Случай сферы разбирается примерно так же, как и случай тора. Мы не будем поэтому излагать его очень подробно.

Как и выше, для траекторной классификации интегрируемых геодезических потоков на сфере нужно вычислить функцию вращения.

Рассмотрим сначала ( $L, f, g$ )-метрики на сфере (т. е. метрики с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками). Как мы уже знаем, они получаются из аналогичных метрик на торе, когда тор двулистно накрывает сферу, причем накрытие является разветвленным над четырьмя точками. Такие метрики на сфере удобно записывать как метрики на накрывающем торе, инвариантные относительно действия инволюции $\sigma$, действующей на торе.
Рассмотрим на евклидовой плоскости $x, y$ вырожденную «метрику» вида:
\[
(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

а затем факторизуем плоскость по прямоугольной решетке $\Gamma$, базисом которой являются два вектора $f_{1}=(1,0), f_{2}=(0, L)$. Здесь мы предполагаем, что функции $f$ и $g$ отличны от постоянных, обе являются четными, неотрицательными и такими, что
\[
f\left(\frac{k}{2}\right)=0, \quad g\left(\frac{k L}{2}\right)=0,
\]

для всех целых $k$. Получаем тор $T^{2}$ с «метрикой» $g_{i j}$, которую можно спроектировать на сферу, факторизуя по инволюции
\[
\sigma:(x, y) \rightarrow(-x,-y) .
\]

Если функции $f$ и $g$ удовлетворяют еще одному дополнительному условию на их асимптотику в точках ветвления (см. главу 2), то в результате мы получим так называемую ( $L, f, g$ )-метрику на сфере. Как и ранее, обозначим дополнительный интеграл ее геодезического потока через $F$.

Торы Лиувилля в изоэнергетическом 3 -многообразии $Q=\{H=1\}$, лежащем в кокасательном расслоении $T^{*} S^{2}$, будучи поднятыми в кокасательное расслоение $T^{*} T^{2}$ с координатами ( $x, y, p_{x}, p_{y}$ ), задаются следующими уравнениями:
\[
p_{x}^{2}=f(x)+F, \quad p_{y}^{2}=g(y)-F .
\]

Это уравнение может задавать несколько торов Лиувилля, лежащих на одном уровне интеграла $F$ в $Q$. Напомним, что молекула $W$ для геодезического потока сферы имеет в этом случае вид, показанный на рис. 3.30 главы 3. Как видно из структуры молекулы, торы Лиувилля делятся на две группы в зависимости от значения интеграла $F$.
При $F>0$ тор Лиувилля попадает в верхнюю пару деревьев на молекуле $W$.
При $F<0$ тор Лиувилля оказывается внутри одного из двух нижних деревьев молекулы $W$.

Фиксировав значение интеграла $F$, мы получаем на оси $y$ несколько отрезков, в каждом из которых функция $p_{y}^{2}=g(y)-F$ неотрицательна. Каждому тору Лиувилля отвечают два отрезка. Если, например, $F>0$, то, как видно из рис. 4.1, параметр $y$ меняется внутри нескольких отрезков. Нужно выбрать один из них. Обозначим его через $\left[y_{1}, y_{2}\right]$. Переменная $x$ меняется здесь на всей области своего определения, т.е. на отрезке $[0,1]$.
Если $F<0$, то $x$ принимает значение на некотором отрезке $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ (одном из нескольких возможных), а $y$ пробегает всю область своего определения, т. е. отрезок $[0, L]$.
Изобразим проекции описанных торов Лиувилля на базу (т.е. на сферу $S^{2}$ ). В соответствии с указанными выше двумя случаями, эти проекции будут выглядеть так, как показано на рис.4.10. В каждом из двух случаев получается кольцо.
На каждом из этих торов Лиувилля в качестве базисных циклов возьмем (как мы уже делали ранее) циклы $\lambda, \mu$, задаваемые уравнениями
Рис. 4.10
\[
\lambda=\{x=\text { const }\} \quad \text { и } \quad \mu=\{y=\text { const }\},
\]

где $x$ и $y$ – координаты на торе, разветвленно накрывающем 2-сферу.
Значение функции вращения на этом торе Лиувилля относительно указанного базиса задается следующим утверждением.
Предложение 4.6. Рассмотрим на сфере метрику с квадратично интегрируемым геодезическим потоком (т.е. ( $L, f, g$ )-метрику).
а) Если $F>0$, то функиия вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const $и$ лежащем, следовательно, в верхих деревьях $W(g)$ молекулы $W$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{f(x)+F}}}{\int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{2 d y}{\sqrt{g(y)-F}}} .
\]

Здесь ребро е лежит в одном из двух графов $W(g)$ (см. рис. 3.30 главы 3).
б) Если $F<0$, то функиия вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const $и$ лежащем, следовательно, в нижних деревьях $W(f)$ молекулы $W$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{2 d x}{\sqrt{f(x)+F}}}{\int_{0}^{1} \frac{d y}{\sqrt{g(y)-F}}} .
\]

и максимуму на своем поауперноде (ивпоминм, что они – четные). Как и вмше,

Таким образом, этот презеа функиии вравения от выборе функий $f$ и $g$ тем же. Мы обозначим его через 8.

ко тогда, когда совпадают их меченые молекулы $W$ и $\widetilde{W}$, а также совпадают либо пары чисел $(p, q)$ и $(\widetilde{p}, \widetilde{q})$, либо пары чисел $(p, q)$ и $\left(\widetilde{q}^{-1}, \widetilde{p}^{-1}\right)$. Дело в том, что показанные на рис. 3.35a (из главы 3 ) молекулы симметричны относительно горизонтальной оси (проходящей через их центр), поэтому гомеоморфизм, совмещающий молекулы, может переворачивать одну из них. Это эквивалентно перестановке местами переменных $x$ и $y$, что приводит к перестановке местами базисных циклов $\lambda$ и $\mu$. А, следовательно (см. общую теорию), функция вращения заменяется по следующему правилу: $\rho \rightarrow \frac{1}{\rho}$.

Так же, как и в случае тора, этот результат можно переформулировать в виде следующего интересного утверждения. В указанных выше предположениях (то есть одногорбость функций $f$ и $g$, а также монотонность функций вращения) геодезический поток имеет ровно две устойчивые замкнутые геодезические, отвечающие двум парам атомов $A$. Одна геодезическая отвечает верхней паре атомов, вторая – нижней. Атомы внутри каждой пары отвечают геометрически одной и той же геодезической, но проходимой в противоположном направлении. У каждой такой геодезической есть мультипликаторы и индексы Морса.

Используя доказанное выше предложение 4.5 , можно сформулировать простой критерий траекторной эквивалентности для не очень сложных интегрируемых геодезических потоков на сфере. А именно, верно следующее утверждение.
Следствие. Рассмотрим два квадратично интегрируемых геодезических потока на сфере. Іусть соответствующие молекулы $W$ и $W^{\prime}$ имеют простейший вид (рис. 3.35a), и все функции вращения монотонны. Тогда геодезические потоки на сфере являются непрерывно траекторно эквивалентными в том и только в том случае, когда соответствующие замкнутые устойчивые геодезические имеют одинаковые индексы Морса и одинаковые мультипликаторы.