Здесь мы перечислим основные примеры круговых молекул особых точек указанного типа, реально встречающиеся в задачах математической физики.
ПРИМЕР 1 (ПАРАБоличЕСКИЙ слУчАй). Хорошо известны два типа невырожденных орбит — эллиптические и гиперболические. Часто встречаются ситуации, когда при изменении параметров системы, т.е. значений первых интегралов, орбита меняет свой тип, переходя, например, от эллиптического к гиперболическому. В «критический момент перехода» орбита становится вырожденной, и качественный характер перестройки может быть описан следующим образом. Этот случай естественно назвать параболическим.

Рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}\right)$ две функции: $H=p_{2}$ и $f=f\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}\right)$. Линии уровня функции $f$ на горизонтальных плоскостях $z=$ const изображены на рис. 1.13. Видно, что с ростом $p_{2}$ происходит рождение двух невырожденных особых точек разных типов, а именно: эллиптической и гиперболической точек. В $\mathbb{R}^{3}$ две функции $H$ и $f$ задают одномерное слоение. Из него легко изготовить двумерное слоение на $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$, умножив эту картину прямым образом на окружность $S^{1}$. Мы будем считать, что на окружности $S^{1}$ задана периодическая координата, так что в $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$ мы получаем все четыре симплектические координаты $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$. Ясно, что функции $H(p, q)$ и $f(p, q)$ коммутируют и задают слоение Лиувилля в 4 -мерном симплектическом многообразии $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$.

Рис. 1.13
Соответствующая этой интегрируемой системе бифуркационная диаграмма отображения момента $\mathcal{F}: \mathbb{R}^{3} \times S^{1} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbb{R}^{2}(H, f)$ показана на рис. 1.13. Видно, что это — «клюв», целиком содержащийся в образе отображения момента $\mathcal{F}$. Соответствующая круговая молекула $W_{\tau}$, получающаяся при обходе вокруг конца клюва, также показана на рис.1.13.
В качестве функции $f$ можно взять, например, функцию, локально имеющую следующий вид:
\[
f=p_{1}^{2}+q_{1}^{3}-p_{2} q_{1} .
\]

Такой локальный вид функции $f$ в окрестности нуля не случаен. Дело в том, что таков канонический вид функции $f$ в случае параболической особенности. Это показано в приложении к нашей книге, написанном В.В.Калашниковым (мл.). В этом случае множество особых точек ото-
бражения, задаваемого парой функций
\[
\left(H=p_{2}, f=p_{1}^{2}+q_{1}^{3}-p_{2} q_{1}\right),
\]

представляет собой параболу в $\mathbb{R}^{3}$, лежащую в плоскости $p_{1}=0$ и задаваемую уравнением $q_{1}^{2}=\frac{p_{2}}{3}$. При $q_{1}>0$ получаем особые точки эллиптического типа, при $q_{1}<0$ — гиперболического, а при $q_{1}=0$ получаем параболическую особую точку. Бифуркационная диаграмма $\Sigma$ для отображения момента $\mathcal{F}$ в плоскости $(H, f)$ задается уравнением:
\[
f= \pm \frac{2}{3 \sqrt{3}} H^{\frac{3}{2}} .
\]

В случае, когда интегрируемая система удовлетворяет дополнительным условиям, например, допускает $\mathbb{Z}_{2}$-симметрию, на особом слое могут одновременно появиться две параболические одномерные орбиты. Такой случай изображен на рис.1.14. Здесь же показана соответствующая круговая молекула. Она описывает однократный обход вокруг острия клюва на диаграмме $\Sigma$. Атом $D_{1}$ см. в таблице атомов.

ПРимеР 2. Это — интегрируемый вариант перестроек, известных под условными названиями «удвоение периода», или period-doubling в английской литературе, и «камертон» или «вилка», pitch-fork. Для описания качественной картины снова рассмотрим в $\mathbb{R}^{3}\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}\right)$ две функции: $H=p_{2}$ и $f=f\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}\right)$.

Рис. 1.14
Рис. 1.15

Линии уровня функции $f$ на горизонтальных плоскостях $z=$ const изображены на рис. 1.15. Видно, что с ростом $p_{2}$ происходит превращение эллиптической особенности в три невырожденные особые точки разных типов, а именно: две эллиптических точки и одну гиперболическую. $\mathbf{B} \mathbb{R}^{3}$ две функции $H$ и $f$ задают одномерное слоение. Из него снова легко изготовить двумерное слоение на $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$. Однако здесь, в отличие от параболического случая, возможны два способа. Первый способ: нужно умножить эту картину прямым образом на окружность $S^{1}$. Этот случай условно назовем ориентируемым. Здесь мы будем считать, что на окружности $S^{1}$ задана $2 \pi$-периодическая координата $q_{2}$, так что в $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$ мы получаем все четыре симплектические координаты $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$. Ясно, что функции $H(p, q)$ и $f(p, q)$ коммутируют и задают слоение Лиувилля в 4 -мерном симплектическом многообразии $\mathbb{R}^{3} \times S^{\mathbf{1}}$.

Второй способ, который мы назовем неориентируемым, состоит в следующем. Нужно умножить описанную в $\mathbb{R}^{3}$ картину на окружность, после чего профакторизовать по действию группы $\mathbb{Z}_{2}$. При этом действие образующей группы $\mathbb{Z}_{2}$ на $\mathbb{R}^{3} \times S^{1}$ задается так. Точка $\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$ переходит в точку ( $-p_{1},-q_{1}, p_{2}, q_{2}+\pi$ ). Тот же результат можно получить, умножив картину, показанную на рис. 1.15 , на отрезок $[0, \pi]$ и склеив затем основания получившегося «цилиндра» по повороту на угол $\pi$ вокруг вертикальной оси $p_{2}$.

