Начиная с этого момента, мы будем рассматривать другую пару интегралов, а именно, гамильтониан $H$ и дополнительный интеграл $K$ на изоэнергетической 3 -поверхности $Q$. Поэтому бифуркационные диаграммы, которые сейчас мы будем изучать, имеют другой смысл. Они соответствуют не перестройкам 3 -многообразий $Q$, а перестройкам 2 -торов Лиувилля в каждом фиксированном $Q_{h}^{3}$.

Начнем с построения бифуркационной диаграммы случая Эйлера. Гамильтониан $H$ и интеграл $K$ имеют здесь следующий вид:
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}, \quad K=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} .
\]

Напомним, что в случае Эйлера мы считаем, что $A_{1}>A_{2}>A_{3}>0$.
На симплектическом 4-многообразии $M_{1, g}^{4}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}$ функции $H$ и $K$ коммутируют. Рассмотрим соответствующее отображение момента $\mathcal{F}=(H, K): M_{1, g}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, задаваемое этими двумя функциями, и построим бифуркационную диаграмму.

Бифуркационная диаграмма зависит от параметра $g$, т. е. от постоянной площадей. Для каждого значения параметра $g$ критическими точками отображения момента $\mathcal{F}$ являются точки, в которых градиенты функций $H$ и $K$, ограниченных на многообразие $M_{1, g}^{4}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}$, линейно зависимы. Поэтому критическая точка отображения $\mathcal{F}$ либо является критической точкой функции $H$, ограниченной на многообразие $M_{1, g}^{4}$, либо в ней выполнено соотношение
\[
\lambda_{1} \operatorname{grad} f_{1}+\lambda_{2} \operatorname{grad} f_{2}+\lambda_{3} \operatorname{grad} H=\operatorname{grad} K,
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ – некоторые числа.

Критические точки функции $H$ на многообразии $M_{1, g}^{4}$ были найдены при исследовании топологического типа изоэнергетических поверхностей случая Эйлера. Напомним (см. п. 2.2), что при всех $g$ имеется ровно 6 критических точек функции $H$
\[
( \pm g, 0,0, \pm 1,0,0), \quad(0, \pm g, 0,0, \pm 1,0), \quad(0,0, \pm g, 0,0, \pm 1),
\]

в которых гамильтониан $H$ принимает значения $\frac{g^{2}}{2 A_{i}}$, а интеграл $K-$ одно и то же значение $g^{2}$.

Во всех остальных критических точках отображения $\mathcal{F}$ выполнено соотношение (3.1). Таким образом, в переменных $(S, R)=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}, R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$ система уравнений, задающих критические точки отображения момента, записывается следующим образом:
\[
\left\{\begin{array}{l}
2 \lambda_{2} R+\lambda_{3} A^{-1} S=2 S \\
2 \lambda_{1} R+\lambda_{2} S=0, \\
(R, R)=1, \\
(S, R)=g,
\end{array}\right.
\]

где через $A$ обозначена диагональная матрица с элементами $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, а через $(\cdot, \cdot)$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^{3}$.

Найдем сначала решения системы (3.3) при условии $\lambda_{2}
eq 0$. Из второго уравнения системы (3.3) получаем $S=-\frac{2 \lambda_{1}}{\lambda_{2}} R$. Учитывая, что $(R, R)=1$, а $(S, R)=g$, имеем
\[
S=g R, \quad \lambda_{1}=-\frac{\lambda_{2} g}{2} .
\]

Подставляя $g R$ вместо $S$ в первое уравнение системы (3.3), после простых преобразований получаем
\[
\left(2\left(g-\lambda_{2}\right) A-\lambda_{3} g E\right) R=0,
\]

где через $E$ обозначена единичная $3 \times 3$-матрица. Так как числа $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ попарно различны, то ранг матрицы $2\left(g-\lambda_{2}\right) A-\lambda_{3} g E$ из последнего уравнения может быть равен 3,2 или 0 . Если ранг равен 3 , то решений нет (поскольку $R
eq 0$ ). Если ранг равен 2, то решениями системы (3.3) являются 6 точек (3.2). Наконец, если ранг равен 0 , то
\[
\lambda_{1}=-\frac{g^{2}}{2}, \quad \lambda_{2}=g, \quad \lambda_{3}=0 .
\]

