5.2.1. Топология 3-поверхности и бифуркационная диаграмма
В этом параграфе мы опишем топологический тип изоэнергетических 3 -поверхностей для интегрируемых случаев, перечисленных в параграфе 1 .

Изоэнергетическая 3 -поверхность $Q^{3}$ – это совместная поверхность уровня функций $f_{1}, f_{2}, H$, заданных на евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{6}(S, R)$, где
\[
f_{1}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}, \quad f_{2}=S_{1} R_{1}+S_{2} R_{2}+S_{3} R_{3},
\]

а $H$ – это гамильтониан. Поскольку мы считаем, что $f_{1}=1$, то различные 3 поверхности $Q^{3}$ задаются двумя параметрами $g$ и $h$, т. е. значениями функций $f_{2}$ и $H$. Описание топологического типа $Q^{3}$ будет дано нами в следующем виде. Мы рассмотрим бифуркационную диаграмму для пары интегралов $f_{2}$ и $H$. В результате на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ появятся кривые, разбивающие плоскость на области таким образом, что для всех точек $(g, h)$ из одной области топологический тип соответствующих изоэнергетических поверхностей
\[
Q^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}
\]

будет одним и тем же.
Подчеркнем, что кривые этой бифуркационной диаграммы никак не связаны с интегрируемостью системы и могут быть построены для произвольных гамильтонианов из описанного выше класса.

Исследование механических систем при помощи бифуркационных диаграмм отображения $f_{2} \times H$ было начато С. Смейлом [178]. Итак, рассмотрим отображение
\[
F=f_{2} \times H: S^{2} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(g, h),
\]

заданное обычной формулой $F(P)=\left(f_{2}(P), H(P)\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h)$, где точка $P$ принадлежит $S^{2} \times \mathbb{R}^{3}$. Отметим, что для функций $\left.f_{2}\right|_{S^{2} \times R^{3}}$ и $\left.H\right|_{S^{2} \times R^{3}}$ мы сохраняем прежние обозначения $f_{2}$ и $H$. Образом множества критических точек отображения $F$ является бифуркационная диаграмма $\Sigma$ в плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$. Полный прообраз любой точки $(g, h)
otin \Sigma$ является неособой изоэнергетической 3 -поверхностью $Q^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$, что следует из теоремы о неявных функциях. Для гамильтонианов вида (1.9) (а только такие мы и будем рассматривать в настоящей главе) отображение $F$ будет собственным, то есть прообразом любого компакта является компакт. Отсюда следует, что для всех точек $(g, h)$, принадлежащих одной связной компоненте множества $\mathbb{R}^{2}(g, h) \backslash \Sigma$, топологический тип 3 -многообразия $Q^{3}$ будет одним и тем же.

Как определить тип изоэнергетической 3 -поверхности $Q$ для каждой компоненты связности $\mathbb{R}^{2}(g, h) \backslash \Sigma$ ? На этот вопрос помогает дать ответ следующее утверждение. См. работу С. Смейла [178].
Предложение 5.2. Пусть $H=\langle C S, S\rangle+\langle W, S\rangle+V$, где $C$ – постоянная симметричная положительно определенная матрица размера $3 \times 3, W(R)$ – произвольная вектор-функция, и $V(R)$ – произвольная гладкая функция. Рассмотрим проекцию $\pi\left(Q^{3}\right)$ изоэнергетической 3-поверхности $Q^{3}$ на двумерную сферу Пуассона, задаваемую уравнением $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1$. Здесь $\pi(R, S)=R$. Пусть $\pi\left(Q^{3}\right)$ гомеоморфна сфере с т дырками. Тогда:
1) если $m=0$, то $Q^{3}$ диффеоморфна $\mathbb{R} P^{3}$,
2) если $m=1$, то $Q^{3}$ диффеоморфна $S^{3}$,
3) если $m>1$, то $Q^{3}$ диффеоморфна связной сумме \# $\left.S^{1} \times S^{2}\right)$ в количестве $m-1$ экземпляров.

Доказательство.
Рассмотрим проекцию многообразия $Q^{3}$ на 2-сферу Пуассона $S^{2}$. Возьмем произвольную точку $R=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$ из образа $\pi\left(Q^{3}\right)$ и посмотрим, как устроен слой над нею. Этот слой является пересечением 2 -плоскости $R_{1} S_{1}+R_{2} S_{2}+R_{3} S_{3}=g$ с 2 -эллипсоидом $H=\langle C S, S\rangle+\langle W, S\rangle+V=$ const. Следовательно, он гомеоморфен либо окружности, либо точке, либо пуст. Если точка $R$ лежит внутри образа $\pi\left(Q^{3}\right)$, то легко видеть, что слой гомеоморфен окружности. Если точка $R$ лежит на границе образа $\pi\left(Q^{3}\right)$, то слой является точкой. Если же точка $R$ расположена вне образа $\pi\left(Q^{3}\right)$, то слой пуст. Следовательно, топологически 3 -многообразие $Q^{3}$ может быть описано следующим образом. Если проекция $\pi\left(Q^{3}\right)$ совпадает со всей сферой Пуассона, то $Q^{3}$ представляет собой $S^{1}$-расслоение над сферой, топологически эквивалентное, как нетрудно увидеть, расслоению единичных касательных векторов. Следовательно, $Q^{3}=\mathbb{R} P^{3}$.

Если проекция $\pi\left(Q^{3}\right)$ не совпадает со всей сферой, т.е. имеет дырки, то $Q^{3}$ можно можно получить следующим образом. Сначала рассмотрим прямое произведение $\pi\left(Q^{3}\right) \times S^{1}$, а затем над каждой граничной точкой проекции $\pi\left(Q^{3}\right)$ сожмем слой $S^{1}$ в точку. Трехмерные многообразия, полученные таким способом, мы уже встречали ранее в главе 4 первого тома, и их топология была описана в предложении 4.5. Последние два утверждения фактически являются переформулировкой этого предложения. Предложение 5.2 доказано.

Таким образом, построив бифуркационную диаграмму отображения $F$ и указав топологический тип $Q^{3}$ для каждой из областей, на которые $\Sigma$ разбивает плоскость $\mathbb{R}^{2}(g, h)$, мы получаем полное описание всех топологических типов неособых изоэнергетических 3 -поверхностей исследуемой гамильтоновой системы.

