Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ (А. В. Болсинов А. Т. Фоменко)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Пусть Mn — компактное гладкое риманово многообразие с метрикой gij(x) и пусть TM — пространство кокасательного расслоения на M, координатами в котором служат переменные x и p, где x=(x1,,xn) — локальные координаты точки на M, а p=(p1,,pn) — ковектор из TxM. Напомним, что TM является гладким симплектическим 2n-многообразием со стандартной 2 -формой ω=dpidxi. Рассмотрим на TM натуральную гамильтонову систему с гамильтонианом
H=gij(x)pipj+V(x),

где gij — тензор, обратный к метрическому, а V(x) — гладкий потенциал, заданный на M.

Рассмотрим ( 2n1)-мерный изоэнергетический уровень Q2n1={H(x,p)=h} для достаточно большого значения энергии h такого, что h>maxV(x). Нетрудно заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной системы, задаваемой гамильтонианом
H~=H~h=gij(x)hV(x)pipj.

Действительно, Q2n1={H~(x,p)=1}. Эта система является геодезическим потоком римановой метрики ds~2=g~ijdxidxj на многообразии M, где
g~ij=(hV(x))gij(x).

Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изоэнергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпадают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что траектории гамильтоновых систем v=sgradH и v~=sgradH~ на уровне Q2n1 совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их проекции на конфигурационное пространство M. Это утверждение и называется обычно принципом Мопертюи.

Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнергетический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, имеющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной системы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов.
Теорема 6.1. Пусть v=sgradH — натуральная гамильтонова система на TM, и v~=sgradH~ соответствуюший ей (в силу приниипа Мопертюи) геодезический поток.
а) Гамильтоново поле v и гамильтоново поле v~, являющееся его образом при отображении Мопертюи, имеют одинаковые интегральные траектории на данном фиксированном уровне энергии Q2n1={H=h}. Следовательно, эти две гамильтоновы системы гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что здесь h>maxV(x).
б) Если v обладает гладким интегралом f(x,p) на данной изоэнергетическом поверхности Q={H=h} (такие интегралы будем называть частными), то геодезический поток v~ также обладает гладким интегралом f~(x,p) (уже не частным, а полным) на всем кокасательном расслоении TM. При этом f|Q=f~|Q.
в) Если v обладает интегралом, являющимся полиномом степени m по импульсам, то геодезический поток v~ обладает интегралом, который является однородным полиномом той же степени.

Доказательство.
Покажем, что на выбранной изоэнергетической поверхности Q гамильтоновы векторные поля v и v~ пропорциональны, т.е. связаны соотношением v~=λv, где λ — некоторая гладкая положительная функция. Для этого достаточно показать, что аналогичным соотношением связаны дифференциалы гамильтонианов H и H~. Имеем:
H=gij(x)pipj+V(x)=K+V,H~=gij(x)hV(x)p1pj=KhV(x).

Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено соотношение K=hV, получаем:
dH~=d(K(hV)1)={(hV)dK+KdV}(hV)2==(hV)(dK+dV)(hV)2=1hV(x)dH.

Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль интегральных траекторий поля v, дающие время поля v~. А именно, если t время вдоль траекторий поля v, а t~ — время вдоль траекторий поля v~, то имеет место соотношение dt~=(hV(x))dt.

Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам H и H~ пропорциональны, т.е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Пусть f — частный интеграл натуральной системы с гамильтонианом H=K+V. Ясно, что на рассматриваемой изоэнергетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока, отвечающего гамильтониану H~. Пользуясь однородностью геодезического потока, интеграл f можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодезического потока, по следующей естественной формуле:
f~(x,p)=f(x,p|p|),

где норма |p| рассматривается в смысле римановой метрики g~ij.
При этом мы используем тот факт, что векторное поле v~ является геодезическим потоком, и поэтому его интеграл можно распространить по однородности с одной фиксированной изоэнергетической поверхности на все пространство. Некоторые проблемы могут возникнуть на нулевом сечении, но нас это не будет интересовать, так как мы изучаем гамильтоновы системы на регулярных изоэнергетических ( 2n1)-мерных многообразиях Q, отличных от нулевого n-мерного сечения, гомеоморфного M.

Убедимся, что функция f~(x,p) действительно является интегралом геодезического потока. Отметим, что функция f~(x,p) совпадает с исходным интегралом f на исходной изоэнергетической поверхности Q2n1. Нужно доказать, что функция f~(x,p) постоянна на геодезических, т. е. что f~(x(t),p(t))= const. Ясно, что траектория (x(t),p(t)|p(t)|) тоже является геодезической, причем лежащей на уровне Q=(H~=1). Следовательно, имеем:
f~(x(t),p(t))=f(x(t),p(t)|p(t)|)= const, 

так как функция f постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энергии Q.

Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток v имел полиномиальный интеграл степени m, то и поток v~ также имеет интеграл той же степени m.
Лемма 6.1. Пусть на TMn интеграл f потока v имеет вид X(p,x)+Y(p,x), где все мономы полинома X(p,x) имеют четную степень, а все мономы полинома Y(p,x) имеют нечетную степень. Тогда каждый из полиномов X(p,x) и Y(p,x) является по отдельности интегралом потока v.
Доказательство.
Вычисляя скобку Пуассона интеграла f с гамильтонианом H=K+V, где K — квадратичная часть, а V — потенциал, т.е. гладкая функция, не зависящая от импульсов p, получаем:
{H,X}+{H,Y}=0

на гиперповерхности Q2n1. Легко видеть, что {H,X} и {H,Y} по отдельности являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только нечетные степени импульсов. Если тождество {H,f}=0, т. е. {H,X}+{H,Y}=0, выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интеграл f является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция f является интегралом лишь на изоэнергетической поверхности Q2n1, это утверждение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть условие {H,X}+{H,Y}=0 в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетическая гиперповерхность Q вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый уравнением H=h. Равенство нулю полинома {H,X}+{H,Y} на этой сфере означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином Hh. Следовательно,
{H,X}+{H,Y}=(H1)Z.

Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве (в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае
{H,X}+{H,Y}=(Hh)Zчетный +(Hh)Zнечетный ,

где Z=Zчетный +Zнечетный  разложение Z на полиномы, содержащие только четные степени и нечетные, соответственно. Так как Hh содержит лишь четные степени импульсов, то (Hh)Zчетный  — это полином только от четных степеней, а (Hh)Zнечетный  — только от нечетных степеней. Поскольку тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что
{H,X}=(Hh)Zчетный {H,Y}=(Hh)Zнечетный ,
т.е. каждый из этих полиномов по отдельности обращается в ноль на гиперповерхности Hh=0. Лемма доказана.

Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать, что полиномиальный интеграл f состоит либо только из четных степеней, либо только из нечетных степеней. Поэтому интеграл f можно записать в виде:
f=Xk(p,x)+Xk2(p,x)+Xk4(p,x)+,

где Xs — однородный полином степени s по импульсам, с коэффициентами, зависящими только от x.

Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве интеграла f~ потока v~ можно взять следующий однородный полином степени k :
f~=Xk(p,x)+|p|2Xk2(p,x)+|p|4Xk4(p,x)+

Он совпадает с интегралом f на гиперповерхности Q и является однородным полиномом степени m по импульсам. Поэтому {f~,H~}={f~,H}=0 на гиперповерхности Q. В силу однородности полинома f~ это равенство нулю будет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и на нулевом сечении.
Теорема доказана.
Используя принцип Мопертюи, классификацию натуральных систем на двумерных поверхностях, допускающих квадратичные или линейные интегралы, можно свести к уже описанной выше классификации интегрируемых геодезических потоков. В качестве примера мы сформулируем здесь аналог теоремы 2.7 (см. главу 2 тома II), дающей локальное описание квадратично интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 6.2. Пусть на двумерном многообразии M задана натуральная система с гамильтонианом вида
H=gij(x)pipj+V(x)=K+V,

имеющая квадратичный интеграл
F=bij(x)pipj+U(x)=B+U.

Предположим, что в некоторой точке x0M2 две квадратичные формы К и B не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки x0 существуют локальные регулярные коордиаты (u,v), в которых гамильтониан H и интеграл F примут следующий вид:
H=pu2+pv2f(u)+g(v)+Z(u)+W(v)f(u)+g(v)F=g(v)pu2f(u)pv2f(u)+g(v)+g(v)Z(u)f(u)W(v)f(u)+g(v).

