Результаты

- Вероятностные закономерности проявляются в физических системах, образованных из большого числа более мелких подсистем.

- Основными характеристиками случайной величины являются ее функция распределения и плотность вероятности.

- Числовыми параметрами, описывающими случайную величину, служат моменты, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия.

- Статистические связи между отдельными составляющими многомерной случайной величины принято описывать смешанными моментами второго порядка, называемыми коэффициентами корреляции.

- Некоррелированные гауссовы величины статистически независимы.

- Согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа независимых случайных величин в пределе, с ростом числа слагаемых, распределена по нормальному закону.

- Случайный процесс задается бесконечным ансамблем своих реализаций.

- Важнейшими моментными функциями случайного процесса являются математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции.

- Если статистические характеристики случойного процесса неизменны во времени, то такой процесс называется стационарным.

- Характеристики стационарных эргодических случайных процессов можно изучать экспериментально, анализируя единственную реализацию достаточно большой длины.

- Любую многомерную плотность вероятности стационарного гауссова случайного процесса можно вычислить, зная математическое ожидание и функцию корреляции.

Вопросы

1. Как формулируются аксиомы теории вероятностей?

2. В чем разница между понятиями математической и эмпирической (выборочной) вероятностей?

3. Каковы основные свойства плотности вероятности случайной величины?

4. Как следует находить плотность вероятности функции от случайной величины при однозначной и неоднозначной связях?

5. Как связаны между собой плотность вероятности и характеристическая функция случайной величины?

6. Каков смысл понятия корреляции двух случайных величин?

7. Что является более жестким требованием — некоррелированность или статистическая независимость случайных величин?

8. Каковы отличительные свойства многомерной гауссовой случайной величины?

9. Как формулируется центральная предельная теорема?

10. В чем разница между двумя понятиями - «случайный процесс» и «случайная реализация»?

11. Экспериментально получена следующая реализация случайного сигнала:

Может ли она в принципе принадлежать ансамблю реализаций гауссова случайного процесса? Правдоподобно ли такое утверждение?

12. Дайте определение понятия случайного процесса, стационарного в широком и в узком смыслах?

13. В чем заключается отличительное свойство эргодического случайного процесса?

14. Каков физический смысл дисперсии эргодического случайного процесса?

15. Как определяется понятие взаимной функции корреляции двух случайных процессов?

Задачи

1. При передаче текста по некоторому каналу связи в среднем 0,5% символов воспринимаются с ошибкой. Передан текст длиной 120 символов. Какова вероятность правильного воспроизведения данного сообщения?

2. Случайная величина X имеет плотность вероятности

Найдите связь между числами а и b, вытекающую из условия нормировки.

3. Случайная величина X равномерно распределена во внутренних точках отрезка вероятности обнаружить эту величину на концах отрезка одинаковы и равны 0.3. Постройте графики функции распределения и плотности вероятности для данной случайной величины.

4. Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины, рассмотренной в задаче 3.

5. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины, имеющей плотность вероятности при

6. Найдите связь между плотностью вероятности случайной величины X и плотностью вероятности случайной величины У, которая получена путем функционального преобразования

7. Характеристическая функция случайной величины X имеет вид Найдите плотность вероятности данной случайной величины.

8. Совместная плотность вероятности двумерной случайной величины имеет вид

Определите плотности вероятности случайных величин а гакже их математические ожидания и дисперсии.

9. Докажите, что для стационарности в широком смысле случайного процесса с реализациями необходимо и достаточно, чтобы случайные величины А и В обладали следующими свойствами:

10. Случайный процесс является суммой двух независимых гауссовых случайных процессов имеющих постоянные во времени математические ожидания ту и дисперсии соответственно. Найдите одномерную плотность вероятности суммарного процесса.

Более сложные задания

11. Сигнал представляет собой сумму гармонических колебаний одной и той же частоты. Амплитуды слагаемых одинаковы и равны 5 В, начальные фазы могут независимо принимать лишь два значения: 0 и 180°. Число слагаемых равно 30. Вычислите вероятность того, что результирующая амплитуда сигнала окажется больше 50 В.

12. Докажите, что если случайная величина Z является суммой независимых случайных величии X и У, то ее плотность вероятности есть свертка плотностей, отвечающих каждому из слагаемых:

13. Координаты случайной точки на плоскости являются независимыми гауссовыми случайными величинами с параметрами Наидите плотность вероятности длины случайного радиуса-вектора этой точки.

14. Предложите структурную схему прибора для измерения двумерной плотности вероятности эргодического случайного пронесса.