3.3.1. Случай квадратичного интеграла

Напомним, что любую метрику на сфере с квадратично интегрируемым геодезическим потоком можно получить как фактор вырожденной метрики на торе по некоторой инволюции $\sigma$. При этом метрика на торе имеет вид:
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f$ и $g$ – гладкие неотрицательные четные периодические функции, причем период $f(x)$ равен 1 , а период $g(y)$ равен $L$. Отсюда, кстати, следует, что функция $f(x)$ симметрична относительно точки $x=\frac{1}{2}$, а функция $g(y)$ симметрична относительно точки $y=\frac{L}{2}$. Эти функции обращаются в ноль в точках вида $\frac{k}{2}$ и $\frac{L k}{2}$ соответственно, где $k$ пробегает все целые числа. Мы рассматриваем здесь тор как фактор двумерной плоскости $\mathbb{R}^{2}(x, y)$ по решетке, порожденной парой векторов $(1,0)$ и $(0, L)$. Инволюция $\sigma$ (факторизацией по которой из тора получается сфера) задается на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ формулой
\[
\sigma(x, y) \rightarrow(-x,-y) .
\]

Получающееся отображение тора на сферу $\varkappa: T^{2} \rightarrow T^{2} / \sigma=S^{2}$ задается функцией Вейерштрасса $\wp(z)$, где $z$ – комплексная координата $z=x+i y$ на плоскости. Это отображение представляет собой двулистное разветвленное накрытие с четырьмя точками ветвления. Поскольку метрика на торе инвариантна относительно сдвигов вдоль решетки и относительно инволюции $\sigma$, то ее проекция вниз задает метрику на сфере $S^{2}$. Эта метрика будет гладкой при выполнении некоторых дополнительных условий, о которых мы подробно говорили выше. Здесь нам важно, что нули функции $f(x)$ и $g(y)$ являются точками невырожденного минимума (глобального).

Наша цель – описать топологию получающегося лиувиллева слоения геодезического потока на сфере. Мы будем пользоваться тем же самым приемом, который был продемонстрирован выше при анализе интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. То есть, будем анализировать топологию лиувиллева слоения наверху и затем смотреть, что происходит с ним при проекции вниз. Интеграл вырожденного (в четырех точках) геодезического потока на накрывающем торе имеет вид:
\[
F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{g(y) p_{x}^{2}-f(x) p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\]

Этот интеграл имеет особенности на накрывающем торе в точках ветвления отображения $\varkappa$. На сфере интеграл геодезического потока будет фактически тем же самым. Нужно лишь спроектировать указанную функцию вниз при помощи функции $($ т.е. накрытия $\varkappa$ ). При этом все особенности интеграла исчезнут, и на сфере получится гладкая функция $\widetilde{F}$ без особенностей. Гамильтониан геодезического потока на торе имеет вид:
\[
H\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)} .
\]

Получающий внизу (т.е. на сфере) гамильтониан $\widetilde{H}$ тоже является гладкой функцией без особенностей. Напомним также, что, как и всегда, мы предполагаем интеграл $F$ боттовским.
Предложение 3.2. Боттовость интеграла $\tilde{F}$ для квадратично интегрируемого геодезического потока ( $L, f, g)$-метрики на сфере эквивалентна тому, что обе функции $f(x)$ и $g(y)$ являются функциями морса.

Для случая сферы это утверждение является простым следствием из аналогичного утверждения для тора.

Отметим, что изоэнергетические 3 -поверхности $Q$ в $T^{*} T^{2}$ некомпактны, уходят на бесконечность, поскольку гамильтониан $H$ вырождается в четырех точках на торе. Рассмотрим достаточно малое положительное число $\delta$ и два подмножества в $Q$, задаваемые условиями:
\[
Q_{+\delta}=\{F \geqslant+\delta, H=1\}, \quad Q_{-\delta}=\{F \leqslant-\delta, H=1\} .
\]

Рассмотрим также аналогичные подмножества для 2-сферы, то есть подмножества в $T^{*} S^{2}$, задаваемые условиями:
\[
\widetilde{Q}_{+\delta}=\{\widetilde{F} \geqslant+\delta, \widetilde{H}=1\}, \quad \widetilde{Q}_{-\delta}=\{\widetilde{F} \leqslant-\delta, \widetilde{H}=1\} .
\]

