При изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем естественным образом возникает вопрос о том, насколько топологическая структура устойчива при малой деформации системы. Будут ли исходная и возмущенная системы лиувиллево эквивалентны друг другу? В этом приложении изучим этот вопрос, и покажем, что при выполнении естественных условий топологическая структура лиувиллева слоения устойчива.

Вопрос об устойчивости топологической структуры лиувиллева слоения тесным образом связан с изучением топологически устойчивых особенностей системы. Наиболее часто встречающиеся особенности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы – это невырожденные (боттовские) окружности. Класс интегрируемых гамильтоновых систем с особенностями такого (невырожденного) типа включает в себя почти все знаменитые случаи интегрируемости.

В данном приложении мы, следуя общему направлению изучения топологии интегрируемых гамильтоновых систем, вначале рассмотрим топологически устойчивые системы на изоэнергетических подмногообразиях $Q^{3}$, а затем – глобально на всем симплектическом многообразии $M^{4}$.

Мы покажем, что топологическая структура лиувиллева слоения на $Q^{3}$ для системы, имеющей только невырожденные окружности и удовлетворяющей условию простоты, сохраняется при малом возмущении системы. Однако при изучении системы в целом, на всем симплектическом многообразии (то есть не только на $Q^{3}$ ), приходится иногда рассматривать вырожденные окружности. Существуют вырожденные окружности, называемые далее вырожденными окружностями общего вида, которые не могут быть устранены малым возмущением системы. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, докажем их неустранимость и изучим топологическую структуру слоения Лиувилля в их окрестностях. Для систем на $M^{4}$ мы докажем топологическую устойчивость слоений при условии, что они имеют только боттовские окружности и вырожденные окружности общего вида, а также удовлетворяющие условию типа простоты.

В дальнейшем, говоря о топологической устойчивости особенности, мы всегда будем понимать топологическую устойчивость лиувиллева слоения в окрестности этой особенности по отношению к малому возмущению исходной системы.

Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 417
Поскольку далее речь пойдет об особенностях, то, кроме устойчивости топологической структуры, мы рассмотрим вопрос, является ли изучаемый список топологически устойчивых особенностей полным, то есть можно ли малым шевелением устранить остальные особенности? Эта проблема несколько сложнее вопроса о топологической устойчивости конкретной особенности, и до сих пор, по-видимому, в полной мере не решена. Дело в том, что с формальной точки зрения изучение особых точек и траекторий интегрируемой гамильтоновой системы сводится к изучению особенностей пары функций $H$ и $F$, которые связаны дифференциальным соотношением $\{H, F\}=0$. В силу последнего обстоятельства технически очень сложно возмущать пару функций, сохраняя это соотношение. Поэтому теоремы о плотности систем с указанными особенностями будут сформулированы и доказаны при дополнительном условии существования периодического интеграла.

В настоящем приложении ссылки даются на отдельный список литературы, помещенный в конце приложения.