Рассмотрим все римановы метрики, геодезические потоки которых допускают нетривиальный линейный или квадратичный интеграл, и разобьем это множество на классы, включая в один класс те метрики, геодезические потоки которых гладко траекторно эквивалентны (на изоэнергетических поверхностях). Следующая теорема Е.Н.Селивановой показывает, что эти классы нетривиальны. Другими словами, для каждой метрики рассматриваемого класса существует довольно много других неизометричных ей метрик с траекторно эквивалентными геодезическими потоками.
Теорема 4.3 (Е. Н. Селиванова [174]). Пусть g – гладкая риманова метрика на сфере или торе, геодезический поток которой допускает нетривиальный линейный или квадратичный боттовский интеграл. Пусть $g$, кроме того, отлична от плоской метрики на торе. Тогда на этой поверхности существует семейство римановых метрик, зависящее от функционального параметра, геодезические потоки которых гладко траекторно эквивалентны геодезическому потоку исходной метрики g. При этом все метрики из семейства попарно неизометричны.

Схема доказательства этой теоремы очень естественна. Пусть, например, $g$ – глобально лиувиллева метрика на двумерном торе, т.е. имеет вид $d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$ в некоторых глобальных периодических координатах $(x, y)$. Основным траекторным инвариантом ее геодезического потока является молекула $W^{*}$, каждому ребру которой сопоставлена соответствующая функция вращения, явные формулы для которой в терминах функций $f$ и $g$ были выписаны выше. Идея состоит в том, чтобы возмутить функции $f$ и $g$ таким образом, чтобы функция вращения не менялась. При этом, разумеется, структура критических точек функций $f$ и $g$ должна оставаться без изменения, чтобы молекула $W^{*}$ тоже не менялась. Оказывается, такие возмущения нетрудно указать почти явно, причем параметром возмущения можно выбрать некоторую функцию одного переменного. Мы продемонстрируем это ниже в одном важном частном случае. Отметим, что случай плоской метрики на торе приходится исключить из этой конструкции, поскольку в этом случае функции $f$ и $g$ являются константами, и любое их возмущение (т.е. превращение в неконстанту) сразу приводит к нарушению структуры молекулы $W^{*}$. Впрочем, для фиксированной плоской метрики на торе соответствующий класс эквивалентности все-таки тоже нетривиален, поскольку он включает в себя все плоские метрики, которые, как известно, не обязательно изометричны. Их параметрами служат координаты базисных векторов решетки.
Доказательство.
Рассмотрим интегрируемую метрику на торе вида
\[
(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где функции $f$ и $g$ периодические и хотя бы одна отлична от постоянной. Рассмотрим сначала простой случай, когда обе функции $f$ и $g$ являются одногорбыми, то есть имеют ровно по одному локальному максимуму на отрезке своего периода. По существу единственным инвариантом непрерывной траекторной эквивалентности является здесь функция вращения $\rho$ на ребрах молекулы $W$. Тем самым, мы должны предъявить возмущение $f \rightarrow \widetilde{f}, g \rightarrow \widetilde{g}$ такое, которое не меняло бы функции вращения. Поскольку функция вращения $\rho$ на самом деле выражается через производные переменных действия, то достаточно предъявить функциональное семейство возмущений, не меняющих переменные действия. Как мы знаем, переменные действия выглядят так:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}(F)=\frac{1}{2 \pi} \int_{y_{1}}^{y_{2}} 2 \sqrt{g(y)-F} d y, \quad \text { если } \quad F>\min (g), \\
I_{1}(F)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{L} \sqrt{g(y)-F} d y, \quad \text { если } \quad F<\min (g),
\end{array}
\]

Мы хотим возмутить функцию $g \rightarrow \widetilde{g}$ так, чтобы функция $I_{1}(F)$ при этом не изменилась. С геометрической точки зрения функция $I_{1}(F)$ пропорциональна площади области $U_{F}$, лежащей на плоскости с координатами $\left(y, p_{y}\right.$ ) в полосе $0<y<L$, и задаваемой неравенством:
\[
U_{F}=\left\{g(y)-p_{y}^{2}>F\right\} .
\]

См. рис. 4.14. Возмущения второй функции $f$ будут происходить по той же схеме, что и для $g$, поэтому мы ограничимся рассмотрением только функции $g$. Разобьем интервал изменения переменной $y$ на два участка монотонности функции $g$ : от 0 до $y_{0}$ и от $y_{0}$ до $L$. При этом мы считаем для определенности, что функция $g$ достигает минимума в точках 0 и $L$. См. рис. 4.14. Обозначим через $\alpha_{1}(s)$ и $\alpha_{2}(s)$ функции, обратные к функции $g$ на ее двух интервалах монотонности.

Тогда формула для переменной действия $I_{1}(F)$ перепишется в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}(F)=\frac{1}{2 \pi} \int_{F}^{g_{\max }} 2 \sqrt{s-F}\left(\alpha_{1}^{\prime}(s)-\alpha_{2}^{\prime}(s)\right) d s, \text { если } F>\min (g), \\
I_{1}(F)=\frac{1}{2 \pi} \int_{g_{\min }}^{g_{\max }} \sqrt{s-F}\left(\alpha_{1}^{\prime}(s)-\alpha_{2}^{\prime}(s)\right) d s, \quad \text { если } \quad F<\min (g) .
\end{array}
\]

Из этих формул видно, как нужно возмущать функцию $g$. Возмущение не должно менять разности $\alpha_{1}^{\prime}(s)-\alpha_{2}^{\prime}(s)$. Рассмотрим на отрезке от 0 до $y_{0}$ возмущенную функцию $\tilde{g}(y)$ (рис. 4.15) такую, что функция $\widetilde{g}(y)$ остается монотонной, совпадающей с $g(y)$ в окрестности нуля и максимума функции $g$. На втором отрезке $\left[y_{0}, L\right]$ возмущенную функцию $\widetilde{g}(y)$ однозначно восстановим из того условия, что
\[
\widetilde{\alpha}_{1}^{\prime}(s)-\widetilde{\alpha}_{2}^{\prime}(s)=\alpha_{1}^{\prime}(s)-\alpha_{2}^{\prime}(s) .
\]

Другими словами, возмущенная функция $\tilde{g}$ на отрезке $\left[y_{0}, L\right]$ является функцией, обратной к функции $\tilde{\alpha}_{2}=\alpha_{2}-\alpha_{1}+\widetilde{\alpha}_{1}$. При этом график функции $g$ деформируется так, что он слегка перемещается влево на учасРис. 4.14 тках монотонности, оставаясь неподвижным в окрестности нуля и максимума функции $g$. Ясно, что такое возмущение всегда существует в классе гладких функций. Итак, в случае, когда обе функции являются одногорбыми, утверждение теоремы для случая тора доказано.

Если функции $f$ и $g$ являются функциями Морса общего вида, то есть имеют по несколько локальных максимумов, то рассуждения принципиально не меняются. Достаточно рассмотреть произвольный горб функции $g$ (соответственно для функции $f$ ) и повторить для него все проведенные выше рассуждения. См. рис. 4.16.
Рис. 4.15
Случай плоского тора естественно выпадает из этой конструкции, поскольку здесь функции $f$ и $g$ постоянны и не имеют ни одного локального максимума.

Случай сферы ничем принципиально не отличается от случая тора. В случае, когда квадратично интегрируемая метрика на сфере не является стандартной метрикой постоянной кривизны, ее представление в виде $(L, f, g$ )-метрики следует из общей теории, изложенной в главе 2. Утверждение, что описанные возмущенные интегрируемые метрики не изометричны исходной, следует из однозначности задания функций $f$ и $g$ в лиувиллевой записи интегрируемой метрики. См. теорему классификации ( $L, f, g$ )-метрик. Тем самым, возмущение этих функций порождает неизометричное преобразование метрики.
Случай линейно интегрируемой метрики на сфере разбирается аналогично. Теорема доказана.
Сформулированная выше теорема имеет интересные следствия, если ее применить к случаю стандартной метрики постоянной кривизны на двумерной сфере. А именно, мы получаем богатое семейство метрик, геодезические потоки которых траекторно эквивалентны геоРис. 4.16 дезическому потоку метрики постоянной кривизны. В частности, все геодезические замкнуты и, как несложно показать, имеют одинаковую длину. Такие метрики называются обычно метриками Цолля.