Ясно, что множество $Q_{ \pm \delta}$ двулистно накрывает множество $\widetilde{Q}_{ \pm \delta}$ при проекции $\varkappa$. Более того, слоение Лиувилля на множестве $Q_{ \pm \delta}$ инвариантно по отношению к инволюции $\sigma$, а потому проекция $\varkappa$ индуцирует послойное отображение $Q_{ \pm \delta}$ на $\widetilde{Q}_{ \pm \delta}$. Напомним, что множество $Q_{ \pm \delta}$ для тора $T^{2}$ уже изучалось нами выше. В частности, мы уже вычислили структуру слоения Лиувилля на $Q_{ \pm \delta}$. Каждое из множеств $Q_{ \pm \delta}$ состоит из четырех компонент связности. При этом слоение Лиувилля на каждой компоненте устроено как прямое произведение расслоенного 2 -диска на окружРис. 3.27 ность. См. рис. 3.27. На этом рисунке для каждой из функций $f$ и $g$ нарисованы два диска, поскольку обе функции симметричны относительно точек $\frac{1}{2}$ и $\frac{L}{2}$ соответственно. При этом каждый из этих 2 -дисков расслоен на линии уровня своей функции, т.е. функций $p_{x}^{2}-f(x)$ и $p_{y}^{2}-g(y)$ соответственно. Каждую пару $P_{+\delta}$ и $P_{-\delta}$ таких 2 -дисков удобно представить как подмножества на плоскости ( $y, p_{y}$ ) и на плоскости ( $x, p_{x}$ ) соответственно, а именно:
\[
\begin{array}{l}
P_{+\delta}=\left\{g(y)-p_{y}^{2} \geqslant \delta, y \in[0, L]\right\}, \\
P_{-\delta}=\left\{f(x)-p_{x}^{2} \geqslant \delta, x \in[0,1]\right\} .
\end{array}
\]

Обозначим молекулы, отвечающие получающимся слоениям на 2 -дисках, через $W(f)$ и $W(g)$ соответственно. Ясно, что индуцированные этими слоениями 2 -диска лиувиллевы слоения на множествах $Q_{ \pm \delta}$ описываются точно такими же молекулами $W(f)$ и $W(g)$. Это следует из того, что
$Q_{+\delta}=\left\{\right.$ две компоненты $P_{+\delta} \times S^{1}$, где $p_{x}>0$, и две компоненты $P_{+\delta} \times S^{1}$, где $\left.p_{x}<0\right\}$,
Рис. 3.28
$Q_{-\delta}=\left\{\right.$ две компоненты $P_{-\delta} \times S^{1}$, где $p_{y}>0$, и две компоненты $P_{-\delta} \times S^{1}$, где $\left.p_{y}<0\right\}$.

Рис. 3.29
Инволюция $\sigma$ действует на каждом из 3 -многообразий $Q_{ \pm \delta}$ так. В случае $Q_{+\delta}$ две компоненты $\left\{P_{+\delta} \times S^{1}\right.$, где $\left.p_{x}>0\right\}$ переставляются с двумя компонентами $\left\{P_{+\delta} \times S^{1}\right.$, где $\left.p_{x}<0\right\}$. Аналогично, в случае $Q_{-\delta}$ две компоненты $\left\{P_{-\delta} \times S^{1}\right.$, где $\left.p_{y}>0\right\}$ переставляются с двумя компонентами $\left\{P_{-\delta} \times S^{1}\right.$, где $\left.p_{y}<0\right\}$. Поэтому из четырех экземпляров дерева $W(f)$ получается два экземпляра $W(f)$. Точно так же из четырех копий $W(g)$ получаются две копии $W(g)$. См. рис. 3.28. Осталось выяснить, какой атом (?) расположен в центре молекулы на рис.3.28. Этот атом лежит в 3 -многообразии $Q$ на уровне $F=0$. Опишем свойства этого 3 -атома.
1) Атом (?) связен. В самом деле, слой $\{F=0, H=1\}$ геодезического потока вырожденной (в 4-х точках) метрики на торе связен.
2) Атом (?) имеет вес 2 , то есть содержит ровно две критические окружности интеграла $F$. В самом деле, на рис. 3.29 показан тор, на котором изображено 16 геодезических вырожденной (в 4-х точках) метрики, поднятой со сферы. Восемь геодезических получаются из других восьми путем замены на них ориентации. Поэтому геометрически различных имеются только 8 геодезических. После проекции вниз на 2-сферу они переходят в отрезки замкнутой геодезической на сфере, проходящей через 4 точки ветвления. При этом четыре из получившихся геодезических отрезка получаются из четырех других заменой на них ориентации. Следовательно, имеется ровно две различных геодезических, лежащих на критическом слое интеграла $\widetilde{F}=0$. Геометрически это одна и та же геодезическая, но проходимая в прямом и в обратном направлениях. Получаются две разные параметризованные геодезические. Они и являются критическими окружностями атома (?).
3) Атом (?) имеет ровно четыре конца, причем они расположены так, что два тора Лиувилля перестраиваются в два тора Лиувилля (т.е. два положительных конца и два отрицательных). Это следует из того, что с ним инцидентны два экземпляра дерева $W(f)$ и два экземпляра дерева $W(g)$, каждый из которых имеет один свободный конец.
4) Атом (?) симметричен относительно инволюции
\[
\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right) \rightarrow\left(x, y,-p_{x},-p_{y}\right) .
\]

Дело в том, что интеграл $F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$, очевидно, выдерживает такую инволюцию (см. формулу для $F$ ). Поэтому слоение Лиувилля инвариантно относительно этой инволюции, то есть атом (?) симметричен. Причем симметрия переставляет местами две указанные выше критические окружности атома.

Согласно теореме классификации атомов малой сложности (см. главу 3 тома I), существует ровно один атом, удовлетворяющий всем этим четырем требованиям. Это – атом $C_{2}$.
Итак, мы доказали следующее утверждение.

Предложение 3.3. Молекула $W$, отвечающая геодезическому потоку на сфере, интегрируемому при помощи квадратичного инРис. 3.30 теграла (не сводящегося к линейному), имеет вид, показанный на рис.3.30.

Осталось найти числовые метки на молекуле $W$, чтобы получить полную лиувиллеву классификацию геодезических потоков таких метрик. Рассмотрим произвольный тор Лиувилля и введем на нем два базисных цикла $\lambda$ и $\mu$, задаваемых уравнениями $\lambda=\{x=$ const $\}$ и $\mu=\{y=$ const $\}$ соответственно. Введем на них ориентацию так, чтобы интегралы формы действия $\alpha=p_{x} d x+p_{y} d y$ по циклу $\lambda$ и по циклу $\mu$ были положительны. Пусть тор Лиувилля задается уравнением $F=F_{0}=$ const, $H=1$. Спроектируем тор Лиувилля на базу, то есть на тор $T^{2}$. Получится кольцо, задающееся на базисном торе либо условиями $y \in\left[y_{0}, y_{1}\right], x-$ произвольно, либо условиями $x \in\left[x_{0}, x_{1}\right], y$ – произвольно. Другими словами, проекция каждого из торов Лиувилля является кольцом на базисном торе, изображаемым прямоугольником на квадрате. См. рис.3.31.
Тогда первый из указанных интегралов имеет вид:
\[
\int_{\lambda} \alpha=2 \int \sqrt{g(y)+F_{0}} d y
\]

где интегрирование ведется по допустимому отрезку $\left[y_{0}, y_{1}\right]$, отвечающему проекции тора Лиувилля на базу (рис. 3.31), если $F_{0}<0$, а в случае, когда $F_{0}>0$, интегрирование ведется по отрезку $\left[0, \frac{L}{2}\right]$. При этом числа $y_{0}$ и $y_{1}$ являются корнями уравнения $g(y)+F_{0}=0$, причем $g(y)+F_{0}>0$ на интервале ( $\left.y_{0}, y_{1}\right)$.
Второй из указанных интегралов имеет вид:
\[
\int_{\mu} \alpha=2 \int \sqrt{f(x)-F_{0}} d x
\]

где интеграл берется по отрезку $\left[x_{0}, x_{1}\right]$, если $F_{0}>0$, а в случае, когда $F_{0}<0$, интеграл берется по отрезку $\left[0, \frac{1}{2}\right]$. Числа $x_{0}, x_{1}$ являются корнями уравнения $f(x)-F_{0}=0$, причем $f(x)-F_{0}>0$ на интервале ( $\left.x_{0}, x_{1}\right)$.
Рис. 3.31
Итак, ориентации циклов $\lambda$ и $\mu$ выбраны. Сразу отметим, что циклы $\lambda$ и $\mu$ задают нам допустимую систему координат на каждом из деревьев $W(g)$ и $W(f)$. См. рис.3.30. Слоения Лиувилля на каждом из этих кусков имеют тип прямого произведения $P^{2} \times S^{1}$ (см. выше). Рассмотрим два верхних куска, т.е. два $W(g)$. Здесь цикл $\mu$ является ориентированным слоем этого прямого произведения, а $\lambda$ является его сечением. В двух нижних кусках $W(f)$ молекулы $W$ картина обратная. Здесь цикл $\mu$ является сечением прямого произведения, а цикл $\lambda$ является его слоем. Отсюда сразу следует, что на всех внутренних ребрах кусков $W(g)$ и $W(f)$ матрицы склейки устроены так. Между парой седловых атомов они выглядят так:
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \text {. }
\]

А между седловыми атомами и атомами типа $A$ матрицы склейки имеют вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) \text {. }
\]

Буквально то же самое было и в случае геодезического потока на торе. Это видно из того, что слоения Лиувилля на этих четырех кусках $W(f)$ и $W(g)$ для случая сферы такие же, как и для тора, поскольку инволюция $\sigma$ переставляла между собой соответствующие деревья у молекулы тора, не меняя топологию молекулы внутри каждого из этих кусков. Следовательно, числовые метки на кусках $W(g)$ и $W(f)$ для случая сферы такие же, как и для случая тора.
Осталось найти числовые метки на четыpeх центральных ребрах молекулы $W$, инцидентных с центральным атомом $C_{2}$. Для этого нужно построить допустимую систему координат на торах Лиувилля этого центрального куска. Первый цикл $\varkappa$ этой системы должен быть изотопен критическому слою 3 -атома $C_{2}$. Его можно выразить через базисные циклы $\lambda$ и $\mu$ Рис. 3.32 на близком торе Лиувилля.

