Для траекторной классификации потоков Морса можно использовать упомянутые во введении инвариант Пейксото, инвариант Флейтаса или (для ориентируемых поверхностей) инвариант Вонга. В этом параграфе мы кратко опишем эти инварианты и проведем их сравнение.

Все потоки Морса без седловых особых точек топологически траекторно эквивалентны (замечание 3). Поэтому при описании инвариантов в этом параграфе мы рассматриваем только потоки Морса, имеющие седловые особые точки.
2.1. Инвариант Пейксото

Инвариант, предложенный Пейксото в работе [19], можно описать следующим образом. Как уже отмечалось при построении инварианта $T(v)$ в $\S 1$, поверхность $M$ после разрезания ее по сепаратрисам рассматриваемого потока $v$ распадается на канонические четырехугольники. Иначе говоря, поток Морса $v$ определяет клеточное разбиение двумерного многообразия $M$ (по поводу определений, связанных с клеточными пространствами, см., например, [12]). Нульмерные клетки этого разбиения – особые точки потока $v$, одномерные клетки замыкания сепаратрис, двумерные клетки – замыкания канонических четырехугольников (в многообразии $M$ ). Для того, чтобы описать поток $v$ с точностью до топологической траекторной эквивалентности, достаточно предъявить одномерный остов рассмотренного клеточного разбиения и указать, каким образом к нему приклеиваются двумерные клетки (на которых поток уже задан). По существу, это и есть инвариант Пейксото для потоков Морса.

Более точно, инвариант Пейксото, который он называет различающим графом, есть граф с ориентированными ребрами, вершины которого расположены на трех уровнях так, что каждое ребро направлено либо от вершины первого уровня к вершине второго уровня, либо от вершины второго уровня к вершине третьего уровня, причем для каждой вершины второго уровня имеется ровно два входящих в нее ребра и ровно два выходящих из нее ребра (вершины

Рис. 4 первого, второго и третьего уровней соответствуют источникам, седлам и стокам). Кроме того, в этом графе выделены некоторые подграфы четырех типов (они изображены на рис. 4), так что выполнены некоторые специальные условия (заметим, что к каждому выделенному подграфу однозначно приклеивается канонический четырехугольник, так, чтобы ориентации на ребрах подграфа и сторонах четырехугольника были согласованы). Мы не будем приводить здесь список этих условий. В работе [19] они выписаны явно, и их формулировка занимает достаточно много места. Смысл этих условий проясняет теорема реализации (теорема 5.1 работы [19]), доказательство которой и составляет основное содержание статьи [19]. Эта теорема показывает, что все вместе эти условия равносильны следующему: если приклеить канонические четырехугольники ко всем выделенным подграфам, то должно получиться замкнутое двумерное многообразие.
ПримеР 2. На рис. 5 показано, как выглядит инвариант Пейксото для потока Mopса, рассмотренного в примере 1. В данном случае различающий граф состоит из шести вершин (по две на каждом уровне) и восьми ребер (см. рис. 5(a)), и в нем выделено 4 подграфа (см. рис. 5(b)). Если приклеить 4 канонических четырехугольника к этим подграфам, то получится поток на сфере, изображенный на рис. $2(a)$.
Рис. 5
Инвариант Пейксото и трехцветный граф, рассмотренный в предыдущем параграфе, выражаются друг через друга, поскольку они являются полными топологическими инвариантами потоков Морса. Опишем построение различающего графа Пейксото по данному трехцветному графу.

Пусть $T$ – трехцветный граф, являющийся инвариантом некоторого потока Морса. Различающий граф, соответствующий графу $T$, строится следующим образом:
1) каждому $s t$-циклу графа $T$ поставим в соответствие вершину первого уровня различающего графа, каждому $s u$-циклу — вершину второго уровня, а каждому $t u$-циклу – вершину третьего уровня;
2) для каждого $s$-ребра ( $u$-ребра) графа $T$, соединим ребром те вершины различающего графа, которые соответствуют $s t$-циклу ( $t u$-циклу) и $s u$-циклу, содержащим данное $s$-ребро ( $u$-ребро);
3) каждому $t$-ребру графа $T$ сопоставим выделенный подграф построенного различающего графа, четыре (три) ребра которого соответствуют четырем (трем) ребрам графа $T$, пересекающимся с данным $t$-ребром.
Рис. 6

На рис. 6 изображены все возможные «окрестности» $t$-ребра в трехцветном графе $T$, являющемся инвариантом некоторого потока Морса. Четыре варианта (a)-(d) на рис. 6 соответствуют четырем типам подграфов (a)-(d) на рис. 4.

