Пусть $M^n$ — компактное гладкое риманово многообразие с метрикой $g_{ij}(x)$ и пусть $T^{\ast }M$ — пространство кокасательного расслоения на $M$, координатами в котором служат переменные $x$ и $p$, где $x=(x^1,\dots ,x^n)$ — локальные координаты точки на $M$, а $p=(p_1,\dots ,p_n)$ — ковектор из $T_x^{\ast }M$. Напомним, что $T^{\ast }M$ является гладким симплектическим $2n$-многообразием со стандартной 2 -формой $\omega =\sum d{p}_i\wedge d{x}^i$. Рассмотрим на $T^{\ast }M$ натуральную гамильтонову систему с гамильтонианом
$$H=\sum g^{ij}(x)p_i{p}_j+V(x),$$

где $g^{ij}$ — тензор, обратный к метрическому, а $V(x)$ — гладкий потенциал, заданный на $M$.

Рассмотрим ( $2n-1)$-мерный изоэнергетический уровень $Q^{2n-1}=\{H(x,p)=h\}$ для достаточно большого значения энергии $h$ такого, что $h>maxV(x)$. Нетрудно заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной системы, задаваемой гамильтонианом
$$\tilde{H}={\tilde{H}}_h=\sum \frac{g^{ij}(x)}{h-V(x)}{p}_i{p}_j.$$

Действительно, $Q^{2n-1}=\{\tilde{H}(x,p)=1\}$. Эта система является геодезическим потоком римановой метрики $d{\tilde{s}}^2={\tilde{g}}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ на многообразии $M$, где
$${\tilde{g}}_{ij}=(h-V(x))g_{ij}(x).$$

Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изоэнергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпадают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что траектории гамильтоновых систем $v=\mathrm{sgrad}H$ и $\tilde{v}=\mathrm{sgrad}\tilde{H}$ на уровне $Q^{2n-1}$ совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их проекции на конфигурационное пространство $M$. Это утверждение и называется обычно принципом Мопертюи.

Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнергетический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, имеющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной системы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов.
Теорема 6.1. Пусть $v=\mathrm{sgrad}H$ — натуральная гамильтонова система на $T^{\ast }M$, и $\tilde{v}=\mathrm{sgrad}\tilde{H}-$ соответствуюший ей (в силу приниипа Мопертюи) геодезический поток.
а) Гамильтоново поле $v$ и гамильтоново поле $\tilde{v}$, являющееся его образом при отображении Мопертюи, имеют одинаковые интегральные траектории на данном фиксированном уровне энергии $Q^{2n-1}=\{H=h\}$. Следовательно, эти две гамильтоновы системы гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что здесь $h>maxV(x)$.
б) Если $v$ обладает гладким интегралом $f(x,p)$ на данной изоэнергетическом поверхности $Q=\{H=h\}$ (такие интегралы будем называть частными), то геодезический поток $\tilde{v}$ также обладает гладким интегралом $\tilde{f}(x,p)$ (уже не частным, а полным) на всем кокасательном расслоении $T^{\ast }M$. При этом ${f|}_Q={\tilde{f}|}_Q$.
в) Если $v$ обладает интегралом, являющимся полиномом степени $m$ по импульсам, то геодезический поток $\tilde{v}$ обладает интегралом, который является однородным полиномом той же степени.

Доказательство.
Покажем, что на выбранной изоэнергетической поверхности $Q$ гамильтоновы векторные поля $v$ и $\tilde{v}$ пропорциональны, т.е. связаны соотношением $\tilde{v}=\lambda v$, где $\lambda$ — некоторая гладкая положительная функция. Для этого достаточно показать, что аналогичным соотношением связаны дифференциалы гамильтонианов $H$ и $\tilde{H}$. Имеем:
$$\begin{array}{rl}H& =g^{ij}(x)p_i{p}_j+V(x)=K+V,\\ \tilde{H}& =\frac{g^{ij}(x)}{h-V(x)}{p}_1{p}_j=\frac{K}{h-V(x)}.\end{array}$$

Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено соотношение $K=h-V$, получаем:
$$\begin{array}{rl}d\tilde{H}=d(K(h-V{)}^{-1})& =\{(h-V)dK+KdV\}(h-V{)}^{-2}=\\ & =\frac{(h-V)(dK+dV)}{(h-V{)}^2}=\frac{1}{h-V(x)}dH.\end{array}$$

Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль интегральных траекторий поля $v$, дающие время поля $\tilde{v}$. А именно, если $t-$ время вдоль траекторий поля $v$, а $\tilde{t}$ — время вдоль траекторий поля $\tilde{v}$, то имеет место соотношение $\widetilde{dt}=(h-V(x))dt$.

Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам $H$ и $\tilde{H}$ пропорциональны, т.е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Пусть $f$ — частный интеграл натуральной системы с гамильтонианом $H=K+V$. Ясно, что на рассматриваемой изоэнергетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока, отвечающего гамильтониану $\tilde{H}$. Пользуясь однородностью геодезического потока, интеграл $f$ можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодезического потока, по следующей естественной формуле:
$$\tilde{f}(x,p)=f(x,\frac{p}{|p|}),$$

где норма $|p|$ рассматривается в смысле римановой метрики ${\tilde{g}}_{ij}$.
При этом мы используем тот факт, что векторное поле $\tilde{v}$ является геодезическим потоком, и поэтому его интеграл можно распространить по однородности с одной фиксированной изоэнергетической поверхности на все пространство. Некоторые проблемы могут возникнуть на нулевом сечении, но нас это не будет интересовать, так как мы изучаем гамильтоновы системы на регулярных изоэнергетических ( $2n-1)$-мерных многообразиях $Q$, отличных от нулевого $n$-мерного сечения, гомеоморфного $M$.

Убедимся, что функция $\tilde{f}(x,p)$ действительно является интегралом геодезического потока. Отметим, что функция $\tilde{f}(x,p)$ совпадает с исходным интегралом $f$ на исходной изоэнергетической поверхности $Q^{2n-1}$. Нужно доказать, что функция $\tilde{f}(x,p)$ постоянна на геодезических, т. е. что $\tilde{f}(x(t),p(t))=$ const. Ясно, что траектория $(x(t),\frac{p(t)}{|p(t)|})$ тоже является геодезической, причем лежащей на уровне $Q=(\tilde{H}=1)$. Следовательно, имеем:
$$\tilde{f}(x(t),p(t))=f(x(t),\frac{p(t)}{|p(t)|})=\text{ const, }$$

так как функция $f$ постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энергии $Q$.

Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток $v$ имел полиномиальный интеграл степени $m$, то и поток $\tilde{v}$ также имеет интеграл той же степени $m$.
Лемма 6.1. Пусть на $T^{\ast }{M}^n$ интеграл $f$ потока $v$ имеет вид $X(p,x)+Y(p,x)$, где все мономы полинома $X(p,x)$ имеют четную степень, а все мономы полинома $Y(p,x)$ имеют нечетную степень. Тогда каждый из полиномов $X(p,x)$ и $Y(p,x)$ является по отдельности интегралом потока $v$.
Доказательство.
Вычисляя скобку Пуассона интеграла $f$ с гамильтонианом $H=K+V$, где $K$ — квадратичная часть, а $V$ — потенциал, т.е. гладкая функция, не зависящая от импульсов $p$, получаем:
$$\{H,X\}+\{H,Y\}=0$$

на гиперповерхности $Q^{2n-1}$. Легко видеть, что $\{H,X\}$ и $\{H,Y\}$ по отдельности являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только нечетные степени импульсов. Если тождество $\{H,f\}=0$, т. е. $\{H,X\}+\{H,Y\}=0$, выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интеграл $f$ является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция $f$ является интегралом лишь на изоэнергетической поверхности $Q^{2n-1}$, это утверждение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть условие $\{H,X\}+\{H,Y\}=0$ в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетическая гиперповерхность $Q$ вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый уравнением $H=h$. Равенство нулю полинома $\{H,X\}+\{H,Y\}$ на этой сфере означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином $H-h$. Следовательно,
$$\{H,X\}+\{H,Y\}=(H-1)Z.$$

Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве (в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае
$$\{H,X\}+\{H,Y\}=(H-h)Z_{\text{четный }}+(H-h)Z_{\text{нечетный }},$$

где $Z=Z_{\text{четный }}+Z_{\text{нечетный }}-$ разложение $Z$ на полиномы, содержащие только четные степени и нечетные, соответственно. Так как $H-h$ содержит лишь четные степени импульсов, то $(H-h)Z_{\text{четный }}$ — это полином только от четных степеней, а $(H-h)Z_{\text{нечетный }}$ — только от нечетных степеней. Поскольку тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что
$$\{H,X\}=(H-h)Z_{\text{четный }}\{H,Y\}=(H-h)Z_{\text{нечетный }},$$
т.е. каждый из этих полиномов по отдельности обращается в ноль на гиперповерхности $H-h=0$. Лемма доказана.

Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать, что полиномиальный интеграл $f$ состоит либо только из четных степеней, либо только из нечетных степеней. Поэтому интеграл $f$ можно записать в виде:
$$f=X_k(p,x)+X_{k-2}(p,x)+X_{k-4}(p,x)+\dots ,$$

где $X_s$ — однородный полином степени $s$ по импульсам, с коэффициентами, зависящими только от $x$.

Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве интеграла $\tilde{f}$ потока $\tilde{v}$ можно взять следующий однородный полином степени $k$ :
$$\tilde{f}=X_k(p,x)+|p{|}^2{X}_{k-2}(p,x)+|p{|}^4{X}_{k-4}(p,x)+\dots$$

Он совпадает с интегралом $f$ на гиперповерхности $Q_{\sim }$ и является однородным полиномом степени $m$ по импульсам. Поэтому $\{\tilde{f},\tilde{H}\}=\{\tilde{f},H\}=0$ на гиперповерхности $Q$. В силу однородности полинома $\tilde{f}$ это равенство нулю будет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и на нулевом сечении.
Теорема доказана.
Используя принцип Мопертюи, классификацию натуральных систем на двумерных поверхностях, допускающих квадратичные или линейные интегралы, можно свести к уже описанной выше классификации интегрируемых геодезических потоков. В качестве примера мы сформулируем здесь аналог теоремы 2.7 (см. главу 2 тома II), дающей локальное описание квадратично интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 6.2. Пусть на двумерном многообразии $M$ задана натуральная система с гамильтонианом вида
$$H=\sum g^{ij}(x)p_i{p}_j+V(x)=K+V,$$

имеющая квадратичный интеграл
$$F=\sum b^{ij}(x)p_i{p}_j+U(x)=B+U.$$

Предположим, что в некоторой точке $x_0\in M^2$ две квадратичные формы $К$ и $B$ не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки $x_0$ существуют локальные регулярные коордиаты $(u,v)$, в которых гамильтониан $H$ и интеграл $F$ примут следующий вид:
$$\begin{array}{l}H=\frac{p_u^2+p_v^2}{f(u)+g(v)}+\frac{Z(u)+W(v)}{f(u)+g(v)}\\ F=\frac{g(v)p_u^2-f(u)p_v^2}{f(u)+g(v)}+\frac{g(v)Z(u)-f(u)W(v)}{f(u)+g(v)}.\end{array}$$

Здесь $f,g,Z,W$ — некоторые гладкие функции на $M^2$. Другими словами, если у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные разделяются.

Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для траекторий.

ЗамЕчаниЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотн можно сформулировать и ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируемые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например, при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интегрируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена в главе 2 тома II.
Доказательство.
Ограничивая натуральную систему на уровень гамильтониана $H=h$ и применяя отображение Мопертюи, мы получаем на двумерной поверхности метрику, геодезический поток которой имеет гамильтониан вида $\tilde{H}=K(h-V{)}^{-1}$ и квадратичный интеграл вида $\tilde{F}=B+U\tilde{H}$. Для функций $\tilde{H},\tilde{F}$ мы можем применить уже известную нам теорему о приведении квадратично интегрируемой метрики на двумерной поверхности к лиувиллевому виду. В результате возникают локальные координаты $u,v$ на $M^2$, осуществляющие такое приведение. Важно отметить, что эти локальные координаты, как функции на поверхности, не зависят от выбора постоянной $h$. В самом деле, нужно вспомнить доказательство теоремы локальной классификации квадратично интегрируемых метрик. См. главу 2 тома II. В доказательстве этой теоремы лиувиллевы координаты $u,v$ однозначно строились по голоморфной форме $R$. В свою очередь $R$ однозначно определялась интегралом $F$. Из явной формулы для формы $R$ сразу видно, что она не меняется при изменении постоянной $h$. Более точно, она не меняется при добавлении к интегралу $F$ слагаемого, пропорционального гамильтониану. Поэтому в нашем случае форма $R$ полностью определяется квадратичной формой $B$ и не зависит от выбора постоянной $h$.

В результате функции $\tilde{H},\tilde{K}$, полученные ранее из $H$ и $K$ в результате применения отображения Мопертюи, записываются в координатах $u$ и $v$ так:
$$\begin{array}{rl}\tilde{H}& =K(h-V{)}^{-1}={[f_h(u)+g_h(v)]}^{-1}(p_u^2+p_v^2),\\ \tilde{F}& =B+UK(h-V{)}^{-1}={[f_h(u)+g_h(v)]}^{-1}(g_h(v)p_u^2-f_h(u)p_v^2).\end{array}$$

Здесь $f_h,g_h$ — некоторые функции, зависящие от $h$ как от параметра. При этом координаты $u,v$ от $h$ не зависят.

Отсюда получаем, что $K={\lambda }^{-1}(p_u^2+p_v^2)$ и $h-V={\lambda }^{-1}[f_h(u)+g_h(v)]$ для некоторой гладкой функции $\lambda (u,v)$. С другой стороны, сами квадратичные формы $K$ и $B$ коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7 из главы 2 тома II, они имеют вид
$$K=[f(u)+g(v)](p_u^2+p_v^2),B=[f(u)+g(v){]}^{-1}(g(v)p_u^2-f(u)p_v^2),$$
т.е. $\lambda (u,v)=[f(u)+g(v)]$. Отсюда находим, что
$$V=[f(u)+g(v){]}^{-1}((f(u)h-f_h(u))+(g(v)h-g_h(v))).$$

Функция, стоящая в знаменателе, от параметра $h$ не зависит. Поэтому без ограничения общности можно положить, что
$$f(u)h-f_h(u)=Z(u),g(v)h-g_h(v)=W(v),$$

где $Z$ и $W$ от параметра $h$ не зависят.

Таким образом, гамильтониан $H$ имеет требуемый вид. Перейдем теперь к интегралу $\mathit{F}$. Мы имеем:
$$\tilde{F}=B+UK(h-V{)}^{-1}=[f(u)+g(v){]}^{-1}(g_h(v)p_u^2-f_h(u)p_v^2).$$

В этом равенстве нам известны функции $B,K,V$. Требуется выразить отсюда функцию $U$. Это нетрудно сделать, и в результате для $U$ получится следующее выражение:
$$U=[f(u)+g(v){]}^{-1}[g(v)Z(u)-f(u)W(v)].$$

Итак:
$$\begin{array}{l}H=\frac{p_u^2+p_v^2}{f+g}+\frac{Z+W}{f+g}\\ F=\frac{g{p}_u^2-f{p}_v^2}{f+g}+\frac{gZ-fW}{f+g}.\end{array}$$

Теорема доказана.
Теперь мы можем написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на торе, являющемся совместным уровнем $H=h=$ const и $F=a=$ const. Top задается следующей системой уравнений:
$$\begin{array}{r}\frac{p_u^2+p_v^2}{f+g}+\frac{Z+W}{f+g}=h,\\ \frac{g{p}_u^2-f{p}_v^2}{f+g}+\frac{gZ-fW}{f+g}=a.\end{array}$$

Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые траектории совпадают с геодезическими метрики вида
$$d{s}^2=[(hf-Z)+(hg-W)](d{u}^2+d{v}^2).$$

Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем:
$$\int (hf-Z+a{)}^{-\frac{1}{2}}dx\pm \int (hg-W-a{)}^{-\frac{1}{2}}dy=c.$$

Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 6.1. Траектории натуральной системы на $M^2$ с гамильтонианом $H$ и квадратичным интегралом $F$ (см. формулы в теореме 6.2), лежащие на совместном уровне $\{H=h,F=a\}$, задаются в разделяющихся переменны $(u,v)$ следующим уравнением:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{hf(x)-Z(x)+a}}\pm \int \frac{dy}{\sqrt{hg(y)-W(y)-a}}=c.$$