15.4. Цифровые фильтры

В настоящее время широко используются методы обработки радиотехнических сигналов с помощью микроэлектронных вычислительных устройств и систем. В данном параграфе рассматривается простейший, наиболее изученный и внедренный класс систем дискретной обработки сигналов — так называемые линейные стационарные цифровые фильтры. Выполняя, подобно аналоговым цепям, операцию частотной фильтрации, цифровые фильтры (ЦФ) обладают рядом существенных преимуществ. Сюда относятся, например, высокая стабильность параметров, возможность получать самые разнообразные формы АЧХ и ФЧХ. Цифровые фильтры не требуют настройки и легко реализуются на ЭВМ программными методами.

Принцип цифровой обработки сигналов.

На рис. 15.6 приведена основная структурная схема цифровой обработки сигналов.

Рис. 15.6. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов

Непрерывный входной сигнал поступает в аналого-цифровой преобразователь (АЦП), управляемый синхронизирующими импульсами от генератора, задающего частоту дискретизации. В момент подачи синхронизирующего импульса на выходе АЦП возникает сигнал, отображающий результат измерения мгновенного значения входного колебания в виде двоичного числа с фиксированным количеством разрядов. В зависимости от особенности построения устройства этому числу соответствует либо последовательность коротких импульсов (передача в последовательном коде), либо совокупность уровней напряжений на сигнальных шинах отдельных разрядов (передача в параллельном коде). Преобразованный таким образом сигнал поступает в основной блок устройства, так называемый цифровой процессор, состоящий из арифметического устройства и устройства памяти. Арифметическое устройство выполняет над цифрами ряд операций, таких, как умножение, сложение и сдвиг во времени на заданное число интервалов дискретизации.

В устройстве памяти может храниться, некоторое число предшествующих отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки.

Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел, представляющих выходной сигнал. Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Однако это устройство может и отсутствовать, если сигналы подвергаются только цифровым преобразованиям.

Основной технический показатель ЦФ — быстродействие — зависит как от скорости протекания переходных процессов в микроэлектронных компонентах, так и от сложности алгоритма фильтрации.

Если в начале 70-х годов предельные частоты сигналов, обрабатываемых с помощью ЦФ, составляли несколько килогерц, то достижения современной микроэлектроники непрерывно расширяют этот диапазон. Цифровая фильтрация сигналов получила новый стимул развития с появлением относительно недорогих и надежных микропроцессоров, а также устройств памяти, выполненных по технологии больших интегральных схем (БИС).

Квантование сигналов в ЦФ.

Специфика любого цифрового устройства — представление сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной разрядностью. Поэтому мгновенное значение сигнала дискретизируется по уровню таким образом, что интервалом дискретизации (минимальной разностью между двумя соседними уровнями) служит единица младшего двоичного разряда.

Точное значение отсчета сигнала в двоичной форме имеет вид

(15.43)

где или 1. При ограничении длины числа некоторым количеством разрядов N вместо точного значения получается его округленное (машинное) представление:

(15.44)

причем коэффициент равен либо либо в зависимости от того, нуль или единица содержится в (N + 1)-м разряде.

В радиотехнике дискретные сигналы, уровни которых могут принимать лишь счетное множество значений, называют квантованными сигналами. Квантование сигналов приводит к специфической погрешности при обработке, которая получила название шума квантования. Прямо» путь снижения этой погрешности — использование двоичных чисел с большим количеством разрядов. Однако при этом неизбежно снижается быстродействие ЦФ из-за увеличения времени выполнения операций над многоразряднымв числами.

Поэтому на практике в микропроцессорных системах дня цифровой обработки сигналов и дискретного управления обычно применяют двоичные числа с количеством разрядов от 4 до 16.

Алгоритм линейной цифровой фильтрации.