Отметим, что, в силу утверждения (2) теоремы 1.3, случай (d) возникает только на неориентируемых поверхностях.
2.2. Инвариант Флейтаса.

Опишем теперь инвариант Флейтаса для потоков Морса, предложенный в работе [17]. Рассмотрим вокруг каждого источника маленькую окружность, трансверсальную потоку, и отметим на ней точки пересечения с сепаратрисами. После этого припишем всем точкам на всех окружностях некоторые метки, причем тем точкам, для которых соответствующие им сепаратрисы входят в одно и то же седло, припишем одинаковые метки. Кроме того, для каждой пары точек с одинаковыми метками указывается «спин». Спин изображается стрелками, показывающими направление движения вдоль окружностей в окрестности каждой отмеченной точки. Эти стрелки расставляются так, что, если некоторую пару точек с одинаковыми метками «сдвинуть» вдоль стрелок и выпустить из полученных точек траектории потока, то эти траектории после прохождения «возле седловой точки» пойдут «в одну сторону» (см. рис. 7). Если для некоторой пары точек с одинаковыми метками изменить направления обеих стрелок на противоположные, то, по определению, они будут изображать тот же спин для этой пары точек.
Рис. 7
Таким образом, инвариант Флейтаса для потока Морса (он называет его «циклические распределения раскрашенных точек») – это набор окружностей, на которых указаны точки с метками (каждая метка встречается ровно два раза), и для каждой пары точек с одинаковыми метками указан спин. Два таких набора считаются одинаковыми, если существует гомеоморфизм, отображающий окружности одного набора в окружности другого набора с сохранением меток и спинов.
ПРИМЕР 3. На рис. 8 показано, как выглядит инвариант Флейтаса для потока Mopса, рассмотренного в примере 1. В данном случае инвариант состоит из двух окружностей (соответствующих двум источникам), на которых расположены две пары точек (соответствующие двум седлам) с метками $A$ и $B$ и спинами, указанными стрелками.

Очевидно, что инвариант Флейтаса является инвариантом потоков Морса, т.е. топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляются одинаковые в указанном выше смысле наборы окружностей с метками и спинами. Теорема 1с работы [17] утверждает, что он является полным топологическим инвариантом.

Рис. 7
Рис. 8

Соответствие между инвариантами Флейтеса и трехцветными графами можно кратко описать следующим образом: окружностям инварианта Флейтеса соответствуют $s t$-циклы трехцветного графа, парам точек с одинаковыми метками соответствуют $s u$-циклы, а спин определяется $t u$-циклами. На рис. 9 показаны «элементарные» фрагменты трехцветного графа и инварианта Флейтаса. Любой трехцветный граф с $s u$-циклами длины 4 и любой инвариант Флейтаса являются объединением таких фрагментов. Если все элементарные фрагменты данного трехцветного графа $T(v)$ заменить в соответствии с рис. 9 на элементарные фрагменты инварианта Флейтаса, то получится инвариант Флейтаса потока $v$, и наоборот.
2.3. Инвариант Вонга.

Еще один инвариант для потоков Морса, но лишь на ориентируемых поверхностях, был предложен в работе Вонга [23]. Подход Вонга близок к тому подходу, который используется в $\S 2$ для построения трехцветного графа. Он рассматривает граф, двойственный графу, составленному из сепаратрис потока. Те же рассуждения, что и при построении трехцветного графа, показывают, что
Рис. 9

этот граф есть объединение циклов длины 4 (вокруг каждого седла), ребра которых раскрашены в два цвета $s$ и $u$ так, что противоположные ребра имеют одинаковый цвет. Кроме того, учитывая ориентацию многообразия, можно ориентировать ребра этого графа так, что ориентация каждого цикла длины 4 будет согласована с ориентацией четырехугольника, границей которого является этот цикл.

