейный интеграл геодезического потока $F=b_{0} p_{u}+b_{1} p_{v}$, поднятый на накрывающую плоскость и записанный в координатах ( $u, v, p_{u}, p_{v}$ ). Ясно, что $F$ будет двояко-периодической функцией относительно переменных $u, v$. Следовательно, этим же свойством будет обладать и функция $R(z)=b_{0}+i b_{1}$, построенная выше (см. предложение 2.2). Поскольку функция $R(z)$ является голоморфной на всем торе, а тор компактен, то функция $R(z)$ должна быть постоянной. Но тогда комплексно линейной заменой координат ее можно сделать тождественно равной единице (заметим, что такие замены сохраняют глобальную изотермичность координат). Следовательно, без ограничения общности мы можем считать $b_{0}+i b_{1}=1$, отсюда $b_{0}=1, b_{1}=0$, т. е. $F=p_{u}$. Таким образом, конформный множитель $\lambda(u, v)$ римановой метрики не зависит от $u$, поскольку $H$ коммутирует с $F=p_{u}$.

Итак, $\lambda(u, v)=q(v)$ и $d s^{2}=q(v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$, где $q$ – некоторая гладкая функция, периодичная относительно решетки $\Gamma$.
Рассмотрим теперь два случая.
a) Пусть $q(v)=$ const. Тогда мы получаем плоский тор с метрикой $\operatorname{const}\left(d u^{2}+\right.$ $\left.+d v^{2}\right)$. Делая линейную замену и переходя на плоскости от глобальных изотермических координат $(u, v)$ к глобальным периодическим координатам $(x, y)$, мы превращаем метрику const $\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$ в метрику const $\left(a d x^{2}+c d x d y+b d y^{2}\right)$, что и требовалось.
б) Пусть теперь функция $q(v)$ не постоянна. Тогда существует некоторый базис $f_{1}, f_{2}$ решетки $\Gamma$ такой, что $f_{1}=(\alpha, 0)$. В самом деле, если это не так, то на прямой $\{v=0\}$ нет ни одного узла решетки, и тогда ее образ на тоpe (после факторизации плоскости по решетке Г) будет всюду плотен. Но в таком случае функция $q(v)$, будучи постоянной на этой прямой, должна быть постоянной на всем торе, что противоречит предположению.
Итак, возьмем такой вектор $f_{1}=(\alpha, 0)$, дополним его любым другим вектором $f_{2}$ решетки до базиса и рассмотрим линейную замену координат $(u, v) \rightarrow(x, y)$ такую, что в новых координатах $(x, y)$ базисные векторы решетки имеют вид $f_{1}=(2 \pi, 0), f_{2}=(0,2 \pi)$. Координаты $x, y$ будут, очевидно, глобальными $2 \pi$-периодическими координатами на торе. Легко видеть, что они связаны с изотермическими координатами $u, v$ соотношениями: $u=\left(\frac{\alpha}{2} \pi\right) x+\beta y, v=\gamma y$.

Подставляя эти выражения в полученное выше выражение для метрики в изотермических координатах, получаем
\[
d s^{2}=h(y)\left(a d x^{2}+c d x d y+b d y^{2}\right),
\]

где $h(y)=q(\gamma y)$. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.10.
Мы уже доказали (теорема 2.9), что найдутся глобальные изотермические координаты $u, v$, в которых метрика имеет вид $q(v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$. Кроме того, мы показали, что один из векторов решетки $\Gamma$ сонаправлен базисному вектору изотермической системы координат. Таким образом, этот вид метрики удовлетворяет утверждению теоремы 2.9. Если же мы возьмем теперь другую изотермическую систему координат на торе, то достаточно вспомнить, что любые две такие системы получаются друг из друга некоторым преобразованием вида $w=a z+b$, где $a, b \in C$ (случай $w=a \bar{z}+b$ рассматривается аналогично). Легко видеть, что такие преобразования сохраняют требуемый вид метрики. Действительно, записывая это преобразование в виде
\[
\begin{array}{l}
u=a_{1} x-a_{2} y+b_{1}, \\
v=a_{2} x+a_{1} y+b_{2},
\end{array}
\]

где $a=a_{1}+i a_{2}, b=b_{1}+i b_{2}$, получаем
\[
d s^{2}=q\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\left(a_{2} x+a_{1} y+b_{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

С другой стороны, базисный вектор $f_{1}$ решетки $\Gamma$, имевший до замены координаты $(\alpha, 0)$, после замены будет иметь координаты $(\gamma, \delta)=\frac{\alpha}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\left(a_{1},-a_{2}\right)$. Поэтому метрику можно переписать в требуемом виде
\[
d s^{2}=f(-\delta x+\gamma y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(t)=\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right) q\left(\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{\alpha} t+b_{2}\right)$. Теорема доказана.
КоммЕНТАРИЙ. Как мы знаем, линейный интеграл геодезического потока интерпретируется как векторное поле на поверхности, в данном случае, на торе. Из явного вида интеграла $F$ (см. доказательство теоремы 2.9) следует, что это векторное поле не имеет особых точек на торе. Интегральные траектории этого поля – просто линии уровня функции $f$ (рис.2.8), параллельные одному из вектоРис. 2.8 ров решетки. Следовательно, рассматриваемая метрика допускает однопараметрическую группу изометрий $\mathcal{G}$, изоморфную окружности и действующую свободно сдвигами вдоль одного из базисных векторов решетки. Верно и обратное:

если неплоская метрика на торе допускает однопараметрическую группу изометрий $\mathcal{G}$, то ее геодезический поток линейно интегрируем (Э.Нетер), а группа $\mathcal{G}$ изоморфна окружности, которая действует описанным выше способом.

Определение 2.3. Риманова метрика на торе называется глобально лиувиллевой, если на торе существуют глобальные периодические координаты $x$ и $y$, воторых метрика имеет вид
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(x)$ и $g(y)$ – некоторые гладкие положительные функции, с периодами $T_{x}$ и $T_{y}$ соответственно, отличные от констант.

Отметим, что глобальная лиувиллевость метрики, в частности, означает, что решетка $Г$ имеет ортогональный базис. В общем случае это не так.

Ясно, что геодезический поток глобально лиувиллевых метрик вполне интегрируем. Однако метрика на торе с квадратично интегрируемым геодезическим потоком, как мы сейчас увидим, отнюдь не обязана быть глобально лиувиллевой. Теорема 2.11 (Случай квадратичного интеграла).
1) Геодезический поток римановой метрики мs $^{2}$ на торе $T^{2}$ интегрируем при помощи квадратичного интеграла (не сводящегося к линейному) тогда и только тогда, когда над этим тором существует конечнолистное накрытие другим тором $\widetilde{T}^{2}$
\[
\pi: \widetilde{T}^{2} \rightarrow T^{2}
\]

такое, что поднятая с тора $T^{2}$ на тор $\widetilde{T}^{2}$ метрика $\widetilde{s}^{2}=\pi^{*} d s^{2}$ является глобально лиувиллевой.
2) При этом на торе действительно существуют метрики с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками, не являющиеся глобально лиувиллевыми.
Такие метрики мы будем называть конечнолистно лиувиллевыми.

Доказательство.
Начало доказательства этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 2.9. Из теоремы униформизации следует, что на торе существуют глобальные изотермические координаты $x, y$, в которых метрика примет вид $\lambda(x, y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Из локальной теории мы уже знаем, что с каждой изотермической системой координат естественно связана некоторая голоморфная функция $R(z)$, которая в данном случае, в силу глобальности координат $x, y$ на торе, будет глобально голоморфной, т.е. голоморфной на всем торе. А потому она должна быть постоянной в силу компактности тора. Ясно, что $R(z)
eq 0$, в противном случае гамильтониан и интеграл линейно зависимы. С помощью комплексной линейной замены координат постоянную функцию $R(z)=R$ можно сделать тождественно равной единице (на всем торе).

Как уже было показано выше, в этом случае $\lambda(x, y)=f(x)+g(y)$. А поскольку мы считаем, что квадратичный интеграл не сводится к линейному, отсюда следует, что ни одна из функций $f(x)$ и $g(y)$ не является тождественно постоянной.

Таким образом, на всем торе существуют глобальные изотермические координаты, в которых данная нам 2 -метрика запишется в виде
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Такие координаты мы будем называть глобально лиувиллевыми (они являются частным случаем изотермических).

Априори не ясно, как с этими глобально лиувиллевыми координатами $x, y$ связана та решетка $\Gamma$, факторизацией по которой получается данный тор. Исследуем этот вопрос.

Обозначим через $e_{1}$ и $e_{2}$ базисные векторы глобально лиувиллевой системы координат $x, y$ на накрывающей плоскости, т.е. векторы с координатами $(1,0)$ и $(0,1)$. Покажем, что из периодичности функции $f(x)+g(y)$ (как функции на накрывающей плоскости) относительно сдвигов на элементы решетки $Г$ вытекает следующее утверждение.
Лемма 2.5. Существуют элементы $\tilde{f}_{1}$ и $\tilde{f}_{2}$ решетки Г такие, что
\[
\tilde{f}_{i}=\alpha_{i} e_{i}, \quad \text { гдe } \quad i=1,2 .
\]

Доказательство.
Сначала отметим, что из ограниченности функции $f(x)+g(y)$ на торе вытекает, что каждая из функций $f(x)$ и $g(y)$ тоже ограничена на торе. А из того, что функция $f(x)+g(y)$ двояко-периодична относительно решетки $\Gamma$, легко следует, что каждая из функций $f(x)$ и $g(y)$ по отдельности периодична относительно той же решетки $Г$. В самом деле, запишем условие периодичности функции $f(x)+g(y)$. Получим:
\[
f\left(x+\omega_{1}\right)+g\left(y+\omega_{2}\right)=f(x)+g(y),
\]

где $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ – произвольный элемент решетки Г. Перепишем это тождество в следующем виде:
\[
f\left(x+\omega_{1}\right)-f(x)=g\left(y+\omega_{2}\right)-g(y) .
\]

Так как слева стоит функция от $x$, а справа – функция от $y$, то левая и правая часть по отдельности постоянны, т. е. равны какому-то числу $C$. Отсюда имеем:
\[
f\left(x+\omega_{1}\right)=f(x)+C .
\]

Но из ограниченности функции $f$ сразу следует, что постоянная $C$ в действительности равна нулю. Следовательно, функция $f$ периодична. Аналогично получаем, что и $g$ периодична. Таким образом, каждая из функций $f(x)$ и $g(y)$ является в действительности функцией на торе (а не только на плоскости).

Возьмем функцию $f(x)$ и рассмотрим на торе одну из ее линий уровня, задаваемую уравнением $x=0$. Эта линия уровня обязательно замкнута. В самом деле, если это не так, то линия $x=0$ как образ прямой при стандартной проекции $\mathbb{R}^{2} \rightarrow T^{2}$ должна быть всюду плотной на торе. Но тогда функция $f$ была бы тождественно постоянной, что противоречит несводимости квадратичного интеграла к линейному. Другими словами, если рассмотреть прямую $x=0$ на накрывающей плоскости $\mathbb{R}^{2}$, то она обязательно содержит один из векторов решетки Г. Следовательно, существует элемент $\widetilde{f}_{2} \in$ Г такой, что $\widetilde{f}_{2}=\alpha_{2} e_{2}$. Аналогично доказывается существование элемента $\widetilde{f}_{1}$ такого, что $\widetilde{f}_{1}=\alpha_{1} e_{1}$. Лемма доказана.

Рассмотрим подрешетку $\widetilde{\Gamma}$ решетки $\Gamma$, порожденную элементами $\tilde{f}_{1}=$ $=\left(\alpha_{1}, 0\right), \widetilde{f}_{2}=\left(0, \alpha_{2}\right)$, и отвечающий подрешетке $\widetilde{\Gamma}$ тор $\widetilde{T}^{2}=\mathbb{R}^{2} / \widetilde{\Gamma}$. Ясно, что исходный тор $T^{2}$ конечнолистно накрывается тором $\widetilde{T}^{2}$. Рассмотрим на новом торе $\widetilde{T}^{2}$ координаты $x$ и $y$, взятые с накрывающей плоскости $\mathbb{R}^{2}$. Ясно, что они являются глобальными периодическими координатами на торе $\widetilde{T}^{2}$ с периодами $T_{x}=\alpha_{1}$ и $T_{y}=\alpha_{2}$. Вместе с тем метрика в этих координатах имеет лиувиллев вид и является поэтому на торе $\widetilde{T}^{2}$ глобально лиувиллевой.
Первое утверждение теоремы 2.11 доказано.
Осталось показать, что на двумерном торе действительно существуют метрики, не являющиеся глобально лиувиллевыми, но обладающие квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Другими словами, появляющиеся в теореме 2.11 конечнолистные накрытия торов действительно существенны. Мы просто приведем пример.
Рассмотрим на евклидовой плоскости метрику
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)
\]

где $f(x)$ периодична с периодом 1 , а $g(y)-$ с периодом $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Возьмем на плоскости решетку $\Gamma$,
Рис. 2.9 риодом $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Возьмем на плоскости решетку $Г$, $(2,0)$ и $f_{2}=(1, \sqrt{3}$ ) (рис. 2.9 ). Этой решетке отвепорожденную векторами $f_{1}=(2,0)$ и $f_{2}=(1, \sqrt{3}$ ) (рис. 2.9). Этой решетке отве- чает тор $T^{2}$ с квадратично интегрируемым геодезическим потоком, метрика на котором не является, однако, глобально лиувиллевой. В самом деле, если бы она была глобально лиувиллевой, то у решетки Г существовал бы ортогональный базис. Однако из вида решетки совершенно ясно, что такого ортогонального базиса у нее нет.
Теорема полностью доказана.
В такой формулировке теорема 2.11 была получена И.К.Бабенко и Н. Н. Нехорошевым [15].

Существует еще одна полезная переформулировка этой же теоремы, в которой торы $T^{2}$ и $\widetilde{T}^{2}$ в некотором смысле меняются местами. В таком виде теорема была получена В. С. Матвеевым [113].
Теорема 2.12. Геодезический поток римановой метрики ds $^{2}$ на торе $T^{2}$ интегрируем при помощи квадратичного интеграла (не сводящегося к линейному) тогда и только тогда, когда существует другой тор $\widetilde{T}^{2}$ с глобально лиувиллевой метрикой $\widetilde{s}^{2}$ и накрытие
\[
\rho: T^{2} \rightarrow \widetilde{T}^{2}
\]

такое, что $d s^{2}=\rho^{*} d \widetilde{s}^{2}$.

Другими словами, все квадратично интегрируемые геодезические потоки на торе получаются конечнолистными разворачиваниями глобально лиувиллевых метрик.
Доказательство.
Как уже было доказано выше, существуют глобально изотермические координаты $x, y$ на накрывающей плоскости, относительно которых метрика $d s^{2}$ имеет вид $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Кроме того, мы доказали, что каждая из функций $f(x)$ и $g(y)$ периодична. Рассмотрим наименьшие периоды этих функций. Пусть $a$ – наименьший период для $f(x)$ и $b$ – наименьший период
Рис. 2.10

для $g(y)$. Рассмотрим новую ортогональную решетку $\widetilde{\Gamma}$, базисом которой являются векторы $(a, 0)$ и $(0, b)$ (рис.2.10). Напомним, что на плоскости имеется и исходная решетка $\Gamma$, задающая данный тор. Эта решетка $\Gamma$ не обязана быть ортогональной, и ее базисные векторы не обязаны идти вдоль направлений $x$ и $y$. Мы утверждаем, что решетка $\Gamma$ является в действительности подрешеткой в новой решетке $\widetilde{\Gamma}$. В самом деле, если $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ – произвольный элемент решетки $\Gamma$, то, как было доказано выше, $f\left(x+\omega_{1}\right)=f(x)$ и $g\left(y+\omega_{2}\right)=g(y)$, т. е. $\omega_{1}$ – период функции $f(x)$, а $\omega_{2}$ – период функции $g(y)$. Поскольку $a$ и $b$ – наименьшие периоды этих функций, то $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ обязаны быть их кратными, т.е. $\omega_{1}=k_{1} a$ и $\omega_{2}=k_{2} b$ для некоторых целых чисел $k_{1}$ и $k_{2}$. Следовательно,
\[
\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=k_{1}(a, 0)+k_{2}(0, b) .
\]

Но это и означает, что элемент $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ является элементом решетки $\widetilde{\Gamma}$, что и требовалось.

Рассмотрим новый тор $\tilde{T}^{2}=\mathbb{R}^{2} / \widetilde{\Gamma}$, отвечающий решетке $\widetilde{\Gamma}$. На нем определена метрика, задаваемая формально той же формулой, что и раньше, т.е. $(f(x)+$ $+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Дело в том, что конформный множитель $(f(x)+g(y))$ инвариантен относительно сдвигов вдоль решетки $\widetilde{\Gamma}$. Получившаяся метрика на торе $\widetilde{T}^{2}$ является, очевидно, глобально лиувиллевой. А с другой стороны, тор $T^{2}$ накрывает тор $\tilde{T}^{2}$. Теорема доказана.
В заключение сформулируем еще одно полезное утверждение.

Предложение 2.4.
а) Пусть пs $^{2}$ – риманова метрика на торе, геодезический поток которой обладает линейным интегралом, и не являющаяся плоской. Тогда линейный интеграл ее геодезического потока определен однозначно с точностью до постоянного множителя.

б) Пусть $\mathrm{ds}^{2}$ – риманова метрика на торе, геодезический поток которой обладает нетривиальным квадратичным интегралом, и не являющаяся плоской. Тогда квадратичный интеграл $F$ ее геодезического потока определен однозначно с точностью до произвольной линейной комбинации с гамильтонианом.

Доказательство.
а) Выше мы показали, что линейный интеграл обязан иметь вид $F=b_{0} p_{u}+b_{1} p_{v}$, где $b_{0}$ и $b_{1}$ – постоянные. Коммутируя это выржжение с гамильтонианом $H=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{q(v)}$, получаем следующее необходимое условие: $b_{1} q(v)_{v} \equiv 0$. Отсюда видно, что если метрика не плоская, то $b_{1} \equiv 0$, т. e. $F=$ const $\cdot p_{u}$.
б) Предположим, что $F$ и $F^{\prime}$ – два квадратичных интеграла геодезического потока. Каждому из них отвечает некоторая глобальная лиувиллева система координат. Обозначим эти координаты через $(x, y)$ и $(u, v)$. Pacсмотрим соответствующие конформные множители $\lambda(x, y)=f(x)+g(y)$ и $\lambda^{\prime}(u, v)=f^{\prime}(u)+g^{\prime}(v)$. Напомним, что тогда в силу теоремы 2.7
\[
\begin{aligned}
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right) & =\frac{-(f(x)-C) p_{y}^{2}+(g(y)+C) p_{x}^{2}}{f(x)+g(y)}, \\
F^{\prime}\left(u, v, p_{u}, p_{v}\right) & =\frac{-\left(f^{\prime}(u)-C^{\prime}\right) p_{v}^{2}+\left(g^{\prime}(v)+C^{\prime}\right) p_{u}^{2}}{f^{\prime}(u)+g^{\prime}(v)},
\end{aligned}
\]

где $C$ и $C^{t}$ – некоторые постоянные.
Поскольку обе системы координат являются изотермическими, то они связаны между собой некоторым линейным преобразованием, комплексным или антикомплексным, поэтому функции $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ отличаются друг от друга на некоторый постоянный множитель, т.е.
\[
f(x)+g(y)=\operatorname{const}\left(f^{\prime}(u)+g^{\prime}(v)\right),
\]

где координаты $(x, y)$ и $(u, v)$ связаны между собой конформным линейным преобразованием. Когда такая ситуация возможна? Если оси старых и новых координат не параллельны, то легко проверяется, что $f(x)+g(y)=a\left(x^{2}+y^{2}\right)+b x+c y+d$. Но это невозможно в силу периодичности конформного множителя.

Таким образом, оси двух рассматриваемых лиувиллевых систем координат параллельны. Это в точности означает, что координаты $z=x+i y$ и $w=u+i v$ связаны одним из следующих преобразований:
a) $w=a z+b$,
б) $w=i(a z+b)$,
в) $w=a \bar{z}+b$,
г) $w=i(a \bar{z}+b)$

где $a$ – вещественное, а $b$ – комплексное число.

Применяя любую из этих замен к интегралу $F^{\prime}$, мы можем переписать его в той же самой системе координат $(x, y)$, в которой записан интеграл $F$, и немедленно убедиться в справедливости сформулированного утверждения.

Выше мы описали метрики на торе с линейно и квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Однако если мы хотим более формально подойти к задаче классификации метрик на торе, допускающих глобальный интеграл, то мы должны предъявить полный список канонических форм для таких метрик и указать затем, какие метрики из списка являются изометричными. Тем самым будет решен вопрос о их метрической классификации в строгом смысле. Такой подход к задаче классификации был реализован В. С. Матвеевым [113].

Начнем со случая метрики с линейно интегрируемым геодезическим потоком. Как мы уже видели, для каждой такой метрики на торе $T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \Gamma$ существуют глобальные изотермические координаты $(u, v)$ на накрывающей плоскости, в которых $d s^{2}=q(v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$, причем функция $q(v)$ инвариантна относительно сдвигов на элементы решетки $\Gamma$. Кроме того, мы показали, что первый базисный элемент решетки $\Gamma$ может быть взят в виде $f_{1}=(\alpha, 0)$ (в том случае, когда метрика не является плоской). Делая нормировку вида $u^{\prime}=\frac{u}{\alpha}, v^{\prime}=\frac{v}{\alpha}$, мы можем без ограничения общности считать, что $f_{1}=(1,0)$. Тогда второй базисный вектор $f_{2}$ может быть выбран однозначно в виде $f_{2}=(t, L)$, где $t \in[0,1), L>0$. Поскольку $q(v)$ инвариантна относительно решетки, то $L$ является периодом функции $q$. Итак, любую метрику на торе, допускающую линейный интеграл и не являющуюся плоской, можно задать (закодировать) с помощью тройки ( $q, t, L)$, где $t \in[0,1), L>0, q(v)$ – функция с периодом $L$.

Обратно, если задана произвольная тройка $(q, t, L)$, то по ней можно построить естественную метрику на торе. Для этого на плоскости с декартовыми координатами ( $u, v$ ) нужно рассмотреть метрику $d s^{2}=q(v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$, а затем взять фактор по решетке, порожденной векторами $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(t, L)$. Для краткости такие метрики мы будем называть ( $q, t, L$ )-метриками.
Теорема 2.13 (Матвеев В.С.). Пусть геодезический поток метрики $d s^{2}$ на торе $T$ допускает линейный интеграл. Тогда метрика либо плоская, либо изометрична ( $q, t, L)$-метрике. Две метрики, отвечающие тройкам $(q, t, L)$ $u(\widehat{q}, \widehat{t}, \widehat{L})$, изометричны тогда и только тогда, когда для некоторого вещественного числа с выполняется одно из следующих четырех соотношений:
1) либо $(\widehat{q}(v), \widehat{t}, \widehat{L})=(q(v+c), t, L)$,
2) либо $(\widehat{q}(v), \widehat{t}, \widehat{L})=(q(v+c), 1-t, L)$,
3) либо $(\widehat{q}(v), \widehat{t}, \widehat{L})=(q(-v+c), t, L)$,
4) либо $(\widehat{q}(v), \widehat{t}, \widehat{L})=(q(-v+c), 1-t, L)$.

Доказательство.
Выше была предъявлена процедура сопоставления каждой линейно интегрируемой метрике на торе ее $(q, t, L)$-модели. Эта задача сводится к поиску глобальных изотермических координат ( $u, v$ ), удовлетворяющих двум условиям:

1) в этих координатах метрика имеет вид $q(v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$,
2) первый базисный вектор решетки имеет координаты $(1,0)$.

Следовательно, весь произвол в кодировании данной метрики ее $(q, t, L)$-моделями происходит из того, что можно разными способами выбирать на накрывающей плоскости такие координаты $u, v$.

Посмотрим, какие преобразования сохраняют условия 1 и 2. Мы знаем, что любое преобразование между двумя глобально изотермическими системами координат обязано иметь вид: $w=a z+b$, либо $w=a \bar{z}+b$, где $a, b-$ произвольные комплексные числа. Но в нашем случае эти преобразования должны, кроме того, еще сохранять и вид функции $q$ в том смысле, что она должна оставаться функцией лишь от второй переменной $v$. Поэтому указанные преобразования должны сохранять линии $v=$ const. Отсюда немедленно следует, что $a$ – это вещественное число. Из условия 2 – условия нормировки – тогда сразу следует, что $a= \pm 1$. Число $b$ является любым комплексным. В результате получаются четыре типа преобразований, показанные на рис.2.11. Пунктиром изображены новые координаты на накрывающей плоскости после соответствующего преобразования.
Рис. 2.11
Каждое такое преобразование меняет глобальную изотермическую систему координат, а потому изменяет и $(q, t, L)$-модель, т. е. меняет конформный множитель метрики и координаты базисных векторов решетки.

Случаи $1,2,3,4$, представленные на рисунке, в точности отвечают преобразованиям $1,2,3,4$, указанным в теореме.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай римановой метрики на торе, геодезический поток которой допускает квадратичный интеграл, не сводящийся к линейному. Начнем с того, что для каждой такой метрики на торе $T^{2}$ мы предъявим ее канонический вид. При этом мы воспользуемся теоремой 2.12, согласно которой каждая такая метрика представляется в виде пары ( $\rho,\left(\widetilde{T}^{2}, d \widetilde{s}^{2}\right)$ ), где $d \widetilde{s}^{2}$ – глобально лиувиллева метрика на некотором торе $\tilde{T}^{2}$, а $\rho: T^{2} \rightarrow \tilde{T}^{2}$ – некоторое конечнолистное накрытие. Такое представление очень удобно, но оно оказывается, вообще говоря, неоднозначным. И наша цель сейчас будет состоять в том, чтобы среди всех таких представлений-накрытий указать одно каноническое, однозначно определенное накрытие $\rho_{0}: T^{2} \rightarrow \widetilde{T}_{0}^{2}$. Чтобы объяснить суть дела, сразу скажем, что в качестве такого канонического $\rho_{0}$ нужно взять накрытие с наименьшим возможным числом листов. Такое накрытие уже определено однозначно.

Формально поступим так. Рассмотрим лиувиллеву систему координат $x, y$ на накрывающей плоскости тора $T^{2}$ и решетку $\Gamma$, задающую этот тор. Как мы отмечали, решетка $\Gamma$ может быть перекошена по отношению к ортогональной системе координат $x, y$ (рис. 2.12). Построим новую решетку $\widetilde{\Gamma}_{0}$ следующим образом. Проведем через все узлы решетки Г вертикальные и горизонтальные прямые (рис. 2.12). В результате на плоскости появится некоторая ортогональная решетка. Ее мы и возьмем в качестве $\widetilde{\Gamma}_{0}$.
Рис. 2.12
Отметим следующее важное свойство решетки $\widetilde{\Gamma}_{0}$.

Лемма 2.6. Пусть $\widetilde{\Gamma}$ – любая другая ортогональная решетка на накрывающей плоскости, содержащая $\Gamma$, базисные векторы которой направлены вдоль осей $x$ и у. Тогда $\widetilde{\Gamma}_{0}$ обязательно содержится в $\widetilde{\Gamma}$. В частности, $\widetilde{\Gamma}_{0}$ не содержит нетривиальных подрешеток, удовлетворяющих перечисленным свойствам.
Доказательство.
Это следует из следующего очевидного замечания. Если $\widetilde{\Gamma}$ – произвольная ортогональная решетка с указанными свойствами, а $P$ и $Q$ – два ее произвольных узла, то точка $S$ пересечения двух прямых, проходнщих через $P$ и $Q$ параллельно осям $x$ и $y$ соответственно, также принадлежит решетке $\widetilde{\Gamma}$. Лемма доказана.

Отсюда вытекает следующее важное свойство решетки $\widetilde{\Gamma}_{0}$ и отвечающего ей накрытия $\rho_{0}: T^{2} \rightarrow \widetilde{T}_{0}^{2}$. Рассмотрим произвольное накрытие $\rho: T^{2} \rightarrow \widetilde{T}^{2}$ такое, что $d s^{2}=\rho^{*} d \widetilde{s}^{2}$ и $d \widetilde{s}^{2}$ – глобально лиувиллева метрика на торе $\widetilde{T}^{2}$. Тогда решетка $\widetilde{\Gamma}$, отвечающая тору $\widetilde{T}^{2}$, удовлетворяет условиям леммы 2.6 , и поэтому накрытие $\rho$ пропускается через накрытие $\rho_{0}$. Другими словами, существует накрытие $\pi: \widetilde{T}_{0}^{2} \rightarrow T^{2}$ такое, что $\rho=\pi \rho_{0}$.

Отсюда, в частности, следует, что $d s^{2}=\left(\rho_{0}\right)^{*} d \widetilde{s}_{0}^{2}$, причем метрика $d \widetilde{s}_{0}^{2}$ на торе $\tilde{T}_{0}^{2}$ нвляется глобально лиувиллевой. Кроме того, накрытие $\rho_{0}$ имеет наименьшее число листов среди всех накрытий над торами с глобально лиувиллевыми метриками.

Выберем в решетке $\Gamma$ некоторый канонический базис относительно базиса в решетке $\widetilde{\Gamma}_{0}$. Обозначим через $e_{1}, e_{2}$ ортогональный базис в решетке $\widetilde{\Gamma}_{0}$. При этом мы считаем, что вектор $e_{1}$ параллелен оси $x$, а вектор $e_{2}$ – оси $y$, где $x, y$ – глобальные лиувиллевы координаты на накрытии. Ясно, что такой базис определяется однозначно с точностью до умножения его векторов на -1 . Выберем в качестве базиса $f_{1}, f_{2}$ в решетке $\Gamma$ следующие два вектора: $f_{1}=m e_{1}$, где $m>0$ – некоторое целое число (наименьшее из возможных), и $f_{2}=k e_{1}+n e_{2}$, где $0 \leqslant k<m, n>0$. Этими условиями базисные векторы $f_{1}=(m, 0), f_{2}=(k, n)$ определены однозначно.
Лемма 2.7. В действительности $n=1$, а число $k$ взаимно просто $\boldsymbol{c}$. Доказательство.

Предположим противное, что $n$ – целое положительное число, большее 1 . Рассмотрим решетку $\Gamma^{\prime}$, порожденную векторами $e_{1}$ и $n e_{2}$. Тогда $\Gamma \subset \Gamma^{\prime} \subset \widetilde{\Gamma}_{0}$, что противоречит лемме 2.6.

Пусть далее числа $k$ и $m$ не взаимно простые. Тогда $k=s k^{\prime}, m=s m^{\prime}$, где $s
eq 1$. Рассматривая решетку $\Gamma^{\prime}$, порожденную векторами $s e_{1}$ и $e_{2}$, снова видим, что она удовлетворяет противоречащему лемме 2.6 свойству $\Gamma \subset \Gamma^{\prime} \subset \widetilde{\Gamma}_{0}$. Лемма 2.7 доказана.

Итак, каноническое накрытие $\rho_{0}: T^{2} \rightarrow \widetilde{T}_{0}^{2}$, построенное выше, задается матрицей
\[
\left(\begin{array}{cc}
m & k \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

составленной из координат векторов $f_{1}, f_{2}$ решетки $\Gamma$ относительно базиса решетки $\widetilde{\Gamma}_{0}$.

Пусть $x$ и $y$ – глобальные лиувиллевы координаты на торе $\widetilde{T}_{0}^{2}$. В этих координатах вектор $e_{1}$ имеет координаты $\left(T_{x}, 0\right)$, а вектор $e_{2}=\left(0, T_{y}\right)$. Здесь $T_{x}$ и $T_{y}$ – периоды лиувиллевых координат. Переходя к другим лиувиллевым координатам
\[
x^{\prime}=\frac{x}{T_{x}}, \quad y^{\prime}=\frac{y}{T_{x}},
\]

мы всегда можем считать, что период $T_{x}$ равен 1.
Таким образом, каждая метрика на торе, обладающая квадратично интегрируемым геодезическим потоком, может быть задана, закодирована (вообще говоря, неоднозначно) в виде следующей четверки:
\[
\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right),
\]

где $L=T_{y}$ (после нормировки, когда $T_{x}$ становится равным 1) является произвольным положительным числом, $f$ и $g$ – две периодические гладкие функции с периодами 1 и $L$ соответственно, а $\frac{k}{m}$ – рациональное число из полуинтервала $[0,1)$.