Лемма 3.1. Имеет место равенство: $\varkappa=\lambda+\mu$.
Доказательство.
Ясно, что достаточно доказать лишь следующее соотношение:
\[
\int_{\varkappa} \alpha=\int_{\lambda} \alpha+\int_{\mu} \alpha .
\]

Отсюда и будет сразу следовать, что $\varkappa=\lambda+\mu$. Дело в том, что интегралы $\int_{\lambda} \alpha$ и $\int_{\mu} \alpha$ независимы в том смысле, что между ними нет целочисленного соотношения. Это видно из того, что функции $f$ и $g$, участвующие в явных формулах для этих интегралов (см. выше), независимы. Требуемое равенство $\int_{\varkappa} \alpha=\int_{\lambda} \alpha+\int_{\mu} \alpha$ следует из рис. 3.32. В самом деле, критический цикл-слой $\varkappa$ отвечает геодезической на сфере, лежащей на особом слое и проходящей через четыре точки ветвления $A, B, C, D$ на сфере. При накрытии сферы тором на этот цикл $\varkappa$ проектируются четыре отрезка $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$, расположенные внутри квадрата, изображающего тор, как показано на рис. 3.32. Эти четыре отрезка проектируются на четыре дуги $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$, лежащие на геодезической на сфере и соединяющие точки $A, B, C, D$. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\int_{\varkappa} \alpha & =\left(\int_{\gamma_{1}} \alpha+\int_{\gamma_{3}} \alpha\right)+\left(\int_{\gamma_{2}} \alpha+\int_{\gamma_{4}} \alpha\right)= \\
& =2 \int_{0}^{1 / 2} \sqrt{f(x)} d x+2 \int_{0}^{L / 2} \sqrt{g(y)} d y=\lim _{F_{0} \rightarrow 0} \int_{\lambda+\mu} \alpha .
\end{aligned}
\]

Итак, $\int_{\varkappa} \alpha=\int_{\lambda} \alpha+\int_{\mu} \alpha$, что и требовалось доказать.
Теперь нужно предъявить второй базисный цикл допустимой системы координат (отвечающей атому $C_{2}$ ) на центральных ребрах молекулы $W$. Возьмем цикл $\lambda=\{x=$ const $\}$, лежащий на торе Лиувилля, близком к атому $C_{2}$. Здесь мы считаем, что эта константа отлична от 0 и $\frac{1}{2}$. При проекции вниз, на сферу, цикл $\lambda$ изображается окружностью, показанной на рис.3.33.

Рис. 3.33 На накрывающем торе этой окружности отвечает вертикальный отрезок (на самом деле – цикл), задаваемый уравнением $x=$ const (рис. 3.33). На изоэнергетическом 3 -многообразии ( $\mathbb{R} P^{3}$ в случае сферы) этой окружности отвечает двумерное сечение 3 -атома $C_{2}$, трансверсальное геодезическому потоку. Обозначим это сечение через $P_{t r}$. Трансверсальность хорошо видна из рис. 3.33 , поскольку все геодезические, исходящие из четырех точек ветвления $A, B, C, D$, трансверсально встречают окружность $\{x=$ const $\}$. Следовательно, и наверху, т.е. в $Q^{3}$, геодезический поток трансверсально протыкает соответствующее 2 -сечение. Отметим, что окружности $\{x=$ const $\}$ наверх отвечают два связных трансверсальных сечения (каждое из которых гомеоморфно 2 -атому $C_{2}$ ). Соответствующая картина геодезических на накрывающем торе также показана на рис. 3.33. Они трансверсально пересекают отрезок (цикл) $\{x=$ const $\}$. Таким образом, мы построили в $Q^{3}$ трансверсальное двумерное сечение, у которого четыре ее граничные окружности совпадают с циклами $\lambda$. Осталось проследить за правильной ориентацией этих циклов (с точки зрения допустимой системы координат).

На построенном трансверсальном 2-сечении $P_{t r}$ (задаваемой условием $\{x=$ const $\}$ ) можно взять в качестве регулярных координат $y$ и $p_{y}$. Тогда сечение $P_{t r}$ можно задать неравенством
\[
P_{t r}=\{|F| \leqslant \varepsilon\} .
\]

