Пусть — компактное гладкое риманово многообразие с метрикой и пусть — пространство кокасательного расслоения на , координатами в котором служат переменные и , где — локальные координаты точки на , а — ковектор из . Напомним, что является гладким симплектическим -многообразием со стандартной 2 -формой . Рассмотрим на натуральную гамильтонову систему с гамильтонианом
где — тензор, обратный к метрическому, а — гладкий потенциал, заданный на .
Рассмотрим ( -мерный изоэнергетический уровень для достаточно большого значения энергии такого, что . Нетрудно заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной системы, задаваемой гамильтонианом
Действительно, . Эта система является геодезическим потоком римановой метрики на многообразии , где
Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изоэнергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпадают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что траектории гамильтоновых систем и на уровне совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их проекции на конфигурационное пространство . Это утверждение и называется обычно принципом Мопертюи.
Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнергетический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, имеющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной системы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов.
Теорема 6.1. Пусть — натуральная гамильтонова система на , и соответствуюший ей (в силу приниипа Мопертюи) геодезический поток.
а) Гамильтоново поле и гамильтоново поле , являющееся его образом при отображении Мопертюи, имеют одинаковые интегральные траектории на данном фиксированном уровне энергии . Следовательно, эти две гамильтоновы системы гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что здесь .
б) Если обладает гладким интегралом на данной изоэнергетическом поверхности (такие интегралы будем называть частными), то геодезический поток также обладает гладким интегралом (уже не частным, а полным) на всем кокасательном расслоении . При этом .
в) Если обладает интегралом, являющимся полиномом степени по импульсам, то геодезический поток обладает интегралом, который является однородным полиномом той же степени.
Доказательство.
Покажем, что на выбранной изоэнергетической поверхности гамильтоновы векторные поля и пропорциональны, т.е. связаны соотношением , где — некоторая гладкая положительная функция. Для этого достаточно показать, что аналогичным соотношением связаны дифференциалы гамильтонианов и . Имеем:
Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено соотношение , получаем:
Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль интегральных траекторий поля , дающие время поля . А именно, если время вдоль траекторий поля , а — время вдоль траекторий поля , то имеет место соотношение .
Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам и пропорциональны, т.е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Пусть — частный интеграл натуральной системы с гамильтонианом . Ясно, что на рассматриваемой изоэнергетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока, отвечающего гамильтониану . Пользуясь однородностью геодезического потока, интеграл можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодезического потока, по следующей естественной формуле:
где норма рассматривается в смысле римановой метрики .
При этом мы используем тот факт, что векторное поле является геодезическим потоком, и поэтому его интеграл можно распространить по однородности с одной фиксированной изоэнергетической поверхности на все пространство. Некоторые проблемы могут возникнуть на нулевом сечении, но нас это не будет интересовать, так как мы изучаем гамильтоновы системы на регулярных изоэнергетических ( -мерных многообразиях , отличных от нулевого -мерного сечения, гомеоморфного .
Убедимся, что функция действительно является интегралом геодезического потока. Отметим, что функция совпадает с исходным интегралом на исходной изоэнергетической поверхности . Нужно доказать, что функция постоянна на геодезических, т. е. что const. Ясно, что траектория тоже является геодезической, причем лежащей на уровне . Следовательно, имеем:
так как функция постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энергии .
Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток имел полиномиальный интеграл степени , то и поток также имеет интеграл той же степени .
Лемма 6.1. Пусть на интеграл потока имеет вид , где все мономы полинома имеют четную степень, а все мономы полинома имеют нечетную степень. Тогда каждый из полиномов и является по отдельности интегралом потока .
Доказательство.
Вычисляя скобку Пуассона интеграла с гамильтонианом , где — квадратичная часть, а — потенциал, т.е. гладкая функция, не зависящая от импульсов , получаем:
на гиперповерхности . Легко видеть, что и по отдельности являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только нечетные степени импульсов. Если тождество , т. е. , выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интеграл является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция является интегралом лишь на изоэнергетической поверхности , это утверждение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть условие в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетическая гиперповерхность вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый уравнением . Равенство нулю полинома на этой сфере означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином . Следовательно,
Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве (в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае
где разложение на полиномы, содержащие только четные степени и нечетные, соответственно. Так как содержит лишь четные степени импульсов, то — это полином только от четных степеней, а — только от нечетных степеней. Поскольку тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что
т.е. каждый из этих полиномов по отдельности обращается в ноль на гиперповерхности . Лемма доказана.
Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать, что полиномиальный интеграл состоит либо только из четных степеней, либо только из нечетных степеней. Поэтому интеграл можно записать в виде:
где — однородный полином степени по импульсам, с коэффициентами, зависящими только от .
Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве интеграла потока можно взять следующий однородный полином степени :
Он совпадает с интегралом на гиперповерхности и является однородным полиномом степени по импульсам. Поэтому на гиперповерхности . В силу однородности полинома это равенство нулю будет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и на нулевом сечении.
Теорема доказана.
Используя принцип Мопертюи, классификацию натуральных систем на двумерных поверхностях, допускающих квадратичные или линейные интегралы, можно свести к уже описанной выше классификации интегрируемых геодезических потоков. В качестве примера мы сформулируем здесь аналог теоремы 2.7 (см. главу 2 тома II), дающей локальное описание квадратично интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 6.2. Пусть на двумерном многообразии задана натуральная система с гамильтонианом вида
имеющая квадратичный интеграл
Предположим, что в некоторой точке две квадратичные формы и не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки существуют локальные регулярные коордиаты , в которых гамильтониан и интеграл примут следующий вид:
Здесь — некоторые гладкие функции на . Другими словами, если у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные разделяются.
Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для траекторий.
ЗамЕчаниЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотн можно сформулировать и ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируемые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например, при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена в главе 2 тома II.
Доказательство.
Ограничивая натуральную систему на уровень гамильтониана и применяя отображение Мопертюи, мы получаем на двумерной поверхности метрику, геодезический поток которой имеет гамильтониан вида и квадратичный интеграл вида . Для функций мы можем применить уже известную нам теорему о приведении квадратично интегрируемой метрики на двумерной поверхности к лиувиллевому виду. В результате возникают локальные координаты на , осуществляющие такое приведение. Важно отметить, что эти локальные координаты, как функции на поверхности, не зависят от выбора постоянной . В самом деле, нужно вспомнить доказательство теоремы локальной классификации квадратично интегрируемых метрик. См. главу 2 тома II. В доказательстве этой теоремы лиувиллевы координаты однозначно строились по голоморфной форме . В свою очередь однозначно определялась интегралом . Из явной формулы для формы сразу видно, что она не меняется при изменении постоянной . Более точно, она не меняется при добавлении к интегралу слагаемого, пропорционального гамильтониану. Поэтому в нашем случае форма полностью определяется квадратичной формой и не зависит от выбора постоянной .
В результате функции , полученные ранее из и в результате применения отображения Мопертюи, записываются в координатах и так:
Здесь — некоторые функции, зависящие от как от параметра. При этом координаты от не зависят.
Отсюда получаем, что и для некоторой гладкой функции . С другой стороны, сами квадратичные формы и коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7 из главы 2 тома II, они имеют вид
т.е. . Отсюда находим, что
Функция, стоящая в знаменателе, от параметра не зависит. Поэтому без ограничения общности можно положить, что
где и от параметра не зависят.
Таким образом, гамильтониан имеет требуемый вид. Перейдем теперь к интегралу . Мы имеем:
В этом равенстве нам известны функции . Требуется выразить отсюда функцию . Это нетрудно сделать, и в результате для получится следующее выражение:
Итак:
Теорема доказана.
Теперь мы можем написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на торе, являющемся совместным уровнем const и const. Top задается следующей системой уравнений:
Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые траектории совпадают с геодезическими метрики вида
Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем:
Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 6.1. Траектории натуральной системы на с гамильтонианом и квадратичным интегралом (см. формулы в теореме 6.2), лежащие на совместном уровне , задаются в разделяющихся переменны следующим уравнением: