Известно, что многие уравнения динамики твердого тела могут быть представлены как гамильтонова система на пространстве $e(3{)}^{\ast }={\mathbb{R}}^6(s,r)$. В наиболее общем случае соответствующий гамильтониан имеет вид:
$$H=I_1{s}_1^2+I_2{s}_2^2+I_3{s}_3^2+L(r,s)+V(r),$$

где $I_1,I_2,I_3$ — постоянные (это моменты инерции тела), $L$ — линейная функция от $s$, а $V$ — гладкий потенциал.

Рассмотрим частный случай, когда гамильтониан $H$ не содержит линейных (по импульсам) членов, но включает в себя некоторый потенциал $V(r)$. Применяя в этой ситуации принцип Мопертюи, мы можем интерпретировать возникающую гамильтонову систему как геодезический поток некоторой римановой метрики. Какие именно метрики при этом получаются? Ответ легко извлекается из теоремы 6.4.
Теорема 6.6. Пусть $H=I_1{s}_1^2+I_2{s}_2^2+I_3{s}_3^2+V(r)$. Тогда траектории соответствующей гамильтоновой системы на орбите $M_0^4$, лежащие на уровне $\{H=h=$ const $\}$, совпадают с геодезическими римановой метрики
$$d{s}^2=\frac{h-V(u)}{I_1{I}_2{I}_3}\cdot \frac{I_{1}d{u}_1^2+I_{2}d{u}_2^2+I_{3}d{u}_3^2}{\frac{u_1^2}{I_1}+\frac{u_2^2}{I_2}+\frac{u_3^2}{I_3}},$$

ограниченной из ${\mathbb{R}}^3$ на стандартно вложенную двумерную сферу $S^2=\{u_1^2+u_2^2+$ $+u_3^2=1\}$.

Нам наиболее интересны будут интегрируемые случаи в динамике твердого тела, из которых мы выделим случаи Эйлера [282], [224], Лагранжа [102], Ковалевской [80], Горячева-Чаплыгина [59], [222], Клебша [261]. Все они объединены тем свойством, что их гамильтониан имеет вид, описанный в теореме 6.6 (т.е. нет членов, линейных по импульсам). Применяя к ним принцип Мопертюи, мы получаем серию интегрируемых геодезических потоков.

О других случаях интегрируемости уравнений динамики тяжелого твердого тела см. также [182], [183], [184], [185], [221], [226], [219], [237], [243], [264], [382], $[390],[107],[14],[58],[60],[68],[144],[160],[186],[304],[307],[363]$.
6.4.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона
Гамильтониан в случае Эйлера имеет вид:
$$H=A{s}_1^2+B{s}_2^2+C{s}_3^2.$$

Согласно принципу Мопертюи (см. теорему 6.6), ему отвечает следующая метрика на 2-сфере:
$$d{s}^2=\frac{h}{ABC}\cdot \frac{Ad{u}_1^2+Bd{u}_2^2+Cd{u}_3^2}{\frac{u_1^2}{A}+\frac{u_2^2}{B}+\frac{u_3^2}{C}},$$

где $h$ — фиксированный уровень энергии (т.е. $H=h$ ) в случае Эйлера. Здесь предполагается, что написанная метрика должна быть ограничена на стандартно вложенную сферу $S^2$ в ${\mathbb{R}}^3(u_1,u_2,u_3)$. Как мы уже отмечали, эта метрика называется метрикой сферы Пуассона. Подробное обсуждение ее свойств см. выше в главе 4.

Интересный вопрос: можно ли реализовать сферу Пуассона в виде гладкой сферы, вложенной (или погруженной) в ${\mathbb{R}}^3$ ?
Теорема 6.7. Гамильтонова система случая Эйлера (в динамике твердого тела) совпадает с геодезическим потоком метрики на сфере Пуассона.

Напомним, что систему Эйлера мы здесь рассматриваем на 4-мерном многообразии $M_0^4$, вложенном в ${\mathbb{R}}^6$ и являющемся орбитой коприсоединенного представления группы $E(3)$. С точки зрения динамики твердого тела это означает, что мы полагаем равной нулю постоянную площадей. Аналогичное предположение имеет место и во всех остальных случаях, рассматриваемых ниже.
6.4.2. Случай Лагранжа и соответствующая метрика вращения на сфере
Гамильтониан в случае Лагранжа имеет вид
$$H=A{s}_1^2+A{s}_2^2+C{s}_3^2+V\left(r_3\right).$$

Здесь эллипсоид инерции является поверхностью вращения, так как $A=B$. Соответствующая метрика на сфере имеет вид:
$$d{s}^2=\frac{h-V\left(u_3\right)}{AAC}\cdot \frac{Ad{u}_1^2+Ad{u}_2^2+Cd{u}_3^2}{\frac{u_1^2}{A}+\frac{u_2^2}{A}+\frac{u_3^2}{C}}.$$