Таким образом, инвариант Вонга («раскрашенный двойственный граф») есть граф с вершинами степени 4, ребра которого раскрашены в два цвета $s$ и $u$ и ориентированы так, что граф есть объединение 4 -циклов вида $s-u-s-u$, а ориентация ребер согласованно задает ориентацию на всех циклах из $s$-ребер, циклах из $u$-ребер и 4-циклах. При этом считается, что два таких графа изоморфны, если существует гомеоморфизм одного графа в другой, сохраняющий раскраску и либо сохраняющий, либо обращающий ориентации всех ребер.
ПРимЕР 4. На рис. 10 показано, как выглядит инвариант Вонга для потока Mорса, рассмотренного в примере 1 (см. рис. 2(a)). Аналогично рис. $2(b)$ и рис. $2(c)$ на рис. $10(a)$ показано вложение графа Вонга в сферу, на которой задан поток, а на рис. 10(b) этот граф изображен как абстрактный граф с ориентированными и раскрашенными ребрами.
$\square$
Ясно, что мы можем рассматривать граф Вонга как граф, полученный из трехцветного графа стягиванием каждого его $t$-ребра в точку и заданием ориентации на ребрах $s u$-циклов. В общем случае нельзя однозначно осуществить обратную операцию, т.е. восстановить трехцветный граф после стягивания $t$-ребер. Но поскольку Вонг рассматривает лишь ориентируемые многообразия, это можно сделать, используя описанную выше ориентацию ребер. Аналогично рис. 9, на рис. 11 изображено, как можно выразить один инвариант через другой, заменяя фрагменты трехцветного графа на соответствующие фрагменты графа Вонга, и наоборот.
2.4. Классификация $a$-функций и $f$-графы.

Опишем еще один топологический инвариант, который был введен в работе [8] для классификации функций на двумерных многообразиях, но имеет ту же природу, что и рассмотренные выше инварианты потоков Морса.
Напомним некоторые определения.

Определение 1.6. Гладкие функции $f_{1}$ и $f_{2}$ на двумерных поверхностях $M_{1}$ и $M_{2}$ называются сопряженными, если существует такой гомеоморфизм $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$, что $f_{2} \circ h=f_{1}$.
Определение 1.7. Гладкие функции $f_{1}$ и $f_{2}$ на двумерных поверхностях $M_{1}$ и $M_{2}$ будем называть топологически послойно эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$, переводящий связные компоненты линий уровня функции $f_{1}$ в связные компоненты линий уровня функции $f_{2}$.

В работе [8] решалась задача классификации функций Морса с тремя критическими значениями на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до топологической послойной эквивалентности.
Определение 1.8. Гладкая функция $f$ называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены. В двумерном случае это эквивалентно тому, что в некоторых координатах в окрестности критической точки функция записывается как $f=x^{2}+y^{2}$ (точка минимума), $f=-x^{2}-y^{2}$ (точка максимума) или $f=-x^{2}+y^{2}$ (седловая точка).
Определение 1.9. Функцию Морса $f$ на двумерной поверхности $M$ будем называть $a$-функцией, если $f$ имеет ровно три критических значения: $-1,0$ и 1.

Легко видеть, что для $a$-функции $f$ на поверхности $M$ множество $f^{-1}(-1)$ есть в точности множество точек минимума, множество $f^{-1}(1)$ есть в точности множество точек максимума, а множество $f^{-1}(0)$ связно (если поверхность $M$ связна) и содержит все седловые критические точки.

ЗАмЕчАниЕ 4. Отметим, что для $a$-функций сопряженность и топологическая послойная эквивалентность – это почти одно и то же, а именно: если а-функции $f_{1}$ и $f_{2}$ топологически послойно эквивалентны, то $f_{1}$ сопряжена либо $f_{2}$, либо – $f_{2}$.

Опишем инвариант, классифицирующий $a$-функции с точностью до сопряжения.
Определение 1.10. Конечный связный граф $\gamma$ назовем $f$-графом, если он удовлетворяет следующим условиям:
1) все вершины графа $\gamma$ имеют степень 3 ;
2) некоторые из ребер графа $\gamma$ ориентированы, причем к каждой вершине графа $\gamma$ примыкают ровно два ориентированных ребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее;
3) каждому неориентированному ребру графа $\gamma$ приписана метка $\pm 1$.

Из условия (2) следует, что ориентированные ребра $f$-графа образуют непересекающиеся циклы (ориентированные). Кроме того, к каждой вершине такого цикла примыкает ровно одно неориентированное ребро.
Определение 1.11. Назовем два $f$-графа эквивалентными, если один из другого можно получить в результате выполнения нескольких операций следующего вида: изменение ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременное изменение меток (на противоположные) на всех неориентированных ребрах, инцидентных этому циклу. При этом, если оба конца неориентированного ребра принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется.

Классы эквивалентности $f$-графов относительно данного определения назовем $f$-инвариантами.

Каждой $a$-функции можно сопоставить $f$-инвариант следующим образом. Рассмотрим линии уровня $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ некоторой $a$-функции $f$ на поверхности $M$. Фиксируя на поверхности некоторую метрику, рассмотрим устойчивые сепаратрисы потока $\operatorname{grad} f$, начинающиеся на окружностях $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$. Каждая пара сепаратрис, входящих в одну седловую точку, будет образовывать неориентируемое ребро $f$-графа $\gamma$. Вершинами графа $\gamma$ будут концы сепаратрис, лежащие на окружностях $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$. Фиксировав произвольным образом ориентацию на каждой такой окружности, мы получим ориентированные ребра графа $\gamma$ (ориентированные дуги окружностей между концами сепаратрис). Для завершения построения $f$-графа осталось лишь расставить метки на неориентированных ребрах. Это делается по следующему правилу: рассмотрим маленькую окрестность пары сепаратрис, образующих неориентированное ребро, в поверхности $M$ это прямоугольник, две противоположные стороны которого лежат на окружностях $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ и поэтому ориентированы; если эти стороны индуцируют одну и ту же ориентацию границы прямоугольника, то метка равна +1 , если разные, то метка равна -1 .

Мы построили по данной $a$-функции некоторый $f$-граф. В процессе построения мы произвольным образом фиксировали ориентации на окружностях $f^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$. Однако, легко понять, что при выборе других ориентаций мы получим эквивалентный $f$-граф. Кроме того, мы фиксировали некоторую метрику на поверхности, но можно показать, что от выбора этой метрики построенный $f$-граф не зависит (см. также теорему 1.4).

В работе [8] доказано, что $f$-инвариант классифицирует $a$-функции с точностью до сопряжения (a, значит, и с точностью до топологической эквивалентности – см. замечание 4).

Хотя $f$-инвариант был введен в связи с задачей классификации функций на поверхностях, оказалось, что этот инвариант «эквивалентен» описанным выше инвариантам, т.е., в частности, траекторно классифицирует потоки Морса на поверхностях.
Рис. 11
Проще всего описать биекцию между $f$-инвариантами и инвариантами Флейтаса. Если ориентировать произвольным образом каждую окружность инварианта Флейтаса и соединить точки с одинаковыми метками неориентируемым ребром, то мы получим граф, удовлетворяющий условиям (1) и (2) из определения $f$-графа. Метка $\pm 1$ на каждом неориентированном ребре полученного графа ставится в соответствии со стрелками (изображающими спин для пары точек, являющихся концами данного ребра) и выбранной ориентацией окружностей: если направление одной из этих стрелок совпадает с выбранным направлением на соответствующей окружности, а направление другой стрелки – не совпадает, то метка на данном ребре равна +1 , иначе – метка равна -1. Ясно, что при другом выборе ориентаций на окружностях инварианта Флейтаса мы получим эквивалентный $f$-граф, т. е. описанная процедура однозначно сопоставляет каждому инварианту Флейтаса некоторый $f$-инвариант. Обратное отображение также очевидно. Описанное соответствие поясняется на рис. 12 .
ПРимЕР 5. На рис. 13 показано, как выглядит $f$-инвариант для потока Морса, рассмотренного в примере 1. Данный $f$-граф является одним из возможных изображений соответствующего $f$-инварианта. Отметим, что метка на ребре, концы которого лежат на одном и том же Рис. 12 ориентированном цикле, не зависит от ориентации ребер, а метку на другом ребре можно сделать равной -1 , изменяя ориентацию одного из циклов.

Описанная выше конструкция показывает, что полные топологические инварианты для $a$-функций и для потоков Морса одинаковы. В частности, это означает, что между классами сопряженности $a$-функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса существует естественная биекция. Это есть отражение результата, принадлежащего Мейеру (K. R. Meyer). Прежде, чем его сформулировать, сделаем следующее замечание.