В работах С.Б.Каток [78], Я. В. Татаринова [191], [192] по изложенной выше схеме исследована топология 3 -поверхностей $Q^{3}$ для задач о движении твердого тела с закрепленной точкой. В этих работах построены бифуркационные диаграммы отображения $f_{2} \times H$ для гамильтонианов достаточно общего вида, вообще говоря, неинтегрируемых. В частности, рассмотрены интегрируемые случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Приведем здесь подробное описание этих бифуркационных диаграмм для интегрируемых случаев.

Чтобы сделать это, нам потребуется некоторый общий прием, который мы сейчас опишем. Напомним некоторые обозначения. Систему уравнений, описывающих движение тяжелого твердого тела (или, в более общем случае, гиростата) с неподвижной точкой, можно записать в виде уравнений Эйлера на коалгебре Ли $e(3)^{*}$, где введены линейные координаты $\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}, R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$. Относительно них скобка Пуассона имеет вид
\[
\left\{S_{i}, S_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} S_{k}, \quad\left\{S_{i}, R_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} R_{k}, \quad\left\{R_{i}, R_{j}\right\}=0 .
\]

Ядро этой скобки порождается функциями $f_{1}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}$ (геометрический интеграл) и $f_{2}=S_{1} R_{1}+S_{2} R_{2}+S_{3} R_{3}$ (интеграл площадей). Все регулярные совместные поверхности уровня этих функций вида $\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}$

диффеоморфны касательному расслоению к двумерной сфере. Гамильтониан этой задачи имеет следующий вид:
\[
H=\frac{\left(S_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\left(S_{2}+\lambda_{2}\right)^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\left(S_{3}+\lambda_{3}\right)^{2}}{2 A_{3}}+U\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right),
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ – главные моменты инерции тела, $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ – гиростатический момент, $U\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$ – потенциал, который для рассматриваемой задачи имеет вид $a_{1} R_{1}+a_{2} R_{2}+a_{3} R_{3}$. Итак, требуется описать топологию изоэнергетических поверхностей $Q_{h, g}^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$ для различных констант $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, g, h$ и функций $U\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$.

Введем следующие обозначения $S=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right), R=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right), \lambda=$ $=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), A=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$, где $S, R, \lambda, a-$ трехмерные векторы, а $A$ – диагональная матрица. Будем считать, что все эти векторы из одного и того же евклидова пространства $\mathbb{R}^{3}$, в котором задано евклидово скалярное произведение $\langle *, *\rangle$. Тогда $f_{1}=\langle R, R\rangle, f_{2}=\langle S, R\rangle$, $H=\frac{1}{2}\left\langle A^{-1}(S+\lambda), S+\lambda\right\rangle+U(R)$.

Рассмотрим проекцию $\pi:(S, R) \rightarrow R$. Поскольку $f_{1}(R)=1$, то образ 3 -многообразия $Q_{h, g}^{3}$ при этой проекции есть некоторое подмножество сферы Пуассона $S^{2}=\left\{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$. Очевидно, что точка $R$ сферы Пуассона $S^{2}$ принадлежит образу $\pi\left(Q_{h, g}^{3}\right)$ тогда и только тогда, когда существует решение системы
\[
\langle S, R\rangle=g, \quad\left\langle A^{-1}(S+\lambda), S+\lambda\right\rangle=2(h-U(R)),
\]

где неизвестными являются $\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right)=S$. Первое уравнение задает плоскость, а второе – эллипсоид в пространстве $\mathbb{R}^{3}\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right)$, если $h-U(R)>0$. Легко проверяется, что они пересекаются тогда и только тогда, когда
\[
\frac{(g+\langle\lambda, R\rangle)^{2}}{2\langle A R, R\rangle}+U(R) \geqslant h .
\]

При этом пересечение является окружностью в случае строгого неравенства или точкой в случае равенства.
Назовем приведенным потенциалом следующую функцию:
\[
\varphi_{g}(R)=\frac{(g+\langle\lambda, R\rangle)^{2}}{2\langle A R, R\rangle}+U(R),
\]

заданную на сфере Пуассона.
Оказывается, топология изоэнергетических поверхностей $Q_{h, g}^{3}$ и их перестройки при изменении значения энергии $h$ полностью определяются функцией $\varphi_{g}(R)$. А именно, комбинируя предложение 5.2 с приведенными выше соображениями, получаем следующую теорему.
Теорема 5.1. Если значение $h$ приведенного потенииала $\varphi_{g}(R)$ не является критическим значением, то изоэнергетическая 3 -поверхность $Q_{h, g}^{3}$ является гладким трехмерным многообразием. $B$ этом случае множество $\left\{\varphi_{g}(R) \leqslant h\right\}$ на сфере Пуассона представляет собой объединение непересекающихся двумерных подмногообразий с краем $P_{i_{1}}, \ldots, P_{i_{m}}$, где $P_{k}-2$-диск с $k$ дырками, а 3-многообразие $Q_{h, g}^{3}$ гомеоморфно несвязному объединению трехмерных многообразий $N_{i_{1}}, \ldots, N_{i_{m}}$, где $N_{0}$ – трехмерная сфера, а $N_{k}$, при $k \geqslant 1$, – это связная сумма $k$ экземпляров $S^{1} \times S^{2}$. Если $h$ меньше минимального значения приведенного потенциала $\varphi_{g}(R)$, то $Q_{g, h}^{3}$ пусто. Если же $h$ больше максимального значения функции $\varphi_{g}(R)$, то $Q_{g, h}^{3}=\mathbb{R} P^{3}$, т. е. проективное пространство.

Используя эту теорему, можно предложить следующий алгоритм описания топологического типа изоэнергетических 3 -поверхностей $Q_{g, h}^{3}$.

Шаг 1. Строим граф Риба функции $\varphi_{g}(R)$. Если значение $h$ меньше минимума или больше максимума функции $\varphi_{g}(R)$, то 3 -многообразие $Q_{h, g}^{3}$ либо пусто, либо гомеоморфно $\mathbb{R} P^{3}$ соответственно.

