Основным траекторным инвариантом системы является функция вращения. Напомним, что число вращения гамильтоновой системы на торе Лиувилля определяется следующим образом. Согласно теореме Лиувилля, на рассматриваемом торе существует система координат $\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right.$ ), в которой гамильтонова система выпрямляется и записывается в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{d \varphi_{1}}{d t} & =\omega_{1}, \\
\frac{d \varphi_{2}}{d t} & =\omega_{2} .
\end{aligned}
\]

Числом вращения на данном торе называется отношение $\rho=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}$. Число вращения зависит от тора Лиувилля. На изоэнергетической поверхности торы образуют однопараметрические семейства, параметром которых служит, например, дополнительный интеграл $f$. В результате на каждом из однопараметрических семейств торов возникает функция вращения $\rho(f)$.

По существу, функция вращения является основным траекторным инвариантом системы. Однако следует обратить внимание на то обстоятельство, что функция вращения зависит, во-первых, от выбора базиса на торе Лиувилля и, во-вторых, от выбора дополнительного интеграла системы.

Зависимость от выбора базиса на торе Лиувилля легко преодолеть, если для сравниваемых систем выбирать базисные циклы на торах из лиувиллева слоения одинаковым образом (мы уже пользуемся тем фактом, что слоения изоморфны). Например, для рассматриваемого слоения Лиувилля (смотри выше модельный пример) можно сформулировать следующее простое правило выбора базисных циклов.

Напомним, что изоэнергетическая поверхность имеет структуру $S^{1}$-расслоения, каждый слой которого лежит на некотором торе Лиувилля. Легко видеть, что с точностью до изотопии эта структура $S^{1}$-расслоения определена однозначно. Поэтому в качестве первого однозначно определенного базисного цикла мы можем взять слой $\lambda$ этого расслоения.

Далее рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство торов Лиувилля. Торы из этого семейства стягиваются на особый слой (устойчивую периодическую траекторию). Поэтому на торах из семейства однозначно определен исчезающий цикл $\mu$, который превращается в точку при стягивании торов на особый слой. Возьмем этот цикл в качестве второго базисного цикла.

Итак, мы определили некоторым каноническим образом базисы на торах Лиувилля. Теперь, когда базисы фиксированы, можно выписать явные формулы для функций вращения.

В качестве параметра $t$ на семействе лиувиллевых торов в задаче Якоби мы рассмотрим значение интеграла $f_{J}$, а в случае Эйлера за аналогичный параметр $\tau$ примем обратную величину дополнительного интеграла $f_{E}$, т.е. $\tau=\left(f_{E}\right)^{-1}$. Несложно проверить, что параметры $t$ и $\tau$ меняются в интервалах $[a, b]$ и $[A, B]$ соответственно. При этом значения $a, b, c$ и $A, B, C$ являются бифуркационными, в этих точках происходят перестройки лиувиллевых торов. Любое другое значение из указанных интервалов соответствует паре регулярных торов, на которых числа вращения совпадают в силу имеющейся естественной симметрии.

Мы воспользуемся уже вычисленными выше функциями вращения. Правда, ранее мы подсчитали их в другом базисе на торах Лиувилля. Чтобы получить их выражение в нужном нам сейчас базисе, потребуется найти матрицу перехода от старого базиса к новому. Старый базис был связан с эллиптическими координатами $\lambda_{2}, \lambda_{3}$ на эллипсоиде и имел вид $\left\{\lambda_{2}=\right.$ const $\}$ и $\left\{\lambda_{3}=\right.$ const $\}$. Легко проверяется, что на верхних ребрах молекулы $W$ (т.е. при $t \in(b, c)$ ) старые и новые базисные циклы связаны соотношением:
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\left\{\lambda_{2}=\text { const }\right\}+\left\{\lambda_{3}=\text { const }\right\}, \\
\mu=\left\{\lambda_{2}=\text { const }\right\} .
\end{array}
\]

