Пусть $M^{n}$ — компактное гладкое риманово многообразие с метрикой $g_{i j}(x)$ и пусть $T^{*} M$ — пространство кокасательного расслоения на $M$, координатами в котором служат переменные $x$ и $p$, где $x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ — локальные координаты точки на $M$, а $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ — ковектор из $T_{x}^{*} M$. Напомним, что $T^{*} M$ является гладким симплектическим $2 n$-многообразием со стандартной 2 -формой $\omega=\sum d p_{i} \wedge d x^{i}$. Рассмотрим на $T^{*} M$ натуральную гамильтонову систему с гамильтонианом
\[
H=\sum g^{i j}(x) p_{i} p_{j}+V(x),
\]

где $g^{i j}$ — тензор, обратный к метрическому, а $V(x)$ — гладкий потенциал, заданный на $M$.

Рассмотрим ( $2 n-1)$-мерный изоэнергетический уровень $Q^{2 n-1}=\{H(x, p)=h\}$ для достаточно большого значения энергии $h$ такого, что $h>\max V(x)$. Нетрудно заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной системы, задаваемой гамильтонианом
\[
\widetilde{H}=\widetilde{H}_{h}=\sum \frac{g^{i j}(x)}{h-V(x)} p_{i} p_{j} .
\]

Действительно, $Q^{2 n-1}=\{\tilde{H}(x, p)=1\}$. Эта система является геодезическим потоком римановой метрики $d \widetilde{s}^{2}=\tilde{g}_{i j} d x^{i} d x^{j}$ на многообразии $M$, где
\[
\widetilde{g}_{i j}=(h-V(x)) g_{i j}(x) .
\]

Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изоэнергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпадают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что траектории гамильтоновых систем $v=\operatorname{sgrad} H$ и $\widetilde{v}=\operatorname{sgrad} \widetilde{H}$ на уровне $Q^{2 n-1}$ совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их проекции на конфигурационное пространство $M$. Это утверждение и называется обычно принципом Мопертюи.

Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнергетический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, имеющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной системы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов.
Теорема 6.1. Пусть $v=\operatorname{sgrad} H$ — натуральная гамильтонова система на $T^{*} M$, и $\widetilde{v}=\operatorname{sgrad} \widetilde{H}-$ соответствуюший ей (в силу приниипа Мопертюи) геодезический поток.
а) Гамильтоново поле $v$ и гамильтоново поле $\widetilde{v}$, являющееся его образом при отображении Мопертюи, имеют одинаковые интегральные траектории на данном фиксированном уровне энергии $Q^{2 n-1}=\{H=h\}$. Следовательно, эти две гамильтоновы системы гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что здесь $h>\max V(x)$.
б) Если $v$ обладает гладким интегралом $f(x, p)$ на данной изоэнергетическом поверхности $Q=\{H=h\}$ (такие интегралы будем называть частными), то геодезический поток $\widetilde{v}$ также обладает гладким интегралом $\tilde{f}(x, p)$ (уже не частным, а полным) на всем кокасательном расслоении $T^{*} M$. При этом $\left.f\right|_{Q}=\left.\tilde{f}\right|_{Q}$.
в) Если $v$ обладает интегралом, являющимся полиномом степени $m$ по импульсам, то геодезический поток $\tilde{v}$ обладает интегралом, который является однородным полиномом той же степени.

Доказательство.
Покажем, что на выбранной изоэнергетической поверхности $Q$ гамильтоновы векторные поля $v$ и $\widetilde{v}$ пропорциональны, т.е. связаны соотношением $\widetilde{v}=\lambda v$, где $\lambda$ — некоторая гладкая положительная функция. Для этого достаточно показать, что аналогичным соотношением связаны дифференциалы гамильтонианов $H$ и $\widetilde{H}$. Имеем:
\[
\begin{aligned}
H & =g^{i j}(x) p_{i} p_{j}+V(x)=K+V, \\
\widetilde{H} & =\frac{g^{i j}(x)}{h-V(x)} p_{1} p_{j}=\frac{K}{h-V(x)} .
\end{aligned}
\]

Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено соотношение $K=h-V$, получаем:
\[
\begin{aligned}
d \widetilde{H}=d\left(K(h-V)^{-1}\right) & =\{(h-V) d K+K d V\}(h-V)^{-2}= \\
& =\frac{(h-V)(d K+d V)}{(h-V)^{2}}=\frac{1}{h-V(x)} d H .
\end{aligned}
\]

Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль интегральных траекторий поля $v$, дающие время поля $\tilde{v}$. А именно, если $t-$ время вдоль траекторий поля $v$, а $\widetilde{t}$ — время вдоль траекторий поля $\tilde{v}$, то имеет место соотношение $\tilde{d t}=(h-V(x)) d t$.

Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам $H$ и $\widetilde{H}$ пропорциональны, т.е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Пусть $f$ — частный интеграл натуральной системы с гамильтонианом $H=K+V$. Ясно, что на рассматриваемой изоэнергетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока, отвечающего гамильтониану $\widetilde{H}$. Пользуясь однородностью геодезического потока, интеграл $f$ можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодезического потока, по следующей естественной формуле:
\[
\tilde{f}(x, p)=f\left(x, \frac{p}{|p|}\right),
\]

где норма $|p|$ рассматривается в смысле римановой метрики $\widetilde{g}_{i j}$.
При этом мы используем тот факт, что векторное поле $\widetilde{v}$ является геодезическим потоком, и поэтому его интеграл можно распространить по однородности с одной фиксированной изоэнергетической поверхности на все пространство. Некоторые проблемы могут возникнуть на нулевом сечении, но нас это не будет интересовать, так как мы изучаем гамильтоновы системы на регулярных изоэнергетических ( $2 n-1)$-мерных многообразиях $Q$, отличных от нулевого $n$-мерного сечения, гомеоморфного $M$.

Убедимся, что функция $\widetilde{f}(x, p)$ действительно является интегралом геодезического потока. Отметим, что функция $\tilde{f}(x, p)$ совпадает с исходным интегралом $f$ на исходной изоэнергетической поверхности $Q^{2 n-1}$. Нужно доказать, что функция $\widetilde{f}(x, p)$ постоянна на геодезических, т. е. что $\tilde{f}(x(t), p(t))=$ const. Ясно, что траектория $\left(x(t), \frac{p(t)}{|p(t)|}\right)$ тоже является геодезической, причем лежащей на уровне $Q=(\tilde{H}=1)$. Следовательно, имеем:
\[
\widetilde{f}(x(t), p(t))=f\left(x(t), \frac{p(t)}{|p(t)|}\right)=\text { const, }
\]

так как функция $f$ постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энергии $Q$.

Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток $v$ имел полиномиальный интеграл степени $m$, то и поток $\widetilde{v}$ также имеет интеграл той же степени $m$.
Лемма 6.1. Пусть на $T^{*} M^{n}$ интеграл $f$ потока $v$ имеет вид $X(p, x)+Y(p, x)$, где все мономы полинома $X(p, x)$ имеют четную степень, а все мономы полинома $Y(p, x)$ имеют нечетную степень. Тогда каждый из полиномов $X(p, x)$ и $Y(p, x)$ является по отдельности интегралом потока $v$.
Доказательство.
Вычисляя скобку Пуассона интеграла $f$ с гамильтонианом $H=K+V$, где $K$ — квадратичная часть, а $V$ — потенциал, т.е. гладкая функция, не зависящая от импульсов $p$, получаем:
\[
\{H, X\}+\{H, Y\}=0
\]

на гиперповерхности $Q^{2 n-1}$. Легко видеть, что $\{H, X\}$ и $\{H, Y\}$ по отдельности являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только нечетные степени импульсов. Если тождество $\{H, f\}=0$, т. е. $\{H, X\}+\{H, Y\}=0$, выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интеграл $f$ является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция $f$ является интегралом лишь на изоэнергетической поверхности $Q^{2 n-1}$, это утверждение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть условие $\{H, X\}+\{H, Y\}=0$ в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетическая гиперповерхность $Q$ вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый уравнением $H=h$. Равенство нулю полинома $\{H, X\}+\{H, Y\}$ на этой сфере означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином $H-h$. Следовательно,
\[
\{H, X\}+\{H, Y\}=(H-1) Z .
\]

Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве (в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае
\[
\{H, X\}+\{H, Y\}=(H-h) Z_{\text {четный }}+(H-h) Z_{\text {нечетный }},
\]

