2.5. Преобразование Лапласа

Так называется еще один вид интегральных преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разнообразных задач, связанных с изучением сигналов.

Понятие комплексной частоты.

Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону .

Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида , где — комплексное число: получившее название комплексной частоты.

Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу:

где — комплексно-сопряженная величина.

Действительно, при этом

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы. Так, если , но получаются обычные гармонические колебания вида Если же то в зависимости от знака получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда . Здесь множитель описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени. Некоторые типичные сигналы изображены на рис. 2.10.

Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это дает - возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы.

Рис. 2.10. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты

Существенно и другое соображение: экспоненциальные сигналы вида (2.53) служат «естественным» средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах. Эти вопросы будут изучены в гл. 8.

Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота со служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части о комплексной частоты специального термина не существует.

Основные соотношения.

Пусть — некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определенный при t > 0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной , задаваемая интегралом:

Сигнал называется оригиналом, а функция — его изображением по Лапласу (для краткости, просто изображением).

Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.54), заключается в следующем: сигнал должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при т. е. должен удовлетворять неравенству где — положительные числа.

При выполнении этого неравенства функция существует в том смысле, что интеграл (2.54) абсолютно сходится для всех комплексных чисел , у которых Число а называют абсциссой абсолютной сходимости.

Переменная в основной формуле (2.54) может быть отождествлена с комплексной частотой Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда формула (2.54) переходит в формулу (2.16), определяющую Фурье-преобразование сигнала, который равен нулю при Таким образом, преобразование Лапласа можно рассмотри

Подобно тому как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье

следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной к комплексному аргументу а На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяженной вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при дифференциал , формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид

В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают «хорошими» свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости , за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило, — полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычисления интегралов вида (2.55) можно использовать гибкие методы теории вычетов.

На практике широко применяются таблицы преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами. и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах радиотехнических устройств и систем. В Приложениях к [6] имеется такая таблица, позволяющая решать достаточно широкий круг задач.

Примеры вычисления преобразований Лапласа.

В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмотрим наиболее характерные случаи.

Пример 2.4, Изображение обобщенного экспоненциального импульса.

Пусть , где — фиксированное комплексное число. Наличие -функции обусловливает равенство при Воспользовавшись формулой (2.54), имеем

Если то числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие

Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса:

и комплексного экспоненциального сигнала:

Наконец, положив в (2.57) , находим изображение функции Хевисайда:

Пример 2.5. Изображение дельта-функции.

Если рассматриваемый импульс возникает в момент времени , то интеграл

Итак,

Это изображение определено во всех точках комплексной плоскости и нигде не имеет особенностей, кроме бесконечно удаленной точки.

Некоторую сложность может представлять вычисление изображения дельта-импульса, сосредоточенного при t = 0, поскольку неясно, как надо учитывать вклад от обобщенной функции, сосредоточенной на одном из концов области интегрирования. Дело в том, что в гл. 1 дельта-функция определялась как предел последовательности импульсов, симметричных относительно точки t = 0. Если поступать формально, то в пределах области интегрирования окажется лишь половина такого импульса, что приведет к двукратному уменьшению интеграла. Для того чтобы этого не произошло, изображение функции определяется как предел

не зависящий от параметра . При таком подходе функция всегда целиком принадлежит области интегрирования, поэтому

Изображение производных.

Чтобы найтн изображение первой производной сигнала, следует выполнить интегрирование по частям:

Легко видеть, что изображение первой производной содержит значение сигнала в начальной точке:

По индукции доказывается формула для изображения производной порядка:

Возможность учитывать начальное состояние сигнала при позволяет применять метод преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями.

Основные свойства преобразования Лапласа схожи с описанными свойствами преобразования Фурье [14].