16.4. Оптимальная фильтрация случайных сигналов

На практике точная форма полезного сигнала часто заранее неизвестна. Поэтому реальный сигнал, поступающий в радиоканал от микрофона, передающей телевизионной камеры и т. д., можно в некотором приближении рассматривать как типичную реализацию из стационарного зргодического ансамбля. Если плотность вероятности такого случайного процесса известна (чаще всего ее считают гауссовой), то единственная информация о всей совокупности возможных сигналов заключена в спектре мощности или в функции корреляции.

В радиоканале, помимо случайных полезных сигналов, присутствуют помехи. Как правило, спектры мощности полезных сигналов и помех в той или иной степени различаются прежде всего своим расположением на частотной оси. Это позволяет найти стационарный линейный фильтр, который выделяет случайный полезный сигнал некоторым наилучшим образом.

Постановка задачи и критерий оптимальности.

Предположим, что на вход фильтра с частотным коэффициентом передачи одновременно поданы два гауссовых случайных сигнала. Реализации этих сигналов обозначим символами и v(t). Пусть — полезный сигнал, в то время как — помеха.

Эти сигналы являются реализациями стациотарных случайных процессов соответственно. Допустим далее, что данные случайные процессы взаимно некоррелированы и заданы своими спектрами мощности .

Реализация y(t) выходного сигнала фильтра не является точной копией Полезного сигнала а отличается от него на величину случайного сигнала ошибки

Будем называть оптимальным фильтр, частотный коэффициент передачи которого выбран таким образом, что дисперсия сигнала ошибки оказывается минимальной.

Связь дисперсии сигнала ошибки со спектрами мощности.

Если — спектр мощности сигнала ошибки, то дисперсия этого сигнала

(16.46)

Свяжем функцию со спектрами . Для этого рассмотрим структурную схему воображаемого устройства, позволяющего получать на выходе реализации сигнала ошибки (рис. 16.9).

Поскольку, по условию, случайные процессы некоррелированы, мощности случайных сигналов, поступающих на выход по каждому из двух возможных каналов, складываются, откуда

(16.47)

Представим частотный коэффициент передачи фильтра в показательной форме:

и рассмотрим выражение стоящее в правой части формулы (16.47). Очевидно, что

Эта величина минимальна при Таким образом, оптимальный фильтр должен вносить нулевой фазовый сдвиг на всех частотах.

Рис. 16.9. Принцип получения сигнала ошибки

Приняв это во внимание, получим формулу, определяющую дисперсию сигнала ошибки:

(16.48)

Минимизация дисперсии ошибки.

Выполнив простые тождественные преобразования, представим формулу (16.48) так:

Модуль частотного коэффициента передачи входит только в одно из слагаемых подынтегрального выражения. Это слагаемое неотрицательно, поэтому минимум дисперсии ошибки будет обеспечен, если

откуда

Полученная формула не только решает поставленную задачу, но и дает возможность вычислить на основании выражения (16.49) предельно достижимую дисперсию сигнала ошибки:

или, переходя от к односторонним спектрам

Смысл полученного результата таков: модуль частотного коэффициента передачи оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, должен быть значителен на тех частотах, где сосредоточена основная доля мощности полезного сигнала. Там, где велика спектральная плотность мощности помехи, коэффициент передачи оптимального фильтра должен уменьшаться.

Пример 16.4. Случайный процесс (полезный сигнал) характеризуется ограниченным по частоте спектром мощности в полосе частот 1-3 кГц, равным нулю на остальных частотах. Случайный процесс (помеха) имеет аналогичный вид частотной зависимости одностороннего спектра мощности в полосе частот 2-4 кГц. Определить частотный коэффициент передачи оптимального фильтра и минимальную среднеквадратическую ошибку воспроизведения полезного сигнала.

С помощью формулы (16.50) находим, что модуль частотного коэффициента передачи оптимального фильтра отличен от нуля только в пределах интервала частот 1-3 кГц, где сосредоточен спектр мощности выделяемого сигнала, причем

Дисперсия полезного сигнала, равная произведению спектральной плотности мощности на занимаемую полосу частот же время по формуле (16.52) находим, что

Итак, при оптимальной линейной фильтрации двух рассмотренных случайных процессов относительная среднеквадеатическая ошибка воспроизведения полезного сигнала оказывается не менее 16.6%.

Проведенный в настоящем параграфе анализ не дает никаких сведений о физической реализуемости оптимального фильтра данного класса. Тем не менее ценность полученных результатов состоит в том, что найдены закономерности, которым подчиняются частотные характеристики любых фильтров, предназначенных для эффективного выделения случайных сигналов.