Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов

Наряду с полным описанием свойств случайных сигналов с помощью многомерных плотностей вероятности возможен упрощенный подход, когда случайные процессы характеризуются своими моментными функциями. Теория случайных процессов, основанная на использовании моментных функций не выше второго порядка, получила название корреляционной теории. В данной главе будет показано, что между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов существует глубокая и тесная связь.

7.1. Спектральные представления стационарных случайных процессов

В гл. 2 была развита спектральная теория детерминированных сигналов. Из-за вероятностного характера отдельных реализаций прямой перенос методов спектрального анализа в теорию случайных процессов невозможен. Однако удается получить ряд важных спектральных характеристик случайных колебаний, преобразуя по Фурье некоторые функции, получаемые путем усреднения реализаций.

Спектральные плотности реализаций.

Рассмотрим стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием: Отдельно взятая реализация этого процесса есть детерминированная функция, которую можно представить в виде, обратного преобразования Фурье

с некоторой детерминированной спектральной плотностью

Для того чтобы описать весь ансамбль реализаций, образующий процесс , естественно допустить, что спектральные плотности сами являются случайными функциями частоты. Таким образом, случайный процесс во временной области порождает другой случайный процесс в частотной области. Если реализация случайного процесса представлена в форме (7.1), то говорят, что осуществлено спектральное представление этого процесса.

Ключевую роль в спектральной теории случайных процессов играет ответ на следующий вопрос: какими свойствами должны обладать случайные функции для того, чтобы процесс был стационарным в широком смысле?

Свойства случайной спектральной плотности.

Для ответа на поставленный вопрос прежде всего усредним мгновенные значения сигналов по ансамблю реализаций:

Это равенство будет выполняться тождественно при любо значении t, если потребовать выполнения условия Итак, случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса должна иметь нулевое математическое ожидание на всех частотах.

Теперь нужно определить, при каких условиях функция корреляции зависит лишь от сдвига между сечениями. Воспользуемся тем, что сигнал x(t) вещественный, так что наряду с (7.1) справедливо равенство

Запишем выражение функции корреляции процесса используя спектральные разложения случайных реализаций:

Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель , имеющий смысл функции корреляции случайной спектральной плотности. Для того чтобы функция не зависела от времени t, необходимо, как это видно из выражения (7.3), потребовать выполнения следующей пропорциональности:

Таким образом, случайная спектральная плотность стационарного процесса имеет специфическую структуру: ее значения, отвечающие любым двум несовпадающим частотам, некоррелированы между собой. В то же время средний квадрат (дисперсия) случайной спектральной плотности неограниченно велик при любых частотах. Такой вид корреляционной связи, с которым мы часто будем сталкиваться в дальнейшем, называется дельта-коррелированностью.

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса.

Введем в формулу (7.4) множитель пропорциональности, зависящий от частоты, и запишем это равенство таким образом:

(7.5)

Функция , играющая фундаментальную роль в теории стационарных случайных процессов, называется спектральной плотностью мощности процесса X(t). В дальнейшем для краткости эту функцию будем называть также спектром мощности.

Подставив (7.5) в (7.3), приходим к важному результату:

Итак, функции корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому

Формулы (7.6) и (7.7) составляют содержание теоремы, доказанной в 1934 г. известным советским математиком А. Я. Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Данная теорема в теории случайных процессов получила название теоремы Винера — Хитина.

Для того чтобы выяснить физический смысл понятия энергетического спектра, положим в Тогда, поскольку получаем

Дисперсия равная средней мощности флуктуаций стационарного случайного процесса, есть, таким образом, сумма вкладов от всех участков частотной оси.

Следует подчеркнуть различие между энергетическим спектром детерминированного импульсного сигнала (см. гл. 3) и спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса Функция характеризует меру энергии, приходящуюся на единичную полосу частот. В отличие от этого функция характеризует удельную меру мощности. Этот факт находит отражение и в разных физических размерностях данных функций.

По своему физическому смыслу спектр мощности веществен и неотрицателен: Данное свойство накладывает весьма жесткие ограничения на вид допустимых функций корреляции (с этим мы уже сталкивались в гл. 3, изучая корреляционные свойства детерминированных сигналов).

Необходимо указать также на следующее обстоятельство. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими.

Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую-либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.

Односторонний спектр мощности.

Поскольку — четная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой четную функцию частоты со. Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (7.6), (7.7) можно записать, используя лишь интегралы в полубесконечных пределах:

Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путем интегрирования по положительным (физическим) частотам:

В технических расчетах часто вводят односторонний спектр мощности представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:

При этом, как легко видеть,

Теорема Винера — Хинчина является важнейшим инструментом прикладной теории случайных процессов.

Пример 7.1. Спектр мощности случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции.

Пусть процесс имеет функцию корреляции вида

с некоторым положительным параметром а. На основании (7.10) его спектральная плотность мощности

Односторонний спектр мощности

График данной функции указывает на то, что спектр мощности рассматриваемого процесса имеет выраженный низкочастотный характер — его максимум наблюдается на нулевой частоте.

Пример 7.2. Функция корреляции стационарного случайного процесса со спектром мощности гауссова вида.

Здесь

Для нахождения функции корреляции применим формулу (7.9):

Итак, гауссов характер спектра мощности приводит к функции корреляции также гауссова вида. Дисперсия данного случайного процесса

Пример 7.3. Функция корреляции стационарного случайного процесса с ограниченным спектром мощности низкочастотного вида. Пусть процесс характеризуется спектром мощности

(О вне полосы

По формуле (7.9) находим функцию корреляции:

Дисперсия этого случайного процесса

Если воспользоваться односторонним спектром мощности

то формула для дисперсии приобретает легхо запоминающийся вид произведения спектра мощности на полосу частот, занимаемую сигналом:

Интересно и важно отметить, что функция корреляции данного случайного процесса знакопеременна, причем знак изменяется при сдвигах , кратных величине Среднее значение произведения будет вначале положительным, затем с увеличением отрицательным, вновь положительным и т. д. Такое свойство функции корреляции говорит о квазипериодичности любой реализации этого случайного процесса, понимаемой, конечно, не в абсолютном, в вероятностном смысле.

Интервал корреляции.

Случайные процессы, изучаемые статистической радиотехникой, как правило, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига Чем быстрее убывает функция тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением

Если йзвестна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка тк. Однако попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интервал корреляции, окажется безрезультатной — мгновенные значения, столь далеко отстоящие во времени, практически иекоррелированы, т. е. среднее значение произведения стремится к нулю.

Эффективная ширина спектра.

Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией — односторонним спектром мощности, причем — экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчета дисперсии шумового сигнала: . Например, если известно, что то откуда среднеквадратическое значение напряжения шума .

Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить множеством способов, например, исходя из условия уменьшения значений спектра мощности на границе этого частотного интервала до уровня . В любом случае величины должны быть связаны соотношением неопределенности вытекающим из свойств преобразования Фурье (см. гл. 2).

Белый шум.

В радиотехнике так принято называть стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности:

(7.17)

Термин «белый шум» образно подчеркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.

По теореме Винера — Хинчина функция корреляции белого шума

равна нулю всюду, кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума иеограничено велика.

Белый шум является дельта-коррелированным случайным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени — как бы мал ни был интервал сигнал за это время может измениться на любую наперед заданную величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближенно заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.