Для случая метрик вращения (т.е. допускающих изометричное действие окружности) этот факт хорошо известен, см., например, книгу А. Бессе [18]. Тем не менее, нам представляется полезным посмотреть на него в контексте теории интегрируемых геодезических потоков.

Рассмотрим сферу постоянной кривизны как поверхность вращения. Тогда ее метрика запишется в стандартном виде
\[
d s_{0}^{2}=d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2} .
\]

Геодезический поток допускает линейный интеграл $F=p_{\varphi}$. Молекула имеет простейший вид $A-A$, т.е. имеется только одно однопараметрическое семейство торов Лиувилля, а функция вращения на этом семействе имеет вид
\[
\rho_{0}(F)=\frac{1}{\pi} \int_{x}^{\pi-x} \frac{F d \theta}{\sin \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta-F^{2}}} .
\]

Легко проверяется, что $\rho_{0}(F) \equiv 1$, что и является условием замкнутости всех геодезических.
ЗАмЕчАниЕ. На самом деле, необходимое и достаточное условие замкнутости всех геодезических имеет вид $\rho(F) \equiv$ const $=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$. Впервые оно было получено Г. Дарбу. Одним из примеров поверхности, для которой это условие выполнено при $p=2, q=1$, является известная груша Таннери (см. [18]). Она, однако, имеет особенность в полюсе. Это обстонтельство существенно: метрики вращения без особенностей с замкнутыми геодезическими существуют только при $p=1, q=1$.

Посмотрим теперь, каким образом можно возмутить метрику сферы так, чтобы функция вращения не изменилась. Следуя книге А. Бессе, будем искать возмущения в виде
\[
d s_{h}^{2}=(1+h(\cos \theta))^{2} d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2},
\]

где $h$ – некоторая гладкая функция. Тогда функция вращения запишется в виде
\[
\rho_{h}(F)=\frac{1}{\pi} \int_{x}^{\pi-x} \frac{(1+h(\cos \theta)) F d \theta}{\sin \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta-F^{2}}}
\]

а условие замкнутости геодезических $\rho_{h}(F) \equiv 1$ можно переписать следующим образом:
\[
\rho_{h}(F)-\rho_{0}(F)=\frac{1}{\pi} \int_{x}^{\pi-x} \frac{h(\cos \theta) F d \theta}{\sin \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta-F^{2}}} \equiv 0 .
\]

Легко видеть, что это условие выполняется для любой нечетной функции $h$. Это же условие является и необходимым. А именно, имеет место следующий результат.
Теорема 4.4 ([18]). Метрика вращения $d s^{2}$ на двумерной сфере является метрикой Цолля тогда и только тогда, когда она может быть записана в виде
\[
d s_{h}^{2}=(1+h(\cos \theta))^{2} d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2},
\]

где $h$ – нечетная функция.
ЗАмЕчАниЕ. Здесь для записи метрики используется аналог сферических координат: $\varphi \in \mathbb{R} \bmod 2 \pi, \theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, которые действуют на всей сфере за исключением двух полюсов. Метрика $d s_{h}^{2}$ продолжается до гладкой метрики на всей сфере тогда и только тогда, когда $h$ – гладкая функция на отрезке $[-1,1]$ и, кроме того, $h(1)=h(-1)=0$. Более того, выбирая $h$ подходнщим образом, эту метрику можно сделать вещественно аналитической.

Более интересную серию метрик Цолля можно получить, если рассмотреть метрику постоянной кривизны на сфере как ( $L, f, g$ )-метрику. В этом случае возмущение стандартной метрики нужно проводить другим способом.
Теорема 4.5. Существует семейство попарно неизометричных $C^{\infty}$-гладких метрик $d s_{\alpha, \beta}^{2}$ на двумерной сфере, зависящее от двух функциональных параметров $\alpha$ и $\beta$, и таких, что:
1) геодезические потоки этих метрик квадратично интегрируемы,
2) все геодезические этих метрик замкнуты и имеют одинаковую длину,
3) все эти метрики $d s_{\alpha, \beta}^{2}$ являются возмущениями метрики стандартной сферы в том смысле, что при $\alpha=0, \beta=0$ метрика превращается в обычную метрику $d s_{0}^{2}$ постоянной кривизны на сфере,
4) все метрики $d s_{\alpha, \beta}^{2}$ задаются явными формулами.

Доказательство.
Начнем с того, что представим метрику $d s_{0}^{2}$ постоянной кривизны на двумерной сфере в виде ( $L, f, g$ )-метрики. Это уже было фактически сделано выше в параграфе 3 , в пункте 3.2 , где мы указали лиувиллево представление для метрики $d s_{0}^{2}$ сферы в сферо-конических координатах:
\[
d s_{0}^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{P\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{P\left(
u_{3}\right)}\right),
\]

где $P(
u)=(a+
u)(b+
u)(c+
u)$.
Прокомментируем эту формулу. В действительности, ее можно рассматривать как четыре отдельные формулы на четырех областях, определяемых так.
1-я область: $x>0, z>0$,
2-я область: $x<0, z>0$,
3-я область: $x>0, z<0$,
4-я область: $x<0, z<0$.
Важно, что на каждой из четырех областей функции $P\left(
u_{2}\right)$ и $P\left(
u_{3}\right)$ можно задать независимо друг от друга (своей формулой), лишь бы они хорошо (т.е. гладко) стыковались на границах указанных областей. В исходной записи метрики сферы все эти четыре функции задаются одной и той же формулой. Однако это совершенно не обязательно. Кроме того, две функции $P\left(
u_{2}\right)$ и $P\left(
u_{3}\right)$ задаются одной и той же функцией $P$ (только от разных аргументов). Это тоже не обязательно. Можно взять две разные функции, например, $Q$ и $R$. Перечисленные наблюдения открывают путь для построения подходящих возмущений стандартной метрики сферы так, чтобы функция вращения при этом не менялась. Для этого на каждой из четырех областей зададим метрику следующим образом.
На первой области:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{Q_{+}\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{R_{+}\left(
u_{3}\right)}\right) .
\]

На второй области:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{Q_{+}\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{R_{-}\left(
u_{3}\right)}\right) .
\]

На третьей области:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{Q_{-}\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{R_{+}\left(
u_{3}\right)}\right) .
\]

На четвертой области:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{Q_{-}\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{R_{-}\left(
u_{3}\right)}\right) .
\]

При этом надо выбрать функции так, чтобы в результате получалась гладкая риманова метрика на сфере. Например, достаточно потребовать, чтобы новые функции имели ту же асимптотику, что и исходная функция $P$ на краях интервалов $[-c,-b]$ и $[-b,-a]$.

Меняя функции $Q_{+}, Q_{-}, R_{+}, R_{-}$, мы получим некоторое функциональное семейство гладких лиувиллевых метрик $d s^{2}\left(Q_{+}, Q_{-}, R_{+}, R_{-}\right)$на сфере.

Напомним, что, представив метрику $d s_{0}^{2}$ в лиувиллевом виде, мы тем самым автоматически получаем квадратичный интеграл ее геодезического потока и, следовательно, структуру лиувиллева слоения на изоэнергетической поверхности (т.е. на расслоении единичных (ко)касательных векторов). Это слоение имеет четыре однопараметрических семейства торов Лиувилля, для каждого из которых можно явно выписать формулу для функции вращения. Как мы уже показали выше (см. параграф 3), эта функция (на одном из семейств торов) выглядит так:
\[
\rho(t)_{\text {станд. сферы }}=\frac{\int_{-t}^{-a} N(u, t) d u}{\int_{-c}^{-b} N(u, t) d u},
\]

где $N(u, t)=\frac{1}{\sqrt{-P(u)(u+t)}}, t \in(a, b)$. Легко проверяется, что $\rho(t)_{\text {станд. сферы }} \equiv 1$. Это эквивалентно замкнутости геодезических, лежащих на торах из рассматриваемого семейства.

Структура лиувиллева слоения для метрик $d s^{2}\left(Q_{+}, Q_{-}, R_{+}, R_{-}\right)$полностью аналогична, а функция вращения на аналогичном семействе торов запишется так:
\[
\rho(t)_{\text {возмущен. сферы }}=\frac{\int_{-t}^{-a} N_{2}(u, t) d u}{\int_{-c}^{-b} N_{3}(u, t) d u},
\]

где
\[
N_{2}(u, t)=\frac{1}{\sqrt{u+t}}\left(\frac{1}{\sqrt{-Q_{+}(u)}}+\frac{1}{\sqrt{-Q_{-}(u)}}\right)
\]

и
\[
N_{3}(u, t)=\frac{1}{\sqrt{-u-t}}\left(\frac{1}{\sqrt{R_{+}(u)}}+\frac{1}{\sqrt{R_{-}(u)}}\right) .
\]

Выберем теперь функции $Q_{+}, Q_{-}, R_{+}, R_{-}$так, чтобы выполнялось условие
\[
\rho(t)_{\text {возмущен. сферы }} \equiv 1,
\]

что и будет гарантировать замкнутость геодезических. Ясно, что для этого функции достаточно выбрать таким образом, чтобы подынтегральные выражения вообще не менялись, т.е. чтобы
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{-Q_{+}(u)}}+\frac{1}{\sqrt{-Q_{-}(u)}}=\frac{2}{\sqrt{-P(u)}}, \\
\frac{1}{\sqrt{R_{+}(u)}}+\frac{1}{\sqrt{R_{-}(u)}}=\frac{2}{\sqrt{P(u)}} .
\end{array}
\]

В результате получим, что
\[
\rho(t)_{\text {станд. сферы }}=\rho(t)_{\text {возмущен. сферы. }} \text {. }
\]

Таким образом, возмутив стандартную метрику, мы сохранили функцию вращения.

Можно написать и явную формулу для указанных возмущений стандартной метрики сферы. Достаточно положить
\[
\begin{array}{l}
Q_{+}\left(
u_{2}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{-P\left(
u_{2}\right)}}+\alpha\left(
u_{2}\right)\right)^{-2}, \\
Q_{-}\left(
u_{2}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{-P\left(
u_{2}\right)}}-\alpha\left(
u_{2}\right)\right)^{-2}, \\
R_{+}\left(
u_{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{P\left(
u_{3}\right)}}+\beta\left(
u_{3}\right)\right)^{-2}, \\
R_{-}\left(
u_{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{P\left(
u_{3}\right)}}-\beta\left(
u_{3}\right)\right)^{-2} .
\end{array}
\]

В этом представлении $\alpha$ и $\beta$ – почти произвольные гладкие функции. Нужно лишь потребовать, чтобы их добавление не меняло асимптотики функции $P(
u)$ в точках $
u=-a,-b,-c$, и чтобы выражение в скобках оставалось бы всегда положительным. В остальном функции $\alpha$ и $\beta$ произвольны. Отсюда видно, что метрика стандартной сферы допускает достаточно много шевелений, оставляющих геодезический поток квадратично интегрируемым, с той же функцией вращения и, следовательно, с замкнутыми геодезическими. При этом описанные нами возмущения даже не обязаны быть малыми. Перечисленные требования вполне удовлетворяются и при подходящем выборе больших возмущений.

Стоит подчеркнуть, что построенные нами возмущения являются гладкими, но не аналитическими. Причем описанным методом сделать возмущения аналитическими нельзя принципиально. Дело в том, что, как мы показали выше при классификации метрик с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками на сфере, в аналитическом случае описанные выше функции возмущения $Q_{+}$ ки удовлетворяют дополнительной $\mathbb{Z}_{2}$-симметрии.

Осталось доказать, что построенные нами возмущенные метрики вида $d s^{2}\left(Q_{+}, Q_{-}, R_{+}, R_{-}\right)$не изометричны стандартной метрике сферы и не изометричны между собой. Неизометричность стандартной метрике легко следует из того, что метрики, заданные описанными выше формулами, не имеют никаких ограничений на кривизну.

Тот факт, что возмущенные метрики не изометричны между собой, следует из единственности лиувиллева представления для метрик, отличных от стандартной.
Теорема полностью доказана.

КОмМЕНТАРИЙ 1. В несколько иной формулировке эта теорема была получена К.Киохарой в [320]. Он также обобщил это утверждение на многомерный случай [319]. Здесь мы придерживаемся конструкции, предложенной Е. Н. Селивановой.

Комментарий 2. Римановы метрики на сфере, построенные в теореме 4.5, являются новыми в том смысле, что они отличны от метрик вращения, описанных в теореме 4.4. В частности, они не допускают гладкого изометричного действия окружности. Более того, группа изометрий таких метрик дискретна. А именно, в общем случае (т.е. при ненулевых возмущениях $\alpha$ и $\beta$ ) она изоморфна группе $Z_{2}$, т. е. группе отражений относительно плоскости $O x z$, при которой точка $(x, y, z)$ переходит в точку $(x,-y, z)$.

Комментарий 3. Следует отметить, что в работах В. Н. Колокольцова [93], [94] с общей точки зрения исследованы метрики Цолля в классе всех метрик с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. В частности, выписаны необходимые и достаточные условия на функции $f$ и $g$ (участвующие в определении ( $L, f, g$ )-метрик, в нашей терминологии), гарантирующие замкнутость всех геодезических. Было доказано, что, если все геодезические замкнуты, то у них всех – одинаковая длина, и каждая из них не имеет самопересечений, т.е. соответствующая поверхность является $S C$-многообразием. Кроме того, фактически им было показано, что структура слоения Лиувилля таких геодезических потоков имеет простейший вид. Топология этого слоения Лиувилля изображена нами на рис. 3.35а главы 3 в виде молекулы. В. Н. Колокольцов построил также явные примеры $S C$-метрик на сфере, однако эти метрики не были гладкими, имея особенности в четырех точках.

В заключение отметим связь теоремы 4.5 с работами Гийемина (Guillemin V.) [305]. См. также книгу А. Бессе [18]. Гийемин доказал теорему существования богатого множества гладких возмущений стандартной метрики сферы, при которых получаются метрики с замкнутыми геодезическими. Причем такие метрики имеют тривиальную группу изометрий. Отличие (и некоторое преимущество) нашего подхода в том, что построенные нами возмущенные гладкие метрики предъявлены явными формулами.

Отметим, что геодезические потоки метрик с замкнутыми геодезическими, конечно, интегрируемы. Было бы очень интересно понять характер возникающих здесь интегралов. Например, являются ли они полиномами по импульсам? Если да, то какую они могут иметь степень? Если же нет, то как вообще выглядят такие интегралы? На самом деле сегодня не известно ни одного явного примера интегралов геодезических потоков римановых метрик, которые не были бы полиномами.

Геодезические потоки метрик с замкнутыми геодезическими образуют весьма специальный и интересный класс в множестве всех интегрируемых систем. Изучению таких потоков посвящено много работ. См., например, [46], [299], [305], [319], [395]. Наиболее полно эта тематика отражена в известной книге A. Бecce $[18]$.