Выше мы изучили случай невырожденных особенностей отображения момента интегрируемой системы. Следующим является случай вырожденных особенностей. Мы рассмотрим в этом параграфе случай одномерных вырожденных орбит, т.е. вырожденных окружностей в $M^{4}$. Рассмотрим отображение момента $\mathcal{F}: M^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(H, f)$ интегрируемой системы и соответствующее пуассоново действие $\Phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \operatorname{Diff}\left(M^{4}\right)$, порожденное сдвигами вдоль интегральных траекторий гамильтоновых полей $v=\operatorname{sgrad} H$ и $w=\operatorname{sgrad} f$. Пусть $O\left(x_{0}\right)-$ периодическая одномерная орбита этого действия, т.е. окружность. Обычно в конкретных приложениях такая орбита отвечает изолированной особой точке бифуркационной диаграммы $\Sigma$, т.е. близкие к ней точки из $\Sigma$ образуют гладкие дуги $\Sigma$, втыкающиеся в точку $\mathcal{F}\left(x_{0}\right)$. Для определенности будем полагать, что $d H\left(x_{0}\right)
eq 0$, то есть орбита $O\left(x_{0}\right)$ является замкнутой траекторией векторного поля $v$.

Мы будем считать, что любая окружность $\tau$ достаточно малого радиуса с центром в точке $y_{0}=\mathcal{F}\left(x_{0}\right)$ на плоскости $(H, f)$ является допустимой кривой. Тогда на 3 -поверхности $Q_{\tau}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ возникает слоение Лиувилля. Нам будет полезно рассмотреть здесь функцию $f_{\tau}: Q_{\tau} \rightarrow S^{1}=\tau$, где $f_{\tau}(x)=\mathcal{F}(x) \in \tau$. Мы получили отображение $Q_{\tau}$ в окружность $\tau$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$. Функция $f_{\tau}$ на $Q_{\tau}$ имеет боттовские особенности и задает на $Q_{\tau}$ структуру слоения Лиувилля, которое нам и требуется описать.

Без ограничения общности можно считать, что полный прообраз $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ свнзен, то есть совпадает со слоем слоения Лиувилля. Отметим, что орбита $O\left(x_{0}\right)$, конечно, лежит в этом слое. Но при этом возможны два случая. Первый: орбита совпадает со слоем. Второй: орбита «меньше» слоя, то есть кроме этой орбиты $O\left(x_{0}\right)$ в $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ есть и другие орбиты.
Начнем с анализа первого случая.
Опишем сначала некоторое модельное слоение Лиувилля. Рассмотрим на 2 -сфере $S^{2}$ произвольную функцию Mopca $g$. Распространим ее на «цилиндр», то есть на прямое произведение $D^{1} \times S^{2}$. После этого склеим два «основания цилиндра», то есть две 2-сферы $\{0\} \times S^{2}$ и $\{1\} \times S^{2}$, по диффеоморфизму $\sigma$, сохраняющему функцию Mopca $g$. В результате цилиндр $D^{1} \times S^{2}$ превратится в 3 -многообразие $S^{1} \times S^{2}$, а функция $g$ превратится в некоторую гладкую боттовскую функцию на $Q_{\tau}$. Определяемое ею слоение на поверхности уровня и будем считать модельным слоением Лиувилля на $S^{1} \times S^{2}$.
Теорема 1.1 (См. [249]). Пусть орбита $O\left(x_{0}\right)$ совпадает со слоем $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$.
а) Тогда изоэнергетическая «круговая» 3-поверхность $Q_{\tau}$ диффеоморфна прямому произведению $S^{1} \times S^{2}$.
б) Лиувиллево слоение на 3-поверхности $Q_{\tau}$ диффеоморфно одному из описанных выше модельных слоений Лиувилля на $S^{1} \times S^{2}$ для некоторых, подходящим образом подобранных функций Морса $g$ на сфере $S^{2}$ и диффеоморфизма $\sigma$ этой сферы в себя.

Доказательство.
Начнем с пункта (a). Рассмотрим на $M^{4}$ следующую гладкую функцию:
\[
h_{\tau}(x)=\left(H(x)-H\left(x_{0}\right)\right)^{2}+\left(f(x)-f\left(x_{0}\right)\right)^{2} .
\]