Соответствующая этой интегрируемой системе бифуркационная диаграмма отображения момента $\mathcal{F}: \mathbb{R}^{3} \times S^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(H, f)$ показана на рис. 1.15. Две соответствующие круговые молекулы $W_{\tau}^{\text {oриент }}$ и $W_{\tau}^{\text {неориент }}$, получающиеся при обходе вокруг особой точки, также показаны на рис. 1.15. Как и в примере 1 , имеем $H=p_{2}$.

В качестве функции $f$ можно взять, например, функцию, локально имеющую следующий вид:
\[
f=p_{1}^{2}+q_{1}^{4}-p_{2} q_{1}^{2} .
\]

Такой локальный вид функции $f$ в окрестности нуля тоже не случаен. См. приложение в конце нашей книги, написанное В.В.Калашниковым (мл.). Множество особых точек задается здесь в $\mathbb{R}^{3}$ уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=0, \quad p_{1}=0, \text { вертикальная прямая, } \\
2 q_{1}^{2}=p_{2}, \quad p_{1}=0, \text { парабола в вертикальной плоскости. } \\
\end{array}
\]

В итоге получается «вилка» или «камертон», как показано на рис. 1.15.
Бифуркационная диаграмма $\Sigma$ для отображения момента $\mathcal{F}$ в плоскости $(H, f)$ состоит из двух кусков. Первый кусок — это прямая $f=0$. Второй кусок — это половина параболы $f=-\frac{H^{2}}{2}, H>0$ (рис. 1.15).
Рис. 1.16
ПРиМЕР 3. Этот случай аналогичен примеру 2, но здесь нужно поменять местами эллиптические и гиперболические особенности. В результате получится картина в $\mathbb{R}^{3}$, изображенная на рис. 1.16. Здесь снова возникают два случая: ориентируемый и неориентируемый. Здесь одна гиперболическая особенность превращается в одну эллиптическую и две гиперболические. Как и в примере 1 , имеем $H=p_{2}$. В качестве функции $f$ можно взять, например, функцию, локально имеющую следующий вид:
\[
f=p_{1}^{2}-q_{1}^{4}+p_{2} q_{1}^{2} .
\]

Такой локальный вид функции $f$ в окрестности нуля тоже не случаен. См. приложение в конце нашей книги, написанное В.В.Калашниковым (мл.). Множество особых точек задается здесь в $\mathbb{R}^{3}$ уравнениями:
$q_{1}=0, p_{1}=0$, вертикальная прямая, $2 q_{1}^{2}=p_{2}, p_{1}=0$, парабола в вертикальной плоскости.

В итоге снова получается «вилка» или «камертон», как показано на рис. 1.16.

Бифуркационная диаграмма $\Sigma$ для отображения момента $\mathcal{F}$ в плоскости $(H, f)$ состоит из двух кусков. Первый кусок — это прямая $f=0$. Второй кусок — это половина параболы $f=\frac{H^{2}}{2}, H>0$ (рис. 1.16).
ПримЕР 4. На самом деле это — пример 3. Локально картина та же самая. Так же, как в примере 3 , устроены здесь функции $H$ и $f$, бифуркационная диаграмма $\Sigma$, множество критических точек отображения момента. Однако глобальная картина все же отличается. Соединяя по-другому сепаратрисы, т.е. соединяя в другом порядке ленточки (концы креста) вокруг особой точки, мы получаем здесь вместо атома $D_{1}$ атом $C_{2}$. Общая конструкция та же, что и в примере 3 . Получающиеся здесь две круговые молекулы, в ориентируемом и неориентируемом случаях, показаны на рис. 1.17.

Стоит обратить внимание, что в неориентируемом случае круговая молекула получается такой же, как и в примере 3. Это не случайно. Дело в том, что соответствующие два слоения Лиувилля диффеоморфны. С этим обстоятельством мы уже встречались. Напомним, что для атомов со звездочками — а в нашем примере здесь появился атом $A^{*}$ — не определен однозначно их дубль, то есть трансверсальное сечение в соответствующем 3-атоме. См. об этом том I, главу 3 . Поэтому в таких случаях одно и то же слоение Лиувилля может быть задано разными способами.

В заключение мы приводим таблицу 1.2 , в которой собраны перечисленные выше типичные круговые молекулы особых точек бифуркационных диаграмм. Здесь же указаны некоторые известные случаи интегрируемости, где такие круговые молекулы появляются.

Мы ограничились здесь рассмотрением только некоторых примеров вырожденных особенностей, однако среди них можно выделить класс так называемых устойчивых особенностей, то есть сохраняющих свой топологический тип при возмущении системы в классе интегрируемых систем. Классификация таких особенностей получена В.В.Калашниковым (мл.) и изложена в приложении. Там же указаны и круговые молекулы для всех таких особенностей. В таблице 1.2 устойчивыми являются особенности с номерами $1,4,6$. Появление в реальных примеpax неустойчивых особенностей с номерами $2,3,7$ не должно нас удивлять. Это объясняется наличием дополнительной $\mathbb{Z}_{2}$-симметрии, которая препятствует их разрушению.