Шаг 2. Пусть $h$ принадлежит множеству значений функции $\varphi_{g}(R)$. Разрежем граф Риба по уровню $h$ и рассмотрим его нижнюю часть. Количество связных компонент в нижней части совпадает с количеством связных компонент 3 -поверхности $Q_{g, h}^{3}$. При этом, если связная компонента графа имеет $k$ граничных точек, т.е. следов разреза, то соответствующая связная компонента 3 -поверхности $Q_{g, h}^{3}$ гомеоморфна связной сумме $k-1$ экземпляров $S^{1} \times S^{2}$ при $k \geqslant 1$, или же является 3 -сферой $S^{3}$ при $k=1$.
Опишем теперь метод построения бифуркационных диаграмм.
Пусть параметры гамильтониана фиксированы. Тогда топологический тип изоэнергетической 3 -поверхности $Q_{g, h}^{3}$ определяется константами $g$ и $h$. Эту зависимость удобно изображать при помощи бифуркационной диаграммы, т. е. кривых на плоскости с координатами $(g, h)$, точкам которых соответствуют особые изоэнергетические поверхности. Если такие кривые построены, то они разбивают плоскость $(g, h$ ) таким образом, что точкам из одной области соответствуют гомеоморфные изоэнергетические 3 -поверхности.

Согласно теореме 5.1, для каждой точки ( $g_{0}, h_{0}$ ) такой кривой значение $h_{0}$ является критическим значением приведенного потенциала $\varphi_{g}(R)$. Разберем теперь отдельные случаи интегрируемости.
5.2.2. Случай Эйлера

Здесь $\lambda=0$, и $U(R)$ тождественно равно нулю. Приведенный потенциал имеет здесь вид:
\[
\varphi_{g}(R)=\frac{g^{2}}{2\langle A R, R\rangle} .
\]

При $g
eq 0$ критические точки этой функции на сфере Пуассона такие же, как и у квадрики $\langle A R, R\rangle$, то есть те точки, где соответствующий эллипсоид касается сферы $\langle R, R\rangle=1$. При каждом $g
eq 0$ имеется шесть критических точек:
\[
R=( \pm 1,0,0),(0, \pm 1,0),(0,0, \pm 1) .
\]

Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 205
Им соответствуют три критических значения: $h_{i}=\frac{g^{2}}{2 A_{i}}$. При $g=0$ приведенный потенциал имеет единственное критическое значение, равное нулю. Таким образом, бифуркационная диаграмма в случае Эйлера состоит из трех парабол (рис. 5.1).

Топологический тип изоэнергетических 3 -поверхностей устанавливается при помощи графов Риба, которые изображены на рис. 5.2. В случае, когда

Рис. 5.1 среди главных моментов инерции есть одинаковые, некоторые вершины графа Риба стягиваются в одну. На диаграмме соответствующие параболы также сливаются в одну. Итак, подведем итоги.
Рис. 5.2
Бифуркационная диаграмма отображения $f_{2} \times H$ для гамильтониана случая Эйлера
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}
\]

имеет простой вид, показанный на рис.5.3. Она состоит из трех парабол $h=\frac{g^{2}}{2 A_{i}}, i=1,2,3$, разбивающих плоскость $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ на 6 областей. В каждой из этих областей на рис. 5.3 указан топологический тип 3 -многообразия $Q^{3}$. Знак $\varnothing$ означает, что для всех точек $(g, h)$ из данной области прообраз при отображеРис. 5.3 нии $f_{2} \times H$ пуст, т.е. $\left(f_{2} \times H\right)^{-1}(g, h)=\varnothing$. На рис. 5.3 изображен случай, когда параметры $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ твердого тела связаны соотношением $0<A_{3}<A_{2}<A_{1}$. Если же $0<A_{3}=A_{2}<A_{1}$, то две верхние параболы сливаются в одну. Если же $0<A_{3}<A_{2}=A_{1}$, то сливаются две нижние параболы. При $A_{1}=A_{2}=A_{3}$ гамильтониан $H$ случая Эйлера становится резонансным, поскольку для него появляются два функционально независимых интеграла, например, функции $S_{1}$ и $S_{2}$. Такие, т. е. резонансные, случаи мы пока рассматривать не будем.
5.2.3. Случай Лагранжа
Для классического гамильтониана случая Лагранжа
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\frac{S_{3}^{2}}{\beta}\right)+R_{3},
\]

где $\beta>0$, бифуркационные диаграммы качественно отличаются в следующих случаях:
a) $0<\beta<1$,
b) $\beta=1$,
c) $1<\beta \leqslant \frac{4}{3}$,
d) $\beta>\frac{4}{3}$.
Все они изображены на рис. 5.4. Все бифуркационные диаграммы состоят из двух парабол $h=\frac{g^{2}}{2 \beta} \pm 1$ и кривой, при $\beta
eq 1$, которую можно задать параметрически следующим образом:
\[
g=t+\frac{1}{(\beta-1) t^{3}}, \quad h=\frac{t^{2}}{2}+\frac{3}{2(\beta-1) t^{2}}, \quad t^{2} \geqslant \frac{1}{|\beta-1|} .
\]

Эта кривая касается одной из парабол в точках
\[
\left( \pm \frac{\beta}{\sqrt{|1-\beta|}}, \frac{3 \beta-2}{2|1-\beta|}\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h)
\]

и при $\beta>\frac{4}{3}$ имеет две точки возврата с координатами
\[
\left( \pm \frac{4}{3} \sqrt[4]{\frac{3}{\beta-1}}, \sqrt{\frac{3}{\beta-1}}\right) .
\]

Топологический тип $Q^{3}$ указан на рис. 5.4. Здесь $S^{3} \cup\left(S^{1} \times S^{2}\right)$ обозначает несвязное объединение $S^{3}$ и $S^{1} \times S^{2}$.
Теперь мы подробно опишем, как получаются эти результаты.
Рассмотрим сначала гамильтониан более общего вида, чем для классического случая Лагранжа. Он задается следующими параметрами:
\[
A_{1}=A_{2}=B, \quad \lambda_{1}=\lambda_{2}=0, \quad U(R)=U\left(R_{3}\right) .
\]

Рис. 5.4
Приведенный потенциал имеет вид
\[
\begin{aligned}
\varphi_{g}(R) & =\frac{\left(g+\lambda_{3} R_{3}\right)^{2}}{2\left(B R_{1}^{2}+B R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right)}+U\left(R_{3}\right)= \\
& =\frac{\left(g+\lambda_{3} R_{3}\right)^{2}}{2\left(B+\left(A_{3}-B\right) R_{3}^{2}\right)}+U\left(R_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Он зависит только от координаты $R_{3}$. Поэтому для любых значений $g$ и $h$ область, выделяемая на сфере Пуассона условием $\varphi_{g}(R) \leqslant h$, состоит из некоторого числа колец и, возможно, одного или двух дисков. Следовательно, изоэнергетические 3 -поверхности $Q_{g, h}^{3}$ гомеоморфны несвязному объединению некоторого количества многообразий $S^{1} \times S^{2}$ и, возможно, одной или двух трехмерных сфер. Рассмотрим теперь подробнее обычный случай Лагранжа, т.е. с линейным относительно координаты $R_{3}$ потенциалом. Без ограничения общности можно считать, что параметры гамильтониана имеют следующий вид:
\[
A_{1}=A_{2}=1, \quad A_{3}=\beta, \quad \lambda=(0,0,0), \quad U(R)=R_{3} .
\]