В частности, если $\lambda_{2}
eq 0$, то $g
eq 0$.
Таким образом, если $\lambda_{2}
eq 0$, то соответствующие решения системы (3.3) заполняют двумерную сферу
\[
\{(S, R): S=g R,(R, R)=1\}
\]

в многообразии $M_{1, g}^{4}$. Вычисляя значения функций $H$ и $K$ в точках этой сферы, получаем
\[
h=\frac{g^{2}}{2}\left(\frac{R_{1}^{2}}{A_{1}}+\frac{R_{2}^{2}}{A_{2}}+\frac{R_{3}^{2}}{A_{3}}\right), \quad k=g^{2} .
\]

Отсюда ясно, что образом сферы (3.5) при отображении момента является отрезок горизонтальной прямой $k=g^{2}$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}(h, k)$. При этом прообразами точек этого отрезка (на сфере (3.5)) являются линии уровня функции $H$ (на сфере (3.5)), которые задаются как пересечение сферы $(R, R)=1$ и эллипсоида $g^{2}\left(A^{-1} R, R\right)=2 h$.

Итак, часть бифуркационной диаграммы, получающаяся при условии $\lambda_{2}
eq 0$, является отрезком
\[
\tau_{0}=\left\{k=g^{2}, \frac{g^{2}}{2 A_{1}} \leqslant h \leqslant \frac{g^{2}}{2 A_{3}}\right\}
\]

прообразы точек $h=\frac{g^{2}}{2 A_{1}}, h=\frac{g^{2}}{2 A_{2}}, h=\frac{g^{2}}{2 A_{3}}$ этого отрезка содержат критические точки функции $H$; для любой другой точки отрезка $\tau_{0}$ критические точки отображения момента в ее прообразе заполняют две окружности.

Теперь рассмотрим случай $\lambda_{2}=0$. В этом случае из второго уравнения системы (3.3) получаем $\lambda_{1}=0$. Кроме того, из первого уравнения системы (3.3) сразу следует, что две координаты из $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ равны нулю. Отсюда получаем три серии решений
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{g}{R_{1}}, 0,0, R_{1}, R_{2}, R_{3}\right), \quad \lambda_{3}=2 A_{1}, \quad h=\frac{g^{2}}{2 A_{1} R_{1}^{2}}, \quad k=\frac{g^{2}}{R_{1}^{2}}, \\
\left(0, \frac{g}{R_{2}}, 0, R_{1}, R_{2}, R_{3}\right), \quad \lambda_{3}=2 A_{2}, \quad h=\frac{g^{2}}{2 A_{2} R_{2}^{2}}, \quad k=\frac{g^{2}}{R_{2}^{2}}, \\
\left(0,0, \frac{g}{R_{3}}, R_{1}, R_{2}, R_{3}\right), \quad \lambda_{3}=2 A_{3}, \quad h=\frac{g^{2}}{2 A_{3} R_{3}^{2}}, \quad k=\frac{g^{2}}{R_{3}^{2}}, \\
\end{array}
\]

где $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1$.
Для каждой из этих серий множество критических точек отображения момента заполняет два диска (две полусферы $\left\{(R, R)=1, R_{i}
eq 0\right\}$ ), которые при отображении момента переходят в подмножества прямых $k=2 A_{i} h$. Далее, легко понять, что на каждом из трех множеств $\left(3.7_{i}\right.$ ) функция $K$ имеет минимум, равный $g^{2}$, а ее неособые линии уровня состоят из двух окружностей.

Итак, часть бифуркационной диаграммы, получающаяся при условии $\lambda_{2}=0$, состоит из трех лучей
\[
\begin{aligned}
\tau_{1} & =\left\{k=2 A_{1} h, k \geqslant g^{2}\right\}, \\
\tau_{2} & =\left\{k=2 A_{2} h, k \geqslant g^{2}\right\}, \\
\tau_{3} & =\left\{k=2 A_{3} h, k \geqslant g^{2}\right\},
\end{aligned}
\]

начала которых лежат на отрезке $\tau_{0}$ (при $g=0$ этот отрезок сжимается в точку). Критические точки отображения момента в прообразе каждой внутренней точки луча заполняют две окружности.

Объединяя отрезок (3.6) и лучи (3.8), получаем бифуркационную диаграмму отображения момента для случая Эйлера. Она показана на рис. 5.21 (a) для $g=0$ и на рис. $5.21(\mathrm{~b})$ для $g
eq 0$.
Рис. 5.21
Докажем теперь, что интеграл $K$ является боттовским на всех неособых изоэнергетических поверхностях, т.е. на всех поверхностях $Q_{g, h}^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right.$, $H=h\}$, где $h
eq \frac{g^{2}}{2 A_{i}}$. Иными словами, нужно показать, что критические окружности функции $K$, ограниченной на изоэнергетическую поверхность $Q_{g, h}^{3}$, являются невырожденными критическими подмногообразиями. Для этого, согласно схеме, изложенной в параграфе 1 (см. лемму 5.1), в каждой точке критической окружности нужно ограничить билинейную форму с матрицей
\[
G=G_{K}-\lambda_{1} G_{1}-\lambda_{2} G_{2}-\lambda_{3} G_{H}
\]

на касательное пространство к $Q_{g}^{3}$, и проверить, что ранг полученной (после ограничения) билинейной формы равен 2. Здесь $G_{1}, G_{2}, G_{H}, G_{K}$ – матрицы, составленные из вторых производных функций $f_{1}, f_{2}, H, K$ соответственно, а числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ – коэффициенты из линейной комбинации градиентов (3.1).

Критические окружности функции $K$, ограниченной на $Q_{g, h}^{3}$, лежат в прообразах точек пересечения бифуркационной диаграммы и вертикальной прямой $h=$ const на плоскости $\mathbb{R}^{2}(h, k)$. Каждую из частей построенной бифуркационной диаграммы (т.е. отрезок $\tau_{0}$ и лучи $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}$ ) удобно рассмотреть отдельно.

Рассмотрим луч $\tau_{1}$. В этом случае $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0, \lambda_{3}=2 A_{1}$. Поэтому матрица (3.9) имеет вид
\[
G=G_{K}-2 A_{1} G_{H}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2-\frac{2 A_{1}}{A_{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\frac{2 A_{1}}{A_{3}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

В критических точках, соответствующих лучу $\tau_{1}$, т.е. в точках (3.7 $7_{1}$ ), градиенты функций $f_{1}, f_{2}, H$ равны
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad} f_{1}=\left(0,0,0,2 R_{1}, 2 R_{2}, 2 R_{3}\right), \\
\operatorname{grad} f_{2}=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}, \frac{g}{R_{1}}, 0,0\right), \\
\operatorname{grad} H=\left(\frac{g}{A_{1} R_{1}}, 0,0,0,0,0\right) .
\end{array}
\]

Поэтому базис в касательной плоскости к поверхности $Q_{g, h}^{3}$ можно задать, например, следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=\left(0,0,0,0,-R_{3}, R_{2}\right), \\
e_{2}=\left(0,1,0,-\frac{R_{1} R_{2}}{g}, \frac{R_{1}^{2}}{g}, 0\right), \\
e_{3}=\left(0,0,1,-\frac{R_{1} R_{3}}{g}, 0, \frac{R_{1}^{2}}{g}\right) .
\end{array}
\]

Очевидно, что ограничение формы с матрицей $G$ на касательную плоскость к поверхности $Q_{g, h}^{3}$ в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ имеет матрицу
\[
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 2-\frac{2 A_{1}}{A_{2}} & 0 \\
0 & 0 & 2-\frac{2 A_{1}}{A_{3}}
\end{array}\right) .
\]

Так как числа $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ попарно различны, то ранг полученной матрицы равен 2 . Поэтому критические окружности функции $K$, лежащие в прообразе луча $\tau_{1}$, являются невырожденными критическими подмногообразиями. Более того, поскольку мы предполагали, что $A_{1}>A_{2}>A_{3}$, то индекс рассматриваемых критических окружностей равен 2 , т.е. они являются невырожденными максимальными критическими окружностями функции $K$ на поверхности $Q_{g, h}^{3}$.

Доказательство невырожденности критических окружностей и вычисление их индексов для лучей $\tau_{2}, \tau_{3}$ и отрезка $\tau_{0}$ проводится аналогично. В результате получаем, что критические окружности в прообразе луча $\tau_{2}$ являются невырожденными седловыми, а критические окружности в прообразе луча $\tau_{3}$ и отрезка $\tau_{0}$ являются невырожденными минимальными окружностями.

Для дальнейшего полезно выделить на оси $h$ три зоны энергий, которые мы обозначим через I, II, III. А именно:
\[
\mathrm{I}=\left(\frac{g^{2}}{2 A_{1}}, \frac{g^{2}}{2 A_{2}}\right), \quad \mathrm{II}=\left(\frac{g^{2}}{2 A_{2}}, \frac{g^{2}}{2 A_{3}}\right), \quad \mathrm{III}=\left(\frac{g^{2}}{2 A_{3}}, \infty\right) .
\]

Этим трем зонам соответствуют различные типы 3 -многообразий $Q$. А именно, в зоне I многообразие $Q$ является 3 -сферой $S^{3}$, в зоне II многообразие $Q$ диффеоморфно $S^{1} \times S^{2}$, а в зоне III многообразие $Q$ диффеоморфно $\mathbb{R} P^{3}$. Этот результат уже был получен выше.

Опишем соответствующие меченые молекулы $W^{*}$, отвечающие каждому типу 3 -многообразий $Q$.
Теорема 5.2.
а) Пусть постоянная площадей g отлична от нуля. Тогда меченые молекулы $\mathcal{E}_{1}^{*}, \mathcal{E}_{2}^{*}, \mathcal{E}_{3}^{*}$ систем случая Эйлера имеют вид, изображенный на рис. 5.22(а, b, с). Эти три разных типа молекул отвечают трем зонам I, II, III энергий $H$. Следовательно, мы получили описание полного топологического инварианта лиувиллева слоения в случае Эйлера.
б) В случае, когда постоянная площадей g равна нулю, топология лиувиллева слоения не зависит от уровня энергии $H$ и полностью описывается меченой молекулой $\mathcal{E}_{3}^{*}$, изображенной на рис. $5.22 c$.
Рис. 5.22

Доказательство.
Сначала предположим, что $g
eq 0$. Применим к случаю Эйлера описанный выше способ, основанный на использовании круговых молекул. На бифуркационной диаграмме есть три особые точки $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ (рис.5.21) в случае, когда $g
eq 0$. Докажем, что точки $y_{1}$ и $y_{3}$ отвечают особенностям типа центр-центр, а средняя точка $y_{2}$ отвечает особенности седло-центр.

Рассмотрим точку $y_{1}$ (в точке $y_{3}$ рассуждения аналогичны). Прообраз этой точки в многообразии $M_{1, g}^{4}$ при отображении момента состоит ровно из двух точек, задаваемых в координатах так:
\[
\begin{array}{l}
\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}, S_{1}, S_{2}, S_{3}\right)=(1,0,0, g, 0,0), \\
\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}, S_{1}, S_{2}, S_{3}\right)=(-1,0,0,-g, 0,0) .
\end{array}
\]

Возьмем первую из них. В качестве локальных координат в окрестности этой точки на $M_{1, g}^{4}$ возьмем $R_{2}, R_{3}$ и $S_{2}, S_{3}$. Наша цель – записать в этих
координатах функции $H$ и $K$, после чего следует убедиться, что их гессианы удовлетворят условию невырожденности. См. том 1 , глава 1. Вместо функции $H$ удобнее рассмотреть линейную комбинацию функций $H$ и $K$ следующего вида: $\widetilde{H}=H-K \cdot\left(2 A_{1}\right)^{-1}$.

Тем самым локально, в окрестности рассматриваемой точки мы выпрямляем бифуркационную диаграмму: она превращается в пару ортогональных пересекающихся отрезков.

Тогда, с точностью до малых третьего порядка, функции $\widetilde{H}$ и $K$ относительно выбранных локальных координат запишутся так:
\[
\begin{aligned}
\widetilde{H} & =S_{2}^{2}\left(\frac{1}{2 A_{2}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)+S_{3}^{2}\left(\frac{1}{2 A_{3}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)+\ldots, \\
K & =\left(S_{2}-g R_{2}\right)^{2}+\left(S_{3}-g R_{3}\right)^{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

В координатах $R_{2}, R_{3}$ и $S_{2}, S_{3}$ матрица скобок Пуассона не имеет, конечно, канонического вида, поэтому здесь удобно сделать замену координат по формуле:
\[
p_{1}=S_{3}, \quad q_{1}=S_{2}, \quad p_{2}=S_{3}-g R_{3}, \quad q_{2}=S_{2}-g R_{2} .
\]

В этих новых координатах матрица скобок Пуассона в рассматриваемой точке уже имеет канонический вид, с точностью до умножения на скаляр $g$, т.е. на постоянную интеграла площадей. В этих координатах функции $\widetilde{H}$ и $K$ приобретают вид:
\[
\begin{aligned}
\widetilde{H} & =q_{1}^{2}\left(\frac{1}{2 A_{2}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)+p_{1}^{2}\left(\frac{1}{2 A_{3}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)+\ldots, \\
K & =q_{2}^{2}+p_{2}^{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

Таким образом, эта пара функций имеет в рассматриваемой точке невырожденную особенность типа центр-центр. Совершенно аналогичные рассуждения проводятся и для точек $y_{2}$ и $y_{3}$. Разница состоит лишь в том, что в окончательных формулах для $\widetilde{H}$ нужно поставить другие индексы, подвергнув их циклической перестановке. В результате коэффициенты $\left(\frac{1}{2 A_{2}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)$ и $\left(\frac{1}{2 A_{3}}-\frac{1}{2 A_{1}}\right)$, бывшие сначала положительными, для точки $y_{1}$, будут менять свои знаки. А именно, в точке $y_{3}$ оба они станут отрицательными, и тип особенности, следовательно, не изменится. В точке $y_{2}$ их знаки станут противоположными, т.е. точка $y_{2}$ будет иметь тип седло-центр. Итак, мы определили тип всех трех особых точек бифуркационной диаграммы.

Для определения молекул $W^{*}$ применим метод, использующий круговые молекулы особых точек бифуркационной диаграммы. В случае Эйлера нужно вычислить круговые молекулы, отвечающие точкам $y_{1}, y_{2}, y_{3}$. См. рис. 5.23. Жирными дугами на рисунке отмечены дуги окружностей малого радиуса, лежащие внутри образа отображения момента.

Для точек $y_{1}$ и $y_{3}$, имеющих тип центр-центр, круговая молекула имеет вид $A-A$. При этом метка $r$ равняется здесь нулю, в силу теоремы 9.1 (тома 1). Следовательно, деформируя дугу окружности посредством гладкой изотопии в вертикальный отрезок, мы, с одной стороны, не меняем молекулу, а с другой стороны, получаем искомую молекулу для 3 -многообразий $Q$ из первой зоны I, т.е. для малых значений энергии $H$. Отметим здесь, что метка $\varepsilon$ в данном случае зависит от выбора ориентации на $Q$, которое в зоне $I$ диффеоморфно $S^{3}$. Поэтому без ограничения общности можно считать, что здесь $\varepsilon=1$. Итак, для зоны $I$ утверждение теоремы 5.2 доказано. Отметим, что в действительности в этом случае полная молекула состоит из двух экземпляров молекулы $A-A$, поскольку в полном прообразе каждой точки $y_{1}$ и $y_{3}$ лежат ровно две критически точки.
Рис. 5.23
Перейдем к зоне $I I$. Начнем с вычисления круговой молекулы, отвечающей точке $y_{2}$. Согласно теореме 9.2 тома 1 , для этого достаточно вычислить $l$-тип особенности. Напомним, что здесь $l$-тип имеет вид $(V, s A)$. Поэтому достаточно вычислить атом $V$, отвечающий прообразу горизонтального отрезка $\tau_{0}$ бифуркационной диаграммы. Исследование формул случая Эйлера показывает, что этот прообраз $X$ является двумерным симплектическим гладким многообразием, диффеоморфным сфере $S^{2}$. А именно, двумерная поверхность $X$ задается в $M_{1, g}^{4}$ уравнениями:
\[
X=\left(\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right)=g\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right), R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1\right) .
\]

Ограничивая гамильтониан $H$ на поверхность $X$, получаем:
\[
\left.H\right|_{X}=g^{2}\left(\frac{R_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{R_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{R_{3}^{2}}{2 A_{3}}\right) .
\]

Рис. 5.24
Рис. 5.25

При этом поверхность $X$ можно считать заданной в $\mathbb{R}^{3}$ уравнением $R_{1}^{2}+$ $+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=1$. Нас интересует топологический тип седловой особенности функции $H$ на $X$. Легко видеть, что картина линий уровня функции $H$ на сфере имеет вид, показанный на рис. 5.24. Следовательно, седловая особенность имеет тип $C_{2}$. Поэтому, согласно теореме 9.2 (том 1 ), круговая молекула, отвечающая особенности $y_{2}$, имеет вид, показанный на рис.5.25.

Таким образом, мы нашли все три круговые молекулы в случае Эйлера. Перейдем теперь к вычислению молекул $W^{*}$, отвечающих зонам II и III.

Из рис. 5.26а ясно видно, что искомая молекула для зоны II получается в результате склеивания двух круговых молекул, отвечающих особенностям $y_{1}$ и $y_{2}$. Нужно изотопно продеформировать вертикальный отрезок в сумму двух дуг окружностей. Склеивая указанные круговые молекулы, следуя при этом методу, описанному в параграфе 3 главы 1 тома 2, получаем молекулу, показанную на рис. 5.26a. Отметим, что здесь склеивались два ребра, кончающиеся атомами $A$. При этом одно ребро несло на себе $r$-метку 0 , а второе несло $r$-метку, равную бесконечности. В результате пара атомов $A$ исчезла, а на возникшем ребре появилась метка $r=0$ (см. правило суммирования меток выше в параграфе 3 главы 1 тома 2).
Рис. 5.26
Осталось вычислить молекулу в зоне III. Принцип вычисления тот же, но здесь нужно склеить искомую молекулу из трех круговых молекул. Эта процедура показана на рис. 5.26b. Здесь вертикальный отрезок изотопно деформируется в сумму трех дуг окружностей, окружающих особые точки. Результат показан на рис. $5.26 \mathrm{~b}$.

Итак, мы описали молекулы для каждой зоны энергии и указали $r$-метки на каждом ребре. Вычислим, наконец, $\varepsilon$-метки и $n$-метки. Напомним, что метка $\varepsilon$ в некоторых случаях зависит от выбора ориентации на изоэнергетической поверхности. Так будет, в частности, на ребрах типа $C_{2}-A$ с бесконечной $r$-меткой. В этом случае мы будем считать, заменив, если требуется, ориентацию, что $\varepsilon=1$. Если же метка $r$ на ребре $C_{2}-A$ равна нулю, то метка $\varepsilon$ не Рис. 5.27 зависит от выбора ориентации и имеет естественный топологический смысл. Рассмотрим две особые траектории $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ гамильтонова потока, отвечающие атомам $A$ и $C_{2}$, соединенных рассматриваемым ребром. Обе они имеют естественную ориентацию, задаваемую этим потоком.

С другой стороны, поскольку метка $r$ равна нулю, то эти траектории гомологичны без учета ориентации. См. рис. 5.27. Поэтому мы можем сравнить их ориентации между собой. Если эти ориентации совпадают, то $\varepsilon=1$, если различны, то $\varepsilon=-1$. Именно это мы и должны проверить.

Для проверки удобно воспользоваться тем обстоятельством, что гамильтонов поток, задаваемый дополнительным интегралом $K$, имеет замкнутые траектории. Его траекториями, в частности, являются и рассматриваемые циклы $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. Ясно, что ориентация, задаваемая потоком $\operatorname{sgrad} K$ на этих траекториях, одинакова, поэтому нам достаточно сравнить между собой ориентации, задаваемые на траектории $\gamma_{i}$ потоками $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} K$. Зная бифуркационную диаграмму, сделать это очень легко. Траектория $\gamma_{1}$ отвечает некоторой точке, лежащей для определенности на луче $\tau_{1}$ бифуркационной диаграммы. Отметим, что случай луча $\tau_{3}$ рассматривается аналогично. В результате, на $\gamma_{1}$ мы имеем $d H=\left(2 A_{1}\right)^{-1} d K$. Аналогично, на $\gamma_{2}$ получаем $d H=\left(2 A_{2}\right)^{-1} d K$. Поскольку $A_{1}>0$ и $A_{2}>0$, то потоки $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} K$ имеют одинаковые направления как на $\gamma_{1}$, так и на $\gamma_{2}$. Отсюда сразу следует, что $\varepsilon=+1$ на ребре $A-C_{2}$ в случае, когда $r=0$.

Последняя метка $n$ возникает только в случае больших энергий, т.е. в зоне III. Она легко находится, поскольку нам уже заранее известен топологический тип изоэнергетической поверхности $Q^{3}$. В данном случае $Q^{3} \simeq \mathbb{R} P^{3}$. Единственная возможность $n= \pm 2$. Это следует из комментария к предложению 4.4 главы 4 тома 1. Изменяя при необходимости ориентацию, мы считаем без ограничения общности, что $n=2$. Таким образом, пункт (а) теоремы доказан.

Перейдем к случаю, когда $g=0$. Здесь бифуркационная диаграмма имеет вид, показанный на рис.5.21a. Она получается предельным переходом из диаграммы для случая, когда $g
eq 0$ при $g$, стремящемся к нулю. При этом отрезок $\tau_{0}$ движется к началу координат и сжимается в точку. Если мы возьмем какое-то значение $H=$ const из зоны III и устремим постоянную $g$ к нулю, то все изменения бифуркационной диаграммы будут происходить вдали от выбранного нами значения энергии. Следовательно, качественная картина и топология лиувиллева слоения здесь не меняется. Таким образом, предельная молекула просто совпадает с молекулой $W^{*}$ из зоны III. Пункт (б) теоремы доказан. Теорема доказана полностью.

