В этом параграфе описано построение траекторного топологического инварианта, классифицирующего потоки Морса-Смейла без периодических траекторий.
1.1. Основные определения.

В настоящем приложении мы рассматриваем только гладкие векторные поля (потоки) на замкнутых двумерных многообразиях (поверхностях). В настоящем Приложении ссылки даются на отдельный список литературы, помещенный в конце Приложения.

Напомним некоторые определения. По поводу основных понятий, связанных с векторными полями, см., например, [11].
Определение 1.1. Векторные поля $v_{1}$ на поверхности $M_{1}$ и $v_{2}$ на поверхности $M_{2}$ называются топологически траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$, переводящий траектории векторного поля $v_{1}$ в траектории поля $v_{2}$ с сохранением ориентации на траекториях.

Разумеется, задача классификации всех гладких векторных полей на поверхности представляется необозримой, если не накладывать никаких дополнительных ограничений на характер особенностей. Уже локальная задача классификации весьма нетривиальна, не говоря уже о классификации на поверхности в целом. Поэтому естественно решать задачу классификации в некотором классе типичных векторных полей. В качестве такого класса мы будем рассматривать так называемые грубые векторные поля.
Определение 1.2. Векторное поле $v$ на многообразии $M$ называется грубым, если при малом возмущении поля $v$ топологическое поведение его траекторий не меняется, т.е. после возмущения поле топологически траекторно эквивалентно исходному.

ЗАМЕчАниЕ 1. Строго говоря, в определении грубости векторного поля надо указывать, в каком классе производится возмущение. Как уже было сказано, мы рассматриваем только гладкие векторные поля, т. е. поля класса $C^{1}$. Отметим также, что в этом случае можно не делать различия между векторными полями и потоками. В дальнейшем эти термины употребляются как синонимы.

На компактном двумерном многообразии грубыми векторными полями являются в точности поля Морса-Смейла. Это – теорема М. Пейксото (см. [20], $[21],[10]$ ). Этот класс полей был впервые рассмотрен в работе [9] для многообразий произвольной размерности. Для поверхностей можно определить поля Морса-Смейла следующим образом.
Определение 1.3. Векторное поле $v$ на замкнутой двумерной поверхности называется полем Морса-Смейла, если
1) $v$ имеет конечное число особых точек и периодических траекторий, причем все они гиперболические;
2) не существует траекторий, идущих из седла в седло;
3 ) для каждой траектории поля $v$ ее $\alpha$-предельное и $\omega$-предельное множества являются либо особой точкой, либо периодической траекторией (предельным циклом).
Важным этапом при траекторной классификации потоков Морса-Смейла на поверхностях является классификация потоков Морса-Смейла без периодических траекторий. Мы будем называть такие потоки потоками Морса.
ЗАМЕчАниЕ 2. Потоки Морса имеют также другое естественное описание. Это в точности градиенто-подобные потоки без сепаратрис, идущих из седла в седло [22]. Здесь поток называется градиенто-подобным, если он топологически траекторно эквивалентен потоку $\operatorname{grad} f$ для некоторой функции $f$ и некоторой римановой метрики $g_{i j}$ на многообразии $M$. См. также замечание 5.
ЗАМЕчАНИЕ 3. Имеется ровно один (с точностью до топологической траекторной эквивалентности) поток Морса без седловых особых точек на связной замкнутой поверхности. Это векторное поле $v$ на сфере $S^{2}$, которое можно описать следующим образом: $v=\operatorname{grad} f$, где сфера стандартно вложена в трехмерное пространство, метрика на ней индуцирована евклидовой метрикой, а функция $f$ есть ограничение линейной функции (иногда такой поток называют северо-южным). Все потоки, топологически траекторно эквивалентные описанному потоку, будем называть простейшими. Если многообразие $M$ несвязно, то (для краткости) фраза «поток Морса на $M$ отличен от простейшего» будет означать, что поток не явлнется простейшим ни на одной из компонент связности многообразия $M$.

1.2. Построение инварианта.

Опишем теперь некоторый инвариант, траекторно классифицирующий потоки Морса на двумерных поверхностях.
Определение 1.4. Граф $T$ назовем трехцветным графом, если все его вершины имеют степень 3 , а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждой вершине сходятся ребра трех разных цветов. Цвета будем обозначать буквами $s$, $t, u$. Два трехцветных графа назовем изоморфными, если они изоморфны с сохранением раскраски (т.е. при изоморфизме ребра, помеченные буквами $s, t, u$ переходят в ребра, помеченные теми же буквами). Для краткости будем называть эти ребра $s$-ребрами, $t$-ребрами и и-ребрами.

Опишем процедуру сопоставления каждому потоку Морса (отличному от простейшего) некоторого трехцветного графа.

Пусть $v$ – поток Морса на поверхности $M$, имеющий хотя бы одну седловую особую точку. Разрезая $M$ вдоль всех сепаратрис потока $v$, мы разобьем поверхность на канонические области, имеющие вид, изображенный на рис. 1(a). Каждая такая область (после разрезания) представляет собой четырехугольник, вершины которого – особые точки поля $v$ (один источник, один сток и два седла), а стороны – сепаратрисы поля $v$. При этом в многообразии $M$ четырехугольник может «вырождаться», т.е. разные стороны этого четырехугольника могут соответствовать одной и той же сепаратрисе (рис. 1(b)).
Рис. 1
Как вырожденные, так и невырожденные четырехугольники будем называть каноническими четырехугольниками. Все остальные траектории поля $v$, расположенные в таком четырехугольнике, «начинаются» в вершине-источнике и «заканчиваются» в вершине-стоке. Зафиксируем в каждом четырехугольнике одну из таких траекторий. Вместе с сепаратрисами они разбивают многообразие $M$ на треугольники. При этом стороны одного треугольника уже не могут быть «склеены» между собой в многообразии $M$. Это легко следует из того, что стороны каждого треугольника образованы тремя траекториями разных типов: траектория, идущая из источника в седло, траектория, идущая из седла в сток, и траектория, идущая из источника в сток. Будем называть такие траектории соответственно $s$-траектория.ми, $u$-траектория.ми и $t$-траектория.ми (рис. 1(c)). Отметим, что $t$-траектории определены неоднозначно.

Построим трехцветный граф $T$, соответствующий полученному разбиению $M$ на треугольники следующим образом:

1) вершины графа $T$ взаимно однозначно соответствуют треугольникам;
2) если два треугольника имеют общую сторону, образованную $s$-траекторией, $t$-траекторией или $u$-траекторией, то соединим соответствующие этим треугольникам вершины графа $T$ ребром с меткой $s, t$ или $u$ соответственно.

ПРимЕР 1. На рис. 2 показан пример построения трехцветного графа по потоку Морса на двумерной сфере. В данном примере поток имеет два источника, два седла и два стока (на рисунке один из них расположен на «задней», невидимой стороне сферы). На рис. 2(a) изображены траектории самого векторного поля, причем жирными линиями выделены сепаратрисы. На рис. 2(b) от векторного поля остались лишь сепаратрисы ( $s$-траектории и $u$-траектории) и траектории, разделяющие канонические четырехугольники на треугольники ( $t$-траектории). Жирными линиями на рис. 2(b) изображен трехцветный граф. На рис. 2(c) построенный трехцветный граф изображен как абстрактный (не вложенный в поверхность) граф.
Рис. 2

Лемма 1.1. При описанном выше сопоставлении трехцветного графа потоку Mopca
1) результат не зависит от выбора $t$-траекторий в каждом каноническом четырехугольнике;
2) топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляются изоморфные трехцветные графы.

Доказательство.
Первое утверждение леммы очевидно. Далее, пусть $h$ – гомеоморфизм, устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков $v_{1}$ и $v_{2}$. Так как $h$ переводит канонические четырехугольники потока $v_{1}$ в канонические четырехугольники потока $v_{2}$ (в частности, сепаратрисы потока $v_{1}$ – в сепаратрисы потока $v_{2}$ ), то, учитывая первое утверждение леммы, можно предполагать, что $h$ переводит треугольники одного потока в треугольники другого потока. Лемма доказана.

