В заключение мы обсудим вопрос о гладкой траекторной эквивалентности задачи Якоби и случая Эйлера. Для ответа на него можно воспользоваться гладкой траекторной классификацией интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы [24]. Согласно [24], гладкие траекторные инварианты представляют собой некоторые степенные ряды, что связано с необходимостью сшивать производные всех порядков. Поскольку мы на самом деле хотим доказать гладкую неэквивалентность рассматриваемых систем, то нам естественно начать с исследования первых членов этих рядов, чтобы найти хотя бы один инвариант, который их различает.

Для этого нам достаточно будет снова рассмотреть функции вращения. На этот раз мы рассмотрим их асимптотическое поведение при $t \rightarrow b, \tau \rightarrow B$, т.е. при подходе к седловому критическому уровню дополнительного интеграла. В случае Эйлера и задаче Якоби этот уровень топологически представляет собой прямое произведение $K \times S^{1}$, где $S^{1}$ – окружность, а $K$ – плоский граф, представляющий собой две окружности, пересекающиеся по двум точкам. Этот особый уровень содержит две гиперболические траектории гамильтоновой системы $\left\{x_{1}\right\} \times S^{1}$ и $\left\{x_{2}\right\} \times S^{1}$, где $x_{1}$ и $x_{2}$ – вершины графа $K$.

Мы начнем со следующего общего замечания. Пусть $\rho(t)$ функция вращения некоторой интегрируемой гамильтоновой системы на однопараметрическом семействе $T^{2}(t)$ торов Лиувилля, соответствующая фиксированной паре базисных циклов $(\lambda, \mu)$. Здесь $t$ – параметр семейства. Пусть $t_{0}$ – для данного семейства торов является бифуркационным значением параметра, т.е. при $t \rightarrow t_{0}$ торы $T^{2}(t)$ стремятся к некоторому особому слою. Предположим, что этот слой содержит замкнутые гиперболические траектории системы, и рассмотрим асимптотику функции $\rho(t)$ при $t \rightarrow t_{0}$.
Предложение 7.5. Пусть первый базисный цикл $\lambda$ изотопен гиперболической траектории, лежащей на особом слое. Тогда при $t \rightarrow t_{0}$
\[
\rho(t)=\Lambda \ln \left|t-t_{0}\right|+q(t),
\]

где $q(t)$ – функция, непрерывная в точке $t_{0}$. При этом коэффициент $\Lambda$ перед логарифмом равен сумме обратных величин мультипликаторов гиперболических траекторий, лежащих на особом слое и принадлежащих замыканию семейства торов.

Из этого утверждения следует, что коэффициент $\Lambda$ является гладким траекторным инвариантом системы (даже в смысле $C^{1}$-гладкости), поскольку таковыми являются мультипликаторы гиперболических траекторий.

Этот факт, впрочем, легко следует из условия гладкой сопряженности функций вращения.
Действительно, если мы делаем гладкую замену
\[
t=t(\tau)=t_{0}+a_{0}\left(\tau-\tau_{0}\right)+a_{1}\left(\tau-\tau_{0}\right)^{2}+\ldots=t_{0}+\left(\tau-\tau_{0}\right) g(\tau),
\]

где $g(\tau)$ – некоторая гладкая функция, $g\left(\tau_{0}\right)
eq 0, t\left(\tau_{0}\right)=t_{0}$, то
\[
\rho(t(\tau))=\Lambda \ln \left|\left(\tau-\tau_{0}\right) g(\tau)\right|+q(t(\tau))=\Lambda \ln \left|\tau-\tau_{0}\right|+\widetilde{q}(\tau),
\]

где $\widetilde{q}(\tau)$ непрерывна в точке $\tau_{0}$.
Итак, коэффициент $\Lambda$ перед логарифмом в асимптотике функции вращения при подходе тора к особому слою, содержащему гиперболические траектории, является гладким траекторным инвариантом гамильтоновой системы. Для случая Эйлера и задачи Якоби мы обозначим этот инвариант через $M(A, B, C)$ и $m(a, b, c)$ соответственно.

Зная явный вид функций вращения, мы можем легко вычислить эти числа, используя следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 7.1. Пусть $f(t)=\int_{a}^{b} \frac{g(u) d u}{\sqrt{(u-b)(u-t)}}$, где $t>b$. Тогда при $t$, стремящемся $\kappa$, справедливо следующее представление:
\[
f(t)=-g(b) \ln |t-b|+c(t),
\]

где $\mathrm{c}(t)$ непрерывна в точке $t=b$.
Из этой леммы мы сразу получаем следующие явные формулы.
\[
\begin{aligned}
M(A, B, C) & =-\frac{1}{\pi} \frac{B}{\sqrt{(C-B)(B-A)}}, \\
m(a, b, c) & =-\frac{\sqrt{\frac{b}{(c-b)(b-a)}}}{\int_{0}^{\infty} \Phi(u, b) d u}
\end{aligned}
\]