На нижних ребрах молекулы (т.е. при $t \in(a, b)$ ) имеет место аналогичные соотношения, но $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ нужно поменять местами:
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\left\{\lambda_{2}=\text { const }\right\}+\left\{\lambda_{3}=\text { const }\right\}, \\
\mu=\left\{\lambda_{3}=\text { const }\right\} .
\end{array}
\]

Используя эти соотношения и формулы для функции вращения в старом базисе (глава 3, параграф 3, пункт 3.1), мы получаем формулы для нее в новом базисе.
Предложение 7.1. Функция вращения задачи Якоби, записанная в базисе $(\lambda, \mu)$, имеет следующий вид:

1) при $a<t<b$
\[
\rho_{J}(t)=\frac{\int_{-t}^{-a} \Phi(u, t) d u}{\int_{0}^{+\infty} \Phi(u, t) d u}
\]
\[
\rho_{J}(t)=-\frac{\int_{-c}^{-t} \Phi(u, t) d u}{\int_{0}^{+\infty} \Phi(u, t) d u},
\]

где
\[
\Phi(u, t)=\sqrt{\frac{u}{(u+a)(u+b)(u+c)(u+t)}} .
\]

КоммЕНТАРий. При доказательстве этих формул следует использовать следующие хорошо известные формулы из теории гиперэллиптических интегралов:
\[
\begin{array}{l}
\int_{-c}^{-t} \Phi(u, t) d u=\int_{-b}^{-a} \Phi(u, t) d u+\int_{0}^{+\infty} \Phi(u, t) d u, \quad \text { если } t \in(b, c), \\
\int_{-c}^{-b} \Phi(u, t) d u=\int_{-t}^{-a} \Phi(u, t) d u+\int_{0}^{+\infty} \Phi(u, t) d u, \quad \text { если } t \in(a, b) .
\end{array}
\]

Аналогичные формулы для функции вращения можно выписать и в случае Эйлера. См. также $[171],[14],[82]$. Все рассуждения и формулы перехода от старого базиса к новому совершенно аналогичны.
Предложение 7.2. Функция вращения случая Эйлера, записанная в базисе $(\lambda, \mu)$, имеет следующий вид
1) при $B<\tau<C$
\[
\rho_{E}(\tau)=-\frac{1}{\pi} \int_{\tau}^{C} \Psi(u, \tau) d u,
\]
2) при $A<\tau<B$
\[
\rho_{E}(\tau)=\frac{1}{\pi} \int_{A}^{\tau} \Psi(u, \tau) d u
\]

где
\[
\Psi(u, \tau)=\frac{u}{\sqrt{(\tau-u)(C-u)(B-u)(u-A)}} .
\]

Итак, мы выписали явные формулы для функций вращения в соответствующих базисах. Они, как мы видим, не совпадают. Но их совпадения и не следовало ожидать, поскольку параметры $t$ и $\tau$ на однопараметрических семействах торов Лиувилля были выбраны совершенно независимым образом. Необходимым условием траекторной эквивалентности систем является, как легко видеть, не совпадение функций вращения, а их сопряженность. Другими словами, должна существовать монотонная (строго возрастающая) замена $t=t(\tau)$ такая, что $\rho_{J}(t(\tau))=\rho_{E}(\tau)$ на каждом из четырех однопараметрических семейств торов. Если нас интересует непрерывная траекторная эквивалентность, то замена должна быть непрерывным отображением отрезка $[A, C]$ в отрезок $[a, c]$. В гладком случае эта замена должна быть гладкой.

Оказывается, в непрерывном случае для подходящим образом подобранных параметров $(A, B, C)$ и $(a, b, c)$ такая замена существует.

