В предыдущем параграфе мы объяснили, как находить при помощи функции вращения допустимую систему координат на одном граничном торе какого-то конкретного 3-атома. После этого возникает естественный вопрос: как согласовать эти допустимые системы координат в единую допустимую систему координат для данного атома? Поясним: если задана глобальная допустимая система координат на 3 -атоме, то вторые базисные циклы допустимой системы координат на каждом граничном торе «сцеплены» друг с другом тем условием, что все они являются границей глобального двумерного сечения, лежащего внутри 3-атома и выходящего на его границу. Как с помощью функции вращения определить, существует ли такое глобальное сечение для заданного набора «вторых циклов» на
граничных торах? То есть, можно ли продолжить эти циклы внутрь атома так, чтобы получилось сечение 3 -атома? Ответ дается следующим утверждением. Для простоты ограничимся в этом разделе рассмотрением атомов без звездочек.

Пусть $V$ — седловой атом без звездочек, с которым инцидентны ребра $e_1,\dots ,e_m$. Пусть на каждом ребре $e_i$ задан базис $({\lambda }_i,{\mu }_i$ ) и функция вращения ${\rho }_i(t)$. При этом будем считать, что в качестве параметра $t$, единого для всех ребер, берется значение дополнительного интеграла $f$. Это нужно для того, чтобы согласовать параметры $t$ на разных ребрах. Иначе совокупность функций вращения ничего полезного нам не сообщит. Наконец, договоримся считать, что параметр $t$, то есть значение интеграла $f$, равно нулю на особом слое атома. Как обычно, ребра атома разбиваются на два класса — положительные и отрицательные. В силу указанных договоренностей, положительность или отрицательность ребра определяется теперь просто знаком параметра $t$. Будем далее считать, что отрицательные ребра отвечают торам Лиувилля до перестройки, а положительные ребра — после перестройки.
Предложение 1.6 (Критерий допустимости систем координат для всего атома). Пусть выполнены все перечисленные условия. Тогда совокупность базисов $\left\{({\lambda }_i,{\mu }_i)\right\}$ образует допустимую систему координат для всего атома $V$ в том и только в том случае, когда совокупность функций вращения $\left\{{\rho }_i\right\}$ удовлетворяет следующим трем условиям.
1) Предел каждой функции вращения ${\rho }_i(t)$ равен бесконечности при стремлении $t$ к нулю, т.е. при стремлении к атому. Тогда автоматически асимптотика функции ${\rho }_i$ выглядит так:
$${\rho }_i(t)=a_i\ln |t|+b_i(t),$$

где $b_i(t)$ — непрерывная функция, включая точку $t=0$.
2) ${\rho }_i(t)\to +\mathrm{\infty }$ при $t\to 0$ для положительных ребер, и ${\rho }_i(t)\to -\mathrm{\infty }$ при $t\to 0$ для отрицательных ребер. Или наоборот, то есть ${\rho }_i(t)\to -\mathrm{\infty }$ при $t\to 0$ для положительных ребер, и ${\rho }_i(t)\to +\mathrm{\infty }$ при $t\to 0$ для отрицательных ребер.
3) $\sum _i{b}_i(0)=0$, где сумма берется по всем ребрам, как положительным, так и отрицательным.

Доказательство.
Докажем необходимость. Пункты (1) и (2) вытекают из предложения 1.5 настоящей главы и из леммы 8.5 главы 8 тома I. Пункт (3) по существу является переформулировкой замечания к лемме 6.7 из главы 6 тома I. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Надо доказать, что совокупность базисов $\left\{({\lambda }_i,{\mu }_i)\right\}$ образует допустимую систему координат для всего атома $V$. Другими словами, требуется доказать, что на совокупность циклов $\left\{{\mu }_i\right\}$ можно натянуть глобальное сечение атома $V$, которое выходит на его границу как раз по циклам $\left\{{\mu }_i\right\}$. Рассмотрим какую-либо допустимую систему координат $\left\{({\lambda }_i^0,{\mu }_i^0)\right\}$ и выделим совокупность «вторых циклов» $\left\{{\mu }_i^0\right\}$. Поскольку первые базисные циклы любой допустимой системы координат являются слоями расслоения Зейферта, то вторые циклы связаны следующим соотношением:
$${\mu }_i^0={\mu }_i+k_i{\lambda }_i$$