Отметим, что эта метрика, очевидно, инвариантна относительно поворотов вокруг оси $u_3$. В этом смысле она похожа на метрику сферы вращения и обычно называется метрикой вращения. В частности, ее геодезический поток допускает линейный интеграл. Отметим, что в классическом случае Лагранжа, отвечающем движению в поле силы тяжести, потенциал $V$ имеет вид $V\left(r_3\right)=r_3$.
Теорема 6.8.
а) Гамильтонова система случая Лагранжа (при фиксированном уровне энергии) гладко траекторно эквивалентна геодезическому потоку некоторой метрики вращения на двумерной сфере. Явный вид этой метрики указан выuе.
б) $И$ наоборот, любая гладкая метрика врацения на сфере может быть записана в таком виде при подходящем выборе потенциала $V\left(r_3\right)$. В частности, геодезический поток такой метрики гладко траекторно эквивалентен случаю Лагранжа при подходящем выборе потенциала $V\left(r_3\right)$.
6.4.3. Случай Клебша и геодезический поток эллипсоида

Одним из наиболее эффектных следствий принципа Мопертюи является гладкая траекторная эквивалентность интегрируемого случая Клебша и геодезического потока на эллипсоиде. Этот результат в разное время и разными способами был получен Г. Минковским и В.В.Козловым.

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему $v$ на пространстве $e(3)={\mathbb{R}}^6(s,r)$, описывающую движение трехмерного твердого тела в идеальной жидкости в классическом случае Клебша. В этом случае гамильтониан $H$ имеет вид:
$$H=a{s}_1^2+b{s}_2^2+c{s}_3^2-\frac{r_1^2}{a}-\frac{r_2^2}{b}-\frac{r_3^2}{c}.$$

Второй интеграл $f$ этой системы имеет вид:
$$f=s_1^2+s_2^2+s_3^2+\frac{r_1^2}{bc}+\frac{r_2^2}{ca}+\frac{r_3^2}{ab}.$$

Теорема 6.9 (См. [81]). Система $v$ случая Клебша, ограниченная на трехмерный уровень энергии $H=0$, гладко траекторно эквивалентна геодезическому потоку $\tilde{v}$ стандартной римановой метрики на эллипсоиде в евклидовом трехмерном пространстве, задаваемом в декартовых координатах уравнением:
$$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1.$$

Доказательство.
Рассмотрим трехмерный уровень $Q=(H=0)$ и применим общую схему, изложенную выше. Согласно принципу Мопертюи, траектории системы $v$ совпадают с траекториями системы $\tilde{v}$ с гамильтонианом $\tilde{H}$ следующего вида:
$$\tilde{H}=\frac{a{s}_1^2+b{s}_2^2+c{s}_3^2}{\frac{r_1^2}{a}+\frac{r_2^2}{b}+\frac{r_3^2}{c}}.$$

Гамильтониан $\tilde{H}$ задает некоторую риманову метрику на 2-сфере. Легко проверить (см. теорему 6.6), что эта метрика совпадает с метрикой
$$d{s}^2=ad{u}_1^2+bd{u}_2^2+cd{u}_3^2,$$

ограниченной на стандартно вложенную сферу. Но эта метрика, очевидно, изометрична метрике на указанном эллипсоиде.
Теорема доказана.
Принцип Мопертюи позволяет указать для случая Клебша естественную связь между метрикой эллипсоида и метрикой на сфере Пуассона.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве две римановы метрики:
$$\begin{array}{rl}d{s}_0^2& =ad{u}_1^2+bd{u}_2^2+cd{u}_3^2,\\ d{s}_1^2& =\frac{ad{u}_1^2+bd{u}_2^2+cd{u}_3^2}{\frac{u_1^2}{a}+\frac{u_2^2}{b}+\frac{u_3^2}{c}}.\end{array}$$

При ограничении на стандартно вложенную двумерную сферу первая метрика дает метрику эллипсоида, а вторая — метрику сферы Пуассона. Рассмотрим теперь семейство римановых метрик
$$d{s}_{\alpha }^2=(1-\alpha )d{s}_0^2+\alpha d{s}_1^2,$$

где $0⩽\alpha ⩽1$.
Другими словами, мы рассматриваем линейную деформацию метрики эллипсоида в метрику сферы Пуассона. Оказывается, что все эти метрики $d{s}_{\alpha }^2$ обладают квадратично интегрируемыми геодезическими потоками на сфере. Убедиться в этом можно, например, с помощью принципа Мопертюи. Дело в том, что метрика $d{s}_{\alpha }^2$ отвечает (при «отображении» Мопертюи) квадратично интегрируемой системе с гамильтонианом Клебша
$$H=a{s}_1^2+b{s}_2^2+c{s}_3^2-(\frac{r_1^2}{a}+\frac{r_2^2}{b}+\frac{r_3^2}{c}).$$