Тогда приведенный потенциал запишется так:
\[
\varphi_{g}(R)=f\left(R_{3}\right)=\frac{g^{2}}{2\left(1+(\beta-1) R_{3}^{2}\right)}+R_{3} .
\]

Рис. 5.5
Пусть $0<\beta<1$, т.е. эллипсоид инерции вытянут. Тогда, как легко проверить, $f(-1)=\frac{g^{2}}{2 \beta}-1, f(1)=\frac{g^{2}}{2 \beta}+1$ и $f^{\prime \prime}\left(R_{3}\right)>0$ на всем отрезке $[-1,1]$. Поэтому с качественной точки зрения для вида графика возможны два варианта, показанные на рис. 5.5a и рис. 5.5b. Выбор того или иного варианта определяется знаком производной $f^{\prime}(-1)$. Вычисляя производную, получаем
\[
f^{\prime}(-1)=1-\frac{g^{2}(1-\beta)}{\beta^{2}} .
\]

Таким образом, случаи (a) и (b) получаются соответственно при $g^{2}<\frac{\beta^{2}}{1-\beta}$ и при $g^{2}>\frac{\beta^{2}}{1-\beta}$. Графы Риба изображены на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Рис. 5.7
В критических точках, соответствующих вершинам степени 1 графа Риба, функция $f$ принимает значения $\pm 1+\frac{g^{2}}{2 \beta}$. Минимальное значение в случае (b) можно вычислить следующим образом. Равенство нулю производной
\[
f^{\prime}\left(R_{3}\right)=1-\frac{g^{2}(\beta-1) R_{3}}{\left(1+(\beta-1) R_{3}^{2}\right)^{2}}
\]

возможно лишь при $(\beta-1) R_{3}>0$. Обозначим $(\beta-1) R_{3}$ через $t^{-2}$. Тогда $|t|^{2} \geqslant(1-\beta)^{-1}$, поскольку $\left|R_{3}\right| \leqslant 1$. Переписывая условие $f^{\prime}\left(R_{3}\right)=0$ через $t$, а также подставляя $(\beta-1)^{-1} t^{-2}$ вместо $R_{3}$, получаем
\[
g=t+\frac{1}{t^{3}(\beta-1)}, \quad h=\frac{t^{2}}{2}+\frac{3}{2(\beta-1) t^{2}}, \quad|t| \geqslant \frac{1}{\sqrt{|1-\beta|}} .
\]

Рассматривая эти уравнения как параметрическое задание кривой на плоскости $(g, h)$, получаем, что бифуркационная диаграмма в рассматриваемом случае состоит из данной кривой и двух парабол $h= \pm 1+\frac{g^{2}}{2 \beta}$. Она изображена на рис. 5.7.
Рис. 5.8
В случае $\beta=1$ приведенный потенциал линеен: $f\left(R_{3}\right)=R_{3}+\frac{g^{2}}{2}$. Бифуркационная диаграмма состоит только из двух парабол $h= \pm 1+g^{2}$.

Пусть теперь $\beta>1$, то есть эллипсоид инерции сплюснут. Возможны четыре типа графиков функции $f\left(R_{3}\right)$. См. рис.5.8. Соответствующие графы Риба приведены на рис. 5.9.
Рис. 5.9
Какой из вариантов реализуется для различных значений $\beta$ и $g$, определяется количеством нулей производной $f^{\prime}\left(R_{3}\right)$ на интервале $(-1,1)$ или, что то же самое, количеством нулей полинома $P(x)=\left(1+(\beta-1) x^{2}\right)^{2}-g^{2}(\beta-1) x$ на интервале $(-1,1)$ и значениями функции $f$ в этих нулях.

Исследуя все возможности, получаем ответ. Бифуркационная диаграмма состоит из двух парабол и кривой, задаваемых теми же уравнениями, что и в случае $\beta<1$. Она имеет различный вид при $1<\beta \leqslant \frac{4}{3}$ и при $\beta>\frac{4}{3}$. См. соответственно рис. $5.10 \mathrm{a}$ и рис. $5.10 \mathrm{~b}$.

Рис. 5.10
Точки касания кривой с параболой, как и в случае $\beta<1$, имеют на плоскости $(g, h)$ координаты
\[
\left( \pm \frac{\beta}{\sqrt{|1-\beta|}}, \frac{3 \beta-2}{2|1-\beta|}\right) .
\]

В случае $\beta>\frac{4}{3}$ имеются две точки возврата, координаты которых таковы:
\[
\left( \pm \frac{4}{3} \sqrt[4]{\frac{3}{\beta-1}}, \sqrt{\frac{3}{\beta-1}}\right) .
\]
5.2.4. Случай Ковалевской
Сначала рассмотрим специальный гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\beta S_{3}^{2}\right)+R_{1} .
\]

Рис. 5.11
Вообще говоря, он не является гамильтонианом Ковалевской. Для гамильтониана (2.1) бифуркационные диаграммы имеют в точности такой же вид, что и для случая Лагранжа. Они получаются из диаграмм, изображенных на рис. 5.4, сжатием по оси $g$ в $\sqrt{\beta}$ раз. Однако топологический тип изоэнергетических 3 -поверхностей $Q^{3}$ будет другим. Специальный гамильтониан (2.1) соответствует случаю Ковалевской при $\beta=2$. Поэтому на рис.5.11 приведена бифуркационная диаграмма лишь для $\beta>\frac{4}{3}$. При $\beta=2$ координаты точек касания кривой и параболы таковы: $( \pm \sqrt{2}, 2)$. Координаты точек, в которых кривая трансверсально пересекает параболу, таковы: $( \pm 2 \sqrt{2}-1,2(\sqrt{2}-1))$. Топологический тип $Q^{3}$ указан на рис. 5.11. Трехмерную поверхность, обозначенную здесь через $K^{3}$, можно описать следующим образом. Рассмотрим подрасслоение расслоения единичных касательных векторов к двумерной сфере, базой которого $B_{3}$ является 2-сфера с тремя дырками.

