5.2. Теорема Котельникова

В 1933 г. В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Построение ортонормированного базиса.

Как было показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству

являются ортогональными. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье.

Достаточно рассмотреть лишь функцию

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку

функции и будут ортонормированными, если

Бесконечная совокупность функций

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением Отдельная функция называется отсчетной функцией.

Ряд Котельникова. Если — произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот — , то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

Коэффициентами рада служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и отсчетной функции:

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что отсчетная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную . Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13). Тогда, если — спектр изучаемого сигнала то

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как т. е. мгновенное значение сигнала отсчетной точке

Таким образом,

откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени

Пример 5.1. Дан сигнал

Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты

Если то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала

В предельном случае, когда частота стремится к слева, т. е.

на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки.

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановлен ние исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы —

Рис. 5.2. Аппаратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котельникова

Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельникова.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере; она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2).

Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции . Генераторы являются управляемыми — амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям Если объединить колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой (5.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала s(t).

Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью не принадлежит к числу сигналов с ограниченным спектром. Тем не менее модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону ) уменьшается с ростом частоты.

Описание такого сигнала двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со спектром, ограниченным сверху частотой Математическая модель этого сигнала такова:

Если же описать импульс тремя равноотстоящими отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до

Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т. е. с уменьшением временного интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться.

Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова.

Если — произвольный сигнал, то его можно представить суммой к в которую входит сигнал со спектром, ограниченным значением а также сигнал ошибки аппроксимации со спектром, занимающим в обшем случае бесконечную полосу частот .

Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому сигналы ортогональны, а их энергии, т. е. квадраты норм, складываются:

В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если — энергетический спектр сигнала то по теореме Рэлея

Пример 5.3. Дан экспоненциальный видеоимпульс , характеризующийся энергетическим спектром и нормой

Эффективная длительность этого импульса (см. гл. 2)

Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верхней частоты полосы пропускания фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за время измеряются отсчетов с интервалом . Согласно теореме Котельникова, это означает, что .

Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значениям точно. Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки

Относительная ошибка аппроксимации

Видно, что выбранная в примере частота недостаточно высока для достижения удовлетворительной точности воспроизведения исходного сигнала.

Размерность пространства сигналов, ограниченных по спектру и по длительности.

Примеры вычисления спектральных плотностей импульсных сигналов, приведенные в гл. 2, показывают, что любой сигнал конечной длительности теоретически имеет спектр, неограниченно протяженный по оси частот.

Однако часто бывает удобным рассматривать идеализированные модели сигналов, ограниченных как по длительности, так и по протяженности спектра. Подобные модели могут достаточно точно описывать сигналы, применяемые в реальных каналах связи.

Пусть Т — длительность такого сигнала, а — граничная частота его спектра, выраженная в герцах. Тогда база сигнала (см. гл. 4) Для полного описания сигнала нужно иметь в распоряжении независимых отсчетов.

Говорят, что число

является размерностью пространства сигналов, ограниченных по длительности и по частоте.

Число N, как правило, достаточно велико. Например, для описания сигнала в канале радиовещания с граничной частотой 12 кГц на протяжении 1 мин потребуется независимых чисел.

В свое время К. Шеннон предложил интерпретировать любой сигнал с конечными длительностью и полосой как точку в многомерном евклидовом пространстве с числом измерений Отсчетное значение s служит при этом проекцией отображающей точки на координатную ось. Поскольку метрика пространства евклидова и координатные оси взаимно ортогональны, длина вектора сигнала

Величину можно выразить через энергию сигнала следующим образом. Так как

то

где — средняя мощность сигнала. Отсюда вытекает, что любые сигналы с фиксированными параметрами средними мощностями, не превышающими уровня отображаются точками, лежащими внутри многомерной сферы радиусом