Конкретные примеры интегрируемых гамильтоновых систем показывают, что при изменении значения гамильтониана топологическая структура системы на изоэнергетической поверхности $Q_{h}$ может меняться. Это изменение связано с появлением, видоизменением атомов и происходит «скачком» на уровне энергии, который может и не быть критическим, а содержать, например, вырожденную окружность. Учитывая топологическую устойчивость невырожденных окружностей, мы приходим к выводу, что несмотря на то, что на отдельной изоэнергетической поверхности малым возмущением системы (при «хороших» условиях)
можно исключить все вырожденные особенности, их нельзя убрать со всего симплектического многообразия.

Вопрос об изучении неботтовских особенностей был поднят А. Т. Фоменко и С.В.Матвеевым в $[10]$, где было дано определение ручного интеграла и ручных особенностей. Основной результат, полученный для ручных систем, заключался в том, что класс изоэнергетических многообразий интегрируемых гамильтоновых систем не расширяется при замене боттовских интегралов на более широкий класс ручных интегралов. Вопрос о вырожденных окружностях, по-видимому, впервые в явном виде затрагивался в [1] А.В. Болсиновым, а в [9] 0. Е. Орел была получена топологическая классификация систем в окрестности минимаксной вырожденной окружности.

Мы же поставим этот вопрос несколько иначе. Мы будем изучать топологически устойчивые вырожденные окружности, которые не исчезают при малом возмущении гамильтониана и интеграла, и такие, что топология лиувиллева слоения системы в окрестности окружностей не меняется при возмущении. В [8] Л.М.Лерман и Я.Л. Уманский предъявили один тип топологически устойчивой вырожденной окружности. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, изучим топологию систем в их окрестности, докажем их топологическую устойчивость и при дополнительном условии покажем, что остальные вырожденные особенности устранимы.

Вырожденные окружности общего вида тесным образом связаны с семействами общего положения эквивариантных функций от двух переменных, где инвариантность естественным образом возникает в связи с приведением первых членов системы к нормальной форме Биркгофа.

В качестве приложения полученных результатов, а также результатов об устойчивости боттовских особенностей, мы сформулируем теорему об устойчивости топологической структуры слоения Лиувилля на симплектическом многообразии. Напомним, что до этого формулировалась теорема об устойчивости структуры слоения лишь на изоэнергетическом подмногообразии. Чтобы изучать топологическую устойчивость в целом, нам потребуется определение лиувиллевой эквивалентности на многообразиях класса, более широкого, чем класс изоэнергетических подмногообразий.
Определение 2.5. Пусть $v_{i}=\operatorname{sgrad} H_{i}$ – гамильтоновы векторные поля, заданные на симплектических многообразиях $M_{i}^{4}, i=1,2$. Допустим, что эти векторные поля имеют независимые первые интегралы $F_{i}$. Мы будем говорить, что указанные системы лиувиллево эквивалентны на инвариантных подмножествах $B_{i} \subset M_{i}^{4}$, если
1) существует гомеоморфизм $g: B_{1} \rightarrow B_{2}$;
2) гомеоморфизм $g$ переводит каждую связную компоненту множества совместного уровня $H_{1}$ и $F_{1}$ в связную компоненту множества совместного уровня функций $H_{2}, F_{2}$.
Если в качестве множеств $B_{i}$ выступают изоэнергетические подмногообразия, то определение 2.5 превращается в классическое определение лиувиллевой эквивалентности на изоэнергетических подмногообразиях. Мы же будем использовать лиувиллеву эквивалентность на подмножествах, которые значительно «толще» изоэнергетических.