4.1.1. Потоки с простыми бифуркациями (атомами)

Траекторная классификация линейно и квадратично интегрируемых геодезических потоков на торе получена Е.Н.Селивановой [174].

Как мы показали выше в томе 1, для траекторной классификации интегрируемых систем в первую очередь нужно вычислить функцию вращения на ребрах меченой молекулы $W^{*}$. Рассмотрим двумерный тор с интегрируемым геодезическим потоком. Ограничимся для простоты лишь случаем глобально лиувиллевой метрики. Она устроена так.

Рассмотрим на евклидовой плоскости $x, y$ глобально лиувиллеву метрику вида:
\[
(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

а затем факторизуем плоскость по прямоугольной решетке $\Gamma$, базисом которой являются два вектора $f_{1}=(1,0), f_{2}=(0, L)$. Здесь мы предполагаем, что функции $f$ и $g$ отличны от постоянных и обе строго положительны. Получим искомый тор $T^{2}$ с метрикой $g_{i j}$, геодезический поток которой обладает квадратичным интегралом. Такую метрику выше мы назвали $(L, f, g)$-метрикой. Случай линейно интегрируемых геодезических потоков получается, когда функция $g(y)$ становится равной нулю. Будем пока считать для простоты, что обе функции $f$ и $g$ отличны от постоянных (т.е. мы имеем дело с квадратично интегрируемым геодезическим потоком). Как и ранее, обозначим дополнительный интеграл через $F$.

Напомним, что 2-торы Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии $Q=\{H=1\}$, лежащем в кокасательном расслоении $T^{*} T^{2}$ с координатами ( $x, y, p_{x}, p_{y}$ ), задаются следующими уравнениями:
\[
p_{x}^{2}=f(x)+F, \quad p_{y}^{2}=g(y)-F .
\]

Это уравнение может задавать несколько торов Лиувилля, лежащих на одном уровне интеграла $F$ в $Q$. Напомним, что молекула $W$ имеет в этом случае вид, показанный на рис. 3.6а главы 3. Как видно из структуры молекулы, торы Лиувилля делятся на три группы в зависимости от значения интеграла $F$.

При $F>\min (g(y))$ тор Лиувилля попадает в верхнюю пару деревьев на молекуле $W$.

При $F \in(-\min (f),+\min (g))$ тор Лиувилля принадлежит одному из четырех центральных ребер $a, b, c, d$ молекулы $W$.

И, наконец, при $F<-\min (f)$ тор Лиувилля оказывается внутри одного из двух нижних деревьев молекулы $W$.

Фиксировав значение интеграла $F$, мы получаем на оси $y$ несколько отрезков, в каждом из которых функция $p_{y}^{2}=g(y)-F$ неотрицательна. Если, например, $F>\min (g(y))$, то, как видно из рис. 4.1, параметр $y$ меняется внутри нескольких отрезков. Нужно выбрать один из них. Обозначим его через $\left[y_{1}, y_{2}\right]$. Переменная $x$ меняется здесь на всей области своего определения, т. е. на отрезке $[0,1]$.
Рис. 4.1
Аналогично, если $F \in(-\min (f),+\min (g))$, то $x$ и $y$ могут независимо друг от друга принимать любые допустимые значения, то есть каждая из этих переменных пробегает свой отрезок: $x \in[0,1], y \in[0, L]$.

Наконец, когда $F<-\min (f)$, то $x$ принимает значение на некотором отрезке $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ (одном из нескольких возможных), а $y$ пробегает всю область своего определения, т. е. отрезок $[0, L]$.
Полезно изобразить проекции описанных торов Лиувилля на базу (т.е. на тор $T^{2}$ ). В соответствии с указанными выше тремя случаями, эти проекции будут выглядеть так, как показано на рис. 4.2. Получится кольцо, весь тор, снова кольцо.
На каждом из этих торов Лиувилля в качестве базисных циклов возьмем (как мы уже делали ранее) циклы $\lambda, \mu$, задаваемые
Рис. 4.2 уравнениями
\[
\lambda=\{x=\text { const }\} \quad \text { и } \quad \mu=\{y=\text { const }\} .
\]