В заключение мы покажем, как полученная нами информация о топологии слоения Лиувилля в случае Эйлера позволяет легко объяснить следующий известный механический эксперимент. Возьмем обычную книгу, которую будем сейчас рассматривать как твердое тело. (Вместо книги можно, конечно, взять деревянную плитку в форме книги). Ориентируем ее в горизонтальной плоскости, как показано на рис. 5.28 а и подбросим вверх, закрутив книгу вокруг ее горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр книги. Затем поймаем книгу и посмотрим, в каком положении она вернулась к нам. Оказывается, результат существенно зависит от того, как именно мы ориентировали книгу перед началом броска. А именно, у книги, очевидно, есть три взаимно перпендикулярных оси симметрии. И мы можем подбросить книгу, закрутив ее вокруг любой из этих осей. Если подбросить книгу, закрутив ее вокруг оси симметрии, отвечающей наименьшему моменту инерции, то книга вернется назад в том же положении, какое она занимала до броска. Если книга подброшена и закручена вокруг оси симметрии, отвечающей максимальному моменту инерции, то эффект будет тот же – книга, повернувшись в воздухе несколько раз, вернется в прежнее положение. См. рис.5.28а. Совсем другая картина возникнет, когда мы подбросим книгу, закрутив ее вокруг оси симметрии, отвечающей среднему моменту инерции. Здесь книга перевернется. Более точно, если в начале броска корешок книги был у вас в левой руке, то поймав книгу в воздухе, вы с удивлением обнаружите, что ее корешок оказался в вашей правой руке. См. рис. 5.28b.
Рис. 5.28
Это любопытное обстоятельство теперь легко объяснить. В самом деле, полет книги хорошо моделирует случай Эйлера в динамике тяжелого твердого тела. Достаточно забыть о движении центра масс книги, т. е. рассматривать только ее «чистое вращение» вокруг центра масс. Кроме того, можно считать, что постоянная площадей здесь равняется нулю. Дело в том, что при каждом из трех описанных бросков мы закручиваем книгу вокруг горизонтальной оси, идущей в точности по одному из собственных направлений ее тензора инерции. Следовательно, вектор кинетического момента каждый раз пропорционален вектору угловой скорости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, то есть ортогональна угловой скорости и, следовательно, кинетическому моменту книги. Поскольку постоянная площадей получается как скалярное произведение кинетического момента на вектор силы тяжести, следовательно, в данном эксперименте эта постоянная равна нулю. Следовательно, мы попадаем в ситуацию случая Эйлера с нулевой постоянной площадей. Поэтому полет книги можно интерпретировать как движение интегральной траектории динамической системы случая Эйлера по ее изоэнергетической трехмерной поверхности. Как мы знаем, качественный характер движения определяется топологией слоения Лиувилля. Мы уже вычислили молекулу $W$, описывающую это слоение. См. рис. 5.22 с. Три движения книги в пространстве отвечают трем типам интегральных траекторий.
Первый тип – это устойчивые периодические траектории двух «верхних атомов» $A$ на молекуле. Механически – это вращение книги вокруг минимальной оси ее эллипсоида инерции. Движение устойчиво, и понятно, что книга возвращается в прежнее положение (когда вы ловите ее в воздухе).

Второй тип – это устойчивые периодические траектории двух «нижних атомов» $A$ на молекуле. Это – вращение книги в полете вокруг максимальной оси ее эллипсоида инерции. Такое движение также устойчиво, что мы и видим, поймав книгу в воздухе.

Третий тип – самый интересный. Он определяется двумя гиперболическими периодическими траекториями, отвечающими седловому атому $C_{2}$. Это две траектории, проходящие через его вершины. Полет реальной книги в данном случае задается интегральной траекторией, начинающейся вблизи первого седлового периодического решения. Теоретически можно было бы закрутить книгу так, чтобы соответствующая точка все время двигалась бы по седловой периодической траектории. Но на практике этого сделать нельзя. Неизбежно присутствующее малое возмущение (начальных данных) заставит книгу двигаться по интегральной траектории, которая лишь сначала близка к седловому периодическому решению. Но затем траектория быстро удаляется от него и через некоторое время начинает приближаться ко второму седловому периодическому решению. Мы знаем, что интегральная траектория в действительности движется по плоскому кольцу (на особом слое 3 -атома $C_{2}$ ), «сматываясь» с его наружной границы и «наматываясь» на внутреннюю границу кольца. Таким образом, в тот момент, когда вы ловите книгу, интегральная траектория уже почти достигла второго периодического решения. А это и есть в точности эффект «переворачивания корешка книги». Другими словами, закрутив в броске книгу вокруг ее средней оси инерции, вы заставляете соответствующую интегральную траектории двигаться от одной седловой вершины атома $C_{2}$ к другой его седловой вершине.

Резюмируя, можно сказать, что интересный эффект «переворачивания корешка книги» в точности объясняется присутствием именно атома $C_{2}$ в молекуле случая Эйлера. Был бы здесь другой атом — и книга вела бы себя совсем по-другому. Например, был бы здесь атом $B$, подброшенная книга была бы вынуждена вернуться на ту же самую, т.е. на исходную седловую периодическую траекторию. Следовательно, корешок книги не перевернулся бы.