1.3. Теорема классификации

Утверждение леммы 1.1 означает, что мы построили некоторый топологический траекторный инвариант потоков Морса на двумерных поверхностях. Трехцветный граф, соответствующий потоку $v$, будем обозначать $T(v)$. Следующая теорема показывает, что построенный инвариант является полным топологическим траекторным инвариантом для потоков Морса на поверхностях.
Теорема 1.1. Два потока Морса $v_{1}$ и $v_{2}$ (отличные от простейшего) на двумерных поверхностях $M_{1}$ и $M_{2}$ топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им трехцветные графы $T\left(v_{1}\right)$ и $T\left(v_{2}\right)$ изоморфны.
Доказательство.
В одну сторону теорема уже доказана (лемма 1.1). Предположим теперь, что трехцветные графы $T\left(v_{1}\right)$ и $T\left(v_{2}\right)$ изоморфны. Этот изоморфизм индуцирует биекцию между треугольниками многообразия $M_{1}$ и треугольниками многообразия $M_{2}$. В силу определения графа $T(v)$, эта биекция согласована с пересечениями треугольников: если два треугольника многообразия $M_{1}$ имеют общую сторону (общую вершину), то соответствующие два треугольника многообразия $M_{2}$ также имеют общую сторону (общую вершину) того же типа. Напомним, что по построению вершинами каждого треугольника являются источник, седло и сток, что и определяет тип каждой вершины и каждой стороны. Таким образом, имеющаяся биекция между треугольниками однозначно определяет биекцию между вершинами треугольников, т.е. между особыми точками потока $v_{1}$ и особыми точками потока $v_{2}$, причем эти биекции согласованы.

Гомеоморфизм $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$, устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков $v_{1}$ и $v_{2}$, строится следующим образом:
1) в особых точках потока $v_{1}$ отображение $h$ определено указанной биекцией;
2) отображение $h$ продолжается на сепаратрисы потока $v_{1}$ так, чтобы каждая из них гомеоморфно отображалась в соответствующую сепаратрису потока $v_{2}$;
3) для каждого канонического четырехугольника (рис. 1(a)) потока $v_{1}$ отображение $h$, заданное на его границе (и отображающее ее в границу некоторого канонического четырехугольника потока $v_{2}$ ), продолжается на весь канонический четырехугольник так, чтобы это был гомеоморфизм, переводящий траектории в траектории.
Существование требуемого продолжения на последнем шаге несложно доказать стандартными методами (см., например, [7], [21]). Теорема доказана.
1.4. Реализация инвариантов

Рассмотрим произвольный трехцветный граф T. Очевидно, если выбросить из графа $T$ все ребра какого-нибудь одного цвета, то он распадется в несвязное объединение циклов, образованных ребрами других двух цветов. Циклы, получающиеся в результате выбрасывания $s$-ребер (соответственно $t$-ребер, $u$-ребер), будем называть $t u$-циклами (соответственно $s u$-циклами, st-циклами).

Следующая теорема описывает множество допустимых инвариантов $T(v)$ (т.е. множество значений инварианта $T$ ).

Теорема 1.2. Трехцветный граф T соответствует некоторому потоку Морса $v$ на двумерной поверхности тогда и только тогда, когда все его ви-циклы имеют длину 4.
Доказательство.
Хотя трехцветный граф $T(v)$, сопоставляемый потоку Морса $v$ на поверхности $M$, строитея как абстрактный граф, его можно естественным образом вложить в поверхность $M$ как граф, двойственный графу, ребрами которого являются $s$-траектории, $t$-траектории и $u$-траектории (см. пример на рис. 2). При таком вложении граф $T(v)$ разбивает поверхность $M$ на односвязные области, в каждой из которых находится ровно одна особая точка потока $v$. При этом граница каждой такой области является $s u$-циклом, $s t$-циклом или $t u$-циклом графа $T(v)$, т.е. состоит из $2 k$ ребер графа $T(v)$ ровно двух цветов, где $2 k-$ количество треугольников, для которых данная особая точка является вершиной. Ясно, что $s u$-циклы ограничивают седла, $s t$-циклы ограничивают источники, а $t u$-циклы ограничивают стоки. На рис. 3 изображено вложение графа $T(v)$ в окрестности седла, источника и стока (жирные траектории опять изображают сепаратрисы, а пунктирные $-t$-траектории).
Рис. 3
Из этого замечания сразу следует необходимость условия на длины $s u$-циклов графа $T(v)$, поскольку каждая седловая особая точка потока Морса $v$ является вершиной ровно четырех треугольников. Докажем теперь достаточность этого условия.

Опишем сначала некоторый «стандартный» треугольник с заданным на нем потоком требуемого вида. Для этого рассмотрим векторное поле $v_{0}$ на плоскости, которое в декартовых координатах $(x, y)$ записывается так: $v_{0}=(\sin \pi x, \sin \pi y)$. Легко проверить, что поле $v_{0}$ является полем Морса. Его особые точки – это в точности все точки целочисленной решетки плоскости $(x, y)$, причем точки с двумя четными координатами – источники, точки с двумя нечетными координатами – стоки, а точки с координатами разной четности – седла потока, определяемого полем $v_{0}$. Сепаратрисы поля $v_{0}$ направлены вдоль прямых, параллельных координатным осям. В качестве $t$-траекторий можно взять соответствующие диагонали квадратов, на которые сепаратрисы разбивают плоскость. Сепаратрисы и $t$-траектории разбивают плоскость на «одинаковые» стандартные треугольники.