Если такая четверка задана, то тор $T^{2}$ с квадратично интегрируемым геодезическим потоком строится так.

Сначала рассмотрим на евклидовой плоскости $x, y$ глобально лиувиллеву метрику вида:
\[
(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

а затем факторизуем плоскость по решетке $\Gamma$, базисом которой являются два вектора $f_{1}=(m, 0), f_{2}=(k, L)$. Получим искомый тор $T^{2}$ с метрикой $g_{i j}$, которую будем для краткости называть $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$-метрикой или $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$-моделью. Итак, мы доказали следующее утверждение.
Предложение 2.5. Любая метрика на торе, обладающая квадратично интегрируемым геодезическим потоком, допускает представление в виде $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$ метрики.

Как мы уже отметили, кодирование метрики при помощи четверки $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$, т.е. представление ее в виде $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$-метрики, вообще говоря, неоднозначно. Ниже мы изучим степень этой неоднозначности.
Предложение 2.6. Пусть $x, y u u, v$ – две пары глобально лиувиллевых координат на накрывающей плоскости тора для данной глобально лиувиллевой метрики. Тогда от системы коодинат $x$, у на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ можно перейти к системе координат $u, v$ композициями следующих четырех преобразований:
1) $z \rightarrow z+b$, где $b$ – вещественное число (сдвиг вдоль оси $x$ ).
2) $z \rightarrow \bar{z}$ (комплексное сопряжение),
3) $z \rightarrow-i \bar{z}$ (перестановка местами координат $x и y$ ),
4) $z \rightarrow a z$, где а – положительное вещественное число (растяжение).

ЗАмЕчАниЕ. Композиции этих преобразований образуют группу, состоящую из восьми компонент свнзности:
a) $w=a z+b$
б) $w=i(a z+b)$,
в) $w=a \bar{z}+b$
г) $w=i(a \bar{z}+b)$,

где $a \in \mathbb{R} \backslash\{0\}, a, b \in \mathbb{C}$.
Отметим, что вещественное число $a$ может быть как положительным, так и отрицательным. Замена знака меняет компоненту связности в группе.
Дожазательство.
При доказательстве предложения 2.4 мы показали, что две глобально лиувиллевы системы координат должны быть связаны между собой одним из перечисленных выше преобразований а), б), в), г). Каждое из этих преобразований, в свою очередь, может быть, очевидно, представлено как композиция преобразований 1), 2), 3), 4). Предложение доказано.

Опишем четыре элементарные операции, с помощью которых мы будем преобразовывать коды квадратично интегрируемых геодезических потоков, т.е. четверки $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$, друг в друга.

Операция $\alpha_{b}$.
$\alpha_{b}\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)=\left(L, \widehat{f}, g, \frac{k}{m}\right)$, где $\widehat{f}(x)=f(x-b)$. Смысл этой операции состоит в том, что мы выполняем преобразование вида $z \rightarrow z+b$ (см. предложение 2.6).
Операция $\beta$.
$\beta\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)=\left(L, f, \widehat{g}, \frac{m-k}{m}\right)$, где $\widehat{g}(y)=g(-y)$. Смысл этой операции в том, что мы выполняем комплексное сопряжение $z \rightarrow \bar{z}$ (см. предложение 2.6). Операция $\gamma$.
\[
\gamma\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)=\left(\frac{1}{L}, \widehat{f}, \widehat{g}, \frac{\widehat{k}}{m}\right) \text {, где } \widehat{f}(x)=L^{2} g(L x), \widehat{g}(y)=L^{2} f(L y), \text { и }
\]
$m>\widehat{k} \geqslant 0, k \widehat{k}=1 \bmod m)$. Смысл этой операции состоит в перестановке местами переменных $x$ и $y$ с последующей нормировкой. Более точно, в терминах предложения 2.6 , операция $\gamma$ отвечает следующему комплексному преобразованию $w(z)=-i \frac{\bar{z}}{L}$. Нормировка здесь сделана для того, чтобы период первой координаты $x$ был равен 1 . Это приходится делать, так как мы меняем координаты $x$ и $y$ местами.
Операция $\delta_{c}$.
$\delta_{c}\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)=\left(L, \widehat{f}, \widehat{g}, \frac{k}{m}\right)$, где $\widehat{f}(x)=f(x)+c, \widehat{g}(y)=g(y)-c$. Здесь $c-$ произвольная постоянная. Смысл этой операции состоит в том, что мы двумя разными способами представляем конформный множитель $\lambda=f(x)+g(y)$ в виде суммы двух функций $f(x)$ и $g(y)$. Ясно, что $\widehat{f}(x)+\widehat{g}(y)=f(x)+g(y)$.
Теорема 2.14 (В.С.Матвеев). Две метрики на торе, задаваемые кодами $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right)$ и ( $\left.\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g}, \frac{\widehat{k}}{\widehat{m}}\right)$, изометричны тогда и только тогда, когда эти две четверки можно перевести друг в друга композицией элементарных операций $\alpha_{b}, \beta, \gamma, \delta_{c}$.
Доказательство.
Как мы уже объяснили, после фиксации глобально лиувиллевых координат на накрывающей плоскости тора, построение четверки $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right.$ ), отвечающей выбранной квадратично интегрируемой метрике на торе, проводится однозначно, по модулю представления конформного множителя $\lambda$ в виде суммы $f+g$, т.е. с точностью до операции $\delta_{c}$. Таким образом, вся неоднозначность в выборе четверки $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right.$ ) заключается в выборе глобально лиувиллевых координат на накрывающей плоскости тора. Но мы уже знаем, что любые две глобально лиувиллевы системы координат получаются друг из друга с помощью элементарных преобразований, описанных в предложении 2.4. Эти элементарные преобразования индуцируют преобразования четверок $\left(L, f, g, \frac{k}{m}\right.$ ). Осталось заметить, что эти индуцированные преобразования в точности являются операциями $\alpha_{b}, \beta, \gamma$. Операция $\delta$ уже учтена выше. Следует отметить, что мы не обсуждаем здесь преобразование растяжения $z \rightarrow a z$, где $a$ – вещественно и положительно. Дело в том, что у нас есть еще одно дополнительное условие на лиувиллеву систему координат – условие нормировки. Напомним, что мы выбираем координаты $x, y$ так, чтобы в них первый базисный вектор решетки $\widetilde{\Gamma}_{0}$ имел вид $(1,0)$.

Докажем теперь теорему в обратную сторону. Фактически требуется лишь проверить, что преобразования $\alpha_{b}, \beta, \gamma, \delta_{c}$ не меняют метрики, т.е., более точно, заменяют ее на изометричную. Но это очевидно, поскольку каждое из этих преобразований является преобразованием глобально лиувиллевых координат при сохранении метрики и решетки. Теорема доказана.
2.5.2. Случай бутылки Клейна

Рассмотрим теперь интегрируемые геодезические потоки на бутылке Клейна $K^{2}$. Оказывается, в этом случае также существуют метрики с линейно и квадратично интегрируемые геодезическими потоками. Более того, как будет показано, на бутылке Клейна есть метрики, геодезические потоки которых интегрируются помощи интеграла степени 4 , не сводящегося к линейным и квадратичным.

Напомним, что бутылка Клейна двулистно накрывается тором. Такое накрытие определено однозначно (с точностью до естественной эквивалентности накрытий). Совершенно ясно, что поднимая на тор метрику с бутылки Клейна $K^{2}$ с интегрируемым геодезическим потоком, мы получаем на торе тоже интегрируемый поток. Однако, как мы увидим, тип потока при этом может меняться, а именно: степень интеграла может понизиться. Например, из квадратично интегрируемого потока может получиться линейно интегрируемый. А из потока с интегралом четвертой степени может получиться квадратично интегрируемый поток. См. работы И. К. Бабенко [401] и В. С. Матвеева [112], [113].
Определение 2.4. Риманова метрика на бутылке Клейна называется глобально лиувиллевой, если при ее поднятии на накрывающий тор получается глобально лиувиллева метрика на торе.

Определение 2.5. Квадратично интегрируемый геодезический поток на бутылке Клейна называется квазилинейно интегрируемым, если при его поднятии на накрывающий тор получается линейно интегрируемый геодезический поток на тope.

Априори можно было бы ожидать, что на бутылке Клейна есть конечнолистно лиувиллевы метрики, как это было в случае тора. Однако на бутылке Клейна аналога таких метрик нет. Оказывается, здесь решетка накрывающего тора, по которой происходит факторизация (при переходе к бутылке Клейна) всегда ортогональна. Таким образом, здесь, в отличие от тора, не бывает перекошенных решеток.

Начнем с того, что предъявим полный набор всех возможных квадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. Рассмотрим две положительные функции $f(x)$ и $g(y)$, удовлетворяющие следующим свойствам:
1) $f(x)$ периодична с периодом $\frac{1}{2}$ и отлична от постоянной,

2) $g(y)$ четная периодическая функция с периодом $L$.

Рассмотрим теперь на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ лиувиллеву метрику $d s^{2}=(f(x)+$ $+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Представим тор $T^{2}$ в виде фактор-пространства $\mathbb{R}^{2} / \Gamma$, где ортогональная решетка $\Gamma$ порождена базисными векторами
\[
f_{1}=(1,0) \text { и } f_{2}=(0, L) .
\]

В силу периодичности функций $f$ и $g$ относительно сдвигов на элементы решетки метрику $d s^{2}$ можно считать метрикой на торе $T^{2}$.
Рассмотрим на этом торе инволюцию $\xi$, задаваемую следующей формулой:
\[
\xi(x, y)=\left(x+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Это стандартная инволюция, не имеющая неподвижных точек на торе и меняющая ориентацию. Поэтому бутылку Клейна можно представить в виде $K^{2}=\frac{T^{2}}{\xi}$. Легко видеть, что метрика $d s^{2}$ инвариантна относительно действия инволюции $\xi$, и поэтому метрику можно спустить вниз с тора на бутылку Клейна, факторизуя по действию $\xi$. Получится метрика на $K^{2}$. По построению, такие метрики задаются тремя параметрами: $L, f, g$, где $L$ – один из периодов решетки, а $f$ и $g-$ две функции, удовлетворяющие описанным выше свойствам.
Определение 2.6. Назовем такие метрики на бутылке Клейна $(L, f, g)$-метриками.
Теорема 2.15.
а) Любая метрика на бутылке Клейна с квадратично интегрируемым геодезическим потоком изометрична некоторой ( $L, f, g$ )-метрике при подходящем выборе параметров $L, f, g$.
б) ( $L, f, g$ )-метрика является лиувиллевой на $K^{2}$ тогда и только тогда, когда функция $g(y)$ не является постоянной.
в) Геодезический поток ( $L, f, g$ )-метрики на бутылке Клейна является квазилинейно интегрируемым в том и только в том случае, когда функция $g(y)$ постоянна.

Следствие. Геодезический поток римановой метрики на бутылке Клейна является квадратично интегрируемым тогда и только тогда, когда реализуется один из следующих случаев:
1) либо метрика является лиувиллевой,
2) либо геодезический поток квазилинейно интегрируем.

Доказательство теоремы 2.15.
Рассмотрим на $K^{2}$ квадратично интегрируемую метрику и накроем бутылку $K^{2}$ тором $T^{2}$, а затем плоскостью $\mathbb{R}^{2}$. На плоскости $\mathbb{R}^{2}$ возникнет либо квадратично интегрируемая метрика, либо линейно интегрируемая, если степень интеграла упала при разворачивании бутылки Клейна. В этом случае, как было
доказано выше, существуют глобально лиувиллевы координаты $x, y$ на плоскости, в которых метрика записывается в виде $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Здесь хотя бы одна из функций $f(x)$ и $g(y)$ не постоянна, поскольку в противном случае метрика на $K^{2}$ является плоской и допускает, следовательно, линейный интеграл. Пусть для определенности функция $f(x)$ не постоянна. Обозначим через $\Gamma$ решетку тора.

Поднимем инволюцию $\xi$ с тора на плоскость $\mathbb{R}^{2}$. Это всегда можно сделать, хотя и неоднозначно. Обозначим ее здесь снова через $\xi$. Найдем явную формулу для действия этой инволюции относительно координат $x, y$. Отметим сначала, что $\xi$ сохраняет метрику, в частности, сохраняет ее лиувиллев вид. Поэтому, как мы уже видели выше, $\xi$ обязана иметь один из следующих видов:
1) $z \rightarrow a z+b$,
2) $z \rightarrow a \bar{z}+b$,
3) $z \rightarrow i a z+b$,
4) $z \rightarrow i a \bar{z}+b$,

где $a$ – вещественное число, а $b$ – комплексное.
Поскольку $\xi^{2}$ тождественно на торе, то $\xi^{2}$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ сохраняет решетку $\Gamma$, т.е. переводит ее в себя. Отсюда сразу следует, что $a^{2}=1$, т.е. $a= \pm 1$, т.е. никаких растяжений нет.

Кроме того, отображение $\xi$ меняет ориентацию, а потому из этого списка остаются лишь следующие возможности:
\[
\begin{array}{l}
z \rightarrow \bar{z}+b, \\
z \rightarrow-\bar{z}+b, \\
z \rightarrow i \bar{z}+b, \\
z \rightarrow-i \bar{z}+b .
\end{array}
\]

Покажем, что в действительности случаи 3 и 4 не реализуются.
Лемма 2.8. Инволюция $\xi$ не может иметь вида 3 и 4 .
Доказательство.
Рассмотрим случай 3. Поскольку инволюция $\xi$ должна иметь здесь вид $z \rightarrow i z+b$, то в координатах $x$ и $y$ она записывается так:
\[
x \rightarrow y+b_{1}, \quad y \rightarrow x+b_{2} .
\]

Так как $\xi$ сохраняет метрику тора, то мы получаем следующие условия на функции $f$ и $g$ :
\[
f(x)+g(y)=f\left(y+b_{1}\right)+g\left(x+b_{2}\right) .
\]

Отсюда, очевидно, следует, что
\[
f(x)=g\left(x+b_{2}\right)+C_{0}, \quad g(y)=f\left(y+b_{1}\right)-C_{0} .
\]

Поскольку инволюция $\xi$ определена на торе, то она сохраняет и интеграл $F$. Этот интеграл на торе является прообразом интеграла с бутылки Клейна, точнее, с ее кокасательного расслоения. Вспоминаем теперь, что, согласно предложению 2.4, вид этого квадратичного интеграла на торе определен однозначно, с точностью до линейной комбинации с гамильтонианом. Этот вид с точностью до умножения на константу таков:
\[
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{-(f(x)-C) p_{y}^{2}+(g(y)+C) p_{x}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\]

Подействуем на него инволюцией $\xi$, учитывая соотношения на функции $f$ и $g$, полученные выше. Получим:
\[
\begin{aligned}
\xi^{*} F & =\frac{-\left(f\left(y+b_{1}\right)-C\right) p_{x}^{2}+\left(g\left(x+b_{2}\right)+C\right) p_{y}^{2}}{f\left(y+b_{1}\right)+g\left(x+b_{2}\right)}= \\
& =\frac{-\left(g(y)+C_{0}-C\right) p_{x}^{2}+\left(f(x)-C_{0}+C\right) p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\end{aligned}
\]

Приравнивая $\xi^{*} F$ и $F$, получаем:
\[
-g(y)-C_{0}+C=g(y)+C, \quad f(x)-C_{0}+C=-f(x)+C .
\]

Отсюда следует, что обе функции $f(x)$ и $g(y)$ являются постоянными, сумма которых равна нулю. Что невозможно, так как конформный множитель $\lambda=f(x)+g(y)$ должен быть положительной функцией. Случай 3 , тем самым, полностью изучен.

Случай 4 разбирается совершенно аналогично. Достаточно предварительно сделать замену $x \rightarrow-x$, после чего мы попадаем в точности в случай 3 . Лемма доказана.

Перейдем теперь к анализу инволюции типа 2. Предположим сначала, что обе функции $f(x)$ и $g(y)$ не постоянны, Тогда, меняя местами переменные $x$ и $y$, превращаем тип 2 в тип 1 . Другими словами, в этом случае переменные $x$ и $y$ равноправны. Собственно случаем 1 мы займемся чуть позже.