Но этот гамильтониан нужно ограничить не на уровень $H=0$ (как выше), а на уровень $H=h$. При этом $h$ и $\alpha$ связаны следующим соотношением: $\alpha =h(h+1{)}^{-1}$. Таким образом, меняя энергию системы Клебша от нуля до плюс бесконечности, мы (после применения «отображения» Мопертюи) делаем деформацию метрики эллипсоида в метрику сферы Пуассона.

Бифуркационную диаграмму для случая Клебша см. в главе 5 тома II. Она была построена в работах Т.И. Погосяна [164], [165] и А. А. Ошемкова [350], [157]. Меняя уровень энергии от нуля до плюс бесконечности, мы перемещаем на этой диаграмме прямую $H=h=$ const слева направо. Из явного вида диаграммы видно, что при этом движущаяся прямая не пересекает никаких особых точек бифуркационной диаграммы. Следовательно, слоение Лиувилля при указанной деформации топологически не меняется (точнее, заменяется на ему лиувиллево эквивалентное). В результате мы получаем еще одно доказательство того факта, что задача Якоби (т.е. геодезический поток метрики эллипсоида) и случай Эйлера (т.е. геодезический поток на сфере Пуассона) лиувиллево эквивалентны.
6.4.4. Случай Горячева-Чаплыгина и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере
Применим теперь формулу из теоремы 6.6 для интегрируемого случая Горячева-Чаплыгина. Гамильтониан и интеграл в этом случае имеют вид:
$$\begin{array}{c}H=s_1^2+s_2^2+4s_3^2+r_1.\\ f=s_3(s_1^2+s_2^2)-\frac{r_3{s}_1}{2}.\end{array}$$

Согласно принципу Мопертюи, мы изготавливаем из этого гамильтониана $H$ новый гамильтониан $\tilde{H}$ на орбите $M_0^4$ следующего вида:
$$\tilde{H}=\frac{s_1^2+s_2^2+4s_3^2}{h-r_1}.$$

Здесь мы полагаем $h>1$. При этом интеграл $f$ превращается в интеграл $\tilde{f}$, являющийся однородным полиномом степени 3 и имеющий вид:
$$\tilde{f}=s_3(s_1^2+s_2^2)-\frac{r_3{s}_1}{2(h-r_1)}(s_1^2+s_2^2+4s_3^2).$$

Риманова метрика соответствующего геодезического потока на сфере имеет:
$$d{s}^2=\frac{h-u_1}{4}\cdot \frac{d{u}_1^2+d{u}_2^2+4d{u}_3^2}{u_1^2+u_2^2+\frac{u_3^2}{4}}.$$

Теорема 6.10 ([36], [29]). Интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина порождает на двумерной сфере риманову метрику, геодезический поток которой интегрируем при помощи интеграла степени 3, указанного выше. Этот интеграл не сводится к линейному или квадратичному.
Доказательство.
Рассмотрим грубую молекулу $W$ указанного геодезического потока метрики Горячева-Чаплыгина на сфере. Как мы знаем, этот поток траекторно эквивалентен случаю Горячева-Чаплыгина в динамике твердого тела и, следовательно, имеет то же самое слоение Лиувилля. Поэтому молекула $W$ совпадает с молекулой случая Горячева-Чаплыгина, которая была вычислена А. А.Ошемковым $[156],[350]$. Она имеет вид, показанный на рис. 6.1. Продолжим далее доказательство, предположив противное, т.е. что интеграл Горячева-Чаплыгина на сфере сводится к квадратичному. Но в таком случае мы можем воспользоваться результатами, изложенными выше в главе 3. Там были полностью вычислены молекулы $W^{\ast }$ всех геодезических потоков на сфере, интегрируемых при помощи квадратичных и линейных интегралов.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Используя этот результат, мы видим, что молекула потока Горячева-Чаплыгина на сфере должна была бы иметь один из двух видов, показанных на рис.6.2. Молекула на рис. 6.2 а отвечала бы случаю, в котором интеграл $\tilde{f}$ сводился к квадратичному, а молекула на рис. 6.2 b отвечала бы случаю, в котором интеграл $f$ сводился к линейному. Здесь $W_1$ — некоторое дерево, все ветви которого направлены вверх, а $W_2$ — дерево, ветви которого направлены вниз. При этом атомы, являющиеся вершинами графов-деревьев $W_1$ и $W_2$, должны иметь специальный вид и, в частности, не содержать звездочек. Сравнивая эти графы с графом на рис. 6.1, мы видим, что граф на рис. 6.1 не имеет такой структуры. Поскольку граф $W$ — это инвариант интегрируемой системы, то мы получили противоречие. Теорема доказана.
6.4.5. Случай Ковалевской и соответствующий интегрируемый геодезический поток на сфере
Гамильтониан Ковалевской имеет следующий вид:
$$H=\frac{1}{2}(s_1^2+s_2^2+2s_3^2)+r_1.$$

