В гамильтониан случая Стеклова (1.21) входят 4 параметра: $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \varepsilon$. Рассмотрим следующие функции:
\[
\begin{aligned}
H_{0}= & a_{1} S_{1}^{2}+a_{2} S_{2}^{2}+a_{3} S_{3}^{2}+2\left(a_{1}^{2} S_{1} R_{1}+a_{2}^{2} S_{2} R_{2}+a_{3}^{2} S_{3} R_{3}\right)+ \\
& +a_{1}^{3} R_{1}^{2}+a_{2}^{3} R_{2}^{2}+a_{3}^{3} R_{3}^{2}, \\
K_{0}= & S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2\left(a_{1} S_{1} R_{1}+a_{2} S_{2} R_{2}+a_{3} S_{3} R_{3}\right)- \\
& -3\left(a_{1}^{2} R_{1}^{2}+a_{2}^{2} R_{2}^{2}+a_{3}^{2} R_{3}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $a_{1}+a_{2}+a_{3}=0$. Как и в случае Клебша, любой гамильтониан случая Стеклова можно представить в виде
\[
H=\alpha H_{0}+\beta K_{0}+\gamma f_{1}+\delta f_{2},
\]

где
\[
\begin{aligned}
a_{1} & =\frac{\varepsilon}{3}\left(2 A_{2} A_{3}-A_{3} A_{1}-A_{1} A_{2}\right), \quad a_{2}=\frac{\varepsilon}{3}\left(2 A_{3} A_{1}-A_{1} A_{2}-A_{2} A_{3}\right), \\
a_{3} & =\frac{\varepsilon}{3}\left(2 A_{1} A_{2}-A_{2} A_{3}-A_{3} A_{1}\right), \\
\alpha & =\left(2 \varepsilon A_{1} A_{2} A_{3}\right)^{-1}, \quad \beta=\frac{1}{6}\left(A_{1}^{-1}+A_{2}^{-1}+A_{3}^{-1}\right), \\
\gamma & =\varepsilon^{2}\left(\left(2\left(A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+A_{3} A_{1}\right)^{3}\left(27 A_{1} A_{2} A_{3}\right)^{-1}-A_{1} A_{2} A_{3}\right),\right. \\
\delta & =\frac{\varepsilon}{9}\left(5\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\right)-2\left(A_{2} A_{3} A_{1}^{-1}+A_{3} A_{1} A_{2}^{-1}+A_{1} A_{2} A_{3}^{-1}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Следуя описанному выше алгоритму, можно построить бифуркационные диаграммы отображения
\[
K_{0} \times H_{0}: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(k, h),
\]

где $H_{0}$ и $K_{0}$ заданы на $T S^{2}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\} \subset \mathbb{R}^{6}(S, R)$. Зная бифуркационные диаграммы отображения (9.3), молекулы $W$ для гамильтониана (9.2) можно описать, определив, как перестраиваются торы Лиувилля в прообразе точки, движущейся вдоль прямой $\alpha h+\beta k=$ const. Будем предполагать, что параметры $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, входящие в выражения (9.1), удовлетворяют условию
\[
a_{1}<0 \leqslant a_{2}<a_{3} .
\]

Общий случай сводится к этому заменой переменных.
Теперь можно описать бифуркационные диаграммы отображения (9.3). Они были найдены А. А. Ошемковым в [156], [157], [350]. Эта диаграмма при любом значении $g$ является объединением кривой, заданной параметрически:
\[
k=-8 \mu g-12 \mu^{2}, h=-4 \mu^{2} g-8 \mu^{3},-\left(g+a_{3}\right) \leqslant 2 \mu \leqslant-\left(g+a_{1}\right),
\]

и трех лучей, лежащих на прямых $h=a_{i} k+4 a_{i}^{3}+4 g a_{i}^{2}$ ( $i=1,2,3$ ). Лучи задаются так:
\[
\left\{h=a_{i} k+4 a_{i}^{3}+4 g a_{i}^{2}, k \geqslant T-12 a_{i}^{2}-8 g a_{i}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}(k, h) .
\]

Здесь $T$ – некоторое неотрицательное число.
Кривая имеет вид, изображенный на рис. 5.46:
(a) $g<-3 a_{3}$,
(b) $-3 a_{3}<g<-3 a_{2}$,
(c) $-3 a_{2}<$ g $<-3 a_{1}$,
(d) $g>-3 a_{1}$.

Рис. 5.46
Кривая (9.4) задана параметрически с параметром $\mu$. Для точки кривой, отмеченной на рис. 5.46 цифрой $i(i=1,2,3)$, значение параметра $\mu$ равно $-\frac{1}{2}\left(g+a_{i}\right)$. Это – точка пересечения кривой и прямой $h=a_{i} k+4 a_{i}^{3}+4 g a_{i}^{2}$. Для точки возврата кривой мы имеем $\mu=-\frac{g}{3}$ при $-3 a_{3}<g<-3 a_{1}$.
В точке касания луча с кривой значение параметра $\mu$ на кривой равно $a_{i}$. Объединяя все эти результаты, получаем бифуркационные диаграммы, показанные на рис. 5.47. Чтобы не усложнять рисунки, оси координат $(k, h)$ не нарисованы. Перестройки торов Лиувилля, указанные на рис. 5.47, будут описаны ниже.
Рис. 5.47
Для каждого гладкого участка бифуркационной диаграммы можно вычислить индекс критической окружности из соответствующего семейства. Это было сделано А. А. Ошемковым $[156],[157]$, [350].

Оказывается, что все критические окружности невырождены, кроме тех, которые лежат в прообразе точки возврата кривой или точек касания кривой с лучами. Зная индексы, можно определить перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения (9.3). Очевидно, что тем частям бифуркационных диаграмм, для которых индекс критической окружности равен 0 или 2 , соответствуют перестройки, кодируемые атомом $A$. Отсюда легко установить число торов Лиувилля в прообразе каждой точки, не лежащей на бифуркационной диаграмме. Осталось определить вид перестроек по седловым критическим окружностям.

Разберем, например, рис. 5.47g. Более подробно эта бифуркационная диаграмма изображена на рис. 5.48. Цифрами здесь обозначено число торов Лиувилля, число седловых окружностей (например, $4 s$ ) и число окружностей минимума или максимума (например, $2 m$ ). Перестройки вдоль стрелок I и II – это перестройки двух торов Лиувилля в четыре тора по двум седловым окружностям. Существует всего лишь одна перестройка с таким свойством. См. список бифуркаций в томе 1 . Эта пе-
Рис. 5.48
рестройка описывается двумя атомами $B$.

Далее, перестройка торов вдоль стрелки III имеет тот же вид, что и перестройка критических окружностей в прообразе точки, движущейся вдоль стрелки III’. Это следует из теоремы 9.2 тома 1. Можно проверить (см. подробности в работах А.А.Ошемкова $[157],[158],[350]$ ), что лучу, вдоль которого направлена стрелка III’, соответствуют два экземпляра атома $C_{2}$. Следовательно, перестройка торов Лиувилля вдоль стрелки III имеет тот же самый тип и описывается двумя атомами $C_{2}$. Осталось определить вид перестройки вдоль стрелки IV. При изменении значения $g$ бифуркационная диаграмма непрерывно деформируется и для достаточно больших значений $g$ имеет вид, изображенный на рис. $5.47 \mathrm{j}$. При этом лучи переходят в соответствующие лучи. Поэтому перестройка торов вдоль стрелки IV имеет тот же вид, что и перестройка торов при пересечении среднего луча на рис. 5.47 j. Она описывается атомом $C_{2}$, что устанавливается тем же способом, что и для перестройки вдоль стрелки III.

Разбирая аналогично все случаи (а)-(j) на рис. 5.47, мы вычисляем все перестройки торов Лиувилля. Результат приведен на рис.5.47.
Теорема 5.11 (А.А.Ошемков). Пусть гамильтониан $H$ случая Стеклова (1.21) представлен в виде (9.2). Тогда бифуркационные диаграммы отображения момента $H \times K: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ получаются из бифуркационных диаграмм, изображенных на рис. 5.47, при невырожденном линейном преобразовании плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$. Дополнительный интеграл Стеклова является боттовским на всех неособых изоэнергетических 3-поверхностях $Q_{c}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=c\right\}$, кроме тех, для которых прямая $\alpha h+\beta k=c-\gamma-\delta g$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$ проходит через точку касания луча с кривой или через точку возврата кривой для диаграмм на рис.5.47. Перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента указаны на рис.5.47. Список всех возникающих в случае Стеклова молекул $W$ при различных значениях $\alpha, \beta, g, h$ состоит из 6 молекул, показанных в таблице 5.9.