Здесь f,g,Z,W — некоторые гладкие функции на M2. Другими словами, если у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные разделяются.

Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для траекторий.

ЗамЕчаниЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотн можно сформулировать и ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируемые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например, при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена в главе 2 тома II.
Доказательство.
Ограничивая натуральную систему на уровень гамильтониана H=h и применяя отображение Мопертюи, мы получаем на двумерной поверхности метрику, геодезический поток которой имеет гамильтониан вида H~=K(hV)1 и квадратичный интеграл вида F~=B+UH~. Для функций H~,F~ мы можем применить уже известную нам теорему о приведении квадратично интегрируемой метрики на двумерной поверхности к лиувиллевому виду. В результате возникают локальные координаты u,v на M2, осуществляющие такое приведение. Важно отметить, что эти локальные координаты, как функции на поверхности, не зависят от выбора постоянной h. В самом деле, нужно вспомнить доказательство теоремы локальной классификации квадратично интегрируемых метрик. См. главу 2 тома II. В доказательстве этой теоремы лиувиллевы координаты u,v однозначно строились по голоморфной форме R. В свою очередь R однозначно определялась интегралом F. Из явной формулы для формы R сразу видно, что она не меняется при изменении постоянной h. Более точно, она не меняется при добавлении к интегралу F слагаемого, пропорционального гамильтониану. Поэтому в нашем случае форма R полностью определяется квадратичной формой B и не зависит от выбора постоянной h.

В результате функции H~,K~, полученные ранее из H и K в результате применения отображения Мопертюи, записываются в координатах u и v так:
H~=K(hV)1=[fh(u)+gh(v)]1(pu2+pv2),F~=B+UK(hV)1=[fh(u)+gh(v)]1(gh(v)pu2fh(u)pv2).

Здесь fh,gh — некоторые функции, зависящие от h как от параметра. При этом координаты u,v от h не зависят.

Отсюда получаем, что K=λ1(pu2+pv2) и hV=λ1[fh(u)+gh(v)] для некоторой гладкой функции λ(u,v). С другой стороны, сами квадратичные формы K и B коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7 из главы 2 тома II, они имеют вид
K=[f(u)+g(v)](pu2+pv2),B=[f(u)+g(v)]1(g(v)pu2f(u)pv2),
т.е. λ(u,v)=[f(u)+g(v)]. Отсюда находим, что
V=[f(u)+g(v)]1((f(u)hfh(u))+(g(v)hgh(v))).

Функция, стоящая в знаменателе, от параметра h не зависит. Поэтому без ограничения общности можно положить, что
f(u)hfh(u)=Z(u),g(v)hgh(v)=W(v),

где Z и W от параметра h не зависят.

Таким образом, гамильтониан H имеет требуемый вид. Перейдем теперь к интегралу F. Мы имеем:
F~=B+UK(hV)1=[f(u)+g(v)]1(gh(v)pu2fh(u)pv2).

В этом равенстве нам известны функции B,K,V. Требуется выразить отсюда функцию U. Это нетрудно сделать, и в результате для U получится следующее выражение:
U=[f(u)+g(v)]1[g(v)Z(u)f(u)W(v)].

Итак:
H=pu2+pv2f+g+Z+Wf+gF=gpu2fpv2f+g+gZfWf+g.

Теорема доказана.
Теперь мы можем написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на торе, являющемся совместным уровнем H=h= const и F=a= const. Top задается следующей системой уравнений:
pu2+pv2f+g+Z+Wf+g=h,gpu2fpv2f+g+gZfWf+g=a.

Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые траектории совпадают с геодезическими метрики вида
ds2=[(hfZ)+(hgW)](du2+dv2).

Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем:
(hfZ+a)12dx±(hgWa)12dy=c.

Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 6.1. Траектории натуральной системы на M2 с гамильтонианом H и квадратичным интегралом F (см. формулы в теореме 6.2), лежащие на совместном уровне {H=h,F=a}, задаются в разделяющихся переменны (u,v) следующим уравнением:
dxhf(x)Z(x)+a±dyhg(y)W(y)a=c.

1
Оглавление
email@scask.ru