Значение функции вращения на этом торе Лиувилля относительно указанного базиса вычисляется следующим образом.
Предложение 4.1. Рассмотрим глобально лиувиллеву метрику на торе с квадратично интегрируемым геодезическим потоком.
а) Если $F>\min (g(y))$, то функция вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const $и$ лежащем, следовательно, в верхних деревьях $W(g)$ молекулы $W$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{f(x)+F}}}{\int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{2 d y}{\sqrt{g(y)-F}}} .
\]

Здесь ребро е лежит в одном из двух графов $W(g)$ (см. рис. 3.6а главы 3).
б) Если $F \in(-\min (f),+\min (g))$, то функция вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const $и$ лежащем, следовательно, в центре молекулы $W$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{f(x)+F}}}{\int_{0}^{L} \frac{d y}{\sqrt{g(y)-F}}} .
\]

Здесь е является одним из четырех центральных ребер $a, b, c, d$ молекулы $W$.
в) Если $F<-\min (f)$, то функция вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const $и$ лежащем, следовательно, в нижних деревъях $W(f)$ молекулы $W$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{2 d x}{\sqrt{f(x)+F}}}{\int_{L}^{0} \frac{d y}{\sqrt{g(y)-F}}} .
\]

Здесь ребро е лежит в одном из двух графов $W(f)$ (см. рис. 3.6 алавы 3).
Доказательство.
Для вычисления функции вращения используем явный вид переменных действия, которые в данном случае легко определяются. Функция вращения имеет вид:
\[
\rho(F)=\frac{\frac{\partial H}{\partial I_{1}}}{\frac{\partial H}{\partial I_{2}}}=-\frac{\frac{\partial I_{2}}{\partial F}}{\frac{\partial I_{1}}{\partial F}} .
\]

Здесь $I_{1}, I_{2}$ – переменные действия, отвечающие выбранным выше циклам $\lambda, \mu$. Напомним, что $I_{1}=(2 \pi)^{-1} \int_{\lambda} \alpha, I_{2}=(2 \pi)^{-1} \int_{\mu} \alpha$, где 1-форма $\alpha$ имеет вид: $\alpha=p_{x} d x+p_{y} d y$. Находясь на торе Лиувилля, выражаем $p_{x}$ и $p_{y}$ через $x, y, F$ и получаем следующие формулы. Для определенности будем считать, что $F>\min (g(y))$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{y_{1}}^{y_{2}} 2 \sqrt{g(y)-F} d y, \\
I_{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{1} \sqrt{f(x)+F} d x .
\end{array}
\]

Коэффициент 2 в формуле для $I_{1}$ появился потому, что интегрирование по циклу $\lambda$ (рис.4.1) приводит к двукратному интегрированию по отрезку $\left[y_{1}, y_{2}\right]$.

Дифференцируя теперь по $F$ две последние формы и подставляя в выражение для $\rho$, получаем искомое утверждение.

В случаях, когда $F \in(-\min (f),+\min (g))$ и когда $F<-\min (f)$, рассуждения полностью аналогичны. Предложение доказано.

Отметим, что значения функции вращения $\rho$ оказались у нас положительными. Это объясняется выбором ориентаций циклов $\lambda$ и $\mu$. Она выбирается так, чтобы значения интеграла от 1-формы $\alpha$ было положительным.
Опишем некоторые свойства функции вращения.

Предложение 4.2. Рассмотрим на торе глобально лиувиллеву метрику с квадратично интегрируемым геодезическим потоком. Тогда на каждом из четырех центральных ребер $a, b, c, d$ молекулы $W$ функиия вращения всегда строго монотонна и меняется от нуля до бесконечности. Следовательно, на этих четырех ребрах функция вращения не дает никакого вклада в траекторный инвариант исследуемого геодезического потока.

ЗАмЕчАНИЕ. В отличие от центральных четырех ребер молекулы $W$, остальные ее ребра, т. е. входящие в деревья $W(g)$ и $W(f)$, характеризуются иным поведением функции вращения. На этих ребрах функция вращения может не быть монотонной. Следовательно, здесь могут появляться нетривиальные $R$-векторы.
Доказательство.
Указанный случай отвечает случаю (б) предложения 4.1. Как видно из соответствующей формулы для $\rho$, в этом случае с ростом параметра $F$ числитель дроби, т.е. интеграл
\[
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{f(x)+F}} d x,
\]

монотонно убывает от плюс бесконечности до какого-то конечного предела. Знаменатель дроби, т.е. интеграл,
\[
\int_{0}^{L} \frac{1}{\sqrt{g(y)-F}} d y
\]

с ростом $F$ монотонно растет от конечного предела до плюс бесконечности. Следовательно, вся дробь монотонно убывает от плюс бесконечности до нуля. Предложение доказано.

Рассмотрим теперь случай римановой метрики на торе, геодезический поток которой интегрируем при помощи линейного интеграла. Как мы уже знаем, глобально лиувиллева метрика такого вида записывается в виде $d s^{2}=f(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$, т.е. получается из предыдущей метрики, когда $g(y)=0$. Функция $f(x)$ предполагается строго положительной.
Предложение 4.3. Рассмотрим геодезический поток глобально лиувиллевой метрики вида $d s^{2}=f(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ на торе. Соответствующая молекула $W^{*}$ имеет здесь вид, показанный на рис. 3.6 из главы 3.
а) Если $|F|>\min (f(x))$, то функция вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=$ const, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{1}{L} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{2 F d x}{\sqrt{f(x)-F^{2}}} .
\]

Здесь тор лежит в одном из двух графов $W(f)$ (см. рис. 3.6 из главы 3).
б) Если $|F|<\min (f)$, то функция вращения $\rho$ на торе Лиувилля, задаваемом уравнением $F=\mathrm{const}$, имеет следующий вид:
\[
\rho_{e}(F)=\frac{1}{L} \int_{0}^{1} \frac{F d x}{\sqrt{f(x)-F^{2}}} .
\]

Здесь тор лежит на одном из двух центральных ребер $a, b$ молекулы $W$.
Доказательство.
Начнем со случая (а). Тем же самым способом, что и раньше, вычисляем переменные действия $I_{1}$ и $I_{2}$. В данном случае интеграл $F$ имеет простой вид $F=p_{y}$, поэтому тор Лиувилля задается двумя простыми уравнениями:
\[
F=p_{y}, \quad p_{x}^{2}=f(x)-F^{2} .
\]

Отсюда следует, что
\[
I_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{L} F d y, \quad I_{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 \sqrt{f(x)-F^{2}} d x .
\]

Подставляя эти выражения в общую формулу для $\rho$, получаем:
\[
\rho(F)=-\frac{\frac{\partial I_{2}}{\partial F}}{\frac{\partial I_{1}}{\partial F}}=\frac{1}{L} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{2 F d x}{\sqrt{f(x)-F^{2}}} .
\]

В случае (б) поступаем совершенно аналогично. Предложение доказано.
Предложение 4.4. Рассмотрим глобально лиувилеву риманову метрику с линейно интегрируемым геодезическим потоке на торе. Тогда на каждом из двух центральных ребер а и $b$ молекулы $W$ функция вращения всегда строго монотонна и меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Следовательно, на этих четырех ребрах функция вращения не дает никакого вклада в траекторный инвариант исследуемого геодезического потока.
ЗАМЕчАниЕ. Как и в квадратичном случае, функция вращения не обнзана быть монотонной на ребрах молекулы, лежащих внутри деревьев $W(f)$. Следовательно, тут тоже могут появляться нетривиальные $R$-векторы.
Доказательство.
Утверждение следует из явного вида функции вращения на обоих центральных ребрах.
Теорема 4.1. Пусть $d^{2}{ }^{2} \mathrm{ds}^{\prime 2}$ – две глобально лиувиллевы метрики на торе. Предположим, что молекулы их геодезических потоков являются простыми, то есть все атомы, входящие в их состав, – простые (либо $A$, либо B). Тогда их геодезические потоки непрерывно траекторно эквивалентны в том и только в том случае, когда отвечающие этим потокам меченые молекулы $W^{*} u W^{\prime *}$ совпадают (в точном смысле, указанном выше), и, кроме того, их функции вращения на соответствующих друг другу ребрах молекул непрерывно сопряжены.
ЗАМЕчАниЕ. Конечно, теорема 4.1 может быть сформулирована и в общем случае, когда атомы-бифуркации простыми не являются. Но тут формулировка становится более громоздкой, и мы ее не приводим. Тут появятся другие траекторные инварианты, а именно, $\Lambda$ и $\Delta$. Инварианта $Z$ тут нет, поскольку все атомы, участвующиеся в формировании молекулы $W$, являются плоскими. Определение и свойства этих траекторных инвариантов см. в томе I настоящей книги.
Доказательство.
Поскольку атомы-бифуркации предположены здесь простыми, то никаких атомных инвариантов типа $\Lambda, \Delta$ и $Z$ тут нет. Остаются только сами меченые молекулы и $R$-векторы, полностью задающиеся функциями вращения. Совпадение $R$-векторов эквивалентно сопряженности функций вращения. Теперь утверждение теоремы следует из общей теории классификации.

Пользуясь этой теоремой, можно построить примеры непрерывно траекторно эквивалентных геодезических потоков на торе. Рассмотрим, например, две глобально лиувиллевы метрики на торе вида
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))^{2}\left(d x^{2}+d y^{2}\right) \quad \text { и } \quad d \widetilde{s}^{2}=(\tilde{f}(x)+\tilde{g}(y))^{2}\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где периодические функции $f, g$ и $\tilde{f}, \widetilde{g}$ имеют простой вид, а именно, имеют ровно по одному минимуму и максимуму на своей области определения. См. рис.4.3. (Другими словами, каждая функция имеет ровно один горб.) Тогда соответствующие молекулы $W^{*}$ и $\widetilde{W}^{*}$ имеют простейший вид, показанный на рис. 4.4. Мы не указываем здесь метки типа $r, \varepsilon, n$, поскольку сейчас они нам не нужны. Вместо этого мы обозначили различными буквами ребра молекул.

Предположим для простоты, что функции вращения монотонны на каждом ребре. Тогда на каждом из четырех центральных ребер функция вращения изменяется от нуля до плюс бесконечности, поэтому никакого вклада в траекторные инварианты они не дают. На концевых ребрах (заканчивающихся атомами $A$ ) функция вращения устроена так. Ее предел на седловом атоме Рис. 4.3 равен либо нулю, либо бесконечности. А поэтому опять-таки никакого вклада в инварианты не дает. Но предел функции вращения при приближении к атому $A$ уже является конечным числом. И это значение (согласно общей теории) является траекторным непрерывным инвариантом геодезического потока $d s^{2}$. При этом предел функции вращения на обоих верхних атомах $A$ один и тот же. Обозначим этот предел через $p$. Аналогичный предел функции вращения на обоих нижних атомах $A$ мы обозначим через $q$.

Аналогичные пределы для потока $d \widetilde{s}^{2}$ мы обозначим $\tilde{p}, \widetilde{q}$. Следовательно, у каждого потока появляется пара числовых траекторных инвариантов, а именно, $(p, q)$ и, соответственно, ( $\tilde{p}, \tilde{q})$. (При этом есть, конечно, и числовые метки типа $r, \varepsilon, n$ ). Таким образом, два простых квадратично интегрируемых геодезических потока (т.е. указанного одногорбого и монотонного типа) непрерывно траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают их меченые молекулы $W$ и $\widetilde{W}$, а также совпадают либо пары чисел $(p, q)$ и $(\widetilde{p}, \widetilde{q})$, либо паРис. 4.4 ры чисел $(p, q)$ и ( $\left.\tilde{q}^{-1}, \widetilde{p}^{-1}\right)$. Дело в том, что показанные на рис. 4.4 молекулы симметричны относительно горизонтальной оси (проходящей через их центр), поэтому гомеоморфизм, совмещающий молекулы, может переворачивать одну из них. Это эквивалентно перестановке местами переменных $x$ и $y$, что приводит к перестановке местами базисных циклов $\lambda$ и $\mu$. А, следовательно (см. общую теорию), функция вращения заменяется по следующему правилу: $\rho \rightarrow \frac{1}{\rho}$.