Добавим теперь к уже изученным выше инвариантам еще один новый инвариант и рассмотрим две двумерные поверхности в трехмерном пространстве $\mathbb{R}^{3}(x, y, z)$, которое мы интерпретируем как пространство значений инвариантов:
\[
\mathcal{E}=\left\{\begin{array}{l}
x=K(A, B, C) \\
y=L(A, B, C) \\
z=M(A, B, C)
\end{array}\right\}, \quad \mathcal{J}=\left\{\begin{array}{l}
x=k(a, b, c) \\
y=l(a, b, c) \\
z=m(a, b, c)
\end{array}\right\} .
\]

Эти поверхности являются образами отображений пространств параметров в пространство инвариантов. Мы говорим здесь о поверхностях, пользуясь тем легко видимым обстоятельством, что системы, отвечающие пропорциональным тройкам параметров, гладко траекторно эквиваленты и поэтому отображаются в одну и ту же точку в пространстве инвариантов.

Зная взаимное расположение этих поверхностей, мы можем сделать некоторые выводы.

Если поверхности вообще не пересекаются, то заведомо не существует ни одной пары (твердое тело, эллипсоид), для которой соответствующие динамические системы были бы гладко эквивалентны (даже в смысле $C^{1}$-гладкости). Если поверхности совпадают, то это служит веским аргументом в пользу возможной гладкой эквивалентности рассматриваемых систем, поскольку такое совпадение вряд ли может быть случайным. Разумеется, исследование должно было бы быть в этом случае продолжено: мы должны были бы сравнить все остальные гладкие инварианты.
Рис. 7.2. Случай Эйлера.
Рис. 7.3. Задача Якоби.
Если поверхности пересекаются по какой-нибудь кривой, то это означает, что рассматриваемые системы, как правило, гладко не эквивалентны. Но существуют некоторые исключительные пары (твердое тело, эллипсоид), для которых происходит совпадение по крайней мере трех инвариантов. На самом деле мы должны были бы затем сравнить для этих исключительных пар все остальные гладкие инварианты. Впрочем, в такой ситуации было бы естественно перейти к изучению вопроса о $C^{1}$-эквивалентности. Можно показать, что помимо описанных выше трех инвариантов имеется еще ровно один $C^{1}$-инвариант. Для полного ответа на этот вопрос нам было бы достаточно проанализировать взаимное расположение двух двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве инвариантов. Их точки пересечения соответствовали бы парам $C^{1}$-эквивалентных систем. Такова возможная общая схема анализа, которая может быть применена и в других ситуациях. В рассматриваемом нами случае ввиду достаточной сложности явных формул мы провели компьютерное исследование задачи.

На рис. 7.2 и рис. 7.3 изображены поверхности $\mathcal{E}$ (случай Эйлера) и $\mathcal{J}$ (задача Якоби). Как мы видим, качественное поведение этих поверхностей очень похоже. Обе они нвляются графиками некоторых функций $z=z_{\mathcal{E}}(x, y)$ и $z=z_{\mathcal{J}}(x, y)$. Это сразу следует из предложения 7.4.
На рис. 7.4 изображена поверхность вида
\[
z=z_{\mathcal{E}}(x, y)-z_{\mathcal{J}}(x, y)
\]

которая показывает различие между случаями Эйлера и Якоби. Более точно, эта поверхность показывает различие между третьими инвариантами $M$ и $m$ при условии, что первые два инварианта совпадают, т. е. $K(A, B, C)=k(a, b, c)$ и $L(A, B, C)=l(a, b, c)$.
Таким образом, численное исследование показывает, что поверхности $\mathcal{E}$ (случай Эйлера) и $\mathcal{J}$ (задача Якоби) не пересекаются: разность $z_{\mathcal{E}}(x, y)-z_{\mathcal{J}}(x, y)$ всегда остается отрицательной, асимптотически приближаясь к нулю при уходе поверхностей на бесконечность.
Разумеется, этот способ является лишь

Рис. 7.4. Различие между случаем Эйлера и случаем Якоби. численным экспериментом, на основании которого нельзя сформулировать полученный результат в виде строго доказанной теоремы (возможно, поверхности пересекаются где-то вдалеке). Однако заведомо строгим результатом является то, что эти две поверхности не совпадают. Это в точности означает, что непрерывно траекторно эквивалентные пары (твердое тело, эллипсоид), как правило, гладко эквивалентными не являются (даже в смысле $C^{1}$-эквивалентности).

Впрочем, по нашему мнению, проведенный численный анализ позволяет с уверенностью говорить о том, что гладко эквивалентных пар $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ на самом деле все-таки не существует.