где $Z=Z_{\text {четный }}+Z_{\text {нечетный }}-$ разложение $Z$ на полиномы, содержащие только четные степени и нечетные, соответственно. Так как $H-h$ содержит лишь четные степени импульсов, то $(H-h) Z_{\text {четный }}$ — это полином только от четных степеней, а $(H-h) Z_{\text {нечетный }}$ — только от нечетных степеней. Поскольку тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что
\[
\{H, X\}=(H-h) Z_{\text {четный }}\{H, Y\}=(H-h) Z_{\text {нечетный }},
\]
т.е. каждый из этих полиномов по отдельности обращается в ноль на гиперповерхности $H-h=0$. Лемма доказана.

Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать, что полиномиальный интеграл $f$ состоит либо только из четных степеней, либо только из нечетных степеней. Поэтому интеграл $f$ можно записать в виде:
\[
f=X_{k}(p, x)+X_{k-2}(p, x)+X_{k-4}(p, x)+\ldots,
\]

где $X_{s}$ — однородный полином степени $s$ по импульсам, с коэффициентами, зависящими только от $x$.

Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве интеграла $\widetilde{f}$ потока $\widetilde{v}$ можно взять следующий однородный полином степени $k$ :
\[
\tilde{f}=X_{k}(p, x)+|p|^{2} X_{k-2}(p, x)+|p|^{4} X_{k-4}(p, x)+\ldots
\]

Он совпадает с интегралом $f$ на гиперповерхности $Q_{\sim}$ и является однородным полиномом степени $m$ по импульсам. Поэтому $\{\widetilde{f}, \widetilde{H}\}=\{\widetilde{f}, H\}=0$ на гиперповерхности $Q$. В силу однородности полинома $\tilde{f}$ это равенство нулю будет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и на нулевом сечении.
Теорема доказана.
Используя принцип Мопертюи, классификацию натуральных систем на двумерных поверхностях, допускающих квадратичные или линейные интегралы, можно свести к уже описанной выше классификации интегрируемых геодезических потоков. В качестве примера мы сформулируем здесь аналог теоремы 2.7 (см. главу 2 тома II), дающей локальное описание квадратично интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 6.2. Пусть на двумерном многообразии $M$ задана натуральная система с гамильтонианом вида
\[
H=\sum g^{i j}(x) p_{i} p_{j}+V(x)=K+V,
\]

имеющая квадратичный интеграл
\[
F=\sum b^{i j}(x) p_{i} p_{j}+U(x)=B+U .
\]

Предположим, что в некоторой точке $x_{0} \in M^{2}$ две квадратичные формы $К$ и $B$ не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки $x_{0}$ существуют локальные регулярные коордиаты $(u, v)$, в которых гамильтониан $H$ и интеграл $F$ примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{f(u)+g(v)}+\frac{Z(u)+W(v)}{f(u)+g(v)} \\
F=\frac{g(v) p_{u}^{2}-f(u) p_{v}^{2}}{f(u)+g(v)}+\frac{g(v) Z(u)-f(u) W(v)}{f(u)+g(v)} .
\end{array}
\]

Здесь $f, g, Z, W$ — некоторые гладкие функции на $M^{2}$. Другими словами, если у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные разделяются.

Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для траекторий.

ЗамЕчаниЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотн можно сформулировать и ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируемые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например, при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена в главе 2 тома II.
Доказательство.
Ограничивая натуральную систему на уровень гамильтониана $H=h$ и применяя отображение Мопертюи, мы получаем на двумерной поверхности метрику, геодезический поток которой имеет гамильтониан вида $\widetilde{H}=K(h-V)^{-1}$ и квадратичный интеграл вида $\widetilde{F}=B+U \widetilde{H}$. Для функций $\widetilde{H}, \widetilde{F}$ мы можем применить уже известную нам теорему о приведении квадратично интегрируемой метрики на двумерной поверхности к лиувиллевому виду. В результате возникают локальные координаты $u, v$ на $M^{2}$, осуществляющие такое приведение. Важно отметить, что эти локальные координаты, как функции на поверхности, не зависят от выбора постоянной $h$. В самом деле, нужно вспомнить доказательство теоремы локальной классификации квадратично интегрируемых метрик. См. главу 2 тома II. В доказательстве этой теоремы лиувиллевы координаты $u, v$ однозначно строились по голоморфной форме $R$. В свою очередь $R$ однозначно определялась интегралом $F$. Из явной формулы для формы $R$ сразу видно, что она не меняется при изменении постоянной $h$. Более точно, она не меняется при добавлении к интегралу $F$ слагаемого, пропорционального гамильтониану. Поэтому в нашем случае форма $R$ полностью определяется квадратичной формой $B$ и не зависит от выбора постоянной $h$.