Этот результат можно переформулировать в виде следующего интересного утверждения. В указанных выше предположениях (одногорбость функций $f$ и $g$, а также монотонность функций вращения) геодезический поток имеет ровно две устойчивые замкнутые геодезические, отвечающие двум парам атомов $A$. Одна геодезическая отвечает верхней паре атомов, вторая – нижней. Атомы внутри каждой пары отвечают геометрически одной и той же геодезической, но проходимой в противоположном направлении. У каждой такой геодезической есть мультипликаторы. Они и задаются пределами функции вращения (на этой геодезической). Более точно, справедливо следующее утверждение.

Рассмотрим число вращения $\rho$ на торе Лиувилля, близком к замкнутой геодезической $\gamma$, и пусть $\rho_{0}$ – предел числа вращения, когда тор стягивается на геодезическую. Замкнутая геодезическая $\gamma$ характеризуется также своим индексом $\operatorname{ind}(\gamma)$ (иногда называемым индексом Морса). Это – число точек, сопряженных начальной точке $P$ вдоль данной геодезической, причем каждая точка учитывается ровно один раз. Отметим, что тут речь идет об однократно пройденной замкнутой геодезической (т.е. здесь рассматривается простая, некратная геодезическая). При этом, если начальная точка $P$ сопряжена самой себе вдоль данной геодезической, то ее тоже нужно учесть после однократного обхода.

Наконец, замкнутая геодезическая характеризуется еще одним числом $
u=$ $=\exp (2 \pi i \varphi)$, называемым мультипликатором (это – собственное число линеаризации отображения Пуанкаре). Имеет место следующее важное утверждение.
Предложение 4.5. Предел числа вращения $\rho_{0}$ на замкнутой устойчивой геодезической (на двумерной поверхности), ее индекс Морса $\operatorname{ind}(\gamma)$ и ее мультипликатор $
u$ связаны следующими соотношениями:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{ind}(\gamma) & \left.=\left[2 \rho_{0}\right] \quad \text { (т.е. целая часть } 2 \rho_{0}\right), \\

u & =\exp \left(2 \pi i \rho_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Доказательство.
Пусть $\gamma$ – замкнутая геодезическая и $P$ – произвольная точка на ней. Выпустим из точки $P$ новую геодезическую $\tilde{\gamma}$ по направлению вектора а, близкому к вектору $\dot{\gamma}(0)$, т.е. близкому к вектору скорости исходной геодезической. См. рис. 4.5. Поскольку исходная геодезическая $\gamma$ была устойчивой, то геодезическая $\tilde{\gamma}$ будет двигаться вблизи геодезической $\gamma$, пересекая ее в каких-то точках. Отметим, что первая точка пересечения может появиться после полного оборота $\tilde{\gamma}$ вдоль $\gamma$. Рассмотрим в $Q$ тор Лиувилля, на котором лежит геодезическая $\widetilde{\gamma}$. Поскольку $\gamma$ устойчива, то можно считать, что весь тор Лиувилля находится в некоторой узкой трубчатой окрестности $\gamma$ в $Q$. Следовательно, проектируя этот тор Лиувилля вниз, то есть на 2 -тор $T^{2}$, получаем на нем узкое кольцо с осью $\gamma$, внутри которого движется $\widetilde{\gamma}$. См. рис. 4.5. Оказывается, что каждая пара пересечений геодезической $\widetilde{\gamma}$ с геодезической $\gamma$ отвечает наверху, то есть в $Q$, одному полному обороту геодезической $\widetilde{\gamma}$ вокруг образующей тора Лиувилля. См. рис. 4.6. Это легко следует из того, что координатная сетка переменных угол на торе Лиувилля проектируется в стандартную координатную сетку $x=$ const, $y=$ const на базисном торе. Напомним, что $\widetilde{\gamma}$ не обязана замыкаться после полного оборота вдоль $\gamma$. Обозначим через $n_{\tilde{\gamma}}(k)$ число пересечений геодезической $\widetilde{\gamma}$ с геодезической $\gamma$ на базисном торе за $k$ оборотов, которые мы подсчитываем вдоль геодезической $\gamma$. То есть мы подсчитаем, сколько раз прошли вдоль $\gamma$. Через $n_{\tilde{\gamma}}(1+\varepsilon)$ обозначим число пересечений геодезической $\widetilde{\gamma}$ с геодезической $\gamma$ на отрезке от 0 до $1+\varepsilon$. Здесь 1 – это период замкнутой геодезической $\gamma$, то есть ее длина после подходящей нормировки. Далее, $\varepsilon$ – это любое фиксированное достаточно малое положительное число. Тогда имеет место следующая формула:
\[
\operatorname{ind}(\gamma)=\lim _{\tilde{\gamma} \rightarrow \gamma} n_{\tilde{\gamma}}(1+\varepsilon) .
\]

