1.1.1. Построение отображения момента

Пусть $v=\operatorname{sgrad} H$ — интегрируемая гамильтонова система на гладком связном многообразии $M^{4}$. Будем считать, что симплектическое многообразие $M^{4}$ описано некоторым эффективным образом, а гамильтониан $H$ задан явной формулой в некоторой системе координат на $M^{4}$. Будем считать далее, что второй интеграл $f$ тоже задан явной аналитической формулой. Здесь следует напомнить, что $f$ определяется неоднозначно и может быть заменен, например, любой другой функцией от $f$ и от $H$. Напомним, что в нерезонансном и устойчивом случае теория классификации интегрируемых систем не зависит от конкретного выбора $f$. Молекулы, получающиеся для разных боттовских интегралов $f$ и $f^{\prime}$, будут изоморфны. Этим обстоятельством можно пользоваться, выбирая по возможности более простой интеграл $f$.

Рекомендация: из нескольких возможных форм интеграла $f$ следует выбирать «оптимальную», например, следует брать такую функцию $f$, у которой множество критических точек меньше. Опыт исследования реальных интегрируемых задач физики (см. ниже) показывает, что иногда для «улучшения интеграла» бывает полезно извлечь из него корень.

Выбрав интеграл $f$, следует далее построить отображение момента $\mathcal{F}$ : $M^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, т. е. $\mathcal{F}(x)=(H(x), f(x))$. При этом $H$ и $f$ следует рассматривать как декартовы координаты на евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}$. В большинстве реальных задач образ многообразия $M$ — это замкнутое подмножество $\mathcal{F}(M)$ на плоскости.
1.1.2. Построение бифуркационной диаграммы

Рассмотрим множество $K$ критических точек отображения момента $\mathcal{F}$ на $M^{4}$. Напомним, что
\[
K=\left\{x \in M^{4}: \operatorname{rank} d \mathcal{F}(x)<2\right\} .
\]

Это множество замкнуто в $M$, и его образ $\mathcal{F}(K)$ в $\mathbb{R}^{2}$ обозначается через $\Sigma$ и называется бифуркационной диаграммой отображения момента. Это множество замкнуто и в реальных задачах физики обычно состоит из гладких дуг, которые могут пересекаться и касаться друг друга, а также может содержать изолированные точки. Полезно отметить, что если образ $\mathcal{F}(M)$ замкнут, то его граница обязательно является частью бифуркационной диаграммы.

Построение $\Sigma$ сводится к описанию того множества, на котором векторы $\operatorname{grad} H$ и $\operatorname{grad} f$ зависимы. Эта задача — чисто аналитическая, при условии, что функции $H$ и $f$ заданы формулами. Она может оказаться достаточно сложной, однако иногда здесь можно использовать компьютер. Во всяком случае, для многих серий интегрируемых систем, которые мы вскоре опишем, эта задача была успешно и эффективно решена.

Множество $\Sigma$ разбивает образ отображения момента $\mathcal{F}(M)$ на открытые связные двумерные множества, которые мы назовем камерами. Обычно их — конечное число. Некоторые из них ограничены, другие уходят на бесконечность (рис. 1.1). Граница камеры состоит из некоторого числа гладких дуг из $\Sigma$, которые мы назовем стенками камеры, и из какого-то числа особых точек $\Sigma$. В этих особых точках сходятся разные стенки. Стенки бывают двух типов: перегородки и внешние. Стенка называется перегород-

Рис. 1.1 кой, если она отделяет друг от друга две камеры. Стенка считается внешней, если она лежит на границе образа отображения момента $\mathcal{F}(M)$. См. рис.1.1.
1.1.3. Проверка боттовости системы

Следующим шагом должна быть проверка боттовости исследуемой системы, т.е. проверка невырожденности особенностей отображения момента для каждого участка бифуркационной диаграммы. Возьмем для этого какую-либо гладкую дугу $\gamma$ из $\Sigma$. Ей отвечает в $M^{4}$ некоторое подмножество $K(\gamma)$ множества $K$ критических точек. Следует проверить, являются ли точки из $K(\gamma)$ невырожденными в смысле определения 1.21 главы 1 тома I. В подавляющем большинстве случаев это условие действительно выполняется, и множество $K(\gamma)$ является семейством одномерных невырожденных орбит действия группы $\mathbb{R}^{2}(H, f)$.

То же самое можно переформулировать на языке 3 -многообразия $Q_{h}^{3}$, являющегося прообразом в $M^{4}$ вертикального отрезка $H=h$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ при отображении момента $\mathcal{F}$ (рис.1.1). Пусть прямая $H=h$ пересекает трансверсально гладкие регулярные дуги диаграммы $\Sigma$ и не проходит через особые точки $\Sigma$. Предположим, что соответствующие критические точки в $M^{4}$ невырождены. Тогда это означает, что ограничение интеграла $f$ на $Q_{h}^{3}$ является боттовской функцией. Меняя величину $h$, т.е. смещая прямую $H=h$ влево и вправо, мы получаем множество всех изоэнергетических 3-поверхностей данной интегрируемой системы. При этом, до тех пор, пока мы не проходим через особые точки бифуркационной диаграммы, и пока мы сохраняем трансверсальность пересечения прямой $H=h$ с $\Sigma$, структура слоения Лиувилля сохраняется, т.е. его послойный тип не меняется. С другой стороны, этот подход позволяет указать те особые, т.е. бифуркационные значения энергии, при которых происходит перестройка топологического типа лиувиллева слоения на $Q_{h}^{3}$ или даже изменение топологии самой изоэнергетической 3 -поверхности $Q_{h}^{3}$.

Конкретные примеры, показывающие, как реально нужно проверять боттовость конкретных систем математической физики, приведены ниже. В главе 3 установлена боттовость некоторых интегрируемых геодезических потоков, а в главе 5 — боттовость основных случаев интегрируемости в динамике твердого тела.
1.1.4. Описание атомов системы

Если точка $y=\mathcal{F}(x)$ из образа отображения момента лежит строго внутри камеры, то ее полный прообраз состоит из какого-то числа, обычно конечного, регулярных 2-торов Лиувилля в $M^{4}$. Меняя точку $y$ внутри камеры, мы заставляем эти торы изотопно смещаться внутри $M^{4}$. Поэтому для любых двух точек $y$ и $y^{\prime}$ из одной камеры число торов Лиувилля, «висящих над ними», одно и то же. Другими словами, внутри камеры никаких бифуркаций не происходит.
Рис. 1.2
Если же точка $y$ приближается к какой-либо из стенок камеры по какой-то гладкой дуге $\tau$ и в некоторый момент протыкает ее в точке $c$ (рис. 1.2), переходя в соседнюю камеру, то при этом возникает какая-то бифуркация некоторых торов Лиувилля, «висящих над» точкой $y$. Будем всегда считать, что дуга $\tau$ протыкает стенку камеры трансверсально. Поскольку мы уже проверили невырожденность системы на стенке камеры, то эта бифуркация задается некоторым атомом или несколькими атомами.

Настоящий шаг состоит в том, чтобы определить типы возникающих атомов. В общем случае эта задача, конечно, достаточно нетривиальна. Но при ее решении оказывается очень полезным список атомов, приведенный нами в томе I. Проиллюстрируем этот метод на примере.
Пусть до момента бифуркации и пос-
Рис. 1.3 ле него имеется всего лишь один тор Лиувилля. Пусть далее точка $c$, т.е. точка встречи $\tau$ со стенкой камеры, соответствует ровно одной критической окружности. Тогда возникающий атом обязан быть атомом $A^{*}$. Это сразу вытекает из таблицы атомов, поскольку других атомов с таким свойством попросту нет.
Отсюда видно, что полезно выяснить, сколько торов Лиувилля было до момента перестройки, и сколько — после. А также, сколько критических окружностей отвечает критическому уровню $c$. Это позволяет во многих случаях, просматривая таблицу атомов, сразу отбросить большинство из них и свести задачу к анализу лишь сравнительно небольшого числа возможностей.
Приведем еще один пример. Если исследуемая камера имеет внешнюю стенку, то все атомы, ей отвечающие, обязательно имеют тип $A$. Перегородкам же могут отвечать как атомы типа $A$, так и седловые. Одна из таких возможностей показана на рис. 1.3. Здесь в одной камере — один тор Лиувилля, а в другой два. Возможны два случая: либо атом $B$, либо один тор Лиувилля пересекает стенку без бифуркации, а другой превращается в $A$.
1.1.5. Построение молекулы системы на данном уровне энергии
На предыдущем этапе мы выяснили, сколько торов Лиувилля «висит» над каждой камерой и каковы атомы, отвечающие стенкам камер. Теперь можно собрать всю эту информацию в виде единой молекулы $W$. Другими словами, нужно нарисовать все атомы, участвующие в бифуркациях (рис. 1.4), рассмотреть их концы и затем склеить их в определенном порядке, диктуемом топологией прообраза $Q_{h}^{3}$ прямой $H=h$. Эта процедура не является «механической», поскольку концы атомов можно соединять, вообще говоря, разными способами, и при этом будут получаться, вообще говоря, разные молеРис. 1.4 кулы. Нам нужно выбрать из всех вариантов лишь один — тот, который действительно реализуется в данной задаче. Это требует каких-то дополнительных усилий и соображений.
1.1.6. Вычисление меток

Для завершения построения меченой молекулы $W^{*}$ осталось подсчитать метки. Это, по-видимому, самый деликатный момент исследования. Какого-либо общего алгоритма здесь, вероятно, нет. В разных ситуациях приходится пользоваться разными соображениями и методами. Некоторые из них мы изложим в следующем параграфе. Этот шаг является последним. В результате мы получаем меченую молекулу $W^{*}$, являющуюся, как мы уже знаем, полным лиувиллевым, то есть послойным, инвариантом интегрируемой системы на данном уровне энергии. Здесь уместно еще раз подчеркнуть, что, несмотря на определенную неоднозначность в выборе интеграла $f$, полученный нами сейчас результат, т. е. молекула $W^{*}$, определен однозначно самой системой, самим интегрируемым гамильтонианом $H$.