Другими словами, мы выбрасываем из 2-сферы три открытых непересекающихся диска. Затем каждый слой, т.е. окружность, над границей базы $B$ стянем в точку. Полученное трехмерное многообразие и обозначено через $K^{3}$. Как мы уже знаем, в действительности $K^{3}$ является связной суммой двух экземпляров $S^{1} \times S^{2}$.

Напомним, что таким же способом, рассматривая базу $B_{m}$, т. е. 2-сферу $S^{2}$ с $m$ дырками, можно получить проективное пространство $\mathbb{R} P^{3}$ при $m=0$, трехмерную сферу $S^{3}$ при $m=1$, прямое произведение $S^{1} \times S^{2}$ при $m=2$. Как мы показали выше, при $m \geqslant 2$ получающиеся указанным способом 3 -многообразия гомеоморфны связной сумме $m-1$ экземпляров $S^{1} \times S^{2}$. В частности,
\[
K^{3}=\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right) .
\]

На самом деле, такое описание изоэнергетических 3 -поверхностей для гамильтонианов вида (1.9) получается естественным образом. Рассмотрим проекцию на сферу Пуассона $\pi: T S^{2} \rightarrow S^{2}$, где
\[
T S^{2}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(S, R), \quad S^{2}=\left\{f_{1}=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}(R) .
\]

При проекции $\pi$ изоэнергетическая 3 -поверхность
\[
Q_{h}^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}
\]

проектируется в некоторое замкнутое подмножество $P$ на сфере Пуассона. Причем, если $z$ – это внутренняя точка $P$, то $\pi^{-1}(z) \cap Q_{h}^{3}$ является окружностью. Если $z$ лежит на границе $\partial P$, то $\pi^{-1}(z) \cap Q_{h}^{3}$ – точка. Выше было показано, что $P=\left\{R \in S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}(R) \mid \varphi_{g}(R) \leqslant h\right\}$, где
\[
\varphi_{g}(R)=\frac{\left(g+\lambda_{1} R_{1}+\lambda_{2} R_{2}+\lambda_{3} R_{3}\right)^{2}}{2\left(A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right)}+U(R) .
\]

Используя явный вид функции $\varphi_{g}(R)$, можно установить вид множества $P$ в $S^{2}$, то есть найти число дырок. Это позволяет определить топологический тип $Q^{3}$. Как было отмечено выше, это либо $\mathbb{R} P^{3}$, либо $S^{3}$, либо связная сумма $\#_{i=1}^{m} S^{1} \times S^{2}$.

Этот метод был разработан Смейлом в [178] для натуральных механических систем. Случай систем с гироскопическими силами рассмотрен М. П. Харламовым в [219].

В заключение опишем подробности вычисления бифуркационной диаграммы в случае Ковалевской. Для параметров гамильтониана случая Ковалевской
\[
A_{1}=A_{2}=1, \quad A_{3}=\frac{1}{2}, \quad \lambda=(0,0,0), \quad U(R)=R_{1}
\]

приведенный потенциал имеет вид
\[
\varphi_{g}(R)=\frac{g^{2}}{2-R_{3}^{2}}+R_{1} .
\]

Рис. 5.12
Рассмотрим эту функцию в координатах $\left(R_{1}, R_{3}\right.$ ) на полусфере $\left\{R_{2}>0\right\}$. Отметим, что на полусфере $\left\{R_{2}<0\right\}$ картина симметрична.

Нарисуем линии уровня функции $\varphi_{g}(R)$ в проекции на плоскость $\left(R_{1}, R_{2}\right)$. Уравнение $\varphi_{B}(R)=c$ равносильно следующему:
\[
R_{1}=c-\frac{g^{2}}{2-R_{3}^{2}} .
\]

Возникают три качественно различные картины линий уровня на диске

$\left\{R_{1}^{2}+R_{3}^{2} \leqslant 1\right\}$. См. рис. 5.12. Здесь $R_{3}$ – горизонтальная ось, а $R_{1}$ – вертикальная. При этом в случае (c) возможны два варианта в зависимости от значений функции $\varphi_{g}(R)$ в точках максимума. Соответствующие графы Риба изображены на рис. 5.13.

Значения функции $\varphi_{g}(R)$ в точках $( \pm 1,0,0)$ равны $\frac{g^{2}}{2} \pm 1$. Это задает две параболы $h=\frac{g^{2}}{2} \pm 1$, принадлежащих бифуркационной диаграмме. Вычисляя значения для остальных точек, получаем еще одну кривую (рис.5.14). Вычисления аналогичны тем, которые проводились выше для случая Лагранжа. Более того, полученная кривая отличается от кривой для случая Лагранжа, при $\beta=2$, лишь сжатием по оси $g$ в $\sqrt{2}$ раз. Однако, как видно из построения графов Риба, топологический тип изоэнергетических 3 -поверхностей отличается от случая Лагранжа. Окончательный ответ приведен на рис.5.11.

Как отмечалось выше, описанные бифуркационные диаграммы для случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются частными случаями диаграмм, построенных в работах С.Б.Каток [78], Я.В.Татаринова [191], [192]. Перейдем теперь к исследованию топологического типа 3 -многообразия $Q^{3}$ для остальных интегрируемых случаев, перечисленных в параграфе 1.
5.2.5. Случай Жуковского
Будем предполагать, что параметры гамильтониана случая Жуковского
\[
H=\frac{\left(S_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\left(S_{2}+\lambda_{2}\right)^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\left(S_{3}+\lambda_{3}\right)^{2}}{2 A_{3}}
\]

удовлетворяют условиям: $0<A_{1}<A_{2}<A_{3}$ и $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3}
eq 0$.
Здесь $\lambda
eq 0, U(R)=0$. Приведенный потенциал имеет вид:
\[
\varphi_{g}(R)=\frac{(g+\langle R, \lambda\rangle)^{2}}{2\langle A R, R\rangle} .
\]

Критические точки отображения
\[
f_{2} \times H: S^{2} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
\]

определяются из условия:
\[
\operatorname{grad} H=\mu_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\mu_{2} \operatorname{grad} f_{2}, \quad f_{1}=1,
\]

где $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ – некоторые числа. Вводя вектора $S=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right), R=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$, $\lambda=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ и матрицу $A=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$, запишем систему соотношений (2.3) в векторной форме:
\[
A^{-1}(S+\lambda)=\mu_{2} R, \quad 2 \mu_{1} R+\mu_{2} S=0, \quad\langle R, R\rangle=1 .
\]

Если $\mu_{2}=0$, то $\mu_{1}=0$, так как $R
eq 0$. Получаем следующее решение системы (2.4):
\[
S=-\lambda, \quad\langle R, R\rangle=1, \quad \mu_{1}=\mu_{2}=0 .
\]

Множество (2.5) является двумерной сферой в $\mathbb{R}^{6}(S, R)$. В точках этой сферы значение гамильтониана равно нулю, а значение функции $f_{2}$ равно $g=-\langle\lambda, R\rangle$. Следовательно, образ множества (2.5) при отображении $f_{2} \times H$ представляет собой отрезок $\left\{h=0,|g| \leqslant\langle\lambda, \lambda\rangle^{\frac{1}{2}}\right\}$ на координатной оси $h=0$ в плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$. Прообраз каждой внутренней точки этого отрезка является окружностью, минимальной для функции
\[
\widetilde{H}=\left.H\right|_{\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}}, \quad \text { где } \quad|g| \leqslant \sqrt{\langle\lambda, \lambda\rangle} .
\]

Пусть теперь в системе (2.4) выполнено условие $\mu_{2}
eq 0$. Тогда
\[
S=-2 \mu_{1} R \mu_{2}^{-1} .
\]

Поскольку $\langle S, R\rangle=g$, то из условия (2.6) получаем, что
\[
g=\langle S, R\rangle=\left\langle-2 \mu_{1} R \mu_{2}^{-1}, R\right\rangle=-2 \mu_{1} \mu_{2}^{-1},
\]

откуда $S=g R$. Подставляя в первое уравнение системы (2.4) соотношение $S=g R$, получаем
\[
\left(\mu_{2} A-g\right) R=\lambda .
\]

Учитывая (2.6) и (2.7), решение системы (2.4) можно записать в следующем виде:
\[
\begin{array}{ll}
S_{i}=\frac{\lambda_{i} g}{A_{i} t-g}, & R_{i}=\frac{\lambda_{i}}{A_{i} t-g} . \quad(i=1,2,3), \\
\mu_{1}=-\frac{g t}{2}, \quad \mu_{2}=t,
\end{array}
\]

где $t$ – некоторый параметр, а зависимость $g(t)$ определяется уравнением
\[
\frac{\lambda_{1}^{2}}{\left(A_{1} t-g\right)^{2}}+\frac{\lambda_{2}^{2}}{\left(A_{2} t-g\right)^{2}}+\frac{\lambda_{3}^{2}}{\left(A_{3} t-g\right)^{2}}=1 .
\]

Гамильтониан $H$ в точках, задаваемых уравнением (2.8), принимает значения
\[
h=\frac{t^{2}}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2} A_{1}}{\left(A_{1} t-g\right)^{2}}+\frac{\lambda_{2}^{2} A_{2}}{\left(A_{2} t-g\right)^{2}}+\frac{\lambda_{3}^{2} A_{3}}{\left(A_{3} t-g\right)^{2}}\right) .
\]

Таким образом, для любых значений $t$ и $g$, удовлетворяющих условию (2.9), мы получаем ровно одну точку (2.8), в которой градиенты функций $f_{2}$ и $H$ зависимы. Образ этой точки при отображении $f_{2} \times H$ – это точка с координатами $(g, h)$ из плоскости $\mathbb{R}^{2}$, где число $h$ определяется формулой (2.10). Итак, нам надо построить кривую $(g(t), h(t))$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$, заданную неявно формулами (2.9), (2.10).

Из леммы 5.2 следует, что $\frac{d h}{d t}=t \frac{d g}{d t}$. Поэтому достаточно построить кривую (2.9) на Рис. 5.15 плоскости $\mathbb{R}^{2}(t, g)$. Вводя полярные координаты $t=r \cos \varphi, g=r \sin \varphi$, из соотношения (2.9) получаем зависимость $r$ от $\varphi$ :
\[
r=\left(\frac{\lambda_{1}^{2}}{\left(A_{1}^{2}+1\right) \sin ^{2}\left(\varphi-\varphi_{1}\right)}+\frac{\lambda_{2}^{2}}{\left(A_{2}^{2}+1\right) \sin ^{2}\left(\varphi-\varphi_{2}\right)}+\frac{\lambda_{3}^{2}}{\left(A_{3}^{2}+1\right) \sin ^{2}\left(\varphi-\varphi_{3}\right)}\right)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\operatorname{tg} \varphi_{i}=A_{i}(i=1,2,3)$. Кривая, определяемая этим соотношением, изображена на рис. 5.15. Она центрально симметрична относительно начала координат и имеет асимптоты $g=A_{i} t \pm \lambda_{i}$, отмеченные на рис. 5.15 пунктиром.

Формула (2.10) задает отображение этой кривой в плоскость $\mathbb{R}^{2}(g, h)$. Учитывая соотношение $\frac{d h}{d t}=t \frac{d g}{d t}$, легко понять, что локальным минимумам и максимумам функции $g(t)$ (см. рис. 5.15) соответствуют точки возврата бифуркационной кривой, а локальным минимумам и максимумам обратной функции $t(g)$ отвечают точки перегиба бифуркационной кривой. Если точка, двигаясь по кривой, изображенной на рис. 5.15, асимптотически стремится при $t \rightarrow \infty$ к прямой $g=A_{i} t \pm \lambda_{i}$, то образ этой точки на бифуркационной кривой асимптотически стремится к параболе
\[
h=\frac{\left(g \mp \lambda_{i}\right)^{2}}{2 A_{i}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{j}^{2} A_{j}}{\left(A_{j}-A_{i}\right)^{2}}+\frac{\lambda_{k}^{2} A_{k}}{\left(A_{k}-A_{i}\right)^{2}}\right),
\]

где $\{i, j, k\}=\{1,2,3\}$.