Если же в рамках случая 2 функция $g(y)$ оказывается постоянной, равной какому-то числу $g$, а $f(x)$ – не постоянна, то метрика имеет вид:
\[
(f(x)+g)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)
\]

и очевидно допускает линейный интеграл $p_{y}$. В то же время инволюция $\xi$ действует здесь так: $x \rightarrow-x+b_{1}, y \rightarrow y+b_{2}$. Ясно, что интеграл $p_{y}$ инвариантен относительной такой инволюции $\xi$, а потому спускается вниз, т.е. на бутылку Клейна. В результате для данной метрики мы получаем линейный интеграл на бутылке Клейна, что противоречит предположению о том, что исходный квадратичный интеграл к линейному не сводится.

Итак, можно считать, что инволюция $\xi$ имеет вид $z \rightarrow \bar{z}+b$, т.е. $\xi(x, y)=$ $=\left(x+b_{1},-y+b_{2}\right)$ (случай 1 ). Сдвигом системы координат вдоль оси $y$ можно добитьсн того, что $b_{2}=0$, т.е. $\xi(x, y)=\left(x+b_{1},-y\right)$.
Рассмотрим решетку $\Gamma$ тора $T^{2}=\frac{\mathbb{R}^{2}}{\Gamma}$.

Лемма 2.9. Существует ортогональный базис $f_{1}, f_{2}$ решетки $\Gamma$ такой, что $f_{1}=(a, 0), f_{2}=(0, b)$, и при этом $b_{1}=\left(n+\frac{1}{2}\right)$ a.
Доказательство.
Рассмотрим инволюцию $\xi$ тора. Тогда $\xi^{2}$ тождественно на торе и, следовательно, рассматривая $\xi^{2}$ на накрывающей плоскости, получаем, что $\xi^{2}$ переводит решетку $\Gamma$ в себя и имеет вид: $\xi^{2}(x, y)=\left(x+2 b_{1}, y\right)$, т. е. сдвиг вдоль оси $x$. Следовательно, вектор $\left(2 b_{1}, 0\right)$ является элементом решетки $\Gamma$. Поэтому существует базисный вектор $f_{1}$ решетки $\Gamma$ вида $(a, 0)$, т.е. такой, что $k f_{1}=\left(2 b_{1}, 0\right)$ для некоторого натурального положительного $k$. Покажем, что в действительности число $k$ нечетно. Предположим противное, тогда вектор $\left(b_{1}, 0\right)$ принадлежит решетке $\Gamma$. Но в таком случае точка $(0,0)$ под действием $\xi$ переходит в точку $\left(b_{1}, 0\right)$, т.е. остается в решетке и потому с точки зрения тора является неподвижной точкой инволюции $\xi$. Это противоречит определению $\xi$. В итоге отсюда следует, что $b_{1}=\left(n+\frac{1}{2}\right)$.

Обозначим через $\xi_{0}$ линейную часть аффинного отображения $\xi$ на плоскости, т.е. $\xi_{0}(x, y)=(x,-y)$. Мы утверждаем, что $\xi_{0}$ переводит решетку $\Gamma$ в себя. В самом деле, из корректности определения $\xi$ на торе следует, что $\xi(P+\omega)=\xi(P)+\omega^{\prime}$, где $P$ – произвольная точка плоскости, а $\omega$ и $\omega^{\prime}$ – элементы решетки. С другой стороны, $\xi(P+\omega)=\xi(P)+\xi_{0}(\omega)$. Итак, $\xi_{0}(\omega)=\omega^{\prime}$, т.е. решетка действительно переходит в себя.

Поскольку $\xi_{0}$ – это симметрия плоскости относительно оси $x$ (см. выше формулу), то решетка $\Gamma$ переходит в себя при такой симметрии. Существует только два типа таких решеток. Они представлены на рис. 2.13. Первый тип – это ортогональная решетка, т.е. именно та, которая нам и нужна. Решетки второго типа порождаются равнобедренными треугольниками (рис.2.13). Дадим формальное доказательство этого факта.

Выберем второй базисный вектор решетки в виде $f_{2}=(c, b)$, где $b>0,0 \leqslant c<a$. Тогда $\xi_{0}\left(f_{2}\right)=(c,-b)$. Рассмотрим элемент
Рис. 2.13
решетки $\xi_{0}\left(f_{2}\right)+f_{2}=(2 c, 0)$. Напомним, что первый базисный вектор решетки имеет вид $f_{1}=(a, 0)$, следовательно, $c$ равняется либо нулю, либо $\frac{a}{2}$. Это в точности соответствует двум типам решеток, изображенным на рис.2.13.

Решеток второго типа в нашей ситуации быть не может. Дело в том, что тогда инволюция $\xi$ будет иметь неподвижную точку на торе, что запрещено. В самом деле, рассмотрим точку $\left(0,-\frac{b}{2}\right)$. Ее образ под действием $\xi$ имеет вид: $\left(\left(n+\frac{1}{2}\right) a, \frac{b}{2}\right)$. Эти две точки отличаются между собой на вектор
\[
\left(\left(n+\frac{1}{2}\right) a, b\right)=n(a, 0)+\left(\frac{a}{2}, b\right)=n f_{1}+f_{2} .
\]

Но этот вектор является элементом решетки, т.е. точка $\left(0,-\frac{b}{2}\right)$ неподвижна относительно действия $\xi$ на торе. Получили противоречие.

Итак, только ортогональная решетка, т.е. решетка с базисом $f_{1}=(a, 0)$ и $f_{2}=(0, b)$ является допустимой. Лемма доказана.

Вернемся в доказательству теоремы. Сделаем конформную замену переменных $x, y$ по формуле $x \rightarrow \frac{x}{a}, y \rightarrow \frac{y}{a}$. Тогда базис решетки запишется в виде $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$, где $L=\frac{b}{a}$. Инволюция $\xi$ в новой системе координат (которую мы по-прежнему будем обозначать через $x, y$ ) запишется так:
\[
\xi(x, y)=\left(x+n+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Однако эта инволюция и инволюция вида $(x, y) \rightarrow\left(x+\frac{1}{2},-y\right)$ на торе, очевидно, совпадают, так как число $n$ – целое. Поэтому можно считать, что $\xi(x, y)=$ $=\left(x+\frac{1}{2},-y\right)$.

Резюмируя, можем сказать, что мы представили метрику на бутылке Клейна в виде ( $L, f, g$ )-метрики, что и доказывает пункт (а) теоремы.

Обсудим теперь вопрос, в каком случае эта метрика является глобально лиувиллевой на бутылке Клейна. Это означает, что она должна быть глобально лиувиллевой на торе после поднятия с бутылки Клейна. Ясно, что в рассматриваемом случае это эквивалентно тому, что обе функции $f(x)$ и $g(y)$ являются непостоянными. Это и есть утверждение (б) теоремы. Напомним, что $f$ отлична от константы по определению.

Осталось разобрать случай, когда функция $g(y)$ постоянна. В этом случае степень интеграла при подъеме его на тор понижается, поскольку линейным интегралом оказывается функция $p_{y}$. Нужно показать, что исходный интеграл на бутылке Клейна тем не менее остается квадратичным. Это и будет означать квазилинейность метрики типа $(L, f, g$ ) на бутылке Клейна. Для того, чтобы линейный интеграл $p_{y}$ спустился вниз на бутылку Клейна и породил там линейный интеграл, нужно, чтобы он выдерживал инволюцию $\xi$ на торе. Но под действием $\xi$ он, очевидно, меняет знак и, следовательно, не спускается на $K^{2}$. Лишь возведя его в квадрат, получим квадратичный интеграл $p_{y}^{2}$, который успешно спустится вниз на $K^{2}$ и породит там тоже квадратичный интеграл.

Осталось заметить, что такой линейный интеграл определен на торе однозначно с точностью до скалярного множителя. См. замечание к теореме о структуре линейно интегрируемых метрик на торе. Это завершает доказательство пункта (в) теоремы. Теорема полностью доказана.

Для завершения классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна мы должны ответить на вопрос, какие пары троек $(L, f, g)$ и $(\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g})$ на самом деле отвечают одной и той же метрике на бутылке Клейна. Или, более строго, какие $(L, f, g)$-метрики изометричны между собой.

Рассмотрим на множестве всех троек следующие 4 операции: $\alpha_{v}, \beta, \gamma, \delta_{c}$.
\[
\begin{aligned}
\alpha_{v}(L, f(x), g(y)) & =(L, f(x+v), g(y)), \\
\beta(L, f(x), g(y)) & =\left(L, f(x), g\left(y+\frac{L}{2}\right)\right), \\
\gamma(L, f(x), g(y)) & =(L, f(-x), g(y)), \\
\delta_{c}(L, f(x), g(y)) & =(L, f(x)+c, g(y)-c) .
\end{aligned}
\]

Теорема 2.16 (В.С. Матвеев). (L, f, g)-метрика и ( $\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g})$-метрика на бутылке Клейна изометричны тогда и только тогда, когда тройки ( $L, f, g$ ) и ( $\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g}$ ) получаются друг из друга композициями операций вида $\alpha_{v}, \beta, \gamma, \delta_{c}$. Доказательство.

Схема рассуждений повторяет, конечно, доказательство аналогичной теоремы для случая тора. Прокомментируем имеющиеся отличия. Отличие состоит в том, что здесь следует учитывать инволюцию $\xi$, которая в глобальных лиувиллевых координатах на торе имеет специальный вид:
\[
\xi(x, y)=\left(x+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Видно, что здесь координаты $x$ и $y$ не равноправны, в отличие от случая тора. В частности, среди преобразований троек $(L, f, g$ ) нет перестановки координат $x$ и $y$, имеющейся в случае тора. По сравнению с тором отсутствуют также преобразования, порожденные сдвигами на произвольную величину по оси $y$. Это объясняется тем, что ось $y=0$ на плоскости является инвариантной прямой по отношению к $\xi$. Эта прямая порождает инвариантный цикл на торе. Есть и еще один инвариантный цикл, отвечающий всем прямым на плоскости вида $y=\frac{L}{2}+k L$, где $k$ пробегает целые числа. Множество этих прямых инвариантно относительно сдвига на $L$ вдоль оси $y$. Других инвариантных относительно $\xi$ циклов на торе нет. Поэтому $y$ можно сдвигать только на $\frac{L}{2}$, что и отражено в операции $\beta$.

Наконец, симметрия относительно оси $x$ ничего не меняет в силу четности функции $g(y)$, поэтому ее и нет в списке элементарных преобразований.
Теорема доказана.
Опишем класс линейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. Рассмотрим на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ в декартовых координатах $x, y$ ортогональную решетку с базисом $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$, где $L-$ произвольное положительное число. Рассмотрим метрику
\[
g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $g(y)$ – четная функция с периодом $L$. Как мы уже знаем, эта метрика дает нам линейно интегрируемый геодезический поток на торе. Рассмотрим теперь на торе инволюцию $\xi$, задаваемую в координатах накрывающей плоскости формулой:
\[
\xi(x, y)=\left(x+\frac{1}{2},-y\right) .
\]

Легко видеть, что функция $g(y)$ инвариантна относительно инволюции $\xi$, а потому, факторизуя тор по инволюции, мы получаем бутылку Клейна с метрикой $g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$.

Назовем такие метрики на бутылке Клейна $(L, g)$-метриками. Легко видеть, что их геодезические потоки линейно интегрируемы. В самом деле, линейным интегралом потока, поднятого обратно на тор, является $p_{x}$. Но так как функция $p_{x}$ выдерживает инволюцию $\xi$, то мы можем спустить вниз этот интеграл и в результате получаем линейный интеграл геодезического потока $(L, g)$-метрики на бутылке Клейна. Оказывается, никаких других линейно интегрируемых геодезических потоков на $K^{2}$ нет.
Теорема 2.17 (В.С. Матвеев). Любая метрика на бутылке Клейна, геодезический поток которой допускает линейный интеграл, является либо плоской, либо изометрична некоторой ( $L, g$ )-метрике при подходящем подборе параметров $L$ и g. При этом $(L, g)$-метрика и ( $\widehat{L}, \widehat{g})$-метрика, отвечающие различным параметрам, изометричны в том и только в том случае, когда $L=\widehat{L}$ $u g(y)=\widehat{g}\left(y+\frac{L}{2}\right)$.
Доказательство.
Оно по существу повторяет рассуждения для случая квадратичного интеграла. Более того, формально мы можем возвести интеграл $p_{x}$ в квадрат и повторить все предыдущие рассуждения. Здесь мы, естественно, предполагаем, что метрика не является плоской, так как в противном случае доказывать нечего. Выбираем на накрывающей плоскости ортогональные координаты $x, y$ так, чтобы в них метрика имела вид $g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, а затем изучаем допустимый вид инволюции $\xi$ относительно этих координат. Возможны (см. выше) только следующие 4 случая:
\[
\begin{array}{l}
z \rightarrow \bar{z}+b, \\
z \rightarrow-\bar{z}+b, \\
z \rightarrow i \bar{z}+b, \\
z \rightarrow-i \bar{z}+b .
\end{array}
\]

Случаи 3 и 4 не реализуются по тем же соображениям, что и в квадратичном случае. При инволюции второго типа, т.е. при симметрии относительно оси $y$, линейный интеграл $p_{x}$ системы на накрывающей плоскости (или на торе) переходит, очевидно, в $-p_{x}$, т. е. не инвариантен относительно $\xi$. Следовательно, он не может получаться поднятием какого-то линейного интеграла в бутылки Клейна. Поэтому случай 2 тоже невозможен.

Остается случай 1 . Но для этого случая в доказательстве теоремы 2.15 мы уже показали, что решетка обязана быть ортогональной, а инволюция должна иметь нужный вид. Таким образом, всегда можно найти на накрывающей плоскости систему координат $x, y$, в которой решетка $\Gamma$ ортогональна и порождается векторами $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$, метрика записывается в виде $g(y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, а инволюция $\xi$ имеет вид $\xi(x, y)=\left(x+\frac{1}{2},-y\right)$. Итак, доказано, что любая линейно интегрируемая метрика либо плоская, либо некоторая ( $L, g$ )-метрика.
Для доказательства второго утверждения теоремы достаточно вернуться к описанию четырех операций $\alpha_{v}, \beta, \gamma, \delta_{c}$ в доказательстве теоремы 2.16 и оставить из них только те, которые с формальной точки зрения отвечают случаю $f(x)=0$. Такой операцией является лишь преобразование $\beta$. Все остальные действуют тривиально.
Теорема доказана.
Рассмотрим, наконец, еще одно семейство метрик на бутылке Клейна, геодезические потоки которых естественно называть квазиквадратично интегрируемыми. Они обладают интегралом $F$ четвертой степени, который локально (но не глобально) может быть представлен в виде $F=\widetilde{F}^{2}$, где $\tilde{F}-$ квадратичный полином. В частности, при поднятии на накрывающий тор геодезический поток становится квадратично интегрируемым.

Пусть $m$ и $n$ – натуральные взаимно простые числа и $f$ – положительная периодическая функция одной пеРис. 2.14 ременной с периодом 1 , отличная от постоянной. Рассмотрим на плоскости стандартные декартовы координаты $x, y$ и зададим метрику по формуле:
\[
d s^{2}=\left(f(x)+f\left(y+\frac{n}{2}\right)\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Пусть $\Gamma$ – ортогональная решетка на плоскости, порожденная векторами $f_{1}=(m,-m), f_{2}=(n, n)$ (рис.2.14). Она получается из стандартной решетки путем поворота на $\frac{\pi}{4}$. Под стандартной решеткой здесь мы понимаем решетку с базисными векторами, направленными по осям $x$ и $y$. Легко видеть, что указанная метрика инвариантна по отношению к сдвигам на элементы решетки $Г$. Следовательно, эта метрика корректно определяет некоторую метрику на торе. Кстати, она является конечнолистно лиувиллевой (так как решетка $Г$ не является стандартной).

Зададим теперь на торе инволюцию $\xi:(x, y) \rightarrow\left(y+\frac{n}{2}, x+\frac{n}{2}\right)$. Факторизуя тор по действию инволюции $\xi$, получаем бутылку Клейна. Легко видеть, что метрика на торе инвариантна относительно инволюции $\xi$, а потому определяет некоторую метрику на бутылке Клейна $K^{2}$. Обозначим эту метрику через $d s_{m, n, f}^{2}$. Теорема 2.18 (В.С.Матвеев).
1) Геодезический поток метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ на бутылке Клейна имеет полиномиальный по импульсам интеграл степени 4. Этот интеграл не сводится $\kappa$ интегралам меньших степеней.
2) Метриками вида $d s_{m, n, f}^{2}$ исчерпываются ( точностью до изометрий) метрики на бутылке Клейна, не имеющие квадратичного интеграла, но приобретающие такой интеграл после перехода к накрывающему тору. Такие метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ естественно назвать квазиквадратичными.
3) Две метрики вида $d s_{m, n, f}^{2} u d s_{\widehat{m}, \widehat{n}, \widehat{f}}^{2}$ изометричны в том и только в том случае, когда их параметры связаны соотношением: $m=\widehat{m}, n=\widehat{n}$, $f(x+t)=\widehat{f}(x)$ для некоторого вещественного числа $t$.

Доказательство.
Начнем с того, что предъявим на $K^{2}$ интеграл четвертой степени. Поскольку метрика $d s_{m, n, f}^{2}$ является конечнолистно лиувиллевой, то, как мы уже знаем, на торе у нее существует интеграл второй степени:
\[
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{p_{x}^{2} f\left(y+\frac{n}{2}\right)-p_{y}^{2} f(x)}{f\left(y+\frac{n}{2}\right)+f(x)} .
\]

Сразу отметим, что эта функция не инвариантна на торе относительно инволюции $\xi$, а потому не спускается вниз на $K^{2}$ в виде однозначного интеграла. Более точно, $\xi^{*} F=-F$. Поэтому можно рассматривать этот интеграл как двузначный интеграл на $K^{2}$. Ясно, что для построения корректно определенного однозначного интеграла на бутылке Клейна достаточно возвести $F$ в квадрат. Что мы и сделаем. Итак, в качестве искомого интеграла четвертой степени на $K^{2}$ мы берем $F^{2}$.

Докажем, что эта метрика не имеет нетривиальных квадратичных интегралов. Отметим, что тем самым мы докажем, что у нее нет и линейных интегралов, поскольку, возводя линейный интеграл в квадрат, мы получили бы квадратичный.

Выше мы уже доказали (предложение 2.4), что квадратичный интеграл интегрируемой метрики указанного вида на торе определен однозначно с точностью до линейной комбинации с гамильтонианом, т.е. имеет вид $c_{1} F+c_{2} H$, где $H$ – гамильтониан, а $c_{1}, c_{2}$ – некоторые постоянные. Подействуем на этот интеграл инволюцией $\xi$ и увидим, что $\xi\left(c_{1} F+c_{2} H\right)=-c_{1} F+c_{2} H$. Для того, чтобы этот интеграл корректно спускался вниз на бутылку Клейна, необходимо, чтобы $c_{1}=0$. Следовательно, любой квадратичный интеграл нашей метрики на бутылке Клейна пропорционален $H$. В этом смысле он тривиален. Итак, мы доказали отсутствие квадратичных и линейных интегралов.

Докажем теперь, что метрика $d s_{m, n, f}^{2}$ не имеет интегралов третьей степени. Оказывается, верен более общий факт.
Лемма 2.10. Геодезические потоки глобально лиувиллевых метрик на торе не имеют интегралов третьей степени.

ЗАмЕчАниЕ. Отсюда сразу следует, что таким же свойством обладают и конечнолистно лиувиллевы метрики на торе, которые накрываются глобально лиувиллевыми.
Следствие. Геодезический поток метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ на бутылки Клейна не имеет интегралов третьей степени.

Доказательство следствия.
Вытекает из того, что метрика $d s_{m, n, f}^{2}$ накрывается конечнолистно лиувиллевой метрикой на торе. Осталось применить лемму 2.10 и воспользоваться замечанием к ней.

Доказательство леммы 2.10.
Пусть лиувиллева метрика имеет вид:
\[
(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Рассмотрим квадратичный интеграл $F$ этого потока:
\[
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{-p_{x}^{2} g(y)+p_{y}^{2} f(x)}{g(y)+f(x)} .
\]

Для доказательства леммы нам потребуется изучить структуру лиувиллевых торов. Совместная поверхность уровня $\{H=1, F=a=$ const $\}$ задается следующими уравнениями:
\[
p_{x}^{2}=f(x)-a, \quad p_{y}^{2}=g(y)+a .
\]

В самом деле,
\[
\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{f+g}=1, \quad \frac{f p_{y}^{2}-g p_{x}^{2}}{f+g}=a .
\]

Домножая первое уравнение на $f$ и вычитая второе уравнение из первого, получаем: $\frac{f p_{x}^{2}}{f+g}+\frac{g p_{x}^{2}}{f+g}=f-a$, то есть $p_{x}^{2}=f-a$. Аналогично получается, что $p_{y}^{2}=g(y)+a$.

При регулярных значениях $a$ эта поверхность уровня состоит, вообще говоря, из нескольких торов Лиувилля. Рассмотрим положительное число $a$, близкое к абсолютному минимуму $f_{0}$ функции $f(x)$, причем $a=f_{0}+\varepsilon$, где $\varepsilon$ малое положительное число (рис.2.15). Выделим на графике функции $f(x)$ ту его часть, которая лежит выше уровня $a=f_{0}+\varepsilon$. Эта часть графика проекРис. 2.15

тируется на ось $x$. Рассмотрим любую связную компоненту этой проекции, т.е. отрезок на окружности, параметризованной $x$. Обозначим концы этой дуги через $x_{a+}$ и $x_{a-}$. Легко видеть, что множество точек
\[
\left\{p_{x}= \pm \sqrt{f-a}, p_{y}=\sqrt{g+a}, x \in\left[x_{a-}, x_{a+}\right], y \text { – произвольно }\right\}
\]

является тором Лиувилля. Обозначим его через $T_{a}$. Меняя число $a$, мы получаем семейство торов Лиувилля. Функция вращения $\rho$ геодезического потока не может
быть постоянной на всех этих торах. Это, в частности, следует из того, что при $a \rightarrow f_{0}$, т.е. при $\varepsilon \rightarrow 0$, функция вращения стремится к бесконечности. Это мы покажем ниже, при обсуждении траекторной классификации интегрируемых геодезических потоков на торе. Поэтому без ограничения общности мы можем считать, что любой интеграл геодезического потока постоянен на каждом торе Лиувилля из данного семейства $T_{a}$.
Допустим теперь, что существует интеграл $K$ третьей степени:
\[
K\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=A_{1}(x, y) p_{x}^{3}+B_{1}(x, y) p_{x}^{2} p_{y}+A_{2}(x, y) p_{x} p_{y}^{2}+B_{2}(x, y) p_{y}^{3} .
\]

Докажем, что тогда все коэффициенты этого интеграла тождественно равны нулю. Выпишем условия на коэффициенты, возникающие из нерезонансности торов $T_{a}$. Ясно, что тор $T_{a}$ проектируется на кольцо, лежащее на торе $T^{2}$, и имеющее вид
\[
\left[x_{a-}, x_{a+}\right] \times S^{1}(y) .
\]

Рассмотрим произвольную внутреннюю точку $(x, y)$ из этого кольца. Эта точка имеет два различных прообраза при проектировании тора Лиувилля $T_{a}$ на тор $T^{2}$. Важным для нас является тот факт, что эти два прообраза, т.е. два ковектора, симметричны относительно оси $y$, т.е. их координаты имеют вид
\[
\left(p_{x}(a), p_{y}(a)\right) \quad \text { и } \quad\left(-p_{x}(a), p_{y}(a)\right) .
\]

Поскольку обе точки принадлежат одному и тому же тору Лиувилля $T_{a}$, то значения полинома $K$ в этих точках должны совпадать. Отсюда мы сразу получаем соотношение на его коэффициенты
\[
A_{1}(x, y) p_{x}(a)^{3}+A_{2}(x, y) p_{x}(a) p_{y}(a)^{2}=0,
\]

которое, очевидно, остается справедливым при малом шевелении точки $(x, y)$ и параметра а. Отсюда сразу следует, что коэффициенты полинома локально в окрестности точки $(x, y)$ равны нулю. Остается заметить, что по нашему построению $(x, y)$ – произвольная точка на торе такая, что $x$ не является точкой глобального минимума функции $f$. Поэтому $A_{1}$ и $A_{2}$ равны нулю тождественно.

Аналогично показывается, что $B_{1} \equiv B_{2} \equiv 0$. Лемма, а вместе с ней и первый пункт теоремы 2.18 доказаны.

Доказательство двух оставшихся утверждений проводится точно по той же схеме, которую мы уже не раз применяли выше. Мы его опустим. Отметим лишь, что метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ – это по существу именно те метрики, которые были нами отброшены выше при исследовании квадратично интегрируемых метрик на бутылке Клейна.

ЗАмЕчАниЕ. Тот факт, что описанный геодезический поток метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ на бутылке Клейна не имеет однозначного интеграла второй степени (а обладает лишь интегралом четвертой степени), отражается на его качественных свойствах. Так, например, эта метрика $d s_{m, n, f}^{2}$ не допускает никаких нетривиальных геодезических эквивалентностей, т.е. на бутылке Клейна с такой метрикой $d s_{m, n, f}^{2}$ нет других метрик с теми же геодезическими. В этом состоит одно из качественных отличий метрики $d s_{m, n, f}^{2}$ от других метрик с линейно и квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Этот результат вытекает из глобальной теоремы Дини, сформулированной ниже, в главе 6 .
2.5.3. Случай сферы

В случае сферы описание метрик с линейно и квадратично интегрируемыми геодезическими потоками было получено В.Н.Колокольцовым [92], [94]. В дальнейшем Т.З.Нгуен, Е.Н.Селиванова, Л. С. Полякова [140], [345] и В.С.Матвеев [115] предложили более удачную геометрическую формулировку этих результатов. Такой геометрический подход оказался более удобным для изучения глобальной топологии интегрируемых геодезических потоков на сфере. См. следующую главу нашей книги.

Мы начнем со случая линейно интегрируемых геодезических потоков. Пусть стандартная единичная сфера $S^{2}$ задается в $\mathbb{R}^{3}(x, y, z)$ уравнением:
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
\]

где $z$ – вертикальная координата. Пусть далее $f(z)$ – произвольная положительная гладкая функция на отрезке $[-1,1]$. Через $d s_{0}^{2}$ обозначим стандартную метрику на сфере единичного радиуса, индуцированную объемлющей евклидовой метрикой. В обычных сферических координатах $\theta, \varphi$ она, как известно, имеет вид:
\[
d s_{0}^{2}=d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2} .
\]

Теорема 2.19.
а) Метрика на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она изометрична метрике вида $d s^{2}=f(z) d s_{0}^{2}$ для некоторой гладкой положительной функции $f(z)$ на отрезке $[-1,1]$.
б) При этом две метрики вида $f(z) d s_{0}^{2}$ и $\widehat{f}(z) d s_{0}^{2}$ изометричны в том и только в том случае, когда определяющие их функции $f(z)$ и $\widehat{f}(z)$ связаны одним из следующих двух соотношений:
\[
\begin{aligned}
\text { либо } \alpha \widehat{f}(z) & =f\left(\frac{(\alpha+1) z-(1-\alpha)}{(\alpha-1) z+(1+\alpha)}\right), \\
\text { либо } \alpha \widehat{f}(-z) & =f\left(\frac{(\alpha+1) z-(1-\alpha)}{(\alpha-1) z+(1+\alpha)}\right),
\end{aligned}
\]

где $\alpha$ – некоторое вещественное число.
Эту же теорему можно переформулировать в других терминах, используя глобальные конформные координаты на сфере.

Теорема 2.20.
а) Метрика на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда на сфере существуют глобальные конформные координаты $x, y$, в которых метрика принимает вид
\[
d s^{2}=f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(t)$ – положительная гладкая функция на полуоси $[0,+\infty)$ и такая, что $\frac{f(1 / t)}{t^{2}}$ – положительная гладкая функция на всей полуоси $[0,+\infty)$.
б) Две метрики вида $f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ и $\widehat{f}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, отвечающие функциям $f$ и $\widehat{f}$, изометричны в том и только в том случае, когда
\[
\begin{array}{ll}
\text { либо } & f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\alpha \widehat{f}(t), \\
\text { либо } & \frac{f\left(\frac{\alpha}{t}\right)}{t^{2}}=\frac{\widehat{f}(t)}{\alpha}
\end{array}
\]

для некоторого положительного числа $\alpha$.
ЗАMEчAниE. Указанные условия на функцию $f$ означают в действительности, что метрика $d s^{2}$ нвляетсн гладкой на всей сфере.

Из теоремы 2.19 видно, что метрики с линейно интегрируемыми геодезическими потоками на сфере являются инвариантными относительно вращений сферы вокруг вертикальной оси $z$. Другими словами, они допускают однопараметрическую группу изометрий.
Следствие. Метрика на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она допускает гладкое действие окружности $S^{1}=S O(2)$ посредством изометрий, причем это действие сопряжено стандартному (т.е. вращению сферы вокруг оси $z$ ).
В частности, такое действие имеет ровно две неподвижные точки (два полюса сферы). Дополнение к ним расслоено на гладкие окружности, являющиеся одномерными орбитами (рис. 2.16).
Отметим, что частным случаем метрик с линейно интегрируемыми геодезическими потоками являются
Рис. 2.16 метрики на поверхностях вращения в $\mathbb{R}^{3}$. Они, однако, не исчерпывают всех случаев, описанных выше. Другими словами, не всякая метрика из описанных в теоремах $2.19,2.20$ допускает изометричное вложение сферы в $\mathbb{R}^{3}$ в виде поверхности вращения.

Доказательства теорем 2.19 и 2.20 будут получены ниже в рамках более общей конструкции, которая одновременно работает как в линейном, так и в квадратичном случае.

Приведем теперь список всех метрик на сфере с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Конструкцию, излагаемую ниже, можно рассматривать как построение серии модельных примеров таких метрик. Затем мы покажем, что полученный в результате список полон, т. е. исчерпывает метрики, обладающие указанным свойством.

Рассмотрим представление двумерного тора $T^{2}$ в виде фактора плоскости $\mathbb{R}^{2}$ с декартовыми координатами $x, y$ по ортогональной решетке $\Gamma$, базисом которой являются два ортогональных вектора $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$, где $L-$ любое положительное число. Рассмотрим инволюцию $\sigma$ тора на себя, задаваемую на накрывающей плоскости следующей симметрией:
\[
\sigma(x, y)=(-x,-y),
\]
т. е. попросту симметрией относительно начала координат.

Ясно, что решетка $\Gamma$ выдерживает эту симметрию, поэтому $\sigma$ действительно является инволюцией на торе. Рассмотрим естественную проекцию $\varkappa$ : $T^{2} \rightarrow T^{2} / \sigma$.
Лемма 2.11. Фактор-пространство $T^{2} / \sigma$ тора по действию инволюции $\sigma$ гомеоморфно двумерной сфере $S^{2}$. Проекция $\varkappa: T^{2} \rightarrow S^{2}=T^{2} / \sigma$ является двулистным разветвленным накрытием над сферой с четырьмя точками ветвления, каждая из них которых имеет ровно один прообраз на торе.
Доказательство.
Разобьем квадрат пополам его срединной горизонтальной линией (рис. 2.17). Один из двух получающихся прямоугольников, например, верхний, склеивается согласно отождествлениям его границ как показано на рис.2.17. Получается сфера. Четырьмя точками ветвления этого двулистного накрытия являются точки с координатами $(0,0),\left(0, \frac{L}{2}\right),\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, $\left(\frac{1}{2}, \frac{L}{2}\right)$, отмеченные жирными точками $A, B, C, D$ на рис.2.17. Эти точки проектируются в четыре разные точки сферы. Чтобы не вводить лишних обозначений, мы обозначим эти точки на сфере теми же буквами $A, B, C, D$. После проекции на сферу граница прямоугольника Рис. 2.17 превращается в дугу, соединяющую точки $A$ и $D$. При этом точки $B$ и $C$ являются ее внутренними точками. Разрезая сферу по этой дуге, получаем исходный прямоугольник. На рис. 2.18 показано, как именно проектируются на сферу координатные линии прямоугольной сетки с тора. В результате на сфере получаются два семейства замкнутых линий. Лемма доказана.

Оказывается, проекцию $\varkappa$ можно описать в терминах комплексных структур на торе и на сфере. Сразу отметим, что фактически мы уже задали комплексную структуру на торе, представив тор как фактор-пространство $\mathbb{R}^{2} / \Gamma$, где $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}^{1}$ отождествлено с комплексной прямой, и $z=x+i y$, где $x$ и $y$ – декартовы координаты. Фиксируем эту комплексную структуру на торе.
Лемма 2.12.

Рис. 2.18
а) Можно таким образом выбрать комплексную структуру на сфере $S^{2}$, что проекция « превратится в голоморфное отображение тора $T^{2}$ в сферу $S^{2}$. кой ветвления второго порядка. Другими словами, в окрестности такой точки и ее образа можно выбрать такие локальные комплексные координаты $\tilde{z}$ и $\tilde{w}$, что отображение $\varkappa$ запииется в виде $\tilde{w}=\frac{\tilde{z}^{2}}{2}$.
ЗАмЕчАниЕ. Описанное выше голоморфное отображение $\varkappa: T^{2} \rightarrow S^{2}$ на самом деле представляет собой мероморфную функцию Вейерштрасса $w=\wp(z)$. Напомним, что функция Вейерштрасса может быть записана в виде следующей формулы:
\[
\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\omega \in \Gamma}^{\prime}\left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right),
\]

где $\omega$ пробегает элементы решетки $\Gamma$, а знак ‘ означает, что суммирование не распространяется на нулевой элемент $0 \in \Gamma$. Этот ряд для всех $z$, не принадлежащих решетке $\Gamma$, сходится к двоякопериодической голоморфной функции. А во всех узлах решетки $\Gamma$ эта функция имеет полюса второго порндка. Таким образом, на всем торе функция ю является мероморфной. Подробнее о свойствах функции Вейерштрасса см. [62], [168], [283], [365].
Доказательство леммы 2.12.
Фактически уже сама формулировка утверждения содержит правило задания комплексной структуры на сфере. Если точка $(x, y)$ тора не является особой точкой проекции $\varkappa$, то в окрестности ее образа $\varkappa(x, y)$ на сфере локально введем комплексную структуру, взяв попросту $\tilde{w}=x+i y$ в качестве локальной комплексной координаты. Если же точка $P_{0}=\varkappa\left(z_{0}\right)$ на сфере является точкой ветвления, то в качестве локальной координаты в ее окрестности возьмем $\widetilde{w}(P)=\left(\varkappa^{-1}(P)-z_{0}\right)^{2}$, где $P$ – произвольная точка из окрестности точки $P_{0}$ (рис.2.19). Эта координата будет корректно определена, несмотря на то, что точка $P
eq P_{0}$ имеет два прообраза $z$ и $z^{\prime}$. Действительно, из определения отображения $\varkappa$ сразу следует, что $z-z_{0}=-\left(z^{\prime}-z_{0}\right)$, поэтому при возведении в квадрат неоднозначность исчезает.

Таким образом, локально в окрестности каждой точки мы указали комплексную координату. Легко видеть, что все функции перехода при этом являются комплексно аналитическими. Они легко выписываются явно. Лемма доказана.

Нам важно, что в результате мы построили гладкое двулистное отображение тора на сферу, которое топологически устроено имен-

Рис. 2.19 но так, как нам было нужно, т.е. является склейкой тора по инволюции $\sigma$.

Теперь мы опишем класс метрик с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками на сфере. Воспользуемся для этого отображением $\varkappa$ и вместо того, чтобы описывать искомую метрику в терминах сферы, мы опишем метрику, являющуюся ее прообразом на торе. Ясно, что метрика на сфере однозначно восстанавливается по ее прообразу на накрывающем торе. Такое описание метрики на сфере через накрывающую ее метрику на торе оказывается существенно более простым, чем задание метрики в терминах изотермических координат на сфере (которое ниже мы также приведем).

Зададим на накрывающей плоскости тора две периодические гладкие функции $f(x)$ и $g(y)$, удовлетворяющие следующим условиям.
a) Функция $f(x)$ неотрицательная, гладкая, четная, периодическая с периодом 1.
б) Функция $g(y)$ неотрицательная, гладкая, четная, периодическая с периодом $L$.
в) Это условие описывает асимптотическое поведение функций $f$ и $g$ вблизи их нулей. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках вида $x=\frac{m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Функция $g(y)$ обращается в ноль в точках вида $y=\frac{k L}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Для любой точки вида $\left(\frac{m}{2}, \frac{k L}{2}\right)$ существует гладкая в окрестности нуля функция $h(t)$ такая, что $h(0)=0, h^{\prime}(0)
eq 0$ и
\[
\begin{aligned}
f\left(\frac{m}{2}+t\right) & =h\left(t^{2}\right), \\
g\left(\frac{k L}{2}+t\right) & =-h\left(-t^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Если мы хотим рассматривать вещественно аналитические метрики на сфере, то функции $f$ и $g$ (так же, как и функция $h$ в третьем условии) должны быть аналитическими.

Относительно третьего условия нам представляются полезными следующие два комментария.

КомМЕНТАРИй 1. В силу периодичности функций $f$ и $g$ условие (в) достаточно проверять лишь в четырех точках $(0,0),\left(\frac{1}{2}, 0\right),\left(0, \frac{L}{2}\right),\left(\frac{1}{2}, \frac{L}{2}\right)$. Можно переформулировать его в терминах тейлоровских разложений этих функций. Обозначим через $f_{t_{0}}^{\#}(t)=\sum c_{k}\left(t-t_{0}\right)^{k}$ тейлоровское разложение функции $f$ в точке $t_{0}$. Аналогичное обозначение используем для тейлоровского разложения функции $g$. Тогда условие (в) можно переписать так:
\[
f_{0}^{\#}(t)=-g_{0}^{\#}(i t)=f_{\frac{1}{2}}^{\#}\left(\frac{1}{2}+t\right)=-g_{\frac{L}{2}}^{\#}\left(\frac{L}{2}+i t\right) .
\]

Отсюда вытекает, что эти тейлоровские разложения на самом деле имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
f_{0}^{\#}=\sum a_{2 k} t^{2 k}, \\
f_{\frac{1}{2}}^{\#}=\sum a_{2 k}\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2 k}, \\
g_{0}^{\#}=-\sum(-1)^{k} a_{2 k} t^{2 k}, \\
g_{\frac{L}{2}}^{\#}=-\sum(-1)^{k} a_{2 k}\left(t-\frac{L}{2}\right)^{2 k} .
\end{array}
\]

При этом первый коэффициент этих рядов $a_{2 k}$ положителен. Здесь мы использовали четность и неотрицательность функций $f$ и $g$.
КоммЕНтАРий 2 . В случае вещественно-аналитической метрики функции $f$ и $g$ должны быть аналитическими, поэтому из сформулированных выше условий на их степенные ряды вытекает несколько полезных следствий. Во-первых, поскольку тейлоровские разложения функции $f$ в точках 0 и $\frac{1}{2}$ совпадают, то на самом деле функция $f$ имеет период $\frac{1}{2}$, а не 1 . По той же причине функция $g$ имеет период $\frac{L}{2}$. Кроме того, условие $f_{0}^{\#}(t)=-g_{0}^{\#}(i t)$ превращается теперь в соотношение на сами функции $f$ и $g$, а именно:
\[
f(t)=-g(i t) .
\]

Это означает, что функции $f$ и $g$ происходят из одной и той же комплексно-аналитической функции. Другими словами, на комплексной плоскости $z=x+i y$ существует двояко-периодическая (с периодами $\frac{1}{2}$ и $i \frac{L}{2}$ ) четная комплексно-аналитическая функция $\mathcal{R}$, принимающая вещественные значения на вещественной и мнимой оси, и такая, что
\[
f(x)=\mathcal{R}(x) \quad \text { и } \quad g(y)=-\mathcal{R}(i y) .
\]

Поясним, что областью определения этой функции, вообще говоря, является не вся комплексная плоскость $C$, а некоторая окрестность прямоугольной сетки, образованной прямыми вида $\left\{x=\frac{m}{2}\right\},\left\{y=\frac{k L}{2}\right\}$. Другими словами, если рассмотреть эту функцию как функцию на комплексном торе, то она определена лишь в окрестности параллели и меридиана.

Итак, в вещественно-аналитическом случае параметром оказывается всего лишь одна комплексная функция $\mathcal{R}$, а не две функции $f$ и $g$. В частности, конформный множитель $\lambda$ приобретает здесь вид
\[
\lambda=f(x)+g(y)=\mathcal{R}(x)-\mathcal{R}(i y) .
\]

Вернемся теперь к построению модельных метрик на сфере, геодезические потоки которых квадратично интегрируемы. Рассмотрим на торе 2-форму $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ с указанными функциями $f$ и $g$. Вместо слова метрика мы употребили термин 2-форма по той причине, что она имеет на торе нули в точках ветвления отображения $\varkappa$ и потому не является римановой метрикой в строгом смысле. Видно, что эта 2-форма инвариантна на торе относительно инволюции $\sigma$ в силу ее построения. Следовательно, спуская 2-форму вниз, мы получаем некоторую корректно определенную 2-форму на всей сфере без четырех точек. Оказывается, эту форму можно корректно доопределить и в четырех точках ветвления, в результате чего получится гладкая риманова метрика уже на всей сфере.
Предложение 2.7.
1) Пусть $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)-2$-форма на торе $T^{2}$, удовлетворяющая свойствам (а), (б), (в), и ж: $T^{2} \rightarrow T^{2} / \sigma=S^{2}$ – описанное выше двулистное накрытие. Тогда на сфере $S^{2}$ существует, $u$ притом единственная, гладкая риманова метрика $d^{2}$ такая, что $\varkappa^{*}\left(d s^{2}\right)=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Если функции $f$ и $g$ при этом вещественно-аналитические, то метрика $d s^{2}$ тоже будет вещественно аналитической.
2) Обратно, рассмотрим 2-форму $\varkappa^{*}\left(d s^{2}\right)$ на торе $T^{2}$, где $d s^{2}-$ некоторая гладкая метрика на сфере $S^{2}$. Если эта форма имеет вид $(f(x)+$ $+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, то функии $f$ и $g$ автоматически удовлетворяют условиям (а), (б), (в).

Доказательство.
Условия (а) и (б) в точности означают, что форма $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ корректно определена на торе и инвариантна относительно инволюции $\sigma$. Условие (в) говорит о том, что нули этой формы совпадают с особыми точками отображения $\varkappa$, т.е. с точками ветвления $A, B, C, D$. Условие (в) описывает характер этих нулей. Необходимость и достаточность этого условия сразу следуют из доказательства локальной теоремы 2.8. Предложение доказано.

В итоге каждой тройке ( $L, f, g$ ), удовлетворяющей условиям (а), (б), (в), мы сопоставили некоторую гладкую риманову метрику $d s^{2}$ на сфере $S^{2}$.
Определение 2.7. По аналогии со случаем тора назовем эту метрику $(L, f, g)$-метрикой на сфере.
ЗАмЕчАниЕ. В аналитическом случае, впрочем, можно было бы назвать эти метрики $\mathcal{R}$-метриками, так как здесь комплексно-аналитическая функция $\mathcal{R}$ (см. выше комментарий к условию в) несет в себе всю информацию о тройке ( $L, f, g)$. Но чтобы не

усложннть обозначений, будем пользоваться термином ( $L, f, g$ )-метрики как в гладком, так и в аналитическом случае.

Теорема 2.21. Гладкая (или вещественно-аналитическая) риманова метрика на 2-сфере обладает квадратично интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она изометрична некоторой $(L, f, g$ )-метрике при подходящих параметрах $L, f, g$.
Доказательство.
Пусть на сфере дана некоторая ( $L, f, g$ )-метрика. Нужно доказать, что ее геодезический поток имеет нетривиальный квадратичный интеграл, гладкий или аналитический в зависимости от типа самой метрики.

Поднимем эту метрику на накрывающий тор и возьмем получающуюся 2-форму $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ с четырьмя точками вырождения $A, B, C, D$. Этой 2-форме отвечает некоторый геодезический поток, имеющий особенности. Он задается гамильтонианом $\widetilde{H}=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)}$. Однако вне особых точек $A, B, C, D$ – это настоящий геодезический поток, обладающий квадратичным первым интегралом
\[
\widetilde{F}=\frac{f(x) p_{y}^{2}-g(y) p_{x}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\]

Этот интеграл, очевидно, выдерживает инволюцию $\sigma$, а потому его можно спустить вниз, на сферу с четырьмя выброшенными точками. Остается проверить, что на сфере он продолжается в эти особые точки гладко или аналитически соответственно. Но это сразу вытекает из локальной теоремы 2.8 и следующего за ней замечания, поскольку условия, наложенные выше на функции $f$ и $g$, в точности соответствуют ситуации, описанной в этой теореме. Там же выписан явный вид первого интеграла в окрестности особой точки.

Доказательство в обратную сторону достаточно нетривиально и требует определенных усилий. Здесь мы будем следовать схеме рассуждений В.Н.Колокольцова. Одновременно мы получим доказательство теорем 2.19 и 2.20.

Идея доказательства теорем $2.19,2.20$ и 2.21 состоит в следующем. Метрика, имеющая квадратичный интеграл, однозначно определяет голоморфную функцию $R(z)$. Та, в свою очередь, определяет лиувиллевы координаты на всей сфере, за исключением тех точек, где функция $R$ обращается в ноль. При этом, как мы доказали выше, соответствующая координатная сетка (с особенностями) определяется функцией $R$ однозначно. Более того, согласно локальной теореме, особенности сетки могут быть только двух типов, показанных на рис. 2.5 и рис. 2.7. Естественно попытаться нарисовать на сфере все возможные координатные сетки такого типа. Это можно сделать, и оказывается, таких сетей ровно три. Они представлены на рис. 2.20.

Первая сеть попросту совпадает с сеткой стандартных сферических координат $\theta, \varphi$ (рис. 2.20a). Вторая сеть выглядит как сетка эллиптических координат на сфере (рис. 2.20b). Третья сеть изображена в двух видах на рис. $2.20 \mathrm{c}$ и рис. $2.20 \mathrm{~d}$.

Рис. 2.20
Но на самом деле третья сеть невозможна. Дело в том, что в лиувиллевых координатах конформный множитель метрики $\lambda$ представляется в виде суммы двух функций $f$ и $g$, каждая из которых постоянна на своем семействе координатных линий. А у третьей сети есть такая точка (полюс), в которую втыкаются все линии одного из семейств. Это приводит к тому, что соответствующая функция ( $f$ или $g$ ) постоянна. А с другой стороны, эта же сеть имеет особую точку второго типа, для которой ни одна из функций $f$ и $g$ постоянной быть не может. Другими словами, особенности двух различных типов, показанные на рис. 2.5 и рис. 2.7, не могут встречаться одновременно.
Таким образом, остаются лишь две сети.
Но, как следует из локальной теории, в случае первой сети (рис. 2.20a) геодезический поток допускает линейный интеграл, а метрика имеет вид $\lambda\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, где $\lambda$ – функция, постоянная на окружностях координатной сети, т.е. функция, зависящая от $x^{2}+y^{2}$. А это и есть теорема 2.19 (или теорема 2.20 ), описывающая метрики на сфере с линейно интегрируемыми геодезическими потоками.

А в случае второй сети (рис.2.20b) видно, что эта сеть является образом стандартной прямоугольной координатной сети на торе при двулистном накрытии сферы тором с четырьмя точками ветвления. Другими словами, при поднятии метрики со сферы на тор она становится лиувиллевой. А именно это фактически и утверждается теоремой 2.21.

Теперь мы дадим формально строгое доказательство перечисленных выше шагов.

Введем на сфере глобальные изотермические координаты $z=x+i y$ и запишем в них функцию $R(z)$.

Лемма 2.13. Функция $R(z)$ является полиномом от $z$ степени не более четырех. Доказательство.

Поскольку интеграл $F$ корректно определен на всей сфере и является гладким, то функция $R(z)$ и функция $S(w)$, получающаяся из $R(z)$ заменой $z=\frac{1}{w}$, голоморфны на всей комплексной плоскости. В то же время мы уже показали, что $R$ и $S$ связаны соотношением: $R(z)\left(w^{\prime}\right)^{2}=S(w)$. Следовательно, функция $\frac{R(z)}{z^{4}}$ ограничена при $z \rightarrow \infty$, поскольку $\frac{R(z)}{z^{4}}$ стремится к $S(0)$, т.е.к конечному числу. Отсюда, согласно известной теореме комплексного анализа, получаем, что функция $R(z)$ является полиномом, и степень его не превышает четырех. Лемма доказана.

Сначала отметим, что функция $R(z)$ не может быть тождественным нулем. В самом деле, если $R(z)=0$ на всей сфере, то интеграл $F$ пропорционален гамильтониану $H$ в каждой точке сферы, т. е. $F=k H$, где $k(z)$ – некоторая функция на самой сфере. Но тогда функция $k(z)$ тоже является интегралом системы и, следовательно, постоянна на сфере. Следовательно, $F$ и $H$ функционально зависимы, что противоречит предположению теоремы.

На самом деле можно считать, что полином $R(z)$ в подходящей системе координат всегда можно записать как полином четвертой степени. Чтобы в этом убедиться, достаточно сделать замену вида $w=\frac{1}{z-z_{0}}$, где точка $z_{0}$ выбрана так, чтобы $R\left(z_{0}\right)
eq 0$.

Перечислим в явном виде все возможности для такого полинома. Четыре корня полинома степени 4 могут находиться лишь в следующих соотношениях:
1) $1+1+1+1$, что означает, что все четыре корни – простые,
2) $2+1+1$, т.е. один двукратный корень и и два однократных,
3) $2+2$, т.е. два двукратных корня,
4) $3+1$, т.е. один трехкратный и один однократный,
5) 4 , т.е. один четырехкратный корень.

Лемма 2.14. Возможны лишь случаи 1 и 3.
Доказательство.
Случаи 4 и 5 невозможны, поскольку, как было доказано выше, функция $R(z)$ не может иметь нулей порядка большего, чем два.

Случай 2 является смешанным, здесь есть одна точка типа, показанного на рис. 2.7 (ноль второго порядка), и ровно две точки типа, показанного на рис. 2.5 (нули первого порядка). Рассмотрим два семейства координатных линий на сфеpe, отвечающих данной функции $R(z)$. В окрестности нуля второго порядка эти линии ведут себя так, как показано на рис.2.7. Следовательно, одна из функций, например, $f$ (напомним, что $\lambda=\frac{f+g}{|R|}$ ), должна быть постоянной на радиальных линиях уровня, втыкающихся в особую точку. Эти же радиальные линии, по мере их удаления от нуля второго порядка, обязаны покрыть почти всю сферу. Следовательно, в некоторый момент они достигнут одной их двух оставшихся особых точек – нулей первого порядка. Но в таком случае в окрестности нуля первого порядка одна из функций (например, $f$ ) оказывается постоянной на линиях этого семейства. Что невозможно, согласно теореме локальной классификации. Поведение линий обоих семейств показано на рис.2.20c. В этом легко убедиться, нарисовав их для полинома $A^{2}\left(1-z^{2}\right)$. К этому виду приводится полином четвертой степени в случае $2+1+1$. Такая картина получается, конечно, лишь при вещественной $A$. Если же $A$ комплексно, то в окрестности нуля второго порядка мы увидим картину, изображенную на рис.2.6. Это невозможно уже в силу локальной теории (см. выше). Лемма доказана.

Остановимся на случае 3 подробнее. Здесь мы имеем два двукратных корня. Делая дробно-линейную замену, всегда можно считать, что один из корней это ноль, второй – бесконечность. При этом полином $R(z)$ приобретает вид $A^{2} z^{2}$ уже на всей сфере (а не только локально). При этом, как мы опять видим из локальной теории, коэффициент $A$ обязан быть вещественным. Повторяя локальные рассуждения, мы получаем, что в данной системе координат на сфере (без точки) метрика имеет вид:
\[
f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(t)$ – гладкая функция, и функция $\frac{f(1 / t)}{t^{2}}$ тоже должна быть гладкой. Дело в том, что после замены $w=\frac{1}{z}$ метрика приобретает вид $\tilde{f}\left(|w|^{2}\right) d w d \bar{w}$, где $\tilde{f}\left(|w|^{2}\right)=\frac{f\left(1 /|w|^{2}\right)}{|w|^{4}}$.
Это завершает доказательство первого пункта теоремы 2.20.
Перейдем ко второй части этой теоремы. Какие из указанных метрик изометричны? Этот вопрос можно переформулировать так: какие глобальные преобразования сферы сохраняют вид метрики, т.е., точнее, вид ее конформного множителя? Рассмотрим преобразование сферы в себя $w=w(z)$. Оно обязано быть дробно-линейным, поскольку глобально и сохраняет конформный вид метрики. Пусть метрика не является стандартной, т.е. не является метрикой постоянной кривизны. Мы должны ответить на вопрос: как устроены такие замены $w=w(z)$, которые переводят метрику $f\left(|z|^{2}\right) d z d \bar{z}$ в метрику того же вида $\widehat{f}\left(|w|^{2}\right) d w d \bar{w}$, где $f$ и $\widehat{f}$ – гладкие функции? Мы утверждаем, что окружности вида $|z|=$ const должны записываться в новой системе координат $w$ аналогичным уравнением: $|w|=$ const. Для этого следует охарактеризовать эти окружности внутренним образом, т.е. независимо от выбора системы координат. Для этого воспользуемся скалярной кривизной $K$ данной метрики на сфере. В самом деле, на каждой такой окружности кривизна $K$ постоянна. Дело в том, что окружность является орбитой группы изометрий, которая, в свою очередь, сохраняет кривизну. Если же метрика не является стандартной, то тогда понятно, что существует по крайней мере одно непрерывное семейство таких окружностей, которые в то же время являются и линиями уровня кривизны $K$, которая в этой области не постоянна. Преобразование координат $w=w(z)$ вообще не меняет выбранной нами метрики, поэтому сохраняет и кривизну, и ее линии уровня. Следовательно, эти же окружности должны записываться в виде $|w|=$ const и в новой системе координат $w$. Отсюда следует, что конформная замена $w=w(z)$ может иметь только следующий вид: либо $a z$, либо $\frac{a}{z}$, где $a$ – постоянная. Если же рассмотреть еще и преобразования, меняющие ориентацию, то добавятся еще два: $a \bar{z}$ и $\frac{a}{\bar{z}}$.

Осталось посмотреть, что произойдет с функцией $f\left(|z|^{2}\right)$ при таких преобразованиях. Подставляя в метрику и выполняя простые вычисления, убеждаемся, что закон преобразования как раз и задается формулами, указанными в теореме 2.20. Эти вычисления мы опустим. Тем самым, доказана теорема 2.20.

Осталось рассмотреть случай $1+1+1+1$, т. е. когда все четыре корня $R(z)$ простые.

Снова делаем дробно-линейное преобразование, переводящее один корень на бесконечность. В результате мы понижаем степень полинома, и получается полином третьей степени. Хорошо известно, что этот полином всегда можно записать в виде:
\[
R(z)=4 z^{3}-g_{2} z-g_{3}, \quad \text { где } \quad g_{2}^{3}-27 g_{3}^{2}
eq 0 .
\]

Условие $g_{2}^{3}-27 g_{3}^{2}
eq 0$ эквивалентно тому, что все корни полинома – простые (не кратные). Подберем теперь такую голоморфную замену $z=z(w)$, чтобы на всей сфере с четырьмя выколотыми точками (нулями $R(z)$ ) функция $R(z)$ превратилась в тождественную единицу. Другими словами, $w$ – это лиувиллевы координаты. Для этого нужно решить дифференциальное уравнение
\[
z^{\prime 2}=4 z^{3}-g_{2} z-g_{3} .
\]

Решение такого уравнения хорошо известно. Это – функция Вейерштрасса $z=\wp(w)$ (см. формулу выше). Отметим, что параметры $g_{2}$ и $g_{3}$ связаны с решеткой $\Gamma$, отвечающей функции Вейерштрасса, следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
g_{2}=60 \sum_{\omega \in \Gamma}^{\prime} \frac{1}{\omega^{4}}, \\
g_{3}=140 \sum_{\omega \in \Gamma}^{\prime} \frac{1}{\omega^{6}} .
\end{array}
\]

Без ограничения общности мы полагаем здесь, что решетка натянута на векторы $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(b, L)$, где $b \in[0,1), L>0$.

Функция Вейерштрасса является двоякопериодической (относительно решетки Г) мероморфной функцией, а потому может рассматриваться как мероморфная функция на торе $\mathbb{C} / \Gamma$
\[
\wp: T^{2}=\mathbb{C} / \Gamma \rightarrow S^{2}=\overline{\mathbb{C}} .
\]

Хорошо известно, что это отображение является двулистным накрытием над сферой $c$ ветвлением в точках $0, \frac{f_{1}}{2}, \frac{f_{2}}{2}, \frac{f_{1}+f_{2}}{2}$, первая из которых переходит при отображении § в бесконечно удаленную точку, а остальные – в корни полинома $R(z)$. Топология этого отображения очень проста. Как уже было показано выше, это склейка тора по инволюции $w \rightarrow-w$ (действительно, легко видеть, что $\wp$ – четная функция).
Лемма 2.15. Решетка Г ортогональна, m. е. $f_{2}=(0, L)$.
Доказательство.
Разумеется, в общем случае решетка, связанная с функцией Вейерштрасса (и с произвольным полиномом третьей степени $R(z)$ ), может быть произвольной. Однако наличие римановой метрики в наших рассуждениях накладывает некоторые дополнительные ограничения на расположение корней полинома и, следовательно, на решетку Г.

Чтобы это увидеть, поднимем рассматриваемую риманову метрику со сферы на тор. Мы получим некоторую 2-форму, которая определяет риманову метрику всюду, за исключением точек ветвления, а в точках ветвления обращается в нуль. С другой стороны, в координатах $w=u+i v$ поднятая метрика имеет вид
\[
(f(u)+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где функция $f(u)+g(v)$ – двоякопериодическая, а функции $f(u)$ и $g(v)$ по отдельности периодичны, каждая по своему аргументу. Поскольку сумма $f(u)+g(v)$ неотрицательна на всей плоскости, то каждую из функций $f$ и $g$ тоже можно считать неотрицательной. В самом деле, рассмотрим функцию $\tilde{f}=f-f_{0}$ и функцию $\widetilde{g}=g+f_{0}$, где $f_{0}$ – минимум функции $f$. Он конечен в силу ее гладкости и периодичности. Ясно, что функция $\widetilde{f}$ неотрицательна. Но тогда функция $\widetilde{g}$ тоже неотрицательна, так как в противном случае, если бы существовала точка $v_{0}$, в которой $\tilde{g}\left(v_{0}\right)<0$, то тогда в точке $\left(u_{0}, v_{0}\right)$, где $f\left(u_{0}\right)=f_{0}$, их сумма $f+g=\widetilde{f}+\widetilde{g}$ была бы отрицательной, что запрещено.

Итак, обе функции $f$ и $g$ мы можем считать неотрицательными. Рассмотрим множество нулей суммы $f(u)+g(v)$. Полученное множество точек является решением двух уравнений: $f(u)=0, g(v)=0$ (в силу неотрицательности обеих функций). С геометрической точки зрения множество нулей устроено очень просто. Эти нули получаются пересечением двух ортогональных семейств прямых, параллельных оси $u$ и оси $v$. Это множество точек условно изображено на рис. 2.21.
Рис. 2.21
С другой стороны, эти нули – в точности множество точек ветвления функции Вейерштрасса.

А из свойств функции Вейерштрасса известно, что множество точек ее ветвления – это решетка полупериодов, т.е. решетка, получающаяся измельчением в два раза решетки периодов (рис.2.22). Таким образом, две картины, показанные на рис. 2.21 и рис. 2.22, должны совпадать. Ясно, что это происходит в том и только в том случае, когда решетка периодов Г ортогональна. Лемма доказана.

Рис. 2.22
Итак, решетка $\Gamma$ имеет базис вида $f_{1}=(1,0)$ и $f_{2}=(0, L)$ (или в комплексных обозначениях $f_{1}=1, f_{2}=i L$ ). Из доказательства леммы, кроме того, вытекает, что $f(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ и $g(0)=g\left(\frac{L}{2}\right)=0$ и никаких других нулей у функций $f$ и $g$ нет.
Четность функций $f$ и $g$ сразу следует из того факта, что форма ( $f(u)+$ $+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$ получается из исходной $+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$ получается из исходной римановой метрики поднятием при помощи отображения, склеивающего пары точек $(u, v)$ и $(-u,-v)$.

Условие (в) на функции $f$ и $g$ следует из локальной теории, где уже были обсуждены локальные условия существования квадратичного интеграла.
Теорема 2.21 доказана.
Отметим следующее полезное утверждение об однозначности квадратичного интеграла, из которого вытекает сформулированная ниже теорема 2.22 .
Предложение 2.8 (В. В. Колокольцов [92]). Пусть $d s^{2}$ – метрика на сфере, обладающая квадратично интегрируемым геодезическим потоком и не являющаяся метрикой постоянной кривизны. Тогда квадратичный интеграл $F$ ее геодезического потока определен однозначно $с$ точностью до произвольной линейной комбинации с гамильтонианом.
Следствие. Если геодезический поток римановой метрики $\mathrm{ds}^{2}$ на сфере обладает двумя квадратичными интегралами $F_{1}$ и $F_{2}$ такими, что $F_{1}, F_{2}, H$ линейно независимы (здесь $H$ – гамильтониан геодезического потока), то $\mathrm{ds}^{2}$ является метрикой постоянной положительной кривизны.
КомментариЙ. Напомним, что для нерезонансных интегрируемых гамильтоновых систем любой интеграл $F_{2}$ должен быть функционально зависим с Н и $F_{1}$. Этот факт, однако, не удается непосредственно использовать для доказательства нашего утверждения о единственности интеграла геодезического потока на сфере. Для этого есть две причины. Во-первых, в нашем утверждении говорится об однозначности с точностью до линейной (а не функциональной) зависимости функций над $R$. Во-вторых, как мы покажем ниже, существуют резонансные квадратично интегрируемые геодезические потоки на сфере (все геодезические которых замкнуты).

Как и раньше, возникает естественный вопрос: какие ( $L, f, g$ )-метрики изометричны между собой, а какие – нет?
Введем теперь следующие операции $\alpha_{\frac{1}{2}}, \gamma$ над ( $L, f, g$ )-метриками:
\[
\begin{aligned}
\alpha_{\frac{1}{2}}(L, f(x), g(y)) & =\left(L, f\left(x+\frac{1}{2}\right), g(y)\right), \\
\gamma(L, f(x), g(y)) & =\left(\frac{1}{L}, L^{2} g(L x), L^{2} f(L y)\right) .
\end{aligned}
\]

Каждая из этих операций является инволюцией, а порожденная ими группа изоморфна группе симметрий квадрата.
Теорема 2.22 (В. С. Матвеев). Две метрики: ( $L, f, g)$-метрика и ( $\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g})$ метрика изометричны в том и только в том случае, когда они переводятся друг в друга композициями преобразований $\alpha_{\frac{1}{2}} u \gamma$.
Доказательство.
Утверждение будет доказано, если мы дадим ответ на следующий вопрос. Пусть фиксирована некоторая ( $L, f, g$ )-метрика. Сколькими различными способами ее можно представить в виде ( $L, f, g$ )-метрики? Это означает, что должно найтись накрытие сферы тором, разветвленное в четырех точках и такое, чтобы на торе существовали такие координаты $u$ и $v$, чтобы в них поднятая наверх метрика, уже имеющая здесь 4 точки вырождения, записалась в виде $(f(u)+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$.

Если такое накрытие уже задано и такие глобальные лиувиллевы координаты уже выбраны на торе, то тройка ( $L, f, g$ ) тем самым уже однозначно определена. Таким образом, весь произвол в записи метрики сводится к произволу в построении накрытия и к произволу в выборе лиувиллевых координат на торе. Однако произвола в выборе накрытия на самом деле нет. Дело в том, что разветвленное двулистное накрытие над тором с четырьмя точками ветвления определено с топологической точки зрения однозначно. А именно, любые два таких накрытия, с фиксированными на сфере точками ветвления, топологически эквивалентны в том смысле, что переводятся друг в друга гомеоморфизмом тора. При этом такой гомеоморфизм проектируется на базу в тождественное отображение. Более того, любые два таких накрытия, с учетом того, что в точках ветвления они локально устроены как возведение в квадрат: $w=z^{2}$, эквивалентны и в гладком смысле, т.е. описанный выше гомеоморфизм тора можно заменить на диффеоморфизм тора. Осталось пояснить, почему точки ветвления можно считать фиксированными, т.е. однозначно определенными для данной метрики. В локальной теории было доказано, что квадратичный интеграл, когда он существует, в действительности определен однозначно, с точностью до постоянного множителя. Но точки ветвления были как раз теми точками, в которых интеграл, как квадратичная форма на касательной плоскости к сфере, оказывался пропорциональным гамильтониану. Следовательно, при заданном гамильтониане, т.е. при заданной метрике, точки ветвления определяются однозначно.

Таким образом, весь произвол в записи метрики сводится к произволу в выборе глобально лиувиллевых координат на накрывающем торе. При исследовании случая тора мы уже ответили на этот вопрос, указав четыре операции $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Осталось отобрать из них только те, которые отвечают рассматриваемой сейчас ситуации.

Первая операция имела вид $\alpha_{b}$ и заключалась в сдвиге аргумента функции $f$ на произвольное вещественное число $b$, т. е. можно было сдвигать начало отсчета аргумента. Но в нашем случае есть дополнительное условие на функцию $f$, а именно, $f(0)=0$. Следовательно, сдвигать можно лишь на расстояние до следующего нуля функции $f$, каковым является $\frac{1}{2}$. Таким образом, первая операция $\alpha$ имеет тот самый вид, который и был заявлен в теореме 2.22 .

Следующая операция $\beta$ здесь нас не интересует, так как она действует тут как тождественное преобразование. Напомним, что функция $g$ у нас четная.

Операция $\gamma$ в точности соответствует операции $\gamma$, описанной в теореме 2.22 . Она меняет местами координаты $u$ и $v$.

Последняя операция $\delta$ была связана с неоднозначностью разложения функции $f(u)+g(v)$ в сумму $f(u)+c$ и $g(v)-c$. Но в нашем случае этой неоднозначности нет (см. выше), так как имеется еще одно дополнительное условие: минимум функции $f$ равен нулю и минимум функции $g$ равен нулю. Следовательно, в нашем случае функция $f(u)+g(v)$ однозначно представляется в виде суммы $f(u)$ и $g(v)$. Теорема 2.22 доказана.

Эта же теорема может быть доказана несколько иначе. Выше мы изложили способ приведения данной метрики с квадратично интегрируемым геодезическим потоком к виду $(L, f, g)$-метрики. Он был не вполне однозначен. А именно, изначально был неоднозначен выбор интеграла (с точностью до вещественного множителя), а потому и функция $R(z)$ была определена неоднозначно, с точностью до умножения на вещественное число. Кроме того, мы отправили на бесконечность один из 4 -х корней функции $R(z)$. В остальном произвола не было. Как этот произвол влияет на запись метрики в виде ( $L, f, g$ )-модели? Можно проверить, что умножение функции $R(z)$ на -1 дает перестановку координат $u$ и $v$ в $(L, f, g)$-модели, т.е. как раз преобразование $\gamma$ (см. выше). А произвол в выборе корня, отправляемого на бесконечность, приводит к сдвигу решетки $\Gamma$ полюсов на один из трех следующих векторов: $\left(\frac{1}{2}, 0\right),\left(0, \frac{L}{2}\right),\left(\frac{1}{2}, \frac{L}{2}\right)$. Первый сдвиг моделируется операцией $\alpha_{\frac{1}{2}}$, а два других – композициями операций $\alpha$ и $\gamma$. А именно, сдвиг на $\left(0, \frac{L}{2}\right)$ – это композиция $\gamma\left(\alpha_{\frac{1}{2}}\right) \gamma$, а сдвиг на $\left(\frac{1}{2}, \frac{L}{2}\right)-$ задается композицией $\gamma\left(\alpha_{\frac{1}{2}}\right) \gamma\left(\alpha_{\frac{1}{2}}\right)$.
Следствие. Множество всех гладких метрик на сфере, обладающих линейно и квадратично интегрируемыми геодезическими потоками, линейно связно. Другими словами, для лобых двух метрик такого вида $G_{1}$ и $G_{2}$ всегда существует гладкая деформация метрики $G_{1}$ (в указанном классе), в результате которой получается метрика, изометричная метрике $G_{2}$.
Доказательство.
В силу теоремы 2.21 все квадратично интегрируемые метрики кодируются, с точностью до изометрии, параметрами $(L, f, g$ ). Ясно, что это пространство параметров линейной связно. Линейно интегрируемые метрики кодируются одним параметром $f$. Это пространство тоже, очевидно, связно. Далее, любую квадратично интегрируемую метрику можно, сохраняя квадратичную интегрируемость, гладко продеформировать в метрику трехосного эллипсоида. C другой стороны, любую линейно интегрируемую метрику можно, сохраняя линейную интегрируемость, продеформировать в метрику эллипсоида вращения. Ясно, что деформируя трехосный эллипсоид (в классе всех эллипсоидов) в эллипсоид вращения, мы и превращаем квадратично интегрируемую метрику в линейно интегрируемую. Тем самым доказываем линейную связность объединения линейно и квадратично интегрируемых метрик. Следствие доказано.

2.5.4. Случай проективной плоскости

Классификация линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости была получена В. С. Матвеевым [115].

Опишем класс метрик на $\mathbb{R} P^{2}$, допускающих линейный интеграл. Для этого представим $\mathbb{R} P^{2}$ в виде фактор-пространства $S^{2} / \mathbb{Z}_{2}$, где сфера $S^{2}$ представлена как пополненная комплексная прямая $\mathbb{C}+\{\infty\}$, а инволюция $\tau$ имеет вид $\tau(z)=-\frac{1}{\bar{z}}$. Ясно, что эта инволюция не имеет неподвижных точек на сфере. Рассмотрим на сфере $S^{2}=\mathbb{C}+\{\infty\}$ метрику вида
\[
d s^{2}=f\left(|z|^{2}\right) d z d \bar{z},
\]

где $f(t)$ – гладкая положительная функция на полуоси $[0, \infty)$, удовлетворяющая дополнительному условию $f(t)=\frac{f(1 / t)}{t^{2}}$. Оно означает в действительности, что указанная метрика инвариантна относительно инволюции $\tau$ и, следовательно, определяет некоторую метрику на проективной плоскости.
Определение 2.8. Метрики такого вида на проективной плоскости назовем $f$-метриками.

Теорема 2.23 (В. С. Матвеев).
а) Метрика на $\mathbb{R} P^{2}$ обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она изометрична некоторой $f$-метрике.
б) Две такие метрики, т.е. $f$-метрика и $\widehat{f}$-метрика, изометричны в том и только в том случае, когда функиии $f$ и $\widehat{f}$ тождественно совпадают.

Доказательство.
Указанные $f$-метрики действительно линейно интегрируемы. Линейный интеграл на сфере можно представить (см. выше) как векторное поле вида $\frac{\partial}{\partial \varphi}$, где $\varphi$ – стандартная угловая координата на сфере. Видно, что это поле инвариантно относительно инволюции $\tau$, поэтому корректно проектируется на $\mathbb{R} P^{2}$ в гладкое векторное поле. Получаем линейный интеграл $f$-метрики на $\mathbb{R} P^{2}$.

Обратно, пусть имеется произвольная гладкая линейно интегрируемая метрика на $\mathbb{R} P^{2}$. Поднимая ее на сферу, получаем линейно интегрируемую метрику на сфере. Структура таких метрик полностью описывается теоремой 2.20. Другими словами, существует глобальная конформная координата $z=x+i y$ такая, что поднятая метрика имеет вид $f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Нам осталось понять, как устроена инволюция относительно этих координат. Она обязана сохранять указанную метрику, в частности, вид ее конформного множителя. Но все такие преобразования мы уже знаем, они были описаны при доказательстве теоремы 2.20. Они имеют вид либо $a z$, либо $a \bar{z}$, либо $\frac{a}{z}$, либо $\frac{a}{\bar{z}}$. Но поскольку нас интересует лишь инволюция без неподвижных точек и меняющая ориентацию, то остается только $\tau(z)=-\frac{a}{\bar{z}}$, где $a>0$ – вещественная постоянная. Если $a
eq 1$, то сделаем замену координат $z=a^{\frac{1}{2}} w$. Тогда инволюция $\tau(z)=-\frac{a}{\bar{z}}$ превратится в инволюцию $\tau(w)=-\frac{1}{\bar{w}}$. Нужное требование на функцию $f$ вытекает из условия ее сохранения этой инволюцией. Пункт а теоремы доказан.

Докажем пункт (б). Пусть на $\mathbb{R} P^{2}$ заданы изометричные $f$-метрика и $\widehat{f}$-метрика. Поднимем их на сферу и получим там две изометричные линейно интегрируемые метрики. Согласно теореме 2.20 , две такие метрики, отвечающие функциям $f$ и $\widehat{f}$, изометричны в том и только в случае, когда:
\[
\begin{aligned}
\text { либо } f\left(\frac{t}{\alpha}\right) & =\alpha \widehat{f}(t), \\
\text { либо } \frac{f\left(\frac{\alpha}{t}\right)}{t^{2}} & =\frac{\widehat{f}(t)}{\alpha}
\end{aligned}
\]

для некоторого положительного числа $\alpha$. Рассмотрим первый случай. Тогда функции $f$ и $\widehat{f}$ должны удовлетворять таким соотношениям:
\[
f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\alpha \widehat{f}(t), \quad f(t)=\frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{t^{2}}, \quad \widehat{f}(t)=\frac{\widehat{f}\left(\frac{1}{t}\right)}{t^{2}} .
\]

Из этих трех условий вытекает еще одно соотношение на функцию $f$ (аналогичное условие получается, конечно, и для $\widehat{f}$ ):
\[
\alpha^{2} f(t)=f\left(\frac{t}{\alpha^{2}}\right) .
\]

Это возможно только в том случае, когда $\alpha=1$. Но тогда первое из указанных соотношений $f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\alpha \hat{f}(t)$ превращается в тождество $f=\widehat{f}$, что и требовалось доказать.

Аналогично разбирается и случай второго соотношения $\frac{f(\alpha / t)}{t^{2}}=\frac{\widehat{f}(t)}{\alpha}$. Он сразу сводится к первому случаю, поскольку есть дополнительное соотношение $\frac{f(1 / t)}{t^{2}}=f(t)$. Из этих двух соотношений получается, что $f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\alpha \widehat{f}(t)$. Этот случай уже разобран. Таким образом, снова получаем, что обязательно $f=\widehat{f}$. Тем самым пункт (б) доказан. Теорема полностью доказана.

ЗАМЕчАниЕ. На самом деле в основе этого доказательства лежит простой факт, объясняющий, почему в случае сферы функции $f$ и $\widehat{f}$ могут быть различны, а в случае $\mathbb{R} P^{2}$ они обязаны совпадать. Дело в том, что у нас здесь есть дополнительное условие: инволюция на сфере обязана иметь вид $\tau(z)=-\frac{1}{\bar{z}}$. Этим условием та система координат, в которой мы записываем метрику в конформном виде, будет жестко определена. И никаких возможностей для ее деформации с помощью растяжения с коэффициентом $a$ не остается.

Опишем теперь метрики квадратично интегрируемых геодезических потоков на $\mathbb{R} P^{2}$. Выше мы представили сферу как фактор-пространство тора по инволюции $\tau$ и ввели класс $(L, f, g)$-метрик вида
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где функции $f$ и $g$ удовлетворяют условиям (а), (б), (в) (см. выше). Представим $\mathbb{R} P^{2}$ в виде фактор-пространства сферы, задав на ней инволюцию $\tau$, а именно:
\[
\tau((x, y),(-x,-y))=\left(\left(\frac{1}{2}-x, \frac{L}{2}+y\right),\left(x-\frac{1}{2},-\frac{L}{2}-y\right)\right) .
\]

Здесь точку сферы мы понимаем как пару эквивалентных точек тора. Легко убедиться, что инволюция $\tau$ не имеет неподвижных точек на сфере и меняет ориентацию. Эту инволюцию, впрочем, можно поднять до инволюции на накрывающем торе, коммутирующей с $\sigma$. Легко видеть, что $S^{2} / \tau \approx \mathbb{R} P^{2}$. Отберем теперь из множества всех $(L, f, g$ )-метрик те из них, которые инвариантны относительно инволюции $\tau$. Рассмотрим те функции $f$ и $g$, для которых
\[
f(x)+g(y)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)+g\left(\frac{L}{2}+y\right) .
\]

Отсюда сразу следует, что $f(x)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)$ и $g(y)=g\left(\frac{L}{2}+y\right)$. Учитывая четность функции $f$ (см. условие (a)), получаем, что $f(x)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$. Таким образом, условие инвариантности метрики относительно инволюции $\tau$ означает, что $f$ и $g$ должны иметь периоды $\frac{1}{2}$ и $\frac{L}{2}$ соответственно.
ЗАМЕчАниЕ. В аналитическом случае условие периодичности функции $f$ с периодом $\frac{1}{2}$ и функции $g$ с периодом $\frac{L}{2}$ автоматически выполнено. Об этом мы говорили при обсуждении условия (в) для сферы в аналитическом случае. Поэтому в аналитическом случае никаких дополнительных условий на функции $f$ и $g$ не возникает. В частности, если геодезический поток на сфере аналитичен и квадратично интегрируем, то на сфере всегда существует инволюция без неподвижных точек, меняющая ориентацию и нвлнющанся изометрией данной метрики.

Определение 2.9. Метрику на проективной плоскости назовем ( $L, f, g)$-метрикой, если при поднятии на сферу она становится метрикой вида $(L, f, g)$, где функции $f$ и $g$ удовлетворяют прежним условиям (а), (б), (в) (см. выше) и, кроме того, должны быть периодичны с периодом $\frac{1}{2}$ для $f(x)$ и периодом $\frac{L}{2}$ для $g(y)$.
Теорема 2.24 (В. С. Матвеев).
а) Гладкая метрика на проективной плоскости обладает квадратично интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она изометрична некоторой ( $L, f, g)$-метрике на $\mathbb{R} P^{2}$ при подходящих параметрах $L, f, g$.

б) Две метрики такого вида, т.е. $(L, f, g)$-метрика и ( $\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g})$-метрика, изометричны в том и только в том случае, когда:
1) либо $\widehat{L}=L, \widehat{f}=f, \widehat{g}=g$,
2) либо $\widehat{L}=\frac{1}{L}, \widehat{f}(x)=L^{2} g(L x), \widehat{g}(y)=L^{2} f(L y)$.

Доказательство.
Начнем с пункта (а). Поднимая с $\mathbb{R} P^{2}$ на сферу квадратично интегрируемую метрику, мы получаем на сфере снова квадратично интегрируемую метрику. Степень интеграла не может понизиться до единицы, потому что в противном случае он превратился бы в $\frac{\partial}{\partial \varphi}$. Но этот линейный интеграл, очевидно, сохраняется инволюцией $\tau$, а, следовательно, и исходный интеграл сводился бы к линейному, что не так. При этом квадратично интегрируемые метрики на сфере мы уже описали, и они имеют вид ( $L, f, g$ )-метрик с соответствующими условиями на функции $f$ и $g$. Нам нужно показать, что инволюция $\tau^{\prime}$ на накрывающем сферу торе имеет относительно лиувиллевых координат для поднятой метрики тот самый вид, который был описан выше, а именно:
\[
\tau^{\prime}(x, y)=\left(\frac{1}{2}-x, \frac{L}{2}+y\right) .
\]

Такой вид инволюции вытекает из того, что инволюция $\tau$ должна удовлетворять одновременно трем условиям. Первое – что она меняет ориентацию. Второе – она не имеет неподвижных точек. Третье – сохраняет метрику и, в частности, $(L, f, g)$-представление. Поэтому явный вид инволюции может быть легко получен с помощью теоремы 2.22.

Периодичность функций $f$ и $g$, с периодами $\frac{1}{2}$ и $\frac{L}{2}$ соответственно, теперь сразу вытекает из инвариантности ( $L, f, g$ )-метрики на сфере относительно инволюции $\tau$.

Докажем теперь пункт (б). Пусть две метрики: ( $L, f, g$ )-метрика и $(\widehat{L}, \widehat{f}, \widehat{g})$-метрика изометричны на $\mathbb{R} P^{2}$. Тогда соответствующие им метрики, получающиеся поднятием на сферу, тоже изометричны. Но на сфере мы уже доказали, что тогда они получаются друг из друга цепочкой операций двух видов: $\alpha_{\frac{1}{2}}$ и $\gamma$. Первая из них, т. е. операция $\alpha_{\frac{1}{2}}$, становится в нашем случае тривиальной, так как функция $f$ является периодической с периодом как раз $\frac{1}{2}$. Остается лишь операция $\gamma$, что и утверждается в пункте (б) теоремы.
Теорема доказана.