Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.1.1. Построение отображения момента Пусть $v=\operatorname{sgrad} H$ – интегрируемая гамильтонова система на гладком связном многообразии $M^{4}$. Будем считать, что симплектическое многообразие $M^{4}$ описано некоторым эффективным образом, а гамильтониан $H$ задан явной формулой в некоторой системе координат на $M^{4}$. Будем считать далее, что второй интеграл $f$ тоже задан явной аналитической формулой. Здесь следует напомнить, что $f$ определяется неоднозначно и может быть заменен, например, любой другой функцией от $f$ и от $H$. Напомним, что в нерезонансном и устойчивом случае теория классификации интегрируемых систем не зависит от конкретного выбора $f$. Молекулы, получающиеся для разных боттовских интегралов $f$ и $f^{\prime}$, будут изоморфны. Этим обстоятельством можно пользоваться, выбирая по возможности более простой интеграл $f$. Рекомендация: из нескольких возможных форм интеграла $f$ следует выбирать «оптимальную», например, следует брать такую функцию $f$, у которой множество критических точек меньше. Опыт исследования реальных интегрируемых задач физики (см. ниже) показывает, что иногда для «улучшения интеграла» бывает полезно извлечь из него корень. Выбрав интеграл $f$, следует далее построить отображение момента $\mathcal{F}$ : $M^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, т. е. $\mathcal{F}(x)=(H(x), f(x))$. При этом $H$ и $f$ следует рассматривать как декартовы координаты на евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}$. В большинстве реальных задач образ многообразия $M$ – это замкнутое подмножество $\mathcal{F}(M)$ на плоскости. Рассмотрим множество $K$ критических точек отображения момента $\mathcal{F}$ на $M^{4}$. Напомним, что Это множество замкнуто в $M$, и его образ $\mathcal{F}(K)$ в $\mathbb{R}^{2}$ обозначается через $\Sigma$ и называется бифуркационной диаграммой отображения момента. Это множество замкнуто и в реальных задачах физики обычно состоит из гладких дуг, которые могут пересекаться и касаться друг друга, а также может содержать изолированные точки. Полезно отметить, что если образ $\mathcal{F}(M)$ замкнут, то его граница обязательно является частью бифуркационной диаграммы. Построение $\Sigma$ сводится к описанию того множества, на котором векторы $\operatorname{grad} H$ и $\operatorname{grad} f$ зависимы. Эта задача – чисто аналитическая, при условии, что функции $H$ и $f$ заданы формулами. Она может оказаться достаточно сложной, однако иногда здесь можно использовать компьютер. Во всяком случае, для многих серий интегрируемых систем, которые мы вскоре опишем, эта задача была успешно и эффективно решена. Множество $\Sigma$ разбивает образ отображения момента $\mathcal{F}(M)$ на открытые связные двумерные множества, которые мы назовем камерами. Обычно их – конечное число. Некоторые из них ограничены, другие уходят на бесконечность (рис. 1.1). Граница камеры состоит из некоторого числа гладких дуг из $\Sigma$, которые мы назовем стенками камеры, и из какого-то числа особых точек $\Sigma$. В этих особых точках сходятся разные стенки. Стенки бывают двух типов: перегородки и внешние. Стенка называется перегород- Рис. 1.1 кой, если она отделяет друг от друга две камеры. Стенка считается внешней, если она лежит на границе образа отображения момента $\mathcal{F}(M)$. См. рис.1.1. Следующим шагом должна быть проверка боттовости исследуемой системы, т.е. проверка невырожденности особенностей отображения момента для каждого участка бифуркационной диаграммы. Возьмем для этого какую-либо гладкую дугу $\gamma$ из $\Sigma$. Ей отвечает в $M^{4}$ некоторое подмножество $K(\gamma)$ множества $K$ критических точек. Следует проверить, являются ли точки из $K(\gamma)$ невырожденными в смысле определения 1.21 главы 1 тома I. В подавляющем большинстве случаев это условие действительно выполняется, и множество $K(\gamma)$ является семейством одномерных невырожденных орбит действия группы $\mathbb{R}^{2}(H, f)$. То же самое можно переформулировать на языке 3 -многообразия $Q_{h}^{3}$, являющегося прообразом в $M^{4}$ вертикального отрезка $H=h$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ при отображении момента $\mathcal{F}$ (рис.1.1). Пусть прямая $H=h$ пересекает трансверсально гладкие регулярные дуги диаграммы $\Sigma$ и не проходит через особые точки $\Sigma$. Предположим, что соответствующие критические точки в $M^{4}$ невырождены. Тогда это означает, что ограничение интеграла $f$ на $Q_{h}^{3}$ является боттовской функцией. Меняя величину $h$, т.е. смещая прямую $H=h$ влево и вправо, мы получаем множество всех изоэнергетических 3-поверхностей данной интегрируемой системы. При этом, до тех пор, пока мы не проходим через особые точки бифуркационной диаграммы, и пока мы сохраняем трансверсальность пересечения прямой $H=h$ с $\Sigma$, структура слоения Лиувилля сохраняется, т.е. его послойный тип не меняется. С другой стороны, этот подход позволяет указать те особые, т.е. бифуркационные значения энергии, при которых происходит перестройка топологического типа лиувиллева слоения на $Q_{h}^{3}$ или даже изменение топологии самой изоэнергетической 3 -поверхности $Q_{h}^{3}$. Конкретные примеры, показывающие, как реально нужно проверять боттовость конкретных систем математической физики, приведены ниже. В главе 3 установлена боттовость некоторых интегрируемых геодезических потоков, а в главе 5 – боттовость основных случаев интегрируемости в динамике твердого тела. Если точка $y=\mathcal{F}(x)$ из образа отображения момента лежит строго внутри камеры, то ее полный прообраз состоит из какого-то числа, обычно конечного, регулярных 2-торов Лиувилля в $M^{4}$. Меняя точку $y$ внутри камеры, мы заставляем эти торы изотопно смещаться внутри $M^{4}$. Поэтому для любых двух точек $y$ и $y^{\prime}$ из одной камеры число торов Лиувилля, «висящих над ними», одно и то же. Другими словами, внутри камеры никаких бифуркаций не происходит. Настоящий шаг состоит в том, чтобы определить типы возникающих атомов. В общем случае эта задача, конечно, достаточно нетривиальна. Но при ее решении оказывается очень полезным список атомов, приведенный нами в томе I. Проиллюстрируем этот метод на примере. Для завершения построения меченой молекулы $W^{*}$ осталось подсчитать метки. Это, по-видимому, самый деликатный момент исследования. Какого-либо общего алгоритма здесь, вероятно, нет. В разных ситуациях приходится пользоваться разными соображениями и методами. Некоторые из них мы изложим в следующем параграфе. Этот шаг является последним. В результате мы получаем меченую молекулу $W^{*}$, являющуюся, как мы уже знаем, полным лиувиллевым, то есть послойным, инвариантом интегрируемой системы на данном уровне энергии. Здесь уместно еще раз подчеркнуть, что, несмотря на определенную неоднозначность в выборе интеграла $f$, полученный нами сейчас результат, т. е. молекула $W^{*}$, определен однозначно самой системой, самим интегрируемым гамильтонианом $H$.
|
1 |
Оглавление
|