Ясно, что 3 -поверхность $Q_{\tau}$ является поверхностью уровня этой функции $h_{\tau}(x)=\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ – малое число. Отметим, что $h_{\tau}$ – это интеграл потока $v$. Рассмотрим трехмерную трансверсаль к одномерной орбите $O\left(x_{0}\right)$ в $M^{4}$ (см. рис. 1.12). Пересечение с поверхностью уровня $Q_{\tau}=\left\{h_{\tau}(x)=\varepsilon\right\}$ гомеоморфно двумерной сфере малого радиуса $\varepsilon$. Это следует из явного вида функции $h_{\tau}$ и из того, что точка $x_{0}$ является изолированной точкой локального минимума функции $h_{\tau}$ на трехмерной трансверсали $L^{3}$. Рассмотрим отображение Пуанкаре на трехмерной трансверсали, порожденное потоком $\operatorname{sgrad} H$. Ясно, что 2-сфера $\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\} \cap L^{3}$ инвариантна относительно отображения Пуанкаре, поскольку $h_{\tau}$ – это интеграл гамильтонова потока $v=\operatorname{sgrad} H$. Вся «круговая изоэнергетическая» 3 -поверхность $Q_{\tau}$, очевидно, является объединением всех интегральных траекторий потока $v$, стартующих с 2-сферы $\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\} \cap L^{3}$. Сопоставляя каждой точке $x$ исходной 2 -сферы ее образ при отображении Пуанкаре, мы очевидно получаем некоторый диффеоморфизм 2-сферы $S^{2}=\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\} \cap L^{3}$ на себя. Отсюда видно, что $Q_{\tau}$ получается склейкой двух оснований «цилиндра» $D^{1} \times S^{2}$ по некоторому их диффеоморфизму. Этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию, поэтому гомотопен тождественному отображению. Следовательно, $Q_{\tau}$ диффеоморфно прямому произведению $S^{1} \times S^{2}$. Первый пункт теоремы доказан.

Перейдем к пункту (б). Рассмотрим теперь на $Q_{\tau}$ функцию $f_{\tau}(x)=\mathcal{F}(x)=(H(x), f(x))$, задающую структуру лиувиллева слоения на $Q_{\tau}$ (см. выше). Эта функция была, по предположению теоремы, боттовской на всем $Q_{\tau}$. Ограничивая ее на двумерную сферу $S^{2}=\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\} \cap L^{3}$, вложенную в $Q_{\tau}$, и трансверсальную интегральным траекториям потока $v=\operatorname{sgrad} H$, мы, очевидно, получаем на 2-сфере уже функцию Mopca $g(x)$, а не боттовскую функцию. Отметим, что функция $f_{\tau}$ постоянна вдоль траекторий поля $\operatorname{sgrad} H$, поэтому ее можно рассматривать как естественное продолжение функции $g$ с двумерной сферы на весь ци-
Рис. 1.12
линдр со склеенными основаниями. Другими словами, функция $f_{\tau}$, задающая слоение Лиувилля, устроена так, как описано в теореме. Теорема доказана.

На самом деле не любое модельное слоение, описанное выше, реализуется в рассматриваемом сейчас нами случае вырожденных одномерных орбит. Дело в том, что функция Mорса $g$ на 2-сфере и диффеоморфизм 2-сферы в себя должны удовлетворять некоторым естественным ограничениям, которые мы сейчас прокомментируем. Как видно из доказательства теоремы, сфера $S^{2}$ лежит в трехмерной трансверсали $L$. Поскольку по предположению $d H\left(x_{0}\right)
eq 0$, то существуют локальные канонические координаты $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$, в которых $H=p_{1}$, $f=f\left(p_{1}, p_{2}, q_{2}\right)$. Ясно, что $p_{1}, p_{2}, q_{2}$ – это локальные координаты на трансверсали $L$. Отсюда следует, в частности, что $H$ – это функция высоты на сфере $S^{2}$. Но слоения, задаваемые на $S^{2}$ гамильтонианом $H$ и функцией $f_{\tau}$, совпадают. Отметим, что функция $f_{\tau}$ выступает в нашей конструкции в качестве функции $g$. Поэтому без ограничения общности функцию $g$ на сфере $S^{2}$ тоже можно считать функцией высоты. Условие на диффеоморфизм $\sigma$ заключается в том, что он должен гладко продолжаться внутрь шара, ограниченного сферой $S^{2}$. При этом для каждого $\varepsilon$ диффеоморфизм $\sigma$ концентрической «уменьшающейся» сферы $S_{\varepsilon}^{2}=\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\}$ на себя сохраняет функцию $g$, и топология одномерного слоения на $S_{\varepsilon}^{2}=\left\{h_{\tau}=\varepsilon\right\}$, задаваемого функцией $g$, не зависит от $\varepsilon$.

Анализ указанных ограничений приводит к тому, что среди модельных слоений на $S^{1} \times S^{2}$, описанных выше, достаточно рассмотреть только следующие. См. [146].
Пусть $g$ – функция высоты на двумерной сфере $S^{2}$, гладко вложенной в $\mathbb{R}^{3}$.

Пусть далее сфера $S^{2}$ и функция $g$, заданная на ней, инвариантны относительно поворота вокруг вертикальной оси $z$ на угол $2 \pi \frac{p}{q}$ для некоторых взаимно простых $p$ и $q$. Возьмем в качестве диффеоморфизма $\sigma$ этот поворот. Построим затем слоение Лиувилля на $S^{1} \times S^{2}$, отвечающее паре $(g, \sigma)$, как было описано выше в модельном примере. Получающиеся таким способом слоения Лиувилля – это и есть в точности те слоения, которые реализуются на $S^{1} \times S^{2}$ в случае, когда вырожденная орбита совпадает со слоем.

Всевозможные круговые молекулы $W_{\tau}$, которые могут возникать в описанной выше ситуации, найдены в работе [146].

Из описания реализуемых модельных слоений следует, что на изоэнергетической «круговой» 3 -поверхности $Q_{\tau}$ возникает естественная структура расслоения Зейферта, согласованная со слоением Лиувилля. Другими словами, слои расслоения Зейферта лежат на слоях слоения Лиувилля. При этом оказывается, что расслоение Зейферта либо вообще не имеет особых слоев, а потому тривиально, то есть является прямым произведением, либо имеет ровно два особых слоя, причем одинакового типа $(p, q)$.

Перейдем к анализу второго случая, то есть когда кроме орбиты $O\left(x_{0}\right)$ в $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ есть и другие орбиты. Наиболее типичный случай здесь такой: $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ содержит двумерную орбиту $N$, гомеоморфную кольцу $S^{1} \times \mathbb{R}^{1}$, а орбита $O\left(x_{0}\right)$ лежит в замыкании двумерной орбиты $N$, на границе кольца. В дальнейшем будем считать, что картина именно такова. В этом случае ситуация во многом напоминает картину первого случая, только что разобранного нами. Однако здесь расслоение Зейферта на $Q_{\tau}$ может быть устроено сложнее.

Предположим далее, что все объекты, участвующие в конструкции, являются вещественно-аналитическими.
Теорема 1.2 (См. [249]). В случае, когда $O\left(x_{0}\right)$ «меньше» $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$, при указанных выше предположениях изоэнергетическая «круговая» 3 -поверхность $Q_{\tau}$ несет на себе структуру расслоения Зейферта, каждый слой которого, т.е. окружность, лежит на некотором слое слоения Лиувилля.
Доказательство.
Рассмотрим двумерную орбиту $N$, содержащую в своем замыкании одномерную орбиту $O\left(x_{0}\right)$. В силу предположений теоремы, орбита $N$ гомеоморфна кольцу $S^{\mathbf{1}} \times \mathbb{R}^{1}$. Тогда очевидно, что существует такая линейная комбинация
\[
w=\lambda \operatorname{sgrad} H+\mu \operatorname{sgrad} f
\]

векторных полей $\operatorname{sgrad} H$ и $\operatorname{sgrad} f$, что у поля $w$ все интегральные траектории на кольце $S^{1} \times \mathbb{R}^{1}$ замкнуты. Более того, можно построить функцию $F(H, f)$ такую, что $w=\operatorname{sgrad} F$ и все интегральные траектории поля $w$ будут замкнуты уже не только на кольце, но и в некоторой открытой окрестности этого кольца, на всех орбитах $O(x)$, проходящих вблизи кольца $S^{1} \times \mathbb{R}^{1}$. Построение такой функции $F$ было описано нами выше в главе 3 тома I, где функция $F$ называлась периодическим интегралом. Напомним, что для этого нужно рассмотреть замкнутую траекторию поля $w$ на орбите $O\left(x_{0}\right)$ и сдвинуть ее посредством изотопии на все близкие орбиты $O(x)$. Обозначим циклы, получившиеся на орбитах, через $\gamma$. После этого функция $F$ может быть задана следующей явной формулой:
\[
F=\oint_{\gamma} \alpha,
\]

где $d \alpha=\omega$. Здесь мы фактически используем стандартную конструкцию, применяющуюся при построении переменных действия в окрестности тора Лиувилля. Получившаяся функция $F$ определена на всех орбитах $O(x)$, для которых точка $x$ близка к точке $x_{0}$. Ясно, что все траектории векторного поля $w=\operatorname{sgrad} F$ замкнуты на всех таких орбитах, проходящих близко от орбиты $N$.

Заметим теперь, что функция $F$ является аналитической функцией от $H$ и $f$, поэтому ее можно естественным образом продолжить на всю окрестность $U$ особого слоя $\mathcal{F}^{-1}\left(y_{0}\right)$ вида $U=\mathcal{F}^{-1}\left(V\left(y_{0}\right)\right)$, где $y_{0}$ – рассматриваемая особая точка бифуркационной диаграммы. Будучи замкнутыми на некотором открытом множестве в $M^{4}$, траектории векторного поля $w=\operatorname{sgrad} F$ в силу аналитичности будут замкнуты на всей окрестности $U$ и, в частности, на изоэнергетическом «круговом» многообразии $Q_{\tau} \subset U$. Таким образом, $Q_{\tau}$ расслоено на замкнутые траектории, каждая из которых лежит на некотором слое лиувиллева слоения. В результате мы получаем на $Q_{\tau}$ структуру расслоения Зейферта, удовлетворяющую всем требуемым свойствам. Теорема доказана.