Рассмотрим теперь некоторый трехцветный граф $T$, все $s u$-циклы которого имеют длину 4 , и построим поверхность $M$ с потоком Морса $v$ так, чтобы граф $T$ был инвариантом этого потока. Для этого возьмем стандартные треугольники (в количестве, равном количеству вершин графа $T$ ) и склеим их в соответствии с метками, стоящими на ребрах графа $T$ : если две вершины графа $T$ соединены ребром с меткой $s, t$ или $u$, то треугольники, соответствующие этим вершинам, склеиваем вдоль сторон, образованных соответственно $s$-траекториями, $t$-траекториями или $u$-траекториями.

После всех склеек мы получим некоторое многообразие $M$ с потоком $v$. Во всех точках, кроме источников и стоков, построенный поток будет гладким относительно гладкой структуры, заданной на склеиваемых треугольниках. В источниках и стоках надо «сгладить» многообразие $M$ так, чтобы поток стал гладким. Для рассматриваемых стандартных треугольников эту процедуру можно описать следующим образом. Рассмотрим некоторый источник построенного потока $v$ (случай стока рассматривается аналогично). Пусть эта точка является вершиной $2 k$ треугольников (отметим, что при $k=4$ поток будет гладким в окрестности этого источника). На стандартном треугольнике заданы декартовы координаты $(x, y)$. Введем на нем (в окрестности источника) новые координаты $(r, \phi)$ по формулам:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}=r \cos \phi \\
\operatorname{tg} \frac{\pi y}{2}=r \sin \phi
\end{array} .\right.
\]

В координатах $(r, \phi)$ векторное поле $v_{0}$ на стандартном треугольнике имеет вид $\dot{r}=\pi r, \dot{\phi}=0$. Такой же вид имеет линейное векторное поле с матрицей $\left(\begin{array}{ll}\pi & 0 \\ 0 & \pi\end{array}\right)$ на плоскости в полярных координатах. Рассмотрим стандартный треугольник с вершинами $(0,0),(1,0),(1,1)$. Отображение $(r, \phi) \rightarrow\left(r, \frac{4 \phi}{k}\right)$ переводит окрестность $r<\varepsilon$ вершины $(0,0)$ этого треугольника в сектор $0 \leqslant \psi \leqslant \frac{\pi}{k}, \rho<\varepsilon$ на плоскости с полярными координатами $(\rho, \psi)$. Определив аналогичным образом отображение на всех $2 k$ треугольниках, примыкающих к рассматриваемому источнику, получим гомеоморфизм окрестности источника в многообразии $M$ на двумерный диск. Зададим таким образом гладкую структуру на многообразии $M$ в окрестности всех источников и стоков. Легко проверяется, что в результате мы получим гладкое многообразие $M$, на котором поток $v$ будет потоком Mopca.

Очевидно, что трехцветный граф для построенного потока Морса $v$ на многообразии $M$ есть в точности исходный граф $T$. Теорема 1.2 доказана.

Мы доказали, что трехцветные графы с $s u$-циклами длины 4 находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса (имеющих седловые особые точки). В частности, по трехцветному графу $T(v)$ можно определить топологический тип двумерного многообразия $M$, на котором задан поток $v$. Следующая теорема показывает, как это сделать явно, и тем самым описывает множество допустимых инвариантов $T(v)$ для любого заданного двумерного многообразия $M$.

Для произвольного трехцветного графа $T$ обозначим через $m_{0}(T), m_{1}(T)$ и $m_{2}(T)$ соответственно количество его $s t$-циклов, $s u$-циклов и $t u$-циклов.
Теорема 1.3. Пусть $T(v)$ – инвариант потока Морса $v$, заданного на поверхности М. Тогда
1) эйлерова характеристика поверхности $М$ равна
\[
\chi(M)=m_{0}(T(v))-m_{1}(T(v))+m_{2}(T(v))
\]
2) поверхность $M$ ориентируема тогда и только тогда, когда граф $T(v)$ (без учета раскраски) не имеет ииклов нечетной длины.