Бифуркационная диаграмма отображения $f_{2} \times H$ для гамильтониана случая Жуковского представляет собой объединение построенной кривой с отрезком
\[
\left\{h=0,|g| \leqslant\langle\lambda, \lambda\rangle^{\frac{1}{2}}\right\} .
\]

Она изображена на рис.5.16. Диаграмма симметрична относительно прямой $g=0$. Точки касания отрезка с кривой имеют координаты
\[
\left( \pm \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}, 0\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h),
\]

а точка пересечения двух ветвей кривой имеет координаты:
\[
\left(0, \frac{\lambda_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\lambda_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\lambda_{3}^{2}}{2 A_{3}}\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h) .
\]

Рис. 5.16
Топологический тип многообразия $Q_{h}^{3}$ в каждой из областей можно определить с помощью предложения 5.2 , рассматривая проекцию $Q_{h}^{3}$ на сферу Пуассона. То же самое можно получить и другим способом. Заменим $\lambda_{i}$ на $\lambda_{i}^{\prime}=\alpha \lambda_{i}$ и устремим $\alpha$ к нулю. В пределе бифуркационная диаграмма, изображенная на рис. 5.16 , переходит в бифуркационную диаграмму для гамильтониана случая Эйлера, показанную на рис. 5.3. При этом неограниченные области на рис. 5.16, для которых 3-многообразие $Q_{h}^{3}$ гомеоморфно $2 S^{3}, S^{1} \times S^{2}, \mathbb{R} P^{3}$, переходят в соответствующие области на рис. 5.3. В треугольнике около начала координат на рис.5.16 многообразия $Q_{h}^{3}$ гомеоморфны $S^{1} \times S^{2}$, а в граничащих в ним областях – это $S^{3}$. Эти утверждения следуют из теории Морса-Ботта, поскольку в прообразе каждой точки отрезка лежит ровно одна критическая окружность, на которой функция $\widetilde{H}=\left.H\right|_{\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}}$ достигает минимума, а в прообразе других точек границы образа $T S^{2}$ – ровно одна критическая точка, на которой эта же функция тоже достигает минимума.
5.2.6. Случай Сретенского
Рассмотрим теперь гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+4\left(S_{3}+\lambda\right)^{2}\right)+R_{1} .
\]

Дополнительный интеграл для него существует лишь на одной 4-поверхности $\left\{f_{1}=1, f_{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(S, R)$. Поэтому для описания инвариантов этого интегрируемого случая нет необходимости изучать отображение $f_{2} \times H$. Топологический тип $Q^{3}$ и молекула $W$, т.е. инвариант Фоменко, для $Q^{3}$ будут в данном случае зависеть от значения параметра $\lambda$ и значения $h$, определяющего 3 -поверхность $Q_{h}^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=0, H=h\right\}$. Поэтому для гамильтониана (2.11) мы построим разделяющие кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$ и определим топологический тип многообразия $Q^{3}$ в каждой из областей.

Топологический тип $Q^{3}$ определим, проектируя $Q^{3}$ на сферу Пуассона. Для гамильтониана (2.11) функция (2.2) имеет вид:
\[
\varphi_{0}(R)=\frac{2 \lambda^{2} R_{3}^{2}}{4-3 R_{3}^{2}}+R_{1} .
\]

Для того, чтобы определить вид областей
\[
\left\{\varphi_{0}(R) \leqslant h\right\},
\]

найдем критические точки функции (2.12), заданной на сфере $\left\{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=\right.$ $=1\} \subset \mathbb{R}^{3}(R)$. Они определяются системой уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi_{0}}{\partial R_{i}}=2 \mu R_{i} \quad(i=1,2,3) \\
R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Ее решениями являются две критические точки, существующие при любом значении $\lambda$ :
\[
R_{1}= \pm 1, \quad R_{2}=R_{3}=0, \quad \mu= \pm \frac{1}{2},
\]

а также две критические точки, зависящие от значения $\lambda$ :
\[
R_{1}=\frac{1}{2 \xi}, \quad R_{2}=0, \quad R_{3}= \pm \sqrt{1-\frac{1}{4 \xi^{2}}}, \quad \mu=\xi,
\]

где $\lambda^{2}=\frac{\left(4 \xi^{2}+3\right)^{2}}{128 \xi^{3}}, \xi \geqslant \frac{1}{2}$.
В точках (2.14) значение функции (2.12) равно $\varphi_{0}(R)= \pm 1$. Так как число $\lambda$ произвольно, то мы получаем на плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$ две прямые $h= \pm 1$, разделяющие области с различным топологическим типом $Q^{3}$. В точках (2.15) значение функции (2.12) равно
\[
\varphi_{0}(R)=\frac{16 \xi^{4}+40 \xi^{2}-3}{64 \xi^{3}} .
\]

Таким образом, эти точки определяют на плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$ разделяющую кривую, заданную параметрически:
\[
h=\frac{16 \xi^{4}+40 \xi^{2}-3}{64 \xi^{3}}, \quad \lambda^{2}=\frac{\left(4 \xi^{2}+3\right)^{2}}{128 \xi^{3}}, \quad \xi \geqslant \frac{1}{2} .
\]

Объединяя прямые $h= \pm 1$ и кривую (2.16), получаем бифуркационную диаграмму на плоскости $\mathbb{R}^{2}(\lambda, h)$, изображенную на рис.5.17. Она симметрична относительно прямой $\lambda=0$. Координаты точек возврата кривой (2.16) таковы:
\[
\left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{7}{9}\right) \in \mathbb{R}^{2}(\lambda, h) .
\]

Координаты точек касания прямой $h=1$ и кривой таковы:
\[
( \pm 1,1) \in \mathbb{R}^{2}(\lambda, h) .
\]

Кривая (2.16) асимптотически стремится к параболе $h=\lambda^{2}$.

Каждой точке прямых $h= \pm 1$ соответствует ровно одна критическая точка функции (2.12), а каждой точке кривой – ровно две критические точки. Вычислив их индексы, получим: для прямой $h=-1$ индекс равен 0 . Для пря-
Рис. 5.17 мой $h=1$ индекс равен 2 на отрезке между точками касания с кривой, и индекс равен 1 на остальной части прямой. Для кривой индекс равен 1 на участках между точкой возврата и точкой касания с прямой, и индекс равен 2 на остальной части кривой. Зная индексы критических точек, несложно установить вид областей (2.13) на сфере Пуассона. Это, соответственно:
пустое множество $\varnothing$,
диск $D^{2}$,
кольцо $S^{1} \times \mathbb{R}^{1}$, т.е. диск $D^{2}$ с одной дыркой,
диск $D^{2}$ с двумя дырками,
затем – вся сфера $S^{2}$.
Соответствующие им 3 -поверхности $Q^{3}$ указаны на рис. 5.17. Через $K^{3}$ здесь обозначена та же поверхность, что и для гамильтониана (2.1).
5.2.7. Случай Клебша
Построим бифуркационные диаграммы отображения $f_{1} \times H$ для
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}+\frac{\varepsilon}{2}\left(A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right),
\]

