7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов

В этом параграфе изучаются свойства реализаций случайных процессов, подвергнутых операциям дифференцирования и интегрирования. Показано, что дифференциальные свойства случайного процесса определяются видом его функции корреляции.

Вероятностная трактовка сходимости и непрерывности.

В теории случайных процессов приходится несколько расширить обычное понятие сходимости последовательности чисел к своему пределу. Так, если — случайная последовательность, пронумерованная числами натурального ряда, то для ее сходимости не обязательно, чтобы при величина всегда была меньше любого наперед заданного малого числа.

Говорят, что случайная последовательность сходится к некоторому числу в среднеквадратическом смысле, если

Требование сходимости в среднеквадратическом смысле является менее жестким по сравнению с классическим критерием сходимости детерминированных последовательностей.

Подобным же образом определяют понятие непрерывности случайного процесса. Считают, что случайный процесс непрерывен в точке если справедливо предельное равенство

Производная от случайного процесса.

Предположим, что реализация случайного процесса подается на дифференцирующее устройство, создающее на выходе новую реализацию Совокупность реализаций образует случайный процесс называемый производной процесса . Символически этот факт обозначается равенством

Положим, что — стационарный случайный процесс с известным математическим ожиданием Чтобы найти математическое ожидание производной, проведем усреднение по ансамблю реализаций:

Итак, при дифференцировании стационарного случайного процесса возникает новый случайный процесс с нулевым математическим ожиданием.

Решим несколько более сложную задачу нахождения функции корреляции производной. Без ограничения общности положим, что математическое ожидание исходного процесса (если это не так, всегда можно перейти к новому процессу , реализации которого Воспользуемся тем, что

и представим функцию корреляции производной таким образом:

Все четыре слагаемых в квадратных скобках представляют собой функции корреляции исходного процесса, вычисленные при различных величинах задержки. Легко видеть, что

Можно заметить, что правая часть последнего равенства представляет собой вторую производную функции , взятую с обратным знаком. Таким образом, приходим к формуле

Дифференцируемые и недифференцируемые случайные процессы.

По определению, случайный процесс является дифференцируемым, если его производная имеет конечную дисперсию. В соответствии с (7.21) дисперсия производной Поэтому для дифференцируемости случайного процесса необходимо, чтобы вторая производная его функции корреляции в нуле была конечной величиной, а значит, первая производная этой функции в нуле — непрерывной.

Недифференцируемым является случайный процесс с функцией корреляции вида рассмотренный в примере 7.1. Дифференцируя эту функцию один раз, убеждаемся, что производная в нуле изменяется скачком на величину

В радиотехнике часто рассматривают случайные процессы с функциями корреляции вида

Простое вычисление показывает, что. первая производная этой функции

в нуле непрерывна, поэтому функция корреляции (7.22) отвечает дифференцируемому процессу.

Несомненно, что реализации любых случайных сигналов, с которыми приходится встречаться в технике, всегда достаточно «гладкие» для того, чтобы быть дифференцируемыми. Однако в теоретических исследованиях часто возникают математические модели, соответствующие недифференцируемым процессам. Как правило, это имеет место тогда, когда реализации случайного процесса образуются из очень большого числа малых независимых слагаемых. Несмотря на то что вклад одного такого слагаемого (например, импульса тока от движения отдельно взятого электрона) ничтожен, именно эти слагаемые определяют «тонкую структуру» реализации. Как следствие, реализации такого процесса могут приобрести вид функции, всюду непрерывной, однако ни в одной точке не дифференцируемой.

Спектральная плотность мощности производной.

Найдем связь между спектрами мощности исходного процесса и его производной. Пусть задано соответствие . По теореме Винера — Хинчина функция корреляции исходного процесса

На основании формулы (7.21) функция корреляции производной

откуда получается искомая формула связи

Примечательно, что в спектре мощности производной наблюдается уменьшение низкочастотных и увеличение высокочастотных составляющих. Формула (7.23) позволяет судить о днфференцируемости процесса X (0, исходя из свойств его спектра мощности: указанный случайный процесс дифференцируем, если

Так, для случайного процесса со спектром мощности низкочастотного вида (см. пример 7.3) дисперсия производной

поэтому такой процесс дифференцируем.

Корреляционная связь между случайным процессам и его производной.

Во многих задачах статистической радиотехники существен вопрос вероятностной связи между мгновенными значениями случайного сигнала и его производной. Для ответа на него вычислим функцию взаимной корреляции случайных процессов , проведя усреднение:

откуда

Как известно, функция всегда является четной. Если же процесс дифференцируем, то при производная обращается в нуль. На основании (7.24) отсюда следует, что мгновенные значения такого случайного сигнала и его производной, взятые в один и тот же момент времени, являются некоррелированными. Еще более сильное утверждение справедливо применительно к гауссовым случайным процессам: здесь случайный сигнал и его производная статистически независимы.

Интеграл от случайного процесса.

Будем называть случайный процесс определенным интегралом с переменным верхним пределом от случайного процесса X(t), если между реализациями имеется соответствие вида

Физически это означает, что сигналы z(t) наблюдаются на выходе идеального интегратора, причем входные сигналы начинают поступать в нулевой момент времени.

Если процесс стационарен и имеет постоянное среднее значение то математическое ожидание сигнала на выходе интегратора

Таким образом, условие сразу приводит к нестационарности случайного процесса Z(t).

Однако даже при нулевом математическом ожидании входного процесса сигнал на выходе интегратора будет представлять собой реализацию нестационарного случайного процесса. Чтобы убедиться в этом, вычислим функцию корреляции интеграла:

Если процесс стационарен, то аргумент функции корреляции, стоящей под знаком интеграла в последней формуле, будет представлять собой разиость поэтому

Поскольку правая часть формулы (7.27) зависит непосредственно от а не от их разности, случайный процесс на выходе интегратора является нестационарным.

Нестационарность интеграла от случайного процесса имеет глубокий физический смысл, свидетельствуя о безграничном нарастании флуктуаций на выходе идеального интегратора, что связано с эффектом их накопления.

Сходные задачи часто встречаются в различных областях физики. В качестве примера можно привести известную проблему одномерного случайного блуждания точки (броуновского движения) [21]. Здесь материальная точка, выходя из начала координат и получая равновероятные толчки в двух противоположных направлениях, в среднем остается на месте, однако величина ее отклонения от среднего положения неограниченно нарастает во времени.

Задача о выбросах случайных процессов.

В статистической радиотехнике большой интерес представляет следующая проблема, тесно связанная с дифференциальными свойствами случайных процессов. Предположим, что реализациями случайного процесса служат достаточно «гладкие» функции времени. Требуется определить, сколь часто эти реализации пересекают некоторый фиксированный уровень Такая проблема естественно возникает, например, при анализе помехоустойчивости радиотехнических устройств, находящихся под воздействием случайных флуктуационных или импульсных помех.

Событие, состоящее в том, что реализация пересекает заданный уровень «снизу вверх», называют положительным выбросом процесса на уровне

Решим простейшую задачу — найдем среднее число положительных выбросов, происходящих в единицу времени. Для этого мысленно выделим на временной оси t малый интервал длительностью Считая, что процесс стационарен и непрерывен, всегда можно указать столь малое время что в пределах этого интервала либо не будет ни одного положительного выброса, либо он будет единственным.

Найдем вначале вероятность элементарного события, заключающегося в том, что за время происходит один положительный выброс. Для этого заметим, что единственный положительный выброс возникает в том случае, если: а) но, поскольку условие б) означает, что . Таким образом, единственный положительный выброс в пределах интервала времени произойдет, если реализация случайного процесса будет иметь здесь положительную производную удовлетворяя неравенству

Вероятность Р этого события легко вычислить, зная совместную даумерную плотность вероятности процесса и его производной, относящуюся к одному и тому же моменту времени:

То, что эта вероятность пропорциональна длительности интервала указывает на следующее: величина — среднее число положительных выбросов на уровне происходящих в 1 с, выражается формулой

Выбросы гауссовых процессов.

Вычисления по формуле (7.29) значительно упрощаются, если процесс является гауссовым. При этом мгновенные значения реализации и ее производной в совпадающие моменты времени статистически независимы, поэтому

Объединив формулы (7.29) и (7.30), находим

Будем полагать, что функция корреляции исходного процесса известна. Тот да дисперсия производной откуда следует формула для плотности вероятности производной:

Элементарные выкладки приводят к результату

подстановка которото в (7.31) дает окончательную формулу для вычисления среднего числа положительных выбросов стационарного гауссова процесса:

Квазичастота стационарного случайного процесса.

В § 7.1 отмечалось, что реализации некоторых случайных процессов изменяются во времени квазипериодически. Числовой характеристикой, отражающей темп колебаний, может служить квазичастота, определяемая как среднее число пересечений нулевого уровня. Согласно (7.33), квазичастота гауссова процесса

целиком определяется поведением функции корреляции в нуле. Поскольку — а дисперсия производной выражается через односторонний спектр мощности процесса

формула для квазичастоты может быть записана в виде, эквивалентном (7.34):

Пример 7.4. Квазичастота стационарного гауссова процесса с ограниченным низкочастотным спектром (см. пример 7.3).

Здесь

Подставляя эти выражения в формулу (7.35), получаем

Этот интересный результат нельзя усмотреть непосредственно.