Доказательство.
Из рассуждения, приведенного в начале доказательства теоремы 1.2 , получаем, что число источников, число седел и число стоков потока $v$ равны соответственно $m_{0}(T(v)), m_{1}(T(v))$ и $m_{2}(T(v))$. Отсюда сразу следует утверждение (1) теоремы, поскольку это просто формула для суммы индексов особых точек поля $v$.

Докажем теперь утверждение (2). Поверхность $M$, на которой задан рассматриваемый поток Морса $v$, ориентируема тогда и только тогда, когда все треугольники, на которые она разбита сепаратрисами и $t$-траекториями, можно согласованно ориентировать. Ориентацию каждого канонического треугольника можно задавать, выбирая один из двух возможных циклических порядков его вершин: «источник»-«седло»-«сток» или «сток»-«седло»-«источник». Будем считать, что треугольнику приписана метка (+1) в первом случае и метка (-1) во втором случае. Легко понять, что ориентации двух треугольников, имеющих общую сторону, будут согласованы тогда и только тогда, когда им приписаны разные метки. Поскольку между треугольниками поверхности $M$ и вершинами графа $T(v)$ фиксирована некоторая биекция, условие ориентируемости рассматриваемой поверхности $M$ можно сформулировать следующим образом: поверхность $M$ ориентируема тогда и только тогда, когда вершинам графа $T(v)$ можно приписать метки ( $\pm 1$ ) таким образом, чтобы любые две вершины, соединенные ребром, имели разные метки. Назовем такую расстановку меток в вершинах графа правильной.

Для завершения доказательства теоремы осталось доказать следующую простую лемму.
Лемма 1.2. Для произвольного графа Г следующие два условия эквивалентны:
1) граф Г не имеет циклов нечетной длины;
2) существует правильная расстановка меток $( \pm 1)$ в вериинах графа $Г$.

Доказательство.
То, что из (2) следует (1), очевидно, так как в вершинах цикла нечетной длины нельзя правильно расставить метки ( $\pm 1$ ). Обратно, если граф $Г$ не имеет циклов нечетной длины, то правильно расставить метки в его вершинах можно следующим образом: возьмем некоторую вершину $V_{0}$ и поставим в ней метку (+1); для любой другой вершины $V_{i}$ рассмотрим какой-нибудь путь из вершины $V_{0}$ в вершину $V_{i}$ и поставим в ней метку (+1), если этот путь четной длины, и метку ( -1 ), если он нечетной длины. Лемма доказана.
1.5. Ориентируемый случай.

При классификации потоков Морса-Смейла (с периодическими траекториями) мы будем выбирать некоторые ориентации на всех $s t$-циклах и $t u$-циклах трехцветных графов. В общем случае нет никакого естественного способа выбрать эти ориентации. Однако для трехцветных графов, соответствующих ориентируемым поверхностям, эти ориентации можно выбрать согласованно в смысле следующего определения.
Определение 1.5. Будем говорить, что ориентации $s t$-циклов и $t u$-циклов трехцветного графа $T$ согласованы, если они индуцируют одну и ту же ориентацию на каждом $s u$-цикле.

Лемма 1.3. Согласованно ориентировать все st-циклы и ти-циклы связного трехцветного графа $T$ можно тогда и только тогда, когда граф $T$ не имеет циклов нечетной длины. При этом для таких графов существуют ровно две согласованные ориентации, получающиеся друг из друга изменением ориентаций на всех циклах.
Доказательство.
Пусть все $s t$-циклы и $t u$-циклы трехцветного графа $T$ согласованно ориентированы. В частности, задана ориентация на всех $s$-ребрах графа $T$. Припишем начальным вершинам $s$-ребер метки (-1), а конечным вершинам $s$-ребер – метки (+1). Легко понять, что эта расстановка меток будет правильной, а, значит, по лемме 1.2 , граф $T$ не имеет циклов нечетной длины.

Обратно, пусть граф $T$ не имеет циклов нечетной длины. Тогда, рассматривая правильную расстановку меток в вершинах графа $T$, ориентируем $s$-ребра от вершины с меткой (-1) к вершине с меткой (+1), а $u$-ребра – от вершины с меткой $(+1)$ к вершине с меткой (-1). Эти ориентации $s$-ребер и $u$-ребер, очевидно, индуцируют согласованные ориентации всех $s t$-циклов и $t u$-циклов.

Второе утверждение леммы очевидно, так как согласованные ориентации однозначно определены, если задана ориентация хотя бы одного $s$-ребра. Лемма доказана.