где $0<A_{1}<A_{2}<A_{3}, \varepsilon= \pm 1$. Условие
\[
\operatorname{grad} H=\mu_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\mu_{2} \operatorname{grad} f_{2},
\]

определяющее критические точки отображения $f_{2} \times H: S^{2} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, можно записать в виде:
\[
\left(\begin{array}{cccccc}
A_{1}^{-1} & 0 & 0 & -\mu_{2} & 0 & 0 \\
0 & A_{2}^{-1} & 0 & 0 & -\mu_{2} & 0 \\
0 & 0 & A_{3}^{-1} & 0 & 0 & -\mu_{2} \\
-\mu_{2} & 0 & 0 & \varepsilon A_{1}-2 \mu_{1} & 0 & 0 \\
0 & -\mu_{2} & 0 & 0 & \varepsilon A_{2}-2 \mu_{1} & 0 \\
0 & 0 & -\mu_{2} & 0 & 0 & \varepsilon A_{3}-2 \mu_{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
S_{1} \\
S_{2} \\
S_{3} \\
R_{1} \\
R_{2} \\
R_{3}
\end{array}\right)=0 .
\]

Так как $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1$, то равенство (2.17) верно лишь в том случае, если определитель матрицы, входящей в это равенство, равен нулю. Матрица распадается на три блока размера $2 \times 2$, определители которых равны
\[
D_{i}=\varepsilon-2 \mu_{1} A_{i}^{-1}-\mu_{2}^{2} \quad(i=1,2,3) .
\]

Если $D_{i}
eq 0$, то $S_{i}=R_{i}=0$. Поэтому, если выполнено лишь одно из условий $D_{i}=0$, то, учитывая равенство $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1$, мы получаем следующие критические точки:
\[
\left(t_{1}, 0,0, \pm 1,0,0\right), \quad\left(0, t_{2}, 0,0, \pm 1,0\right), \quad\left(0,0, t_{3}, 0,0, \pm 1\right) \quad \text { из } \quad \mathbb{R}^{6}(S, R),
\]

где $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ – некоторые параметры.
Вычисляя значения функций $f_{2}$ и $H$ в этих точках, мы получаем на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ три параболы
\[
h=\frac{g^{2}}{2 A_{i}}+\varepsilon \frac{A_{i}}{2} \quad(i=1,2,3) .
\]

В прообразе каждой точки парабол (2.19) лежат ровно две критические точки отображения $f_{2} \times H$. Так как $A_{i}
eq A_{j}$ при $i
eq j$, то в случае $\varepsilon=-1$ никакие два из определителей (2.18) не равны нулю одновременно. Поэтому для $\varepsilon=-1$ мы получаем бифуркационную диаграмму, состонщую из трех непересекающихся парабол (2.19). Она изображена на рис.5.18.

Рассмотрим случай $\varepsilon=1$. Тогда из равенства нулю любых двух определителей (2.18) следует, что $\mu_{1}=0, \mu_{2}^{2}=1$. Поэтому равен нулю и третий определитель. Из (2.17) получаем следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
S_{i}= \pm A_{i} R_{i} \quad(i=1,2,3), \\
R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Уравнения (2.20) определяют в $\mathbb{R}^{6}(S, R)$ две двумерные сферы, целиком заполненные критическими точками отображений $f_{2} \times H$. Значения функций $f_{2}$ и $H$ на множестве (2.20) равны
\[
g= \pm\left(A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right) \quad \text { и } \quad h=A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2} .
\]

Таким образом, при отображении $f_{2} \times H$ двумерные сферы (2.20) отображаются в два отрезка
\[
\left\{h=|g|, A_{1} \leqslant|g| \leqslant A_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}(g, h) .
\]

Прообраз каждой точки этих отрезков – это две окружности, заполненные критическими точками.
Объединяя параболы (2.19) при $\varepsilon=1$ и отрезки (2.21), получаем бифуркационную диаграмму, изображенную на рис. 5.19. Отрезки (2.21) касаются всех трех парабол в точках $\left( \pm A_{i}, A_{i}\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h)$. Параболы (2.19) пересекаются в точках
\[
\left( \pm \sqrt{A_{i} A_{j}}, \frac{A_{i}+A_{j}}{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}(g, h) .
\]

Топологический тип многообразия $Q_{h}^{3}=$ $=\left\{f_{1}=1, f_{2}=0, H=h\right\}$ в каждой из областей на рис. 5.18 и рис. 5.19 можно определить, рассматривая проекцию $Q_{h}^{3}$ на сферу Пуассона. Образ $Q_{h}^{3}$ при проекции определяется условием
\[
g^{2} z^{-1}+\varepsilon z \leqslant 2 h, \quad A_{1} \leqslant z \leqslant A_{3},
\]

где через $z$ обозначено выражение $A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}$. График функции $\varphi(z)=g^{2} z^{-1}+\varepsilon z$ изображен на рис. 5.20a при $\varepsilon=-1$ и на рис. $5.20 \mathrm{~b}$ при $\varepsilon=1$. В случае $\varepsilon=1$ функция $\varphi(z)$ имеет минимум при $z=g$. На рис. $5.20 \mathrm{~b}$ приведен один из возможных вариантов расположения $g$ на оси $z$ относительно $A_{1}, A_{2}, A_{3}$. Несложно исследовать все возможные варианты и установить, какой вид имеет область (2.22) на сфере Пуассона в каждом случае. После этого топологический тип $Q^{3}$ определяется стандартным способом, при помощи предложения 5.2. Список всех возникающих здесь 3 -поверхностей $Q$ см. на рис.5.19. Через $N^{3}$ на рис. 5.19 обозначено многообразие $\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right)$. Его проекция на сферу Пуассона – это диск с тремя дырками.
5.2.8. Случай Стеклова

Построение бифуркационных диаграмм отображения $f_{2} \times H$ для случая Стеклова можно провести совершенно аналогично случаю Клебша. Как и в случае Клебша, бифуркационная диаграмма здесь является объединением трех парабол

Рис. 5.20
и отрезков общих касательных к ним. Но оси этих парабол, в отличие от случая Клебша, уже не совпадают. В результате получается большое количество различных вариантов расположения этих парабол в зависимости от соотношений между параметрами $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ гамильтониана. Описание этого случая, аналогичное предыдущим, становится уже достаточно громоздким. По этой причине мы его здесь не приводим. Все возможные молекулы $W$ для случая Стеклова будут вычислены ниже.