где $k_i$ — некоторые целье числа. Тогда функции вращения ${\rho }_i$ и ${\rho }_i^0$, подсчитанные относительно $\left\{({\lambda }_i,{\mu }_i)\right\}$ и $\left\{({\lambda }_i^0,{\mu }_i^0)\right\}$ соответственно, связаны следующим соотношением:
$${\rho }_i={\rho }_i^0+k_i.$$

Аналогичные соотношения выполнены для конечных частей функций вращения, т.е.
$$b_i(0)=b_i^0(0)+k_i.$$

Суммируя по всем $i$, получаем
$$\sum b_i(0)=\sum b_i^0(0)+\sum k_i.$$

В силу условий предложения, $\sum b_i(0)=0$. При этом $\sum b_i^0(0)=0$ в силу допустимости систем координат $\left\{({\lambda }_i^0,{\mu }_i^0)\right\}$. См. доказанную выше необходимость. Следовательно, $\sum k_i=0$. Но отсюда следует, что замена координат ${\mu }_i^0\to {\mu }_i$ является допустимой. Следовательно, система координат $\left\{({\lambda }_i,{\mu }_i)\right\}$ является допустимой, что и требовалось. Предложение полностью доказано.

Иногда условие $\sum b_i(0)=0$ проверять затруднительно, поскольку не удается выделить «конечные части» функций вращения. Поэтому полезна следующая переформулировка условия $\sum b_i(0)=0$, в которой участвуют сами функции вращения, включая их логарифмические части. Обычно в конкретных задачах вычисляется сразу вся функция вращения, а разделение ее на конечную и бесконечную части — это не всегда простая процедура. Но, как мы сейчас покажем, это и не нужно. Следующее предложение позволяет избежать этой операции.
Предложение 1.7. Пусть $V$ — седловой 3-атом без звездочек и пусть выполнены перечисленные выше предположения. Тогда условие $\sum b_i(0)=0$ эквивалентно условию:
$$\underset{t\to 0}{lim}(\sum _{\begin{array}{c}\text{ положительные }\\ \text{ ребра }\end{array}}{\rho }_i(t)+\sum _{\begin{array}{c}\text{ отрицательные }\\ \text{ ребра }\end{array}}{\rho }_i(-t))=0.$$

Доказательство.
Нужно показать, что в указанной сумме, под знаком предела, все члены, содержащие логарифмы, взаимно сокращаются. Это следует из того, что для каждого $i$ коэффициент перед логарифмом равен, с точностью до знака, сумме $\mathrm{\Lambda }$-инвариантов всех тех вершин, мимо которых проходит соответствующее кольцо, ребро 3-атома. Отметим, что мимо каждой вершины мы проходим четыре раза по соответствующим кольцам. А именно, два раза по отрицательным кольцам и два раза по положительным. Следовательно, суммируя по всем кольцам, мы видим, что сумма всех логарифмов обращается в ноль по той причине,
что каждый инвариант войдет в сумму два раза со знаком «плюс» и два раза со знаком «минус». Утверждение доказано.

Теперь мы обсудим вопрос о вычислении меток $n$ с помощью функций вращения.

Рассмотрим произвольное ребро молекулы. В предыдущем разделе мы показали, как найти допустимые базисы $\{({\lambda }^{-},{\mu }^{-}),({\lambda }^{+},{\mu }^{+})\}$. В частности, на каждом конечном ребре мы можем записать функцию вращения относительно пары циклов $({\lambda }^{-},{\lambda }^{+})$. На бесконечном ребре мы будем рассматривать функцию ${\rho }^{-}$, которая определена не однозначно, а с точностью до целой константы. Будем считать, что именно эти функции вращения нам известны на всех ребрах.

Рассмотрим произвольную семью молекулы. Пусть для определенности все внешние ребра молекулы являются выходящими из семьи. Рассмотрим на всех внешних и внутренних ребрах семьи функции вращения $\rho$. При этом на внешних ребрах мы берем функцию относительно пары циклов $({\lambda }^{-},{\lambda }^{+})$, а на внутренних бесконечных берем $\rho ={\rho }^{-}$. Напомним, что каждая из этих функций при подходе к атому из семьи имеет следующую асимптотику: $\rho (f)=a\ln |f-f_0|+b(f)$, где $f_0$ — значение интеграла $f$ на особом слое данного атома. Определим теперь следующее число:

Несколько иначе это же самое число можно определить следующим образом, вообще не используя конечных частей. Рассмотрим произвольный атом и все инцидентные с ним ребра. На каждом ребре данного атома определен хороший параметр — дополнительный интеграл $f$. Причем на некоторых ребрах $f>0$, на остальных $f<0$. На каждом из ребер определены функции вращения $\rho (f)$. Напомним, что, как и выше, функция вращения записана относительно базиса $({\lambda }^{-},{\lambda }^{+})$на внешних ребрах и относительно $({\lambda }^{-},{\mu }^{-})$на внутренних ребрах. Мы предполагаем здесь, что $f$ на особом слое атома равна нулю. Рассмотрим функцию
$$N(f)=\sum _{\begin{array}{c}\text{ положит. }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (f)+\sum _{\begin{array}{c}\text{ отрицат. }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (-f),\text{ при }f>0.$$

Здесь знак «土» выбирается следующим образом. Если ребро входит в атом, то берется знак «-». Если ребро выходит из атома, то берется знак «+». Поскольку в нашем случае все внешние ребра у семьи — выходящие, то для них берется знак «+». Поэтому указанное правило выбора знака является существенным лишь для внутренних ребер семьи.

Утверждается, что, хотя каждая функция из этой суммы стремится к бесконечности, тем не менее функция $N(f)$ непрерывна на $[0,\epsilon )$ и имеет некоторый конечный предел в нуле. Это эквивалентно тому, что все логарифмические члены взаимно уничтожаются. Это обстоятельство было только что доказано нами выше. См. предложение 1.7 настоящей главы. Однако здесь нужен комментарий. В доказательстве предложения 1.7 все функции вращения брались со знаком «+». В рассматриваемом сейчас случае мы должны ставить знак «-» перед функцией вращения в том случае, когда соответствующее ребро входит в атом $V$. Здесь нет никакого противоречия, поскольку для применения предложения 1.7 мы должны брать в данном случае функцию вращения ${\rho }^{+}$, которая связана с функцией $\rho ={\rho }^{-}$ следующей простой формулой:
$${\rho }^{+}=-{\rho }^{-}-\gamma {\alpha }^{-1}.$$

Обозначим через $N(\rho ,V)$ предел функции $N(f)$ при $f\to 0$, здесь $\rho -$ фиксированный выше набор функций вращения на концах атома $V$. Если значение функции $f$ на атоме $V$ равно $f_0$, то формулу для $N(\rho ,V)$ можно переписать следующим образом:
$$N(\rho ,V)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}(\sum _{\begin{array}{c}\text{ положительные }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (f_0+\epsilon )+\sum _{\begin{array}{c}\text{ отрицательные }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (f_0-\epsilon )).$$

Легко видеть, что в результате мы можем переписать формулу для $\tilde{n}$ следующим образом:
$$\tilde{n}\text{ (для семьи) }=-\sum _{V\in \text{ семье }}N(\rho ,V).$$

Отметим, что число $\tilde{n}$ (для семьи), вообще говоря, целым не является. На самом деле, как мы увидим ниже, оно рациональное. Напомним определение метки $n$.

Сопоставим каждому из ребер $e_i$, инцидентных с данной семьей, целое число ${\theta }_i$ по следующему правилу:
$${\theta }_i=\{\begin{array}{rl}\left[\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}\right],& \text{ если }{e}_i\text{ в выходящее ребро, }\\ [-\frac{{\delta }_i}{{\beta }_i}],& \text{ если }{e}_i\text{ входящее ребро, }\\ [-\frac{{\gamma }_i}{{\alpha }_i}],& \text{ если }{e}_i\text{ внутреннее ребро. }\end{array}$$

Напомним, что ${\alpha }_i,{\beta }_i,{\gamma }_i,{\delta }_i$ — это коэффициенты матрицы склейки на $i$-ом ребре.

Тогда $n=\sum {\theta }_i$. Поскольку мы ориентировали все внешние ребра семьи так, что они являются выходящими, то эта формула упрощается, так как исчезают слагаемые второго типа. Окончательно мы имеем:
$$n=\sum _{\begin{array}{c}\text{ по внешним }\\ \text{ ребрам }\end{array}}\left[\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}\right]-\sum _{\begin{array}{c}\text{ по внутренним }\\ \text{ ребрам }\end{array}}\frac{{\gamma }_i}{{\alpha }_i}$$