Предположим сначала, что точка $P$ не сопряжена самой себе вдоль геодезической $\gamma$. Тогда ясно, что в указанной выше формуле можно положить $\varepsilon$ равным нулю, т.е.:
\[
\operatorname{ind}(\gamma)=\lim _{\tilde{\gamma} \rightarrow \gamma} n_{\tilde{\gamma}}(1) .
\]

Это означает, что индекс геодезической в точности равен числу $s$ точек пересечения близкой геодезической $\tilde{\gamma}$ с $\gamma$ за один оборот. См. рис.4.6.

С другой стороны, для предела $\rho_{0}=\lim \rho(\widetilde{\gamma})$ числа вращения $\rho(\widetilde{\gamma})$ при $\widetilde{\gamma} \rightarrow \gamma$ имеет место следующая формула:
\[
\rho_{0}=\lim _{\tilde{\gamma} \rightarrow \gamma} \lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{n_{\tilde{\gamma}}(k)}{2 k}\right) .
\]

Достаточно доказать, что
\[
s \leqslant \frac{n_{\tilde{\gamma}}(k)}{k}<s+1 .
\]

Докажем сначала левую часть неравенства. Допустим противное, т.е. что $s>\frac{n_{\tilde{\gamma}}(k)}{k}$. РазоРис. 4.6 бьем отрезок $[0, k]$ на единичные полуинтервалы вида $[m, m+1)$. Тогда существует хотя бы один полуинтервал, внутри которого число точек пересечения $\gamma$ и $\tilde{\gamma}$ строго меньше $s$. Выпустим из точки $m$, т.е. из левого конца этого полуинтервала, геодезическую $\tau$, близкую к $\gamma$. См. рис. 4.7. Поскольку индекс геодезической $\gamma$ на полуинтервале $[m, m+1)$ равен $s$, следовательно, число точек пересечения геодезической $\tau$ с геодезической $\gamma$ на этом полуинтервале тоже должно равняться $s$.

В таком случае мы получаем на полуинтервале $[m, m+1)$ пару соседних точек $\alpha$ и $\beta$, в которых геодезическая $\tau$ пересекает геодезическую $\gamma$. Причем, как видно из рис. 4.7 , между ними нет ни одной точки пересечения геодезических $\gamma$ и $\tilde{\gamma}$. При этом без ограничения общности можно считать, что обе геодезические $\tau$ и $\widetilde{\gamma}$ лежат на одном и том же торе Лиувилля, т. е. одинаково близки к $\gamma$. Но тогда получаем противоречие, так как точки пересечения двух геодезических $\tau$ и $\tilde{\gamma}$, одинаково близких к одной и той же геодезической $\gamma$, должны чередоваться. Правило чередования следует из теоремы Лиувилля и из того, что все торы Лиувилля, близкие к $\gamma$, проектируются вниз, т.е. на базу, в концентрические кольца с одной и той же осью – геодезической $\gamma$. При этом геодезические $\tau$ и $\widetilde{\gamma}$ лежат на одном и том же торе Лиувилля. Итак, левая часть соотношения доказана.