Интеграл Ковалевской выглядит так:
$$f={(\frac{s_1^2}{2}-\frac{s_2^2}{2}-r_1)}^2+{(s_1{s}_2-r_2)}^2.$$

Согласно принципу Мопертюи, мы изготавливаем из гамильтониана $H$ новый гамильтониан $\tilde{H}$ на кокасательном расслоении к сфере следующего вида:
$$\tilde{H}=\frac{s_1^2+s_2^2+2s_3^2}{h-r_1},$$

где постоянная $h$ больше 1. При этом интеграл $f$ превращается в интеграл $\tilde{f}$, имеющий вид:
$$\tilde{f}={(\frac{s_1^2}{2}-\frac{s_2^2}{2}-r_1\frac{s_1^2+s_2^2+2s_3^2}{h-r_1})}^2+{(s_1{s}_2-r_2\frac{s_1^2+s_2^2+2s_3^2}{h-r_1})}^2.$$

Риманова метрика соответствующего геодезического потока на сфере имеет следующий вид:
$$d{s}^2=\frac{h-u_1}{2}\cdot \frac{d{u}_1^2+d{u}_2^2+2d{u}_3^2}{u_1^2+u_2^2+\frac{u_3^2}{2}}.$$

Теорема 6.11 ([36],[29]). Интегрируемый случай Ковалевской порождает на сфере риманову метрику, геодезический поток которой интегрируем при помощи интеграла степени 4, указанного выше. Этот интеграл не сводится к линейному или квадратичному.
Доказательство.
Схема рассуждения повторяет доказательство предыдущей теоремы. Достаточно сравнить молекулу случая Ковалевской, вычисленную А.А.Ошемковым [156], [350] (рис.6.3), с молекулами квадратично и линейно интегрируемых геодезических потоков на сфере (рис.6.2). Эти молекулы различны, поскольку молекула $W$ случая Ковалевской содержит два атома $A^{\ast }$, которых нет ни в одной из молекул, изображенных на рис.6.2. Следовательно, метрика Ковалевской не принадлежит к классу метрик с линейно или квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Теорема доказана.
Рис. 6.3
Отметим, что в действительности интегрируемые случаи Горячева-Чаплыгина и Ковалевской порождают целое однопараметрическое семейство римановых метрик на сфере. Как видно из формул, в коэффициенты метрики входит параметр $h$, который можно менять произвольно. Таким образом, мы получаем два однопараметрических семейства интегрируемых геодезических потоков метрик, интегралы которых степеней 3 и 4 соответственно не сводятся к квадратичным.

В работах С. А. Чаплыгина [223] и Д. Н. Горячева [60] указано 4-параметрическое семейство потенциалов на сфере, дающих интегрируемые системы с интегралами степени 4. Это семейство включает в себя случай Ковалевской. В прежних обозначениях гамильтониан и первый интеграл в этом случае имеют вид
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}(s_1^2+s_2^2+2s_3^2)-(\frac{a}{r_3^2}+2b_1{r}_1{r}_2+b_2(r_2^2-r_1^2)+c_1{r}_1+c_2{r}_2),\\ F=4{(s_1{s}_2+2a\frac{r_1{r}_2}{r_3^2}-b_1{r}_3^2+c_1{r}_2+c_2{r}_1)}^2+\\ +{(s_1^2-s_2^2+\frac{2a(r_2^2-r_1^2)}{r_3^2}+2b_2{r}_3^2+2c_1{r}_1-2c_2{r}_2)}^2,\end{array}$$

где $a,b_1,b_2,c_1,c_2$ — произвольные константы. На самом деле для построения геодезического потока на сфере придется положить $a=0$, чтобы потенциал не имел особенности. Поэтому мы говорим о четырехпараметрическом семействе. Здесь для интегрируемости, как и в случае Горячева-Чаплыгина, требуется равенство нулю постоянной площадей. Применяя принцип Мопертюи, мы получаем семейство интегрируемых геодезических потоков на сфере с интегралом четвертой степени. Было бы интересно изучить топологию этих потоков и ее зависимость от выбора параметров.

Таким образом, на сфере существуют метрики, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи интегралов степени $1,2,3,4$.