Замечание 5. Каждой функции Mорса $f$ на поверхности $M$ с римановой метрикой $g_{i j}$ соответствует градиентный поток $v=\operatorname{grad} f$. Однако, изменян метрику, мы можем получить градиентный поток, топологически траекторно не эквивалентный исходному (в частности, этот поток может вообще не являться потоком Морса). И обратно, если на поверхности задан поток Морса, то с точностью до топологической траекторной эквивалентности (см. замечание 2) его можно различными способами (в зависимости от выбора метрики) представить в виде градиентного потока некоторой функции Морса. При этом различные функции, соответствующие этому потоку, вполне могут оказаться топологически послойно не эквивалентными. Таким образом, соответствие между функциями Морса и потоками Морса существенным образом зависит от метрики.

Как показывает следующая теорема, для того, чтобы устранить зависимость от метрики, достаточно вместо произвольных функций Морса рассмотреть $a$-функции.
Теорема 1.4. Пусть $M$ – замкнутая двумерная поверхность. Зададим на $М$ некоторую риманову метрику $g_{i j}$.
1) Операция сопоставления а-функции ее градиентного потока (относительно метрики $g_{i j}$ ) устанавливает естественную биекцию между классами сопряженности а-функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.
2) Эта биекция не зависит от выбора метрики $g_{i j}$.

ЗАмЕчаниЕ 6. Теорема 1.4 фактически содержится в работе Мейера [18]. На самом деле там сформулирована не эта теорема, а более общее утверждение аналогичного характера о потоках Морса-Смейла. Однако это общее утверждение неверно (см. замечание 10), а приведенное доказательство проходит именно для случая потоков Морса.

ЗАмЕчАниЕ 7. Утверждение теоремы 1.4 по существу следует из доказанной в работе [8] теоремы классификации $a$-функций и описанного выше взаимно-однозначного соответствия между $f$-инвариантами и инвариантами Флейтаса ( $a$, значит, и другими инвариантами, классифицирующими потоки Морса). Действительно, как легко понять, это соответствие устроено так, что $a$-функции $f$ и потоку $\operatorname{grad} f$ сопоставляются одинаковые $f$-инварианты. Этим и задается биекция между классами сопряженности $a$ функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.

ЗАмЕчАНиЕ 8. Если поверхность $M$, на которой задан поток Морса (или $a$-функция) явлнется ориентированной, и мы рассматриваем гомеоморфизмы поверхностей, сохраняющие ориентацию, то определение $f$-инварианта в этом случае можно упростить. Неоднозначность представления $f$-инварианта в виде $f$-графа возникала из-за неоднозначности выбора ориентаций на окружностях, ограничивающих диски в поверхности. Если поверхность ориентирована, то, выбирая ориентации на окружностнх в соответствии с ориентациями дисков, мы получим $f$-граф, все метки которого равны +1 . Поэтому полным топологическим траекторным инвариантом потоков Морса на ориентированных поверхностях (относительно гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию) является $f$-граф без меток.

Отметим, что $f$-граф без меток, имеющий ровно один цикл из ориентированных ребер, аналогичен понятию хордовой диаграммы, возникающей в теории узлов (см. [15]). При таком подходе $f$-граф с несколькими циклами из ориентированных ребер можно рассматривать как хордовую диаграмму некоторого зацепления окружностей в $\mathbb{R}^{3}$.

Как было показано в этом параграфе, существует много (эквивалентных) полных топологических траекторных инвариантов для потоков Морса на поверхностях. Тот или иной инвариант может оказаться более удобным при решении различных задач. Например, используя трехцветные графы или $f$-графы, легко описать алгоритмы сравнения и перечисления потоков Морса (а также потоков Морса-Смейла), Отметим, что в ориентируемом случае описанные инварианты являются различными «представлениями» атомов, введенных в работе [4] в связи с классификацией интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Наша дальнейшая задача – классифицировать потоки Морса-Смейла на двумерных поверхностях. Основная идея: проводить классификацию в два этапа. Первый этап – описанная выше классификация потоков Морса, играющих в дальнейшем роль «атомов», из которых «склеиваются» произвольные потоки Морса-Смейла. Второй этап – описание «правил склейки» для «атомов» и построение «молекул». Этот подход будет реализован в следующем параграфе.