Рис. 4.7
Рис. 4.8

Перейдем к рассмотрению правой его части. Допустим противное, то есть что $\frac{n_{\tilde{\gamma}}(k)}{k} \geqslant s+1$. Поступая по аналогии с предыдущим случаем, получаем, что в этом случае существует хотя бы один полуинтервал $[m, m+1)$ на отрезке $[0, k]$, в котором есть по крайней мере $s+2$ точки пересечения геодезических $\gamma$ и $\widetilde{\gamma}$. См. рис.4.8. Выпустим из точки $m$ геодезическую $\tau$, лежащую на том же торе Лиувилля, что и геодезическая $\widetilde{\gamma}$. Тогда ясно, что найдутся две такие точки $\alpha$ и $\beta$ пересечения геодезических $\gamma$ и $\tilde{\gamma}$, между которыми снова нет ни одной точки пересечения геодезических $\gamma$ и $\tau$. Этого не может быть по тем же соображениям, что и выше. Полученное противоречие доказывает, следовательно, правую часть искомого соотношения.
Устремляя $k$ к бесконечности, мы получаем, что
\[
s \leqslant 2 \rho<s+1 .
\]

Следовательно, $[2 \rho]=s$. Так как $s$, в свою очередь, равно индексу геодезической $\gamma$, то получаем требуемое равенство:
\[
[2 \rho]=\operatorname{ind}(\gamma) .
\]

Итак, в случае, когда точка $P$ не сопряжена самой себе вдоль геодезической $\gamma$, утверждение доказано.

Формула $
u=\exp \left(2 \pi i \rho_{0}\right)$ уже была доказана в томе 1 , глава 8 , параграф 5 . Причем эта формула верна всегда, в общем случае, независимо от того, сопряжены или нет начало и конец геодезической.

Пусть теперь точка $P$ сопряжена самой себе вдоль $\gamma$. Это означает, что после одного полного оборота геодезическая $\tilde{\gamma}$, близкая к $\gamma$, вернулась в точку $P^{\prime}$, близкую к исходной точке $P$, с точностью до малых второго порядка. Другими словами, нашлось поле Якоби вдоль $\gamma$, которое обращается в ноль как в точке $t=0$, так и в точке $t=1$, где $t$ – параметр вдоль геодезической, а 1 – ее длина, т.е. период. В этом случае мультипликатор $
u$ равен $\pm 1$. Из уже доказанной выше формулы $
u=\exp \left(2 \pi i \rho_{0}\right)$ следует, что $2 \rho_{0}$ является целым числом. Следовательно, осталось проверить, что $\operatorname{ind}(\gamma)=2 \rho_{0}$. Но это следует из сформулированного выше определения индекса замкнутой геодезической, когда в случае сопряженности ее начала и конца, после однократного обхода, нужно учесть концевую точку как сопряженную, причем ровно один раз.
Предложение доказано.
Это предложение полезно тем, что позволяет сформулировать простой критерий траекторной эквивалентности для «простых» интегрируемых геодезических потоков на торе. А именно, верно следующее утверждение.
Следствие. Рассмотрим два квадратично интегрируемых геодезических потока на торе. Пусть отвечающие им молекулы $W$ и $W^{\prime}$ являются простейшими (рис. 4.4) и все функции вращения монотонны. Тогда геодезические потоки являются непрерывно траекторно эквивалентными в том и только в том случае, когда соответствующие замкнутые устойчивые геодезические имеют одинаковые индексы Морса и одинаковые мультипликаторы.
4.1.2. Потоки со сложными бифуркациями (атомами)

Здесь мы не будем формулировать общих теорем, а ограничимся несколькими комментариями.

Если бифуркация (т.е. атом) достаточно сложна, то, как мы знаем, кроме функции вращения появляются новые траекторные инварианты – $\Lambda$ и $\Delta$. Отметим, что $Z$-инвариант здесь не появляется, так как в случае тора все возникающие здесь атомы являются плоскими (а $Z$-инвариант плоского атома равен нулю). Определение траекторных инвариантов $\Lambda, \Delta, Z$ см. в томе 1 настоящей книги.

Согласно общей теории, траекторными инвариантами исходной гамильтоновой системы являются инварианты класса сопряженности редуцированной системы на двумерной трансверсальной площадке. Эту систему мы назвали потоком Пуанкаре, а ее гамильтониан – гамильтонианом Пуанкаре. В рассматриваемом случае тора можно выписать явную формулу для гамильтониана Пуанкаре. Это позволяет вычислить инварианты $\Lambda$ и $\Delta$.

