Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Пусть $M^{n}$ – компактное гладкое риманово многообразие с метрикой $g_{i j}(x)$ и пусть $T^{*} M$ – пространство кокасательного расслоения на $M$, координатами в котором служат переменные $x$ и $p$, где $x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ – локальные координаты точки на $M$, а $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ – ковектор из $T_{x}^{*} M$. Напомним, что $T^{*} M$ является гладким симплектическим $2 n$-многообразием со стандартной 2 -формой $\omega=\sum d p_{i} \wedge d x^{i}$. Рассмотрим на $T^{*} M$ натуральную гамильтонову систему с гамильтонианом где $g^{i j}$ – тензор, обратный к метрическому, а $V(x)$ – гладкий потенциал, заданный на $M$. Рассмотрим ( $2 n-1)$-мерный изоэнергетический уровень $Q^{2 n-1}=\{H(x, p)=h\}$ для достаточно большого значения энергии $h$ такого, что $h>\max V(x)$. Нетрудно заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной системы, задаваемой гамильтонианом Действительно, $Q^{2 n-1}=\{\tilde{H}(x, p)=1\}$. Эта система является геодезическим потоком римановой метрики $d \widetilde{s}^{2}=\tilde{g}_{i j} d x^{i} d x^{j}$ на многообразии $M$, где Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изоэнергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпадают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что траектории гамильтоновых систем $v=\operatorname{sgrad} H$ и $\widetilde{v}=\operatorname{sgrad} \widetilde{H}$ на уровне $Q^{2 n-1}$ совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их проекции на конфигурационное пространство $M$. Это утверждение и называется обычно принципом Мопертюи. Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнергетический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, имеющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной системы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов. Доказательство. Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено соотношение $K=h-V$, получаем: Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль интегральных траекторий поля $v$, дающие время поля $\tilde{v}$. А именно, если $t-$ время вдоль траекторий поля $v$, а $\widetilde{t}$ – время вдоль траекторий поля $\tilde{v}$, то имеет место соотношение $\tilde{d t}=(h-V(x)) d t$. Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам $H$ и $\widetilde{H}$ пропорциональны, т.е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе утверждение. Пусть $f$ – частный интеграл натуральной системы с гамильтонианом $H=K+V$. Ясно, что на рассматриваемой изоэнергетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока, отвечающего гамильтониану $\widetilde{H}$. Пользуясь однородностью геодезического потока, интеграл $f$ можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодезического потока, по следующей естественной формуле: где норма $|p|$ рассматривается в смысле римановой метрики $\widetilde{g}_{i j}$. Убедимся, что функция $\widetilde{f}(x, p)$ действительно является интегралом геодезического потока. Отметим, что функция $\tilde{f}(x, p)$ совпадает с исходным интегралом $f$ на исходной изоэнергетической поверхности $Q^{2 n-1}$. Нужно доказать, что функция $\widetilde{f}(x, p)$ постоянна на геодезических, т. е. что $\tilde{f}(x(t), p(t))=$ const. Ясно, что траектория $\left(x(t), \frac{p(t)}{|p(t)|}\right)$ тоже является геодезической, причем лежащей на уровне $Q=(\tilde{H}=1)$. Следовательно, имеем: так как функция $f$ постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энергии $Q$. Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток $v$ имел полиномиальный интеграл степени $m$, то и поток $\widetilde{v}$ также имеет интеграл той же степени $m$. на гиперповерхности $Q^{2 n-1}$. Легко видеть, что $\{H, X\}$ и $\{H, Y\}$ по отдельности являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только нечетные степени импульсов. Если тождество $\{H, f\}=0$, т. е. $\{H, X\}+\{H, Y\}=0$, выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интеграл $f$ является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция $f$ является интегралом лишь на изоэнергетической поверхности $Q^{2 n-1}$, это утверждение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть условие $\{H, X\}+\{H, Y\}=0$ в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетическая гиперповерхность $Q$ вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый уравнением $H=h$. Равенство нулю полинома $\{H, X\}+\{H, Y\}$ на этой сфере означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином $H-h$. Следовательно, Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве (в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае где $Z=Z_{\text {четный }}+Z_{\text {нечетный }}-$ разложение $Z$ на полиномы, содержащие только четные степени и нечетные, соответственно. Так как $H-h$ содержит лишь четные степени импульсов, то $(H-h) Z_{\text {четный }}$ – это полином только от четных степеней, а $(H-h) Z_{\text {нечетный }}$ – только от нечетных степеней. Поскольку тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать, что полиномиальный интеграл $f$ состоит либо только из четных степеней, либо только из нечетных степеней. Поэтому интеграл $f$ можно записать в виде: где $X_{s}$ – однородный полином степени $s$ по импульсам, с коэффициентами, зависящими только от $x$. Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве интеграла $\widetilde{f}$ потока $\widetilde{v}$ можно взять следующий однородный полином степени $k$ : Он совпадает с интегралом $f$ на гиперповерхности $Q_{\sim}$ и является однородным полиномом степени $m$ по импульсам. Поэтому $\{\widetilde{f}, \widetilde{H}\}=\{\widetilde{f}, H\}=0$ на гиперповерхности $Q$. В силу однородности полинома $\tilde{f}$ это равенство нулю будет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и на нулевом сечении. имеющая квадратичный интеграл Предположим, что в некоторой точке $x_{0} \in M^{2}$ две квадратичные формы $К$ и $B$ не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки $x_{0}$ существуют локальные регулярные коордиаты $(u, v)$, в которых гамильтониан $H$ и интеграл $F$ примут следующий вид: Здесь $f, g, Z, W$ – некоторые гладкие функции на $M^{2}$. Другими словами, если у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные разделяются. Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для траекторий. ЗамЕчаниЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотн можно сформулировать и ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируемые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например, при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена в главе 2 тома II. В результате функции $\widetilde{H}, \widetilde{K}$, полученные ранее из $H$ и $K$ в результате применения отображения Мопертюи, записываются в координатах $u$ и $v$ так: Здесь $f_{h}, g_{h}$ – некоторые функции, зависящие от $h$ как от параметра. При этом координаты $u, v$ от $h$ не зависят. Отсюда получаем, что $K=\lambda^{-1}\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right)$ и $h-V=\lambda^{-1}\left[f_{h}(u)+g_{h}(v)\right]$ для некоторой гладкой функции $\lambda(u, v)$. С другой стороны, сами квадратичные формы $K$ и $B$ коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7 из главы 2 тома II, они имеют вид Функция, стоящая в знаменателе, от параметра $h$ не зависит. Поэтому без ограничения общности можно положить, что где $Z$ и $W$ от параметра $h$ не зависят. Таким образом, гамильтониан $H$ имеет требуемый вид. Перейдем теперь к интегралу $\boldsymbol{F}$. Мы имеем: В этом равенстве нам известны функции $B, K, V$. Требуется выразить отсюда функцию $U$. Это нетрудно сделать, и в результате для $U$ получится следующее выражение: Итак: Теорема доказана. Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые траектории совпадают с геодезическими метрики вида Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем: Мы доказали следующее утверждение.
|
1 |
Оглавление
|