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал таким образом, что на ее выходе возникает колебание равное свертке функции и импульсной характеристики

(15.45)

Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дискретная система (физическое устройство или программа для ЭВМ), которая преобразует последовательность числовых отсчетов входного сигнала в последовательность отсчетов выходного сигнала:

(15.46)

или сокращенно

Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т. е. из соответствий

следует, что

(15.47)

при любых коэффициентах

Для того чтобы обобщить формулу (15.45) на случай дискретных сигналов, вводят понятие импульсной характеристики ЦФ. По определению, она представляет собой дискретный сигнал который является реакцией ЦФ на «единичный импульс» :

(15.48)

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

Рассмотрим, каким образом из свойств линейности и стационарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть — некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой. Используя соотношения (15.47) и (15.49), можно записать отсчет выходного сигнала

(15.50)

Формула (15.50), играющая ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации, показывает, что выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Иными словами, ЦФ обладает некоторой «памятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют лишь физически реализуемые ЦФ, импульсная характеристика которых не может стать отличной от нуля в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемых фильтров коэффициенты обращаются в нуль и суммирование в (15.50) можно распространить на все положительные значения индекса к:

(15.51)

Дискретные гармонические последовательности.

Как известно, в теории линейных систем особую роль играют комплексные сигналы вида отображающие гармонические колебания. При дискретизации такого сигнала по времени получается так называемая гармоническая последовательность

(15.52)

такая, что

(15.53)

Следует иметь в виду, что последовательности (15.52) и (15.53) представляют дискретизированные гармонические сигналы неоднозначно. Действительно, эти последовательности не изменятся при замене частоты на где — любое целое число, — угловая частота дискретизации.

Частотный коэффициент передачи ЦФ.

Предположим, что на вход линейного стационарного цифрового фильтра подана гармоническая последовательность вида (15.52), неограниченно протяженная во времени, т. е. с индексом к, принимающим значения

Для того чтобы вычислить выходной сигнал фильтра воспользуемся формулой свертки (15.50) и найдем отсчет на выходе:

Выполнив тождественные преобразования, получим

Введем новый индекс суммирования Тогда

В соответствии с формулой (15.54) выходной сигнал имеет структуру дискретной гармонической последовательности с той же частотой, что и входной сигнал. Выходные отсчеты получаются из входных умножением на комплексную величину

(15.55)

называемую частотным коэффициентом передачи ЦФ, зависящую от частоты , а также от шага дискретизации и от совокупности коэффициентов импульсной характеристики ЦФ, Формула (15.55) позволяет сделать выводы:

1. Частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации

2. Функция есть преобразование Фурье импульсной характеристики ЦФ, представленной в форме последовательности дельта-импульсов:

[ср. с формулой (15.38)].

Системная функция ЦФ.

Расчет важнейшей характеристики ЦФ — частотного коэффициента передачи — удобно проводить, используя методы -преобразований. Сопоставим дискретным сигналам их -преобразования соответственно. Выходной сигнал фильтра есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики, поэтому [см. формулы (15.42), (15.50)] выходному сигналу отвечает функция

(15.56)

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называют отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (15.56) устанавливает, что системная функция фильтра

(15.57)

есть -преобразование импульсной характеристики.

Сравнивая выражения (15.55) и (15.57), приходим к следующему выводу: чтобы получить частотный коэффициент передачи ЦФ из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку

Пример 15.3. Цифровой фильтр имеет импульсную характеристику, состоящую из двух ненулевых отсчетов: Вычислить частотный коэффициент передачи фильтра.

Здесь системная функция

откуда

Уравнение АЧХ фильтра имеет вид

в то время как ФЧХ описывается выражением

Амплитудно-частотная характеристика фильтра является периодической функцией, но практически она имеет смысл лишь в интервале частот от 0 до На верхней частоте этого интервала каждому периоду дискретизированного гармонического сигнала соответствуют два отсчета. По теореме Котельникова, это есть предельное значение частоты сигнала, который может быть однозначно восстановлен по своим отсчетам.

Заметим, что если на вход такого фильтра поступает гармонический сигнал с частотой, значительно более низкой, чем частота дискретизации, так что то

Поэтому такая система приближенно выполняет операцию дифференцирования относительно медленных входных сигналов.