Поскольку в координатах $\left(y, p_{y}\right)$ функция $F$ имеет вид $F=g(y)-p_{y}^{2}$, то указанное неравенство определяет на плоскости $\left(y, p_{y}\right.$ ) область, показанную на рис.3.34. Видно, кстати, что эта область гомеоморфна 2-атому $C_{2}$. Таким образом, трансверсальное сечение $P_{t r}$ гомеоморфно 2-атому $C_{2}$. Мы получили второе независимое доказательство того, что сечение $P_{t r}$ гомеоморфно $C_{2}$. Рассмотрим четыре граничные окружности этого сечения, совпадающие с циклами $\lambda$. Их ориентация определяется условием, что интеграл от формы $\alpha$ положителен. После выбора на сечении $P_{t r}$ координат ( $y, p_{y}$ ) этот интеграл приобретает вид $\int p_{y} d y$. Из рис. 3.34 видно, что для положительности этого интеграла вдоль той или иной граничной окружности необходимо и достаточно, чтобы циклы $\lambda$ были ориентированы так, как показано на рис. 3.34а.
Рис. 3.34
Изготовим теперь из этих четырех циклов $\lambda$ требуемые базисные циклы допустимых систем координат на торах Лиувилля. Для этого рассмотрим ориентацию на границе сечения $P_{t r}$, индуцированную ориентацией самого сечения. См. рис. $3.34 \mathrm{~b}$. Сравнивая получающуюся ориентацию граничных окружностей с ориентированными циклами $\lambda$, мы видим, что в двух случаях нужно заменить ориентацию $\lambda$ на противоположную, а в двух случаях – сохранить. А именно, на двух ребрах молекулы, инцидентных с графами $W(f)$, в качестве второго базисного цикла допустимой системы координат нужно взять $-\lambda$ (т. е. изменить ориентацию $\lambda$ ). А на двух ребрах молекулы, инцидентных с графами $W(g)$, в качестве второго базисного цикла допустимой системы координат нужно взять $\lambda$ (т.е. здесь ориентация $\lambda$ сохраняется).

Итак, мы полностью построили допустимые системы координат на торах Лиувилля четырех ребер, инцидентных с атомом $C_{2}$.

Подсчет матрицы склеек и всех требуемых числовых меток показан на рис. 3.35. Отметим, что здесь возникают три различных случая, в зависимости от структуры деревьев $W(f)$ и $W(g)$. Другими словами, отдельно нужно рассмотреть случай, когда одно или оба дерева состоят только из одного атома $A$. Дело в том, что правила определения допустимой системы координат для седлового атома и атома $A$ различны (см. главу 4 тома 1). В соответствии с этим молекула может содержать либо одну семью, либо три, либо пять.
Полученный результат оформим в виде следующей теоремы.

Теорема 3.7 (Т.З. Нгуен, Л. С. Полякова, В. С. Матвеев). Пусть на 2-сфере задана ( $L, f, g$ )-метрика. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока этой метрики на изоэнергетической поверхности $Q=\mathbb{R} P^{3}$ задается молекулой $W$, построение которой описано выше. При этом метки на арафе $W$ показаны на puc. 3.35. Метки внутри каждого из деревъев $W(f)$ и $W(g)$ устроены точно так же, как и в теореме 3.3, то есть все метки $r$ между седловыми атомами равны $\infty$, а между седловыми атомами и атомами $A$ метки $r$ равны нулю. Все метки типа є равны +1 (внутри $W(f)$ и $W(g)$ ).

Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квадратично интегрируемых геодезических потоков на сфере.

Рис. 3.35
3.3.2. Случай линейного интеграла

Напомним, что метрика на сфере имеет линейно интегрируемый геодезический поток в том и только в том случае, когда на сфере существуют глобальные конформные координаты $x, y$, относительно которых метрика принимает вид
\[
d s^{2}=f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $f(t)$ – положительная гладкая функция на полуоси $[0,+\infty)$ и такая, что $\frac{f(1 / t)}{t^{2}}$ – положительная гладкая функция на всей полуоси $[0,+\infty$ ) (т. е. включая ноль).
Нам будет удобно переформулировать эту теорему в следующем виде.

Теорема 3.8. Метрика $d^{2}$ на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда на сфере существуют гладкие глобальные координаты $(\theta, \varphi)$ с двумя особыми точками (это – аналоги полюсов для обычных сферических), причем $\theta$ меняется от 0 до некоторого $\theta_{0}$, а $\varphi$ – периодическая координата $(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi)$, причем в этих координатах метрика имеет вид
\[
d s^{2}=d \theta^{2}+f(\theta) d \varphi^{2} .
\]

ЗАмЕчАниЕ. Условие, что указанная метрика является гладкой и римановой, автоматически означает, что функция $f(\theta)$ гладко зависит от натурального параметра $\theta$ на
отрезке $\left[0, \theta_{0}\right]$, положительна внутри интервала $\left(0, \theta_{0}\right)$, обращается в нуль на его концах и имеет в окрестности точек 0 и $\theta_{0}$ следующий вид: $f(\theta)=\tilde{f}\left(\theta^{2}\right)$ (если $\theta$ близко к нулю), где $\tilde{f}$ – некоторая гладкая функция, и $f(\theta)=\tilde{g}\left(\left(\theta-\theta_{0}\right)^{2}\right.$ ) (если $\theta$ близко к $\theta_{0}$ ), где $\tilde{g}$ – некоторая гладкая функция.
Рис. 3.36
Стоит отметить, что описанные метрики естественно обобщают обычные метрики вращения на сфере вращения в $\mathbb{R}^{3}$. В этом случае в качестве $\varphi$ нужно взять обычный угол, задающий поворот вокруг оси вращения. В качестве $\theta$ нужно взнть натуральный параметр на той плоской кривой, вращением которой получается сфера вращения. Тогда особыми точками такой системы координат будут обычные полюса сферы. В данном случае функция $f(\theta)$ задает квадрат расстояния от точки сферы до оси вращения (рис.3.36). Здесь $\theta_{0}=\pi$. Однако, повторим еще раз, не каждая такая метрика сферы является метрикой на какой-то поверхности вращения.
Отметим, что гамильтониан $H$ геодезического потока имеет здесь вид
\[
H=p_{\theta}^{2}+f(\theta)^{-1} p_{\varphi}^{2},
\]

а интеграл $F$ устроен так:
\[
F=p_{\varphi} .
\]

Как и выше, сопоставим функции $f$ граф $W(f)$, описывающий слоение двумерного диска на линии уровня функции $f(\theta)-p_{\theta}^{2}$. При этом двумерный диск задается неравенством $f(\theta)-p_{\theta}^{2} \geqslant 0$ на плоскости $\left(\theta, p_{\theta}\right.$ ). См. рис.3.27.
Теорема 3.9 (Т.З.Нгуен, Л.С.Полякова). Рассмотрим на сфере геодезический поток римановой метрики вида
\[
d s^{2}=d \theta^{2}+f(\theta) d \varphi^{2} .
\]
a) Тогда отвечающая этому геодезическому потоку молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 3.37, где молекула $W(f)$ построена по функции $f(\theta)$ указанным выше способом. Числовые метки внутри каждой молекулы $W(f)$ являются стандартными, то есть на ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны $\infty$, на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ метки г равны нулю, все в-метки равны +1 .
б) Предположим, что молекула $W(f)$ отлична от атома $A$ (то есть содержит хотя бы один седловой атом). Тогда на единственном центральном ребре, соединяющем два экземпляра молекулы $W(f)$, метка $r$ равна бесконечности, а метка в равна -1. Здесь имеется ровно одна семья (совпадающая со всей молекулой $W$, из которой выброшены все концевые атомы $A$ ). Метка $n$ на этой семье равна 2.
в) Если же молекула $W(f)$ сводится $\kappa$ одному атому $A$, то вся молекула $W$ имеет простейиий вид $A-A$. $B$ этом случае мы имеем: $r=\frac{1}{2}, \varepsilon=1$. Семей здесь нет.

Тем самым мы получили полную лиувиллеву классификацию всех линейно интегрируемых геодезических потоков на двумерной сфере.
Дожазательство.
Как мы уже неоднократно делали выше, разрежем 3-многообразие $Q$ на несколько кусков поверхностью уровня $F=0$, где $F$ дополнительный интеграл. В нашем случае интеграл $F$ имеет вид $F=p_{\varphi}$. Здесь 2 -поверхность уровня $p_{\varphi}=0$ является регулярным тором Лиувилля, состоящим из меридианов, задаваемых условием Рис. 3.37 $\varphi=$ const (поскольку равенство $p_{\varphi}=0$ эквивалентно тому, что $\varphi=$ const). Получается семейство всех меридианов, проходящих через северный и южный полюса сферы. Это и есть тор Лиувилля в $Q$.

Таким образом, при разрезании вдоль поверхности $\left\{p_{\varphi}=0\right\} 3$-многообразие $Q$ распадается ровно на два куска $Q_{+}$и $Q_{-}$. Каждый из этих кусков снова (как и раньше) имеет тип прямого произведения. В этом легко убедиться, предъявив глобальное трансверсальное сечение. В данном случае это двумерное сечение $P_{t r}$ задается уравнением $\varphi=$ const. Посмотрим, как устроен интеграл на этом сечении $P_{t r}$. В качестве локальных координат на этом сечении мы рассмотрим $\left(\theta, p_{\theta}\right)$. Легко видеть, что, если $H=1$, т.е. $p_{\theta}^{2}+f(\theta)^{-1} p_{\varphi}^{2}=1$, то
\[
p_{\varphi}= \pm\left(\left(1-p_{\theta}^{2}\right) f(\theta)\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Здесь знак плюс берется для куска $Q_{+}$, а знак минус соответствует куску $Q_{-}$. Слои слоения Зейферта задаются здесь так:
\[
\left(\theta=\text { const, } p_{\varphi}=\text { const, } p_{\theta}=\text { const, } \varphi= \pm t\right),
\]

где $t$ – параметр на слое-окружности. Следовательно, слоение Лиувилля получается путем прямого умножения на окружность (= слой слоения Зейферта) одномерного слоения на трансверсальном сечении $P_{t r}$, задаваемого линиями уровня функции $p_{\varphi}= \pm\left(\left(1-p_{\theta}^{2}\right) f(\theta)\right)^{\frac{1}{2}}$ (знак здесь выбирается соответствующим образом для каждого из кусков $Q_{ \pm}$). Заметим, что степень $1 / 2$ можно убрать, поскольку она не влияет на геометрию слоения. Сделав далее замену $\widetilde{p}_{\theta}=p_{\theta}(f(\theta))^{\frac{1}{2}}$, получим, что слоение на диске с координатами ( $\theta, \widetilde{p}_{\theta}$ ) можно задать как линии уровня следующей функции:
\[
f(\theta)-\widetilde{p}_{\theta}^{2} .
\]

Но геометрия этого слоения, очевидно, описывается именно той молекулой $W(f)$, которая была определена выше. Таким образом, в целом молекула $W$ имеет требуемый вид, а именно, получена склейкой двух экземпляров $W(f)$ при помощи одного центрального ребра.

При этом числовые метки внутри обоих графов $W(f)$ соответствуют топологии прямого произведения, а, следовательно, имеют тот самый вид, который и указан в доказываемой теореме.

Рис. 3.38
Осталось найти матрицу склейки на центральном ребре, соединяющем две копии $W(f)$. Рассмотрим в $Q^{3}=\mathbb{R} P^{3}$ нулевую поверхность уровня интеграла $F$. Ясно, что это – один тор Лиувилля $T_{0}$, лежащий на середине центрального ребра молекулы $W$. При этом $Q_{+}$- это верхний кусок $W(f)$ молекулы $W$ (с исходящим вниз ребром, заканчивающимся тором $T_{0}$ ). А $Q_{-}$- это нижний кусок $W(f)$ молекулы $W$ (с исходящим вверх ребром, заканчивающимся тем же тором $T_{0}$ ). Рассмотрим два близких к тору $T_{0}$ тора $T_{+\varepsilon}=\{F=+\varepsilon\}$ и $T_{-\varepsilon}=\{F=-\varepsilon\}$. Спроектируем все три тора вниз, на базисную сферу $S^{2}$ при помощи проекции, определяющей касательное расслоение к сфере. Результат показан на рис.3.38. Тор $T_{+\varepsilon}$ проектируется в кольцо, охватывающее сферу за исключением двух малых дисков (окрестностей северного и южного полюсов). Аналогично проектируется и тор $T_{-\varepsilon}$. Проекция же тора $T_{0}$ – это вся сфера $S^{2}$.

Предположим сначала, что молекула $W(f)$ содержит хотя бы один седловой атом. Изобразим на этих проекциях торов (т.е. на кольцах) проекции базисных циклов $\lambda^{+}, \mu^{+}$и $\lambda^{-}, \mu^{-}$. Циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$можно считать экваторами 2-сферы (рис. 3.38). Циклы $\mu^{+}$и $\mu^{-}$проектируются в вертикальные дуги меридианов, проходимые два раза (вверх и вниз). То есть здесь цикл-окружность превращается в отрезок, проходимый в прямом и затем в обратном направлении. Рассмотрим цикл $\gamma$ на центральном торе $T_{0}$, проектирующийся вниз (т.е. на сферу) в меридиан сферы, проходящий через северный и южный полюсы. Сместим цикл $\gamma$ посредством изотопии на близкие к тору $T_{0}$ торы Лиувилля $T_{ \pm \varepsilon}$. Тогда он примет вид, показанный на рис. 3.38. На торе $T_{-\varepsilon}$ смещенный цикл $\gamma$ движется вдоль отрезка $\mu^{+}$меридиана, а вблизи северного и южного полюсов поворачивает в сторону и обходит северный полюс по дуге слева, а южный полюс по дуге справа. На торе $T_{+\varepsilon}$ происходят аналогичные события: здесь смещенный цикл $\gamma$ обходит северный полюс справа, а южный – слева.
\[
\gamma=\mu^{-}+\lambda^{-}, \gamma=\mu^{+}+\lambda^{+} .
\]

Следовательно, базисные циклы $\mu^{-}, \lambda^{-}, \mu^{+}, \lambda^{+}$связаны соотношением: $\mu^{-}+\lambda^{-}=$ $=\mu^{+}+\lambda^{+}$. Кроме того, как видно из рис. 3.38 , выполнено еще одно соотношение: $\lambda^{+}=-\lambda^{-}$. Отсюда получаем, что матрица склейки на центральном ребре молекулы $Q$ устроена так:
\[
\left(\begin{array}{l}
\lambda^{+} \\
\mu^{+}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\lambda^{-} \\
\mu^{-}
\end{array}\right) .
\]

Отсюда сразу следует, что в случае, когда молекула $W(f)$ содержит хотя бы один седловой атом, числовые метки на центральном ребре молекулы $W$ имеют вид, указанный в теореме. То есть $r=\infty, \varepsilon=-1, n=2$.

Пусть теперь молекула $W$ имеет вид $A-A$. Тогда, согласно определению допустимой системы координат (для случая атома $A$ ), нужно просто поменять местами циклы $\lambda$ и $\mu$. Следовательно, матрица склейки примет вид
\[
\left(\begin{array}{l}
\mu^{+} \\
\lambda^{+}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\mu^{-} \\
\lambda^{-}
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, $r=\frac{1}{2}, \varepsilon=1$. Теорема полностью доказана.
ЗАмЕчАНИЕ. Полезно привести и другое доказательство теоремы, использующее тот факт, что склейка двух кусков $Q_{+}$и $Q_{-}$по центральному тору $T_{0}$ должна дать 3 -многообразие $\mathbb{R} P^{3}$. Из предыдущего совершенно ясно, что циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$связаны соотношением: $\lambda^{+}=-\lambda^{-}$. Следовательно, матрица склейки двух кусков $Q_{+}$и $Q_{-}$должна иметь следующий вид:
\[
\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
k & 1
\end{array}\right),
\]

где $k$ – некоторое целое число. Но мы знаем, что это число $k$ полностью определяет фундаментальную группу 3 -многообразия $Q$, склеенного из двух полноторий (в нашем случае действительно каждое из $Q_{+}$и $Q_{-}$является полноторием). Напомним, что в этом случае $\pi_{1}(Q)=\mathbb{Z}_{k}$. Поскольку $Q=\mathbb{R} P^{3}$, то $\pi_{1}(Q)=Z_{2}$, а потому $k=2$ (c точностью до знака).

Рассмотрим важный частный случай метрики, возникающей на поверхности вращения в $\mathbb{R}^{3}$ (гомеоморфной сфере). Как мы знаем, геодезические потоки всех таких метрик линейно интегрируемы. Найдем меченую молекулу. Поверхность вращения задается графиком функции $y=f(x)$, определяющим плоскую кривую. См. рис.3.39.
Следствие. Меченая молекула геодезического потока на поверхности вращения, отвечающей функции $f$, совпадаРис. 3.39 ет с молекулой, описанной в теореме 3.9. Она представлена на рис.3.37.
Доказательство.
Отметим, что смысл функции $f$ в теореме 3.9 и в этом следствии различен. Здесь функция $f$ задает образующую на поверхности вращения, а в теореме 3.9 функция $f$ нвляется параметром римановой метрики. Если мы приведем индуцированную метрику на поверхности к виду, указанному в теореме 3.9 ,
\[
d s^{2}=d \theta^{2}+\tilde{f}(\theta) d \varphi^{2},
\]

то функции $f$ и $\tilde{f}$ будут, вообще говоря, различны. Нам нужно доказать, что молекулы, отвечающие функциям $f$ и $\widetilde{f}$, совпадают. Однако легко видеть, что две функции $f(x)$ и $\widetilde{f}(\theta)$ связаны монотонной заменой параметра. Более точно, имеет место соотношение: $\tilde{f}(\theta(x))=f(x)$, где $\theta(x)$ – натуральный параметр на кривой, являющейся графиком функции $f(x)$. Отсюда следует, что молекулы совпадают. Следствие доказано.

Выше мы говорили, что не всякая метрика на сфере с линейно интегрируемым геодезическим потоком реализуется как индуцированная метрика на подходящей поверхности вращения (сфере) в $\mathbb{R}^{3}$. Тем не менее, справедливо следующее интересное утверждение.
Следствие. Пусть $d s^{2}$ – гладкая метрика на двумерной сфере с линейно интегрируемым геодезическим потоком. Тогда существует некоторая поверхность вращения в $\mathbb{R}^{3}$, геодезический поток на которой лиувиллево эквивалентен потоку исходной метрики $\mathrm{ds}^{2}$. Доказательство.
Рассмотрим метрику $d s^{2}=d \tau^{2}+f(\tau) d \varphi^{2}$, линейно интегрируемую на сфере. Построим в $\mathbb{R}^{3}$ поверхность вращения, взяв в качестве ее образующей плоскую кривую, задаваемую графиком функции $f(\tau)$. При этом следует, конечно, сгладить функцию $f(\tau)$ в полюсах сферы, т.е. в концах отрезка $\left[0, \tau_{0}\right]$. См. рис. 3.40. Дело в том, что график функции $f(\tau)$ касался оси $\tau$ в концах отрезка, что приводит к появлению двух особых точек у поверхности вращения. Однако эту неприятность легко устранить, как показано на рис.3.40. Поскольку бифуркации слоения Лиувилля происходят вдали от концов отрезка, такая операция сглаживания порождает метрику, поток которой лиувиллево эквивалентен исходной. Лиувиллева эквивалентность следует из предыдущего следствия. Следствие доказано.