Для того, чтобы это показать, нам будет достаточно исследовать пределы изменения этих функций и их монотонность.
Введем следующие обозначения
\[
\begin{aligned}
k(a, b, c) & =\lim _{t \rightarrow a} \rho_{J}(t), \\
l(a, b, c) & =\lim _{t \rightarrow c} \rho_{J}(t), \\
K(A, B, C) & =\lim _{t \rightarrow A} \rho_{E}(\tau), \\
L(A, B, C) & =\lim _{t \rightarrow C} \rho_{E}(\tau) .
\end{aligned}
\]

Легко проверяется, что явные формулы для введенных выше функций выглядят так:
\[
\begin{aligned}
k(a, b, c) & =\frac{\pi \sqrt{\frac{a}{(b-a)(c-a)}}}{\int_{0}^{\infty} \Phi(u, a) d u} \\
l(a, b, c) & =-\frac{\pi \sqrt{\frac{c}{(c-a)(c-b)}}}{\int_{0}^{\infty} \Phi(u, c) d u} \\
K(A, B, C) & =\frac{A}{\sqrt{(B-A)(C-A)}}, \\
L(A, B, C) & =-\frac{C}{\sqrt{(C-A)(C-B)}} .
\end{aligned}
\]

Качественное поведение функций вращения описывается следующим утверждением.
Предложение 7.3.
1) Функция вращения $\rho_{E}(\tau)$ строго возрастает на интервалах $(A, B) u(B, C)$;
2) Функция вращения $\rho_{J}(t)$ строго возрастает на интервалах $(a, b) u(b, c)$;
3)
\[
\lim _{\tau \rightarrow B \pm 0} \rho_{E}(\tau)=\lim _{t \rightarrow b \pm 0} \rho_{J}(t)=\mp \infty
\]

Первый пункт теоремы легко проверяется непосредственным дифференцированием функции вращения. Второй пункт теоремы сложнее, хотя идея доказательства та же самая: продифференцировать функцию и доказать положительность ее производной. Строгое доказательство этого факта содержится в статье [38]. Третье утверждение теоремы легко следует из явных формул для функций вращения. Кроме того, стремление функции вращения к бесконечности при подходе к седловому атому – это вообще общий факт (если базис выбран правильно).

Таким образом качественное поведение функций вращения в задаче Якоби и случае Эйлера совершенно одинаково. Ясно, что для монотонных функций единственным условием непрерывной сопряженности является совпадение их пределов на концах тех интервалов, на которых они определены. Поэтому необходимым и достаточным условием непрерывной сопряженности функций вращения $\rho_{J}$ и $\rho_{E}$ являются два равенства
\[
\begin{aligned}
l(a, b, c) & =L(A, B, C), \\
k(a, b, c) & =K(A, B, C) .
\end{aligned}
\]

Как следует из общей теории топологической траекторной классификации интегрируемых систем [33], кроме двух указанных инвариантов (т.е. двух пределов функций вращения) в данном случае есть еще только один инвариант, а именно, инвариант $\Lambda$. Однако в обоих случаях (Эйлера и Якоби) это инвариант тривиален, т.е. $\Lambda=(1: 1)$. Дело в том, что в молекуле $W$ здесь имеется только один седловой атом, и это – атом $C_{2}$. У этих систем есть симметрия, переставляющая вершины атома $C_{2}$, и поэтому значения $\Lambda$-инварианта на вершинах совпадают.

Фактически мы вычислили полный траекторный инвариант для каждой из систем Эйлера и Якоби, т.е. $t$-молекулу. Напомним, что $t$-молекула получается из обычной меченой молекулы $W^{*}$ добавлением векторов вращения на всех ее ребрах и $\Lambda$-инвариантов для атомов. Никаких других траекторных инвариантов в случаях систем Эйлера и Якоби нет.
Теорема 7.2. Явный вид $t$-молекул для систем Эйлера и Якоби представлен на рис.7.1.

Таким образом, для доказательства эквивалентности случая Эйлера и задачи Якоби нам достаточно подобрать тройки параметров $(a, b, c)$ и $(A, B, C)$, для которых справедливы выписанные выше равенства.