Как мы показывали выше, в случае тора вся изоэнергетическая 3 -поверхность распадается на 4 куска, для каждого из которых существует глобальное трансверсальное 2-сечение. На рис. 3.11 главы 3 условно изображены эти 4 куска $Q_{I}, Q_{I I}, Q_{I I I}, Q_{I V} 3$-поверхности $Q$. Рассмотрим, например, кусок $Q_{I}$. Трансверсальным сечением для него служит (как показано в главе 3) поверхность $P_{I}$, задаваемая уравнением $x=0$. Локальными координатами на $P_{I}$ служат $y$ и $p_{y}$. Симплектическая структура на этом сечении стандартная, т. е. имеет вид $d p_{y} \wedge d y$. Дополнительный интеграл исходного потока, ограниченный на это сечение $P_{I}$, записывается формулой:
\[
F=-p_{y}^{2}+g(y) .
\]

Ясно, что гамильтониан Пуанкаре $F^{*}$ является некоторой функцией от $F$, т. е. имеет вид $F^{*}=F^{*}(F)$. Имеет место следующее общее и полезное утверждение (справедливое, конечно, не только для случая тора).
Лемма 4.1. Гамильтонов поток $\operatorname{sgrad} F$ и гамильтонов поток $\operatorname{sgrad} F^{*}(F)$ на 2-сечении $P$ всегда имеют один и тот же инвариант $\Lambda$, т.е. $\Lambda(F)=\Lambda\left(F^{*}\right)$. $A$ инварианты $\Delta$ и $Z$ связаны простым соотношением:
\[
\Delta\left(F^{*}\right)=\frac{\Delta(F)}{\frac{d F^{*}}{d F}}, \quad Z\left(F^{*}\right)=\frac{Z(F)}{\frac{d F^{*}}{d F}} .
\]

Здесь производная $\frac{d F^{*}}{d F}$ вычисляется на особом слое потока.
Доказательство легко следует из определения инвариантов. В случае тора функцию $F^{*}(F)$ легко подсчитать. Это делается при помощи формулы для переменных действия и формулы Топалова для гамильтониана Пуанкаре (см. выше). Получается следующий ответ:
\[
F^{*}(F)=\int_{0}^{1} \sqrt{f(x)+F} d x .
\]

Теперь производная $\frac{d F^{*}}{d F}$ легко вычисляется и имеет вид:
\[
\frac{d F^{*}}{d F}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{2(f(x)+F)}} .
\]

Таким образом, в случае тора задача сводится к вычислению инвариантов $\Lambda$ и $\Delta$ на сечении $P_{I}$ для довольно простого гамильтониана вида
\[
F=-p_{y}^{2}+g(y) .
\]

Рис. 4.9
Лемма 4.2. Пусть особый слой сечения $P_{I}$ содержит особые точки $S_{1}, \ldots, S_{m}$. В координа$\max \left(y, p_{y}\right)$ на сечении эти точки записываются так: $\left(y_{i}, 0\right)$, где $y_{i}$ – критическая точка функии $g(y)$. См. рис. 4.9. Тогда значение $\Lambda$-инварианта на особом слое равно
\[
\Lambda=\left(\lambda_{1}: \ldots: \lambda_{m}\right), \quad \text { где } \quad \lambda_{i}=\sqrt{\frac{d^{2} g\left(y_{i}\right)}{d y^{2}}} .
\]

Доказательство получается прямым применением формулы, задающей $\Lambda$-инвариант через симплектическую структуру и вторые производные гамильтониана.

Для подсчета $\Delta$-инварианта также можно использовать формулу, которая выражает его через конечные части функции периодов (см. том 1 настоящей книги). Сами функции периодов для рассматриваемого случая тора легко вычисляются. Они выглядят так:
\[
\Pi(F)=\int \frac{d y}{\sqrt{g(y)-F}},
\]

где интеграл для каждого из колец, составляющих сечение $P_{I}$, берется по соответствующему отрезку вида $\left[s_{1}, s_{2}\right]$ (см. рис. 4.9).