В результате функции $\widetilde{H}, \widetilde{K}$, полученные ранее из $H$ и $K$ в результате применения отображения Мопертюи, записываются в координатах $u$ и $v$ так:
\[
\begin{aligned}
\widetilde{H} & =K(h-V)^{-1}=\left[f_{h}(u)+g_{h}(v)\right]^{-1}\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right), \\
\widetilde{F} & =B+U K(h-V)^{-1}=\left[f_{h}(u)+g_{h}(v)\right]^{-1}\left(g_{h}(v) p_{u}^{2}-f_{h}(u) p_{v}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $f_{h}, g_{h}$ — некоторые функции, зависящие от $h$ как от параметра. При этом координаты $u, v$ от $h$ не зависят.

Отсюда получаем, что $K=\lambda^{-1}\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right)$ и $h-V=\lambda^{-1}\left[f_{h}(u)+g_{h}(v)\right]$ для некоторой гладкой функции $\lambda(u, v)$. С другой стороны, сами квадратичные формы $K$ и $B$ коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7 из главы 2 тома II, они имеют вид
\[
K=[f(u)+g(v)]\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right), \quad B=[f(u)+g(v)]^{-1}\left(g(v) p_{u}^{2}-f(u) p_{v}^{2}\right),
\]
т.е. $\lambda(u, v)=[f(u)+g(v)]$. Отсюда находим, что
\[
V=[f(u)+g(v)]^{-1}\left(\left(f(u) h-f_{h}(u)\right)+\left(g(v) h-g_{h}(v)\right)\right) .
\]

Функция, стоящая в знаменателе, от параметра $h$ не зависит. Поэтому без ограничения общности можно положить, что
\[
f(u) h-f_{h}(u)=Z(u), g(v) h-g_{h}(v)=W(v),
\]

где $Z$ и $W$ от параметра $h$ не зависят.

Таким образом, гамильтониан $H$ имеет требуемый вид. Перейдем теперь к интегралу $\boldsymbol{F}$. Мы имеем:
\[
\widetilde{F}=B+U K(h-V)^{-1}=[f(u)+g(v)]^{-1}\left(g_{h}(v) p_{u}^{2}-f_{h}(u) p_{v}^{2}\right) .
\]

В этом равенстве нам известны функции $B, K, V$. Требуется выразить отсюда функцию $U$. Это нетрудно сделать, и в результате для $U$ получится следующее выражение:
\[
U=[f(u)+g(v)]^{-1}[g(v) Z(u)-f(u) W(v)] .
\]

Итак:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{Z+W}{f+g} \\
F=\frac{g p_{u}^{2}-f p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{g Z-f W}{f+g} .
\end{array}
\]

Теорема доказана.
Теперь мы можем написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на торе, являющемся совместным уровнем $H=h=$ const и $F=a=$ const. Top задается следующей системой уравнений:
\[
\begin{array}{r}
\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{Z+W}{f+g}=h, \\
\frac{g p_{u}^{2}-f p_{v}^{2}}{f+g}+\frac{g Z-f W}{f+g}=a .
\end{array}
\]

Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые траектории совпадают с геодезическими метрики вида
\[
d s^{2}=[(h f-Z)+(h g-W)]\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем:
\[
\int(h f-Z+a)^{-\frac{1}{2}} d x \pm \int(h g-W-a)^{-\frac{1}{2}} d y=c .
\]

Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 6.1. Траектории натуральной системы на $M^{2}$ с гамильтонианом $H$ и квадратичным интегралом $F$ (см. формулы в теореме 6.2), лежащие на совместном уровне $\{H=h, F=a\}$, задаются в разделяющихся переменны $(u, v)$ следующим уравнением:
\[
\int \frac{d x}{\sqrt{h f(x)-Z(x)+a}} \pm \int \frac{d y}{\sqrt{h g(y)-W(y)-a}}=c .
\]