Результаты

- Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели.

- Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей. Принято различать одномерные и многомерные, детерминированные и случайные, аналоговые и дискретные сигналы. Разновидностью последних являются цифровые сигналы.

- Принцип динамического представления позволяет описывать сигналы, учитывая их поведение как «в прошлом», так и «в будущем».

- Для динамического представления используются два элементарных сигнала — функция включения и дельта-функция (функция Дирака).

- Путем введения структуры некоторые множества сигналов могут быть превращены в линейные функциональные пространства.

- Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному пространству.

- Аналогом длины вектора в линейном пространстве сигналов служит его норма. Квадрат нормы называется энергией сигнала.

- Линейное пространство сигналов становится метрическим пространством, если определить метрику — расстояние между двумя векторами.

- Чтобы найти угол между двумя элементами линейного пространства, вводят понятие скалярного произведения, пропорционального взаимной энергии сигналов. Если скалярное произведение равно нулю, то сигналы ортогональны.

- Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису называют обобщенным рядом Фурье. Коэффициентами такого ряда служат скалярные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов.

- Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов обобщенного ряда Фурье.

- Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум энергш ошибки аппроксимации.

- Процесс извлечения полезной информации, содержащейся в сигнале, можно представить себе как аппаратурное определение числовых значений коэффициентов обобщенного ряда Фурье этого сигнала.

Вопросы

1. Назовите два-три физических процесса, для описания которых требуются случайные математические модели.

2. Какие числовые характеристики применяют для описания моделей импульсных сигналов?

3. В чем состоит разница между видеоимпульсом и радиоимпульсом?

4. Почему замена аналогового сигнала дискретным при некоторых условиях может стать неадекватной?

5. Как формулируйся принцип динамического представления сигнала?

6. Каковы основные свойства дельта-функции?

7. Перечислите аажнейшне аксиомы линейного пространства.

8. Каков физический смысл квадрата нормы сигнала?

9. Как следует понимать геометрический смысл неравенства Коши — Буняковсхого?

10. Изобразите графически несколько ортогональных сигналов.

11. Какие, функциональные пространства называют гильбертовыми пространствами?

12. Почему удобно разлагать сигналы по ортогональной системе функций Уолша?

13. Чем обобщенные функции отличаются от классических функций?

Задачи

1. Импульс напряжения треугольной формы изображен на рисунке:

Составьте математическую модель этого сигнала, используя комбинацию функций включения. Убедитесь в том, что решение данной задачи неоднозначно.

2. Решите задачу I применительно к симметричному треугольному импульсу, имеющему длительность и амплитуду .

3. Составьте математическую модель бесконечной последовательности одинаковых импульсоа треугольной формы:

4. В соответствии с формулой (1.4) найдите динамическое представление экспоненциального видеоимпульса, описываемого, функцией и

Найдите динамическое представление гауссова видеоимпульса и определенного на всей бесконечной оси времени. Обратите внимание на модификацию, которой должна быть подвергнута формула (1.4).

6. Найдите энергию и норму сигнала, описываемого математической моделью вида

7. Вычислите энергию и норму импульса косинусоидальной формы:

8. Сигнал u(t) представляет собой симметричный треугольный импульс, сигнал

Более сложные задания

12. В эксперименте была зафиксирована осциллограмма сигнала u(t):

Есть предположение, что этот сигнал описывается экспоненциальной функцией времени. Предложите по возможности простой графический способ проверки этой гипотезы.

13. Последовательный колебательный контур возбуждается источником импульсной ЭДС:

— вписанный в него импульс прямоугольной формы:

Какова должна быть амплитуда прямоугольного импульса, чтобы расстояние между двумя сигналами было минимальным?

9. Используя принцип ортогональности, на основании рис. 1.4 постройте график функции

10. Покажите, что взаимные расстояния между любыми двумя функциями из совокупности одинаковы и равны

11. Проведите такой же анализ для ортонормированной системы тригонометрических функций [см. формулы (1.30)]. Сравните результаты. Можно ли здесь провести аналогию с известной теоремой Пифагора?

Параметры системы: R = 5 Ом, Длительность импульса его амплитуда . Покажите, что в данном случае реальный импульс можно описать математической моделью вида Каков должен быть при этом коэффициент А?

Перечислите несколько простых физических ситуаций, относящихся к повседневному опыту, когда воздействие на какую-либо систему можно приближенно заменить дельта-импульсом.

14. Предложите математическую модель для аналитического описания сигнала следующего вида:

15. Докажите, что дельта-функцию можно рассматривать как предел вида

16. Докажите, что если Н — вещественное гильбертово пространство, содержащее сигналы и и то имеет место равенство параллелограмма:

17. Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве Справедливо Тождество

18. Пусть — ортонормированный базис в некотором гильбертовом пространстве Н. Покажите, что для произвольных выполняется равенство Парсеваля

19. В гильбертовом пространстве сигналов заданы произвольный вектор и вектор v, имеющий единичную норму. По аналогии с геометрией обычных векторов на плоскости вектор называют ортогональной проекцией вектора и на направление . Докажите, что вектор ортогонален вектору . Обобщая полученный результат, покажите, что если — система взаимно ортогональных векторов с единичными нормами, то вектор

при любом выборе и ортогонален по отношению к каждому из векторов рассматриваемой системы.

20. Пусть в гильбертовом пространстве сигналов задана система взаимно неортогональных векторов На ее основе постройте ортонормированную систему векторов таким образом, чтобы каждый вектор являлся линейной комбинацией вида

с постоянными коэффициентами.

21. Используя прием, найденный при решении предыдущей задачи, вычислите три первых базисных вектора получаемых путем ортогоналнзации и нормировки системы степенных функций на отрезке — Получите числовые значения трех первых коэффициентов обобщенного ряда Фурье для сигнала на рассматриваемом отрезке. Вычислите норму абсолютной ошибки аппроксимации данного сигнала тремя членами ряда. Оцените относительную ошибку аппроксимации.

22. Рассмотрите предыдущую задачу в другой постановке: найдите коэффициенты многочлена второй степени таким образом, чтобы данный многочлен аппроксимировал сигнал на отрезке — с наименьшей среднеквадратической ошибкой.