Предложение 1.8.
а) Число $\tilde{n}$ (для семьи) не зависит от выбора функций вращения $\rho$ на ребрах инцидентных данной семье и выбора интеграла $f$, являющегося параметром на ребрах.
б) Явная формула для $\tilde{n}$ такова:
$$\tilde{n}=\sum _{\begin{array}{c}\text{ по внешннм }\\ \text{ ребрмм }\end{array}}\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}-\sum _{\begin{array}{c}\text{ по внутренним }\\ \text{ ребрам }\end{array}}\frac{{\gamma }_i}{{\alpha }_i}.$$
в) Рациональное число $\tilde{n}$ (для семьи) на самом деле эквивалентно обычной целочисленной $n$-метке. Более точно, число $\tilde{n}$ (для семьи) и метка $n$ (для той же семьи) выражаются друг через друга при помощи несложной формулы:
$$n=\tilde{n}-\sum _{\begin{array}{c}\text{ внешн. }\\ \text{ ребра }\end{array}}{r}_i.$$

Доказательство.
Поскольку пункт (а) следует из (б), то докажем сначала пункт (б). Воспользуемся указанной выше формулой для $\tilde{n}$ :
$$\begin{array}{c}\tilde{n}\text{ (для семьи) }=-\sum _{V\in \text{ семье }}N(\rho ,V)=\\ =-\sum _{V\in \text{ семье }}\underset{\epsilon \to 0}{lim}(\sum _{\begin{array}{c}\text{ положительные }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (f_0+\epsilon )+\sum _{\begin{array}{c}\text{ отрицательные }\\ \text{ концы }\end{array}}\pm \rho (f_0-\epsilon )).\end{array}$$

Перепишем эту сумму в несколько ином виде, разбив ее на две суммы: суммирование по внешним ребрам семьи и суммирование по ее внутренним ребрам. Напомним далее, что на внешних ребрах мы имеем ${\rho }_i={\rho }_i^{-}-{\alpha }_i{\beta }_i^{-1}$, а на внутренних ребрах ${\rho }_i={\rho }_i^{-}$. Каждое внутреннее ребро семьи участвует в суммирования для $\tilde{n}$ два раза. А именно, когда берется начало ребра и когда берется конец ребра. Для начала ребра мы берем слагаемое ${\rho }_i^{-}$, а для конца ребра соответствующее слагаемое можно представить в виде: $-{\rho }_i^{-}={\rho }_i^{+}+{\gamma }_i{\alpha }_i^{-1}$. Проводя суммирование по всем атомам $V$ семьи, мы можем выделить две группы слагаемых. Первая группа — это сумма всех функций вращения ${\rho }_i^{-}$и ${\rho }_i^{+}$. Вторая группа состоит из слагаемых вида $-{\alpha }_i{\beta }_i^{-1}$ и ${\gamma }_i{\alpha }_i^{-1}$. При этом слагаемые вида $-{\alpha }_i{\beta }_i^{-1}$ суммируются по всем внешним ребрам семьи. Слагаемые вида $+{\gamma }_i{\alpha }_i^{-1}$ суммируются по всем внутренним ребрам семьи, т.е. вторая группа имеет вид:
$$(\sum _{\begin{array}{c}\text{ внешн. }\\ \text{ ребра }\end{array}}-{\alpha }_i{\beta }_i^{-1})+\left(\sum _{\begin{array}{c}\text{ внутрен. }\\ \text{ ребра }\end{array}}{\gamma }_i{\alpha }_i^{-1}\right).$$

Осталось заметить, что первая группа слагаемых дает в итоге ноль в силу предложения 1.7. В результате остается лишь вторая группа слагаемых, и мы окончательно получаем, что
$$\tilde{n}=-(\sum _{\begin{array}{c}\text{ внешн. }\\ \text{ ребра }\end{array}}-{\alpha }_i{\beta }_i^{-1})-\left(\sum _{\begin{array}{c}\text{ внутрен. }\\ \text{ ребра }\end{array}}{\gamma }_i{\alpha }_i^{-1}\right).$$

Осталось понять связь между $n$ и $\tilde{n}$. Ответ таков:
$$\tilde{n}=n+\sum _{\begin{array}{c}\text{ внешн. }\\ \text{ ребра }\end{array}}{r}_i.$$

Это следует из того, что для вещественного числа $x$ имеет место формула: $x=[x]+\{x\}$, где $[x]$ — целая, а $\{x\}$ — дробная части числа $x$. Предложение доказано.

В дальнейшем мы будем иногда называть инвариант $\tilde{n}$ «энергией семьи», следуя терминологии П. Й. Топалова, который изучил связь меток молекулы $W^{\ast }$ с топологией 3 -многообразия $Q$. См. [198].