14.2. Устойчивость цепей с обратной связью

В этом параграфе рассматривается теория устойчивости состояния равновесия системы с обратной связью. Подтверждаются качественные рассуждения о возможности самовозбуждения систем с ПОС, которые приводились выше.

Постановка задачи.

Рассмотрим систему, включающую в себя активный основной элемент с передаточной функцией выход элемента соединен со входом звеном обратной связи с передаточной функцией . Предполагается, что внешний входной сигнал отсутствует, т. е. система автономна.

Уравнение состояния системы записывается на основании того, что изображение выходного сигнала откуда

(14.17)

Поскольку тождественно (в противном случае система не была бы возбуждена), равенство (14.17) справедливо лишь при тех значениях , которые являются корнями характеристического уравнения

(14.18)

Пусть корни этого уравнения. Так как рассматриваемая система линейна, то в общем случае выходной сигнал

(14.19)

Этот сигнал будет ограниченным, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, т. е. располагаются в левой полуплоскости переменной р. Цепь с обратной связью, обладающая такими свойствами, будет устойчива (см. гл. 8).

При синтезе и анализе систем с обратной связью возникают две проблемы. Если синтезируемая цепь, например усилитель, должна быть устойчивой, требуется критерий, который позволил бы по виду функций судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. Если, наоборот, обратная связь используется для создания неустойчивой автоколебательной системы, то следует знать корни уравнения (14.18), определяющие частоту возникающих колебаний.

В данном параграфе будет рассмотрена первая из поставленных проблем. Полученные выводы будут касаться не только устойчивости системы с обратной связью, но также устойчивости любой линейной динамической системы.

Алгебраические критерии устойивости.

Предположим, что как основной элемент, так и элемент обратной связи являются цепями с сосредоточенными параметрами и, следовательно, передаточные функции

(14.20)

суть отношения многочленов по степеням . Подставив формулы (14.20) в (14.18), получим характеристическое уравнение системы:

Отсюда следует, что система с обратной связью устойчива, если все корни уравнения

имеют отрицательные вещественные части. В алгебре многочлены с такими свойствами называют многочленами Гурвица.

Рассмотрим частный случай многочлена Гурвица имеющего три корня, один из которых вещественный и отрицательный, а два других — комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными частями. Прямая подстановка показывает, что данный многочлен

содержит все степени переменной , начиная со старшей, и имеет коэффициенты одного знака.

Этот признак указывает лишь необходимые условия для того, чтобы многочлен был многочленом Гурвица. Полное решение задачи было получено в конце прошлого века и нашло отражение в известном критерии Рауса — Гурвица. Доказательство критерия можно найти в [14]. Приведем окончательную формулировку: для того чтобы уравнение

с вещественными коэффициентами имело корни, лежащие лишь в левой полуплоскости переменной , необходимо и достаточно, чтобы были положительными следующие величины:

1) коэффициенты

2) определитель Гурвица

3) все главные миноры этого определителя.

Пример 14.1. Проверить с помощью критерия Рауса — Гурвица устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид

Убеждаемся, что Составляем определитель:

Таким образом, система устойчива.

Достоинство критерия Рауса — Гурвица — относительная простота вычислений. Недостаток заключается в том, что область применимости этого критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только в этом случае передаточная функция является частным двух многочленов.

Геометрические критерии устойчивости.

Возвращаясь к характеристическому уравнению (14.18), заметим, что произведение

(14.22)

есть не что иное, как передаточная функция каскадного соединения двух звеньев — основного звена и звена обратной связи. Обычно функцию называют передаточной функций системы с разомкнутой обратной связью.

Формула (14.22) описывает отображение комплексной плоскости на другую комплексную плоскость w.

Если корни характеристического уравнения то, как легко видеть, на плоскости w всем этим точкам будет соответствовать единственная точка Отсюда сразу вытекает принцип, позволяющий судить о возможности самовозбуждения системы с обратной связью: если образ правой полуплоскости переменной при отображении вида (14,22) содержит точку то система с замкнутой обратной связью неустойчива.

Важную роль играет кривая на плоскости w, являющаяся образом мнимой оси на плоскости . Уравнение этой кривой в параметрической форме таково:

(14.23)

Роль параметра играет частота со, которая изменяется в пределах от до Данная кривая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) разомкнутой системы. Во всех случаях, представляющих практический интерес, модули частотных коэффициентов передачи звеньев стремятся к нулю с ростом частоты. Поэтому АФХ проходит через точку Кроме того, АФХ симметрична относительно вещественной осн на плоскости w, поскольку . Ясно, что АФХ для рассматриваемых систем представляют собой замкнутые кривые в плоскости

В теории функций комплексного переменного показывается [14], что при отображении вида (14.22) образом правой полуплоскости оказывается внутренняя область, охватываемая кривой АФХ Критерий устойчивости, вытекающий из описанного построения, известен под названием критерия Найквиста: если АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами то замкнутая система неустойчива.

Пример 14.2. Исследование устойчивости одноступенчатого усилителя с резистивно-емкостной нагрузкой, выход которого непосредственно соединен со входом.

Здесь, очевидно, в то время как

где (см. гл. 8).

Уравнение АФХ имеет вид

(14.24)

Вид амплитудно-фазовой характеристики, построенной в соответствии с уравнением (14.24), показан на рис. 14.5.

Как видно из рисунка, АФХ рассматриваемой системы представляет собой окружность с диаметром Верхней полуокружности соответствует положительная часть оси по мере роста частоты модуль частотного коэффициента передачи уменьшается, а фазоный угол стремится к 90°.

Замкнутая кривая АФХ целиком находится в левой полуплоскости, и не охватывает точку При N соединении выхода данного усилителя со входом система устойчива.

Рис. 14.5. Амплитудно-фазовая характеристика одноступенчатого усилителя с резистивно-емкостной нагрузкой (номера указывают соответствие точек на оси и на АФХ усилителя)

Пример 14.3. Исследование устойчивости замкнутого кольца из двух усилительных звеньев с апериодическими нагрузками. Передаточная функция каскадного соединения звеньев

(14.25)

Здесь для простоты считается, что постоянные времени обоих звеньев одинаковы; коэффициенты усиления на нулевой частоте в общем случае могут быть различными.

Проведя замену переменной в (14.25), получаем уравнение АФХ:

(1426)

Вид амплитудно-фазовой характеристики данного усилителя показан на рис. 14.6.

Если коэффициент усиления разомкнутой системы на нулевой частоте то при замыкании цепи обратной связи система становится неустойчивой, так как точка находится внутри замкнутой кривой АФХ.

Рис. 14.6. Амплитудно-фазовая характеристика двухступенчатого усилителя с апериодическими нагрузками

Помимо критерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например, критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования.