Как мы уже видели, имеются две известные теоремы, позволяющие строить примеры траекторно эквивалентных гамильтоновых систем. Первая теорема это принцип Мопертюи, утверждающий, что натуральная система, ограниченная на свою изоэнергетическую поверхность, траекторно эквивалентна геодезическому потоку некоторой метрики, которая явно указывается. Отметим, что здесь траекторная эквивалентность имеет более сильный смысл, т.е. согласована с проекцией на базу.

Второе утверждение – это теорема Дини, утверждающая, что на двумерных поверхностях геодезический поток имеет нетривиальный квадратичный интеграл тогда и только тогда, когда существует другая метрика с теми же самыми геодезическими. Причем по каждой такой метрике строится однозначно квадратичный интеграл и по каждому квадратичному интегралу однозначно строится метрика с теми же геодезическими. Отметим, что геодезическая эквивалентность влечет за собой траекторную эквивалентность на изоэнергетических поверхностях.

Мы сформулируем сейчас некоторое общее утверждение, обобщающее и объединяющее обе теоремы (в случае размерности два). В качестве его следствия можно получить теорему Кноррера об эквивалентности задач Неймана и Якоби [321] и ее обобщение, полученное А.П.Веселовым [385].

Ниже мы будем использовать для квадратичного интеграла $F$ обозначение $F=B-U$, где $B$ – часть интеграла, квадратичная по импульсам, а $U-$ гладкая функция на базе $M$, не зависящая от импульсов $p$.
Теорема 6.14. Пусть на двумерном многообразии $M$ дана натуральная система с гамильтонианом $H=K-V$, где $K$ – кинетическая, $a(-V)$ – потенциальная энергия системы (знак «минус» взят для удобства). Пусть $F$ – квадратичный по импульсам интеграл системы, имеющий вид $F=B-U$, где $B$ – положительно определенная форма (по импульсам), а функция $U$ всюду положительна на базе М. (Этих условий всегда можно добиться, взяв подходящую линейную комбинацию с гамильтонианом $H$ ). Рассмотрим ограничение исходной гамильтоновой системы на инвариантный трехмерный уровень $Q=(F=0)$ интеграла $F$. Тогда на уровне $Q$ эта система гладко траекторно эквивалентна геодезическому потоку с гамильтонианом
\[
\widetilde{H}=\frac{\operatorname{det} B^{2}}{\operatorname{det} K^{2}} \cdot \frac{K B^{-1} K}{U} .
\]

При этом траекторная эквивалентность указанных систем имеет место в сильном смысле, т.е. коммутирует с естественной проекцией на базу. Это означает, что геодезические этой метрики и траектории исходной натуральной системы на $M$ просто совпадают.
КоммЕНтАРИЙ. Таким образом, для конструирования траекторно эквивалентных гамильтоновых систем можно ограничивать гамильтонову систему не только на уровень гамильтониана $H=$ const (как в классическом принципе Мопертюи), но и на любой уровень любого квадратичного интеграла $F=0$.
Следствие. Частным случаем теоремы 6.14 является классический принцип Мопертюи.
Доказательство.
Нужно рассмотреть в качестве квадратичного интеграла функцию $F=$ $=H-h_{0}$, и применить формулу из теоремы 6.14 .
Следствие. Частным случаем теоремы 6.14 является вторая часть теоремы Дини (о построении нетривиально геодезически эквивалентных метрик по заданному квадратичному интегралу римановой метрики).
Доказательство.
В случае геодезических потоков потенциал $V$ натуральной системы отсутствует, поэтому мы имеем $H=K$ и $F=B$. Ограничим систему, гамильтониан и интеграл на уровень $F-1=0$ и применим общую теорему 6.14 . Получим
\[
\widetilde{H}=\frac{\operatorname{det} B^{2}}{\operatorname{det} K^{2}} \cdot \frac{K B^{-1} K}{1} .
\]

Получившаяся формула совпадает с утверждением (б) глобальной теоремы Дини (см. выше теорему 6.13).
Доказательство теоремь 6.13.
Будем использовать существование лиувиллевых координат для квадратично интегрируемых натуральных систем на двумерных поверхностях. См. главу 2 тома II. Согласно теореме 6.2 настоящей главы существуют локальные координаты $u, v$ такие, что в них $H$ и $F$ записываются так:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{Z+W}{f+g}, \\
F=\frac{g p_{u}^{2}-f p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{g Z-f W}{f+g} .
\end{array}
\]

Подсчитаем в этих координатах $\tilde{H}$. Ясно, что
\[
B=\frac{g p_{u}^{2}-f p_{v}^{2}}{f+g}, \quad K=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{f+g}, \quad U=-\frac{g Z-f W}{f+g} .
\]

Подставляя в формулу для $\tilde{H}$, получаем:
\[
\widetilde{H}=\frac{-f p_{u}^{2}+g p_{v}^{2}}{Z f^{-1}-W g^{-1}} .
\]

Из условия положительной определенности интеграла $F$ (см. выше) легко усмотреть, что $f<0$ и $Z f^{-1}-W g^{-1}>0$. Итак, вид $\tilde{H}$ оказывается почти лиувиллевым. Для этого случая в главе 2 тома II мы уже выписали уравнения геодезических. В результате получится следующее.
\[
\int \frac{d u}{\sqrt{-Z-a f}} \pm \int \frac{d v}{\sqrt{-W-a g}}=c .
\]

С другой стороны, пользуясь предложением 6.1 настоящей главы, мы можем написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на уровне $F=0$. Получится следующее:
\[
\int \frac{d u}{\sqrt{-Z+h f}} \pm \int \frac{d v}{\sqrt{-W+h g}}=c .
\]

В обоих полученных уравнениях $a$ и $h$ служат параметрами. Полагая $h=-a$, мы, очевидно, можем отождествить два написанных выше уравнения траекторий. Следовательно, траектории обеих систем совпадают, что и требовалось установить. Теорема доказана.

КоммЕНтАРИЙ. Очень интересный вопрос: каков многомерный аналог обобщенного принципа Мопертюи-Дини?