Перейдем теперь к случаю Горячева-Чаплыгина-Сретенского. Гамильтониан случая Сретенского (1.19) приводится линейной заменой координат, сохраняющей скобку (1.6) в $\mathbb{R}^{6}(S, R)$, к виду (2.11). При этом дополнительный интеграл примет вид:
\[
K=\left(S_{3}+2 \lambda\right)\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right)-S_{1} R_{3} .
\]

Случай Горячева-Чаплыгина получается из случая Сретенского при $\lambda=0$.

Бифуркационные диаграммы отображения момента $H \times K: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(h, k)$ построены в книге [219]. Здесь $H$ — это гамильтониан (2.11), а $K$ — это интеграл (6.1), заданные на $T S^{2}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(S, R)$. Подчеркнем, что исследуемая здесь система интегрируема на одном изолированном уровне, отвечающем нулевой постоянной площадей, то есть $g=0$. Бифуркационные диаграммы для различных значений параметра $\lambda$ изображены на рис. 5.34:
(a) $\lambda=0$,
(b) $-\frac{1}{\sqrt{3}}<\lambda<0$,
(c) $-1<\lambda<-\frac{1}{\sqrt{3}}$,
(d) $\lambda<-1$.
Рис. 5.34
При замене $\lambda$ на — $\lambda$ диаграммы отражаются симметрично относительно прямой $k=0$. Все бифуркационные диаграммы состоят из луча $\{k=0, h \geqslant-1\}$ и кривых, которые можно задать параметрически следующим образом:
\[
h=\frac{3}{2} t^{2}+4 \lambda t+2 \lambda^{2} \pm 1, \quad k=t^{3}+2 \lambda t^{2} .
\]

Перестройки торов Лиувилля описаны на рис. 5.34 тем же способом, что и для случая Ковалевской. Запись $\left(A^{*}, B\right)$ означает, что одновременно происходят
две перестройки торов Лиувилля, отвечающие атомам $A^{*}$ и $B$. Запись $\left(A, A^{\prime}\right)$ означает, что в прообразе этих точек бифуркационной кривой лежат одна минимальная и одна максимальная окружности интеграла $K$.

Как и в случае Ковалевской, находя проекции на ось $h$ точек возврата и точек касания бифуркационных кривых, получаем уравнения разделяющих кривых на плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$ :
\[
\begin{array}{l}
h=1-\frac{2 \lambda^{2}}{3} ; \\
h=2 \lambda^{2} \pm 1 .
\end{array}
\]

Объединив их с кривыми, изображенными на рис. 5.17, получаем ответ для случая Сретенского. См. рис. 5.35. Боттовость дополнительного интеграла проверяется прямым вычислением индексов критических окружностей.
Рис. 5.35

Теорема 5.7 (А. А.Ошемков, П.Й.Топалов, О. Е. Орел). Для системы $c$ гамильтонианом (1.19), т.е. для случая Горячева-Чаплыгина-Сретенского, на рис. 5.35 изображены разделяющие кривые в плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$. Указанный дополнительный интеграл Горячева-Чаплыгина-Сретенского является боттовским на всех изоэнергетических 3-поверхностях, соответствующих точкам ( $\lambda, h$ ), не лежащим на разделяющих кривых. Полный список всех инвариантов для случая Горячева-Чаплыгина-Сретенского состоит из 8 пар, перечисленных в таблиuе 5.4:
\[
\left(S^{3}, \mathcal{G}_{1}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{G}_{2}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{G}_{3}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{G}_{4}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{G}_{5}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{G}_{6}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{G}_{7}^{*}\right),
\]
$\left(K^{3}, \mathcal{G}_{8}^{*}\right)$.
Здесь через $K^{3}$ обозначена связная сумма $\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right)$.
В частности, при $\lambda=0$, т.е. в случае Горячева-Чаплыгина, дополнительный интеграл является боттовским на всех неособых изонергетических 3-поверхностях, причем здесь полный список инвариантов состоит из двух пар: $\left(S^{3}, \mathcal{G}_{1}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{G}_{8}^{*}\right)$. Таким образом, получена полная классификация интегрируемых систем Горячева-Чаплыгина-Сретенского с точностью до лиувиллевой эквивалентности.

На рис. 5.36 показаны бифуркационные диаграммы систем Горячева-Чаплыгина-Сретенского вместе с вертикальными пунктирными отрезками, каждый из

Рис. 5.36
которых отвечает некоторому уровню энергии $H$. Разные такие отрезки отвечают разным уровням энергии в том смысле, что топологические инварианты $\mathcal{G}^{*}$ этих уровней различны. Подчеркнем, что имеется естественное соответствие между интервалами энергий $H$, показанными на рис. 5.36 , и восемью зонами, показанными на рис.5.35. Оно выглядит так. Латинские буквы с цифрой указывают уровни энергии на рис. 5.36, а соответствующие им цифры указывают номера зон на рис. 5.35 и в таблице 5.4.
\[
\begin{array}{c}
a 1 \rightarrow 2, a 2 \rightarrow 7, \\
b 1 \rightarrow 1, b 2 \rightarrow 2, b 3 \rightarrow 3, b 4 \rightarrow 6, b 5 \rightarrow 7, \\
c 1 \rightarrow 1, c 2 \rightarrow 2, c 3 \rightarrow 8, c 4 \rightarrow 3, c 5 \rightarrow 5, c 6 \rightarrow 6, c 7 \rightarrow 7, \\
d 1 \rightarrow 1, d 2 \rightarrow 4, d 3 \rightarrow 5, d 4 \rightarrow 6, d 5 \rightarrow 7 .
\end{array}
\]

Таким образом, для каждой бифуркационной диаграммы легко проследить, каким образом меняется молекула при увеличении уровня энергии. На рис. 5.36c изображены две пунктирные пересекающиеся линии $c_{4}, c_{5}$. При каждом конкретном значении параметра $\lambda$ реализуется один из этих случаев. При этом проекция точки $z_{8}$ на горизонтальную ось может оказаться либо справа, либо слева от точки $z_{4}$.

Теперь мы можем дать полный список всех особенностей отображения момента $\mathcal{F}=(H, K): M_{1,0}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, встречающихся в случае Горячева-Чаплыгина-Сретенского. Во-первых, в этом случае присутствуют только следующие 4 атома, задающие перестройки общего положения. Это — $A, A^{*}, B, D_{1}$. Эти особенности, т.е. перестройки, соответствуют гладким, регулярным участкам, дугам бифуркационной диаграммы. Во-вторых, у бифуркационной диаграммы есть еще и особые точки, т.е. точки возврата, точки касания, точки пересечения и т.п. Оказывается, типы всех таких особенностей в случае Горячева-Чаплыгина-Сретенского тоже можно перечислить. Они указаны ниже.

На рис. 5.36 указаны особые точки бифуркационной диаграммы $z_{1}, \ldots, z_{11}$. Особые точки диаграммы, отмеченные одинаковыми буквами, соответствуют особенностям одного и того же топологического типа на 4 -многообразии $M_{1,0}^{4}$. Более подробная информация указана ниже в теореме 5.8. Здесь мы будем считать, что параметр $\lambda$ отличен от нескольких особых значений, а именно, равных $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm 1$. Дело в том, что при этих значениях $\lambda$ происходит перестройка бифуркационной диаграммы.
Теорема 5.8.
а) Особые точки бифуркационной диаграммы случая Горячева-ЧаплыгинаСретенского $z_{1}, z_{4}, z_{7}, z_{8}, z_{9}$ соответствуют невырожденным особенностям отображения момента $\mathcal{F}=(H, K): M_{1,0}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Более точно, точ$\kappa и ~ z_{1}$ и $z_{8}$ соответствуют особенностям типа центр-центр, точки $z_{7}$ и $z_{9}$ соответствуют особенностям типа центр-седло, а точка $z_{4}$ соответствует особенности типа седло-седло. Особенностей типа фокус-фокус в случае Горячева-Чаплыгина-Сретенского нет.
б) Точки $z_{3}, z_{5}, z_{6}, z_{10}$ соответствуют вырожденным одномерным орбитам действия группы $\mathbb{R}^{2}$, порожденного гамильтонианом $H$ и интегралом $K$ на $M_{1,0}^{4}$.
в) Точки $z_{11}$ и $z_{2}$ соответствуют вырожденным нульмерным орбитам действия группы $\mathbb{R}^{2}$.
2) Круговые молекулы указанных выше особых точек случая Горячева-Чаплыгина-Сретенского перечислены в таблице 5.5. В этом списке имеется ровно 10 различных меченых молекул. Таким образом, в случае Горячева-Чаплыгина-Сретенского присутствуют особенности только десяти различных типов. Они и задаются перечисленными круговыми молекулами. Кроме особенностей $z_{1}, \ldots, z_{11}$ есть еще четыре особенности общего положения. Это — атомы $A, A^{*}, B, D_{1}$, m. е. перестройки